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producto exterior
Formas diferenciales
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
4 de junio de 2012
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ qué son?
↓
formas diferencialesun objeto matemático abstracto
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ qué son?
↓
formas diferencialesun objeto matemático abstracto
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ qué son?
↓
formas diferencialesun objeto matemático abstracto
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ para qué sirven?
↓
formas diferenciales
para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ para qué sirven?
↓
formas diferenciales
para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ para qué sirven?
↓
formas diferencialespara unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmula
y el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ para qué sirven?
↓
formas diferencialespara unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculo
para generalizar estos teoremas a cualquier dimensión
producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales¿ para qué sirven?
↓
formas diferencialespara unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión
producto exterior
intro
formas diferenciales
cómo se definenlas definiremos axiomáticamente
producto exterior
0-formas
0-formas
0-formauna 0-forma sobre Ω ⊂ R3 abierto
es una funciónf : Ω→ R suave (C1 o más)
producto exterior
0-formas
0-formas
0-formauna 0-forma sobre Ω ⊂ R3 abiertoes una función
f : Ω→ R suave (C1 o más)
producto exterior
0-formas
0-formas
0-formauna 0-forma sobre Ω ⊂ R3 abiertoes una funciónf : Ω→ R suave (C1 o más)
producto exterior
0-formas
suma y producto de 0-formas
suma y producto de 0-formasf ,g : Ω→ R 0-formas
⇒ f + g 0-forma
⇒ f .g 0-forma
producto exterior
0-formas
suma y producto de 0-formas
suma y producto de 0-formasf ,g : Ω→ R 0-formas
⇒ f + g 0-forma
⇒ f .g 0-forma
producto exterior
0-formas
suma y producto de 0-formas
suma y producto de 0-formasf ,g : Ω→ R 0-formas
⇒ f + g 0-forma
⇒ f .g 0-forma
producto exterior
0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-forma
g(x , y , z) = y sin xz 0-forma
(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz
(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz
producto exterior
0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-formag(x , y , z) = y sin xz 0-forma
(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz
(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz
producto exterior
0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-formag(x , y , z) = y sin xz 0-forma
(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz
(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz
producto exterior
0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-formag(x , y , z) = y sin xz 0-forma
(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz
(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz
producto exterior
1-formas
1-formas básicas
1-forma básicauna 1-forma básica se define como:
1 dx2 dy3 dz
producto exterior
1-formas
1-formas básicas
1-forma básicauna 1-forma básica se define como:
1 dx
2 dy3 dz
producto exterior
1-formas
1-formas básicas
1-forma básicauna 1-forma básica se define como:
1 dx2 dy
3 dz
producto exterior
1-formas
1-formas básicas
1-forma básicauna 1-forma básica se define como:
1 dx2 dy3 dz
producto exterior
1-formas
1-formas
1-formasuna 1-forma sobre Ω
es una combinación lineal:
ω = Pdx + Qdy + Rdz
con P,Q,R : Ω→ R
producto exterior
1-formas
1-formas
1-formasuna 1-forma sobre Ω
es una combinación lineal:
ω = Pdx + Qdy + Rdz
con P,Q,R : Ω→ R
producto exterior
1-formas
1-formas
1-formasuna 1-forma sobre Ω
es una combinación lineal:
ω = Pdx + Qdy + Rdz
con P,Q,R : Ω→ R
producto exterior
1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dz
ω2 = P2dx + Q2dy + R2dzsuma de ω1 y ω2
ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz
producto exterior
1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dzω2 = P2dx + Q2dy + R2dz
suma de ω1 y ω2
ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz
producto exterior
1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dzω2 = P2dx + Q2dy + R2dzsuma de ω1 y ω2
ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz
producto exterior
1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dzω2 = P2dx + Q2dy + R2dzsuma de ω1 y ω2
ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz
producto exterior
1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdz
f 0-formaproducto de f por ω
f .ω = fPdx + fQdy + fRdz
producto exterior
1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdzf 0-forma
producto de f por ω
f .ω = fPdx + fQdy + fRdz
producto exterior
1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdzf 0-formaproducto de f por ω
f .ω = fPdx + fQdy + fRdz
producto exterior
1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdzf 0-formaproducto de f por ω
f .ω = fPdx + fQdy + fRdz
producto exterior
1-formas
ejemplo 2
ejemplo 2
ω1 = (x + y2)dx + zydy + exyzdz
ω2 = sin ydx + sin xdy⇒
ω1 + ω2 = (x + y2 + sin y)dx + (zy + sin x)dy + exyzdz
producto exterior
1-formas
ejemplo 2
ejemplo 2
ω1 = (x + y2)dx + zydy + exyzdzω2 = sin ydx + sin xdy
⇒
ω1 + ω2 = (x + y2 + sin y)dx + (zy + sin x)dy + exyzdz
producto exterior
1-formas
ejemplo 2
ejemplo 2
ω1 = (x + y2)dx + zydy + exyzdzω2 = sin ydx + sin xdy⇒
ω1 + ω2 = (x + y2 + sin y)dx + (zy + sin x)dy + exyzdz
producto exterior
1-formas
ejemplo 3
ejemplo 3ω2 = sin ydx + sin xdy
f (x , y , z) = x⇒
fω2 = x sin ydx + x sin xdy
producto exterior
1-formas
ejemplo 3
ejemplo 3ω2 = sin ydx + sin xdyf (x , y , z) = x
⇒fω2 = x sin ydx + x sin xdy
producto exterior
1-formas
ejemplo 3
ejemplo 3ω2 = sin ydx + sin xdyf (x , y , z) = x⇒
fω2 = x sin ydx + x sin xdy
producto exterior
2-formas
2-formas básicas
2-formas básicas
una 2-forma básica es:
1 dxdy2 dydz3 dzdx
producto exterior
2-formas
2-formas básicas
2-formas básicas
una 2-forma básica es:1 dxdy
2 dydz3 dzdx
producto exterior
2-formas
2-formas básicas
2-formas básicas
una 2-forma básica es:1 dxdy2 dydz
3 dzdx
producto exterior
2-formas
2-formas básicas
2-formas básicas
una 2-forma básica es:1 dxdy2 dydz3 dzdx
producto exterior
2-formas
2-formas
2-formauna 2-forma
es una combinación lineal
η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
con F ,G,H : Ω→ R
producto exterior
2-formas
2-formas
2-formauna 2-formaes una combinación lineal
η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
con F ,G,H : Ω→ R
producto exterior
2-formas
2-formas
2-formauna 2-formaes una combinación lineal
η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
con F ,G,H : Ω→ R
producto exterior
2-formas
suma de 2-formas
suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdx
η2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdxsuma de 2-formas
η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx
producto exterior
2-formas
suma de 2-formas
suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdxη2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdx
suma de 2-formas
η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx
producto exterior
2-formas
suma de 2-formas
suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdxη2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdxsuma de 2-formas
η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx
producto exterior
2-formas
suma de 2-formas
suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdxη2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdxsuma de 2-formas
η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx
producto exterior
2-formas
producto por 0-forma
producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
f 0-formaproducto de η por f
f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx
producto exterior
2-formas
producto por 0-forma
producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxf 0-forma
producto de η por f
f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx
producto exterior
2-formas
producto por 0-forma
producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxf 0-formaproducto de η por f
f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx
producto exterior
2-formas
producto por 0-forma
producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxf 0-formaproducto de η por f
f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 4
ejemplo 4
η1 = x2dxdy + y3xdydz + sin zydzdx
η2 = ydydz⇒
η1 + η2 = x2dxdy + (y3x + y)dydz + sin zydzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 4
ejemplo 4
η1 = x2dxdy + y3xdydz + sin zydzdxη2 = ydydz
⇒
η1 + η2 = x2dxdy + (y3x + y)dydz + sin zydzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 4
ejemplo 4
η1 = x2dxdy + y3xdydz + sin zydzdxη2 = ydydz⇒
η1 + η2 = x2dxdy + (y3x + y)dydz + sin zydzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 5
ejemplo 5η2 = ydydz
f (x , y , z) = xy⇒
fη2 = xy2dydz
producto exterior
2-formas
ejemplo 5
ejemplo 5η2 = ydydzf (x , y , z) = xy
⇒fη2 = xy2dydz
producto exterior
2-formas
ejemplo 5
ejemplo 5η2 = ydydzf (x , y , z) = xy⇒
fη2 = xy2dydz
producto exterior
3-formas
3-formas básicas
3-formas básicasla 3-forma básica
esdxdydz
producto exterior
3-formas
3-formas básicas
3-formas básicasla 3-forma básicaes
dxdydz
producto exterior
3-formas
3-formas
3-formauna 3-forma
es una expresiónν = fdxdydz
donde f : Ω→ R suave
producto exterior
3-formas
3-formas
3-formauna 3-formaes una expresión
ν = fdxdydz
donde f : Ω→ R suave
producto exterior
3-formas
3-formas
3-formauna 3-formaes una expresión
ν = fdxdydz
donde f : Ω→ R suave
producto exterior
3-formas
suma de 3-formas
suma de 3-formasν1 = f1dxdydz
ν2 = f2dxdydz
ν1 + ν2 = (f1 + f2)dxdydz
producto exterior
3-formas
suma de 3-formas
suma de 3-formasν1 = f1dxdydzν2 = f2dxdydz
ν1 + ν2 = (f1 + f2)dxdydz
producto exterior
3-formas
suma de 3-formas
suma de 3-formasν1 = f1dxdydzν2 = f2dxdydz
ν1 + ν2 = (f1 + f2)dxdydz
producto exterior
3-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaν = fdxdydz
g 0-forma
gν = gf dxdydz
producto exterior
3-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaν = fdxdydzg 0-forma
gν = gf dxdydz
producto exterior
3-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-formaν = fdxdydzg 0-forma
gν = gf dxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 6
ejemplo 6ν1 = ydxdydz
ν2 = ex2dxdydz
⇒ν1 + ν2 = (y + ex2
)dxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 6
ejemplo 6ν1 = ydxdydzν2 = ex2
dxdydz
⇒ν1 + ν2 = (y + ex2
)dxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 6
ejemplo 6ν1 = ydxdydzν2 = ex2
dxdydz⇒
ν1 + ν2 = (y + ex2)dxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 7
ejemplo 7ν1 = ydxdydz
f (x , y , z) = xyz⇒
fν1 = xy2zdxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 7
ejemplo 7ν1 = ydxdydzf (x , y , z) = xyz
⇒fν1 = xy2zdxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 7
ejemplo 7ν1 = ydxdydzf (x , y , z) = xyz⇒
fν1 = xy2zdxdydz
producto exterior
3-formas
observación
observaciónno se puede sumar una i-forma con una j-forma
si i 6= j
producto exterior
3-formas
observación 2
observacióncada forma tiene un espacio natural de acción
0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3
producto exterior
3-formas
observación 2
observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos
1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3
producto exterior
3-formas
observación 2
observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas
2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3
producto exterior
3-formas
observación 2
observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies
3-formas↔ subregiones elementales de R3
producto exterior
3-formas
observación 2
observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + Rdz
C curva ∫Cω =
∫C
Pdx + Qdy + Rdz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + RdzC curva
∫Cω =
∫C
Pdx + Qdy + Rdz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + RdzC curva ∫
Cω =
∫C
Pdx + Qdy + Rdz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + RdzC curva ∫
Cω =
∫C
Pdx + Qdy + Rdz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
ejemplo 8
ω = xydx + y2dy + dz
C parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]
evaluar∫C ω
∫Cω =
∫ 1
0(t52t + t63t2)dt =
1321
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
ejemplo 8
ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]
evaluar∫C ω
∫Cω =
∫ 1
0(t52t + t63t2)dt =
1321
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
ejemplo 8
ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]
evaluar∫C ω
∫Cω =
∫ 1
0(t52t + t63t2)dt =
1321
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
ejemplo 8
ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]
evaluar∫C ω
∫Cω =
∫ 1
0(t52t + t63t2)dt =
1321
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
ejemplo 8
ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]
evaluar∫C ω
∫Cω =
∫ 1
0(t52t + t63t2)dt
=1321
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
ejemplo 8
ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]
evaluar∫C ω
∫Cω =
∫ 1
0(t52t + t63t2)dt =
1321
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
S superficie parametrizada por Φ : D → R3
∫∫Sη =
∫∫S
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + HdzdxS superficie parametrizada por Φ : D → R3
∫∫Sη =
∫∫S
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + HdzdxS superficie parametrizada por Φ : D → R3
∫∫Sη =
∫∫S
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + HdzdxS superficie parametrizada por Φ : D → R3
∫∫Sη =
∫∫S
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
∫∫S
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
=
∫∫S
(F ,G,H).ndS = (∗)
(∗) =
∫∫S
(F∂(x , y)
∂(u, v)+ G
∂(y , z)
∂(u, v)+ H
∂(z, x)
∂(u, v)
)dudv
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
∫∫S
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx =
∫∫S
(F ,G,H).ndS = (∗)
(∗) =
∫∫S
(F∂(x , y)
∂(u, v)+ G
∂(y , z)
∂(u, v)+ H
∂(z, x)
∂(u, v)
)dudv
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdy
S semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]
∫∫S η =
∫∫D dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
∂(x , y)
∂(u, v)=
∣∣∣∣ cos u cos v − sin u sin vcos u sin v sin u cos v
∣∣∣∣ = sin u cos u
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
∂(x , y)
∂(u, v)=
∣∣∣∣ cos u cos v − sin u sin vcos u sin v sin u cos v
∣∣∣∣
= sin u cos u
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
∂(x , y)
∂(u, v)=
∣∣∣∣ cos u cos v − sin u sin vcos u sin v sin u cos v
∣∣∣∣ = sin u cos u
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos3 u sin ududv
= −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos3 u sin ududv = −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar∫∫
S η
Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫
S η =∫∫
D cos3 u sin ududv = −2π cos4 u4
∣∣∣π20
= π2
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
integral de 3-forma sobre región de R3
integral de 3-forma sobre región de R3
ν = fdxdydz
∫∫∫Rν =
∫∫∫R
f (x , y , z)dxdydz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
integral de 3-forma sobre región de R3
integral de 3-forma sobre región de R3
ν = fdxdydz ∫∫∫Rν =
∫∫∫R
f (x , y , z)dxdydz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydz
R = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz
=
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz
=
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz
=
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz
=
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz
=
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz
=
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz =
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz =
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz
=
(z2
2+
z2
)1
0= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz =
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0
= 1
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3
calcular∫∫∫
R ν
∫∫∫Rν =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1
0(x + z)dxdz =
∫ 1
0
(xz +
z2
2
)1
0dx
=
∫ 1
0
(z +
12
)dz =
(z2
2+
z2
)1
0= 1