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Introducc ion al Analis is y Dis eño de

Algoritmos

Logica y Analis is de Algoritmos

Fr anc is c o Lamber t

2 0 1 0 -1

Analisis de Algoritmos

• ¿Que es un Algoritmo ?

• ¿Que es el Analisis de los algoritmos?

• ¿Cual es el Sentido de Analizar Algoritmos?


• Un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permiten realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute .


• El Analisis de Algoritmos estudia, desde un punto de vista teorico , los recursos computacionales que nesecita la ejecucion de un programa de ordenador, es decir, su eficiencia .


• ¿Cual es el Sentido de estudiar la eficiencia de los algoritmos? …

• Poder tener un mayor nivel de comprension de la realidad , para asi comprender la barrera entre lo factible y lo imposible .


• Ejemplo : Los algoritmos de Ordenacion . El tiempo de ejecucion dependera del tamaño del conjunto de datos a ordenar .

• Objetivo : Parametrizar el tiempo de ejecucion en funcion del tamaño de datos, intentando buscar una cota superior que nos sirva de garantia .


• Entonces, ¿Podemos comparar distintos algoritmos para saber cual de ellos se comporta de mejor manera frente a un determinado problema?


• Como en todo orden de cosas, existen distintos casos en los que puedo “evaluar” un algoritmo . Estos casos son intuitivos , y corresponden a una forma natural de analisis, analisis por casos.


Suponiendo que nuestro algoritmo para llegar a la universidad desde el hogar sea(a grandes rasgos) :

despertar->ducharnos->vestirnos->desayunar->caminar al paradero->esperar la micro->llegar al metro->llegar a la u


Este algoritmo de acercamiento a la universidad posee muchas variables que pueden, de cierta manera, condicionar la respuesta que obtendremos, es decir, el tiempo de demora en el viaje a la universidad.


Muchos de nosotros hemos tenido dias malos, donde el agua caliente en la mañana no funciona, se nos fue la carga del pase, se nos olvido el libro que tenemos que devolver en la u o nos subimos a la micro equivocada. Bien, eso seria entonces...

Analisis del Peor Caso

Sea T(n) el tiempo MAXIMO necesario para un problema de tamaño n . Cuando este tiempo sea Maximo estaremos en presencia del Peor Caso del algoritmo . Es decir , el caso descrito anteriormente (cuando se nos descargaba el pase... etc)

Analisis de Casos

¿Cual es el tiempo que nesecitaria un algoritmo concreto?

• Varia en funcion del ordenador que utilicemos .

• Varia en funcion del compulador que seleccionemos .

• Varia en funcion de nuestra habilidad de programacion.

Analisis de Casos

Idea : Ignorar las constantes que dependen del contexto .

Solucion : Fijarse en el crecimiento de T(n) cuando

Analisis de Casos

Analisis de Casos

En la practica, es posible que un algoritmo mas ineficiente pueda resultar mas adecuado para resolver un problema real ya que hay que tener en cuenta otros aspectos ademas de la eficiencia .

Analisis de Casos

Analisis de Casos

Analisis de Casos

Ejemplo: Algoritmo de ordenación por inserción void OrdenarInsercion (double v[], int N) { int i, j; double tmp; for (i=1; i<N; i++) { tmp = v[i]; for (j=i; (j>0) && (tmp<v[j-1]); j--) v[j] = v[j-1]; v[j] = tmp; } }

Analisis de Casos

Peor Caso : Vector inivialmente ordenado alreves

Caso Promedio : Con todas las permutciones igualmente probables

¿Es Eficiente el algoritmo de ordenacion por insercion ?Si, para casos de n pequeño. NO para n grande.

Analisis de Casos

• Para algunos algoritmos, diferentes entradas (inputs) para un tamaño dado pueden requerir diferentes cantidades de tiempo.

• Por ejemplo, consideremos el problema de

encontrar la posición particular de un valor K, dentro de un arreglo de n elementos. (suponiendo que sólo ocurre una vez).

Analisis de Casos

• En cambio, cuando un algoritmo se ejecuta muchas veces en muchos tipos de entrada, estamos interesados en el comportamiento promedio o típico. Desafortunadamente, esto supone que

sabemos cómo están distribuidos los datos.

• Si conocemos la distribución de los datos, podemos sacar provecho de esto, para un mejor análisis y diseño del algoritmo. Por otra parte, si no

conocemos la distribución, entonces lo mejor es considerar el peor de los casos.

Resolucion de Recurrencias

Existen diversas tecnicas y trucos para el desarrollo y resolucion de las recurrencias.

Metodo de Sustitucion: 1.-Adivinar la forma de la solución. 2.-Demostrar por inducción. 3.-Resolver las constantes.








Teorema Maestro

θ(orden exacto), O (orden superior), Ω(orden inferior),(Notacion de Landau)

Teorema Maestro Ejercicios

1. T (n)=3T (n/2)+ n^22. T (n)=4T (n/2)+ n^23. T (n)= T (n/2)+2^n4. T (n)=2nT (n/2)+ n^n5. T (n)=16T (n/4)+ n6. T (n)=2T (n/2)+ n log n7. T (n)=2T (n/2)+ n/ logn8. T (n)=2T (n/4)+ n^0.519. T (n)=0.5T (n/2)+1/n10. T (n)=16T (n/4)+ n!11. T (n)=√(2)*T(n/2)+log n

12. T (n)=3T (n/2)+ n13. T (n)=3T (n/3)+ √n14. T (n)=4T (n/2)+ cn15. T (n)=3T (n/4)+ n log n16. T (n)=3T (n/3)+ n/217. T (n)=6T (n/3)+ n^2 log n18. T (n)=4T (n/2)+ n/ log n19. T (n)=64T (n/8)− n^2 log n20. T (n)=7T (n/3)+ n^221. T (n)=4T (n/2)+log n22. T (n)= T (n/2)+ n(2 − cos n)



Algoritmos de Ordenamiento

Dado un conjunto de n elementos (a1,a2,...,an) y una relacion de orden total entre dichos elementos (> por ejemplo) el problema de ordenar el conjunto de elementos se reduce a realizar permutaciones sobre el conjunto numerico con tal de ordenar dichos elementos en forma de que cumplan la relacion de orden total definida anteriormente. Aunque tanto el tipo y tamaño de los elementos como el dispositivo en donde se encuentran almacenados pueden influir en el método que utilicemos para ordenarlos, en este tema vamos a solucionar el caso en que los elementos son números enteros y se encuentran almacenados en un vector.

Algoritmos de Ordenamiento

Existen muchos algoritmos de ordenamientos. MUCHOS. Algunos de los mas conocidos son Bubble sort, Insertion sort , Shell sort, Merge sort , Heapsort , Quicksort , Counting Sort , Bucket sort , Radix sort , Distribution sort , etc etc etcDe momento, estudiaremos Mergesort (ordenamiento mediante Mezcla) y ShellSort (derivacion de InsertSort).

Ordenando por Mezcla o MergeSort

es un algoritmo de ordenamiento externo estable basado en la técnica divide y vencerás. Es de complejidad O(n log n).La Ordenación por fusión, consiste en: Dado un vector T[1...n] de n elementos dotados de una relación de orden total, se trata de ordenar de forma creciente esos elementos. Para ello, se seguirán una serie de pasos, tales como :•Dividir el vector en dos mitades •Ordenar esas dos mitades recursivamente•Fusionarlas en un solo vector ordenadoEn consecuencia, podemos decir que la ordenacion por fusión es un algoritmo recursivo que irá rompiendo recursivamente en trozos el vector a ordenar hasta que éstos sean suficientemente pequeños (de 1 unidad) y empezar a fusionarlos (unir los vectores, deshaciendo la recursividad) de forma ordenada.

Ordenando por Mezcla o MergeSort

algoritmo insertSort( A : lista de elementos ordenables ) para i=1 hasta longitud(A) hacer index=A[i] j=i-1 mientras j>=0 y A[j]>index hacer A[j + 1] = A[j] j = j - 1 fin mientras A[j + 1] = index fin parafin algoritmo

Ordenando Shell o ShellSort

Tomemos un arreglo inicial con los datos [74, 14, 21, 44, 38, 97, 11, 78, 65, 88, 30] .Shell nos propone que hagamos sobre el arreglo una serie de ordenaciones basadas en la inserción directa, pero dividiendo el arreglo original en varios sub-arreglo tales que cada elemento esté separado k elementos del anterior (a esta separación a menudo se le llama salto o gap)... Se debe empezar con k=n/2, siendo n el número de elementos de arreglo, y utilizando siempre la división entera.... después iremos variando k haciéndolo más pequeño mediante sucesivas divisiones por 2, hasta llegar a k=1.Pero vamos a ello... En nuestro ejemplo, n=11 (porque hay 11 elementos). Así que k=n/2=11/2=5 (division entera )


Empezamos con k=5. Así pues, vamos a dividir nuestro arreglo original en 5 sub-arreglo, en los cuales, sus

elementos estarán separados por 5 lugares del arreglo original (el salto o gap es 5).

Vamos a hacerlo con colores. Tomamos el primer elemento (el 74) contamos 5 lugares y tomamos también otro

elemento (el 97) volvemos a contar 5 y tomamos otro (el 30) y acabamos porque se nos acaba el arreglo.

El primer sub-arreglo con k=5 es el formado por 74, 97 y 30. Vamos a pintarlos en rojo

[74, 14, 21, 44, 38, 97, 11, 78, 65, 88, 30]


Ahora, ordenaremos los elementos del sub-arreglo rojo pero sólo entre ellos, utilizando el algoritmo de Inserción directa.

30, 14, 21, 44, 38, 74, 11, 78, 65, 88, 97

Fíjate qué curioso. El 30, un elemento relativamente pequeño se ha ido hacia el principio y el 97 hacia el final... ¡pero dando saltos (gap) de 5 en 5 lugares! Cada uno ha avanzado en saltos de 5 hacia una posición cercana a su

ubicación definitiva.


El 30, un elemento relativamente pequeño se ha ido hacia el principio y el 97 hacia el final... ¡pero dando saltos (gap) de 5 en 5 lugares! Cada uno ha avanzado en saltos de 5 hacia

una posición cercana a su ubicación definitiva.Formemos ahora otro sub-arreglo con salto k=5... partiendo

del segundo elemento (el 14) y contando 5 (tomamos también el 11) y ya está, porque se acaba el arreglo.

30, 14, 21, 44, 38, 74, 11, 78, 65, 88, 97


Ordenando la parte verde con InsertSort tenemos ahora

30, 11, 21, 44, 38, 74, 14, 78, 65, 88, 97

Ordenando de pasada la parte rosada que se mantiene igual , lo mismo ocurre con el naranjo y el celeste !.Hemos formado 5 sub-arreglos en los cuales los elementos están separados por 5 lugares (porque k=5). Hemos ordenado cada sub-arreglo por separado utilizando inserción directa, y hemos logrado que cada elemento se dirija hacia su ubicación definitiva en pasos de 5 lugares.Por supuesto, no hemos terminado todavía, pero resulta evidente que algunos elementos, como el 30, el 97 o el 11 han dado un gran salto y que no deben andar muy lejos de su sitio final.


Decimos ahora que el arreglo está 5-ordenado.Para continuar con el algoritmo, debemos ir reduciendo

progresivamente k dividiéndolo sucesivamente por 2 y k-ordenando los sub-arreglos que nos salgan (recuerda que

nos salen k sub-arreglo). Cuando lleguemos a k=1 habremos terminado.

Pero de momento, nuestra k valía 5, así que ahora

k←k/2=5/2=2

Nuestra nueva k vale 2. Repetimos todo el tinglado, pero ahora nos saldrán 2 sub-arreglo cuyos elementos están

separados por 2 lugares.


Decimos ahora que el arreglo está 5-ordenado.Para continuar con el algoritmo, debemos ir reduciendo

progresivamente k dividiéndolo sucesivamente por 2 y k-ordenando los sub-arreglos que nos salgan (recuerda que

nos salen k sub-arreglo). Cuando lleguemos a k=1 habremos terminado.

Pero de momento, nuestra k valía 5, así que ahora

k←k/2=5/2=2

Nuestra nueva k vale 2. Repetimos todo el tinglado, pero ahora nos saldrán 2 sub-arreglo cuyos elementos están

separados por 2 lugares.


El primero (en marrón) y el segundo (en verde):30, 11, 21, 44, 38, 74, 14, 78, 65, 88, 97Ahora, cada número está mucho más cerca de su

posición definitiva... El arreglo está 2-ordenado... pero sigue también 5-ordenado. No hemos perdido el trabajo que hicimos cuando k era 5.

Finalmente, calculamos un nuevo k dividiendo el que

tenemos entre 2. k k/2=2/2=1←Hemos llegado a k=1. Cuando k es 1 sólo podemos

obtener 1 sub-arreglo cuyos elementos están separados 1 posición: el propio arreglo original. Dicho de otra manera... cuando k es 1, el algoritmo de Shell se comporta exactamente igual que el de inserción directa sobre todo el arreglo.


Sin embargo, las k-ordenaciones que hemos hecho (con k=5 y k=2) han hecho que cada elemento se aproximase con saltos de 5

y luego de 2 posiciones hacia su ubicación definitiva. Ahora que k=1 y que vamos a aplicar el algoritmo de inserción directa tal

cual, haremos muchas menos comparaciones e intercambios que si lo hubiéramos aplicado con en arreglo tal como lo teníamos al

empezar. El algoritmo de inserción directa se comporta tanto mejor cuanto más cerca está cada elemento de su sitio definitivo.

Finalmente, el arreglo queda de ésta manera:

11, 14, 21, 30, 38, 44, 65, 74, 78, 88, 97

Cada elemento descolocado ha tenido que moverse pocos lugares. Muchos de ellos ni siquiera se han movido.

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