Aplicaciones de los resultados de

estabilización

Jaime E. Muñoz Rivera LNCC

IM-UFRJ – Brasil

I EMELC Cusco – Perú 22/10/2014

* Una de las estructuras mas importantes en todas

las civilizaciones fueron los puentes.

* Uno de los factores que hizo con que el imperio

Incaico se desarrolle comercialmente fueron los

puentes

* No apenas las construcciones sino tambien sus

manutención.

* Los Incas desarrollaron tecnicas para renovar

puentes suspensos que en algunas comunidades son

usadas hasta ahora

Queswachaca es un puente colgante de ichu o paja brava

que se encuentra a 10 kilómetros al sureste de la ciudad

del Cusco. Tiene 33 metros de longitud y 1.2 metros de

ancho, es único en su género por ser el último puente que

se conserva en uso desde la época inca.

El Queswachaca, conocido como el último puente

colgante al estilo inca sobre el río Apurímac. Ubicado en

la provincia de Canas, sobre el río Apurímac

A 110 km al sureste de la ciudad de Cusco.

http://2.bp.blogspot.com/_2JItHSa_aUw/RnVvK0Ajk2I/AAAAAAAABtI/VaZUVg2YLk0/s1600-h/QueswaAmarres.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_2JItHSa_aUw/RnVvLEAjk3I/AAAAAAAABtQ/m3pFxiNvSKQ/s1600-h/QueswaChutayHommesti.jpg

* La ingenieria avanzó mucho en sus diversas

tentativas de construir puentes cada vez mayores.

* Infelismente algunas tentativas no fueron exitosas.

El desastre mas famoso fué el del Tacoma Narrows

en USA.

* Hasta ahora el desarrollo de los puentes colgantes

fue extraordinário

Tacoma Narrows, November 07, 1940

Resonancia:

Es la tendencia de un sistema a oscilar en mayor

amplitud a ciertas frecuencias.

La resonancia fue identificada por Galileo

Galilei em sus investigaciones sobre el pendulo

y cuerdas musicales en el año de 1602.

Resonancia mecánica es la tendencia a absorber la

energía cuando la frecuencia de las oscilaciones es igual

a la frecuencia natural de vibraciones

Existen también otros tipos de resonancia: óptica,

electricidad etc.

Nace en Pisa 15/02/1564

Muere Florença -08/01/1642

En 1616 tuvo problemas con la

Inquisición

Cuando aplicamos la fuerza en el

momento adequado amplificamos

las oscilaciones

Consideremos el siguiente problema de valor inicial

Observamos que la solucion debe ser pequeña.

La solución es la suma de la solución del problema

homogeneo,

Y una solución particular de

Osea

Asi obtenemos que

Portanto

Tomando los puntos

Obtenemos que

A medida que el tiempo crece las oscilaciones aumentan

indefinidamente.

Estabilización

Que podemos hacer para evitar

resonancias?

* Evitar que las vibraciones crescan

* Crear mecanismos que disipen la energia acumulada

* Estos procesos son llamados de estabilización.

Para entender la forma en que estos mecanismos

disipativos funcionam, consideremos el problema de la

cuerda oscilante.

Las oscilaciones de la

cuerda paran despues de

un determinado tiempo

Fricción

En los sistemas conservativos las oscilaciones son

indefinidas

Denotemos por u(x,t) la posicion del punto x de

la cuerda en el instante t

João Gilberto se negava hacer show

con aire condicionado. Efecto Termo Elástico.

En resumen, tenemos diversos mecanismos disipativos:

* La resistencia del Aire. (fricción)

* La temperatura para materiales termoelásticos

* Materiais con memória.

* Materiais eletro magnéticos.

El modelo conservativo de ecuación de ondas

La energia asociada al modelo

O modelo dissipativo de equação de ondas

Aplicaciones

El puente colgante Akashi-Kaikyo es el mas largo del mundo com 4Km de extension esta

situado entre las islas de Kobe y Awaji island .

Para estabilizar el pueste fué necesário introducir diferentes mecanismos disipativos em

lugares estratégicos. Por ejemplo sobre la columna principal

La ecuación de ondas

com disipación friccional

Actualmente es muy conocido que la ecuación de ondas

con disipación friccional es siempre exponencialmente

estable.

No importando su tamaño o la posición em que este

mecanismo es efectivo.

El resultado es que la energía asociada a este proceso

Decay exponencialmente

Las propiedades

estabilizadores depende

del tipo de material

Por ejemplo existen materiales cuya estructura es

viscosa

Materiales sensibles a la variacion de temperatura:

Materiales termoelásticos

Materiales que poseen memoria de deformacion.

Si introducimos componentes viscosas en la viga, el

modelo de ondas cambia para

Zuangyi Liu provou que ante este efecto dissipativo las

oscilaciones no se estabilizan exponencialmente.

Esto quiere decir que diferentes tipos de mecanismos

disipativos estabilizan de forma diferente

Es importante encontrar el mejor tipo de mecanismo para

que la estabilizacion sea lo mas rápido posible,

Estenderemos este

resultados para materiales

de tres componentes

Las oscilaciones de un puente son modelas dividiendo su

estructura

Consideremos la viga com tres componentes

Consideremos la viga com tres componentes

Consideremos la viga com tres componentes

Consideremos la viga com tres componentes

Consideremos la viga com tres componentes

Consideremos la viga com tres componentes

Con las condiciones de trasmición

Condiciones de frontera

Y condiciones iniciales

Aqui el orden juega un papel importante

Para aplicar la teoria de semigrupos, necesitamos

introducir los espacios donde estos semigrupos actuaran

El espacio será

Los correspondientes generadores infinitesimales seran

Por tanto el correspondiente problema puede ser escrito

como

Cual debe ser el orden de las componentes de la viga para

que la estabilización sea optima?

Por ejemplo si la parte elástica está en el centro?

O si la parte viscosa está en el centro?

En colaboracion con:

Octavio Vera Villagran

Universidad del Bio Bio (Chile)

Mauricio Sepúlveda Cortes

Universidad de Concepción (Chile)

Obtuvimos el siguiente resultado.

La prueba es baseada en el Teorema

de Pruess

De la ecuación resolvente obtenemos

Usando técnicas multiplicativas conseguimos

Substituyendo

De donde finalmente

Para la falta de decaimiento exponencial, construimos

una secuencia verificando

Mostramos que

como

Obtenemos

Finalmente, cuando no existe el decimiento exponencial

obtenemos um decaimiento mas lento: decaimiento

polinomial

Experimentos numéricos

Velocidad inicial igual a cero

Consideremos el caso general com tres tipos de

materiales

Consideremos el caso general com tres tipos de

materiales

Consideremos el caso general com tres tipos de

materiales

Representaremos al material:

Viscoso como

Elástico como

Con mecanismo friccional

Tenemos estabilidad exponencial?:

Exponencialmente estable?: SI

Exponencialmente estable?: NO

NO!

El tipo del semigrupo.

El radio espectral.

La prueba del decaimiento exponencial es baseada en

técnicas multiplicativas en la ecuación resolvente

La prueba de la falta de decaimiento es mas delicada.

Usa los siguientes conceptos.

El teorema de la invariancia de Weyl

Las relaciones entre el tipo de un semigrupo y el radio

espectral esencial essential radius.

Donde K es um operador compacto.