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[email protected]

Unidad 5

Interacción electromagnética

Campo magnético

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Campo magnéticoEn Magnesia existía un mineral que tenía la propiedad de atraer, sin frotar, materiales de hierro, los griegos la llamaron “piedra magnesiana”. Pierre de Maricourt (1269) da forma esférica a un imán y observa que pequeñas agujas se orientan según determinada dirección en cada punto. Surgen los términos polo norte (parte del imán que se orienta al polo norte) y polo sur (parte del imán que se orienta al polo sur). Dos polos iguales se repelen, mientras que dos polos distintos se atraen. William Gilbert (1600) postuló que la Tierra es un potente imán esférico. Las brújulas se orientan hacia los polos magnéticos terrestres. Los polos magnéticos no coinciden con los geográficos. A la desviación de la dirección de la brújula con respecto al meridiano se le llama declinación magnética.

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Campo magnéticoLa región del espacio, cuyas propiedades (magnéticas) son alteradas por la presencia de un imán se denomina campo magnético, cuyas características principales son:❖ La magnitud que representa al campo magnético es el vector

inducción magnética, , y representa la intensidad del campo en un punto.

❖ Su representación se realiza mediante las líneas de fuerza, que son cerradas, saliendo por el polo norte y entrando por el polo sur.

❖ La intensidad de la atracción o repulsión entre polos magnéticos varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia.

~B

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Una corriente eléctrica (partículas cargadas en movimiento) produce un campo magnético.

Campo magnéticoH.C. Oersted (1820) descubrió el origen del electromagnetismo al comprobar que una corriente eléctrica era capaz de orientar una brújula. Así:

A.M. Ampère comprobó que entre dos conductores con corriente aparecen atracciones y repulsiones de tipo magnético.

J.B. Biot y F. Savart formularon el campo magnético producido por una corriente cualquiera.

M. Faraday y J. Henry demostraron que un campo magnético variable produce una corriente eléctrica.

J.C. Maxwell comprobó el efecto contrario: un campo eléctrico variable genera un campo magnético.

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Campo magnético

Los imanes y las corrientes eléctricas constituyen fuentes generadoras de campos magnéticos.

Los campos magnéticos son producidos por partículas cargadas en movimiento.

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Campo magnéticoEn una región del espacio existe un campo magnético si al colocar en él una carga en movimiento (testigo) aparece sobre ella una fuerza cuyas características son: ★ Es proporcional al valor de la carga y al de la velocidad de la

partícula. Si la carga se mueve en la dirección del campo no actúa fuerza.

★ Si la carga entra perpendicularmente al campo, la fuerza que actúa sobre la carga es máxima, y además es perpendicular a la velocidad y al campo.

★ Si la carga incide oblicuamente al campo, aparece una fuerza perpendicular a la velocidad y al campo, y proporcional al seno del ángulo de incidencia.

★ Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es el opuesto.

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Campo magnético

En una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme se lanza una partícula cargada con velocidad , observándose que no se desvía de su trayectoria. ¿Cuál será la trayectoria al lanzar la partícula con una velocidad ? Representa dicha trayectoria en los casos de que la carga sea positiva y negativa.

~B ~v = v~ı

~v = v~|

Ejercicio

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Campo magnéticoSabiendo que tanto la fuerza como la velocidad y el campo magnético son magnitudes vectoriales, las características de la fuerza anterior responde a la expresión vectorial:

Expresión que se conoce como fuerza de Lorentz. La unidad de inducción del campo magnético es el tesla (T) en honor a Nikola Tesla, cuya definición es:

~F = q ~v ⇥ ~B cuyo módulo es: F = q v B sen ✓

B =Fmax

q v; 1T =

1N

1C · 1m/s

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Campo magnéticoEjercicio

Un electrón se acelera por la acción de una diferencia de potencial de 100 V y, posteriormente, penetra en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 2 T, perpendicular a la trayectoria del electrón. Calcula la velocidad del electrón a la entrada del campo magnético. Halla el radio de la trayectoria que recorre el electrón en el interior del campo magnético y el periodo del movimiento.

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Campo magnéticoSi una partícula cargada entra en una región en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético, en virtud del principio de superposición, la fuerza de Lorentz a la que estará sometida será:

dirección del campo eléctrico

perpendicular al campo magnético

~F = ~Fe + ~Fm = q ~E + q ~v ⇥ ~B = q( ~E + ~v ⇥ ~B)

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Campo magnético

Un haz de protones y otro de electrones son lanzados en la misma dirección y sentido. En ambos casos se observa que las partículas se desplazan con movimiento rectilíneo y uniforme.¿Podemos asegurar que en dicha región no existe campo magnético? ¿Y campo eléctrico?

Ejercicio

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Campo magnético

X

Y

Z

B

I dl

dF

Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica

Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento a través de un conductor.

Una característica de la corriente eléctrica es la intensidad de corriente, I, que se interpreta como la rapidez con que circula la carga por el conductor:

I =dq

dt) dq = I dt dt =

d~l

~vdq = I

d~l

~v

La fuerza que ejercerá el campo magnético sobre la carga contenida en el segmento dl será:

d~F = dq ~v ⇥ ~B = Id~l

~v~v ⇥ ~B ) d~F = I d~l ⇥ ~B

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Campo magnéticoSi un conductor cualquiera de longitud total L se encuentra en el interior de un campo magnético, B, la fuerza que el campo ejerce sobre dicho conductor vendrá dada por:

~F = I

Z

ld~l ⇥ ~B

Que para el caso de un conductor rectilíneo en el interior de un campo magnético uniforme (B constante), la expresión queda:

~F = I ~L⇥ ~B de módulo F = I LB sen ✓

Que nos permite definir también el tesla como:

B =Fmax

I L; 1T =

1N

1A · 1m

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Campo magnéticoEjercicioUn dispositivo para comprobar la acción de un campo magnético sobre un conductor por el que pasa una corriente eléctrica es la balanza denominada Cotton y que responde al esquema de la figura adjunta. Inicialmente la balanza se equilibra con el circuito abierto. Al cerrar el circuito se observa que hay que añadir una masa de 12 g en el platillo de las pesas para equilibrar la balanza cuando la varilla, que tiene una longitud de 10 cm, es recorrida por una intensidad de la corriente eléctrica de 2 A. Calcula el módulo del campo magnético.

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Campo magnéticoCampo magnético creado por una carga puntual

Una carga, q , que se mueve con una velocidad , produce a su alrededor un campo magnético, . Su valor en el punto P, cuya posición respecto de q está determinada por el vector , siendo su vector unitario, viene dado por la expresión:

~v~B

~r ~ur

~B =µ

4⇡· q ~v ⇥ ~r

r3=

µ

4⇡· q ~v ⇥ ~ur

r2

µ es una constante, característica del medio, denominada permeabilidad magnética del medio. Su valor en el vacío es: µ0 = 4⇡ · 10�7 N A�2

❖ Una carga eléctrica siempre crea un campo eléctrico; el magnético lo crea si está en movimiento.

❖ El campo eléctrico es central y las líneas de fuerza son radiales; el campo magnético no es central y sus líneas de fuerza son cerradas.

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Campo magnético

+q

v

r B

~B =µ

4⇡· q ~v ⇥ ~r

r3=

µ

4⇡· q ~v ⇥ ~ur

r2

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Campo magnético

Un elemento de corriente es un trozo infinitesimal de conductor por el que circula una corriente, I . En ese caso:

Campo magnético creado por un elemento de corriente

Donde es un vector tangente al hilo conductor y con el sentido de la corriente. En este caso, este elemento de corriente crea un campo magnético en el punto P de valor:

I · d~l = dq · ~v

d~l

d ~B =µ

4⇡· I d

~l ⇥ ~r

r3=

µ

4⇡· I d

~l ⇥ ~ur

r2

~B =µ

4⇡

Z

l

I d~l ⇥ ~r

r3=

µ

4⇡

Z

l

I d~l ⇥ ~ur

r2

E integrando para todo el conductor:

Ley de Biot y Savart

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Campo magnético

d~l

I

~rP

d ~B

d ~B =µ

4⇡· I d

~l ⇥ ~r

r3=

µ

4⇡· I d

~l ⇥ ~ur

r2

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Campo magnético

Las líneas de campo son circunferencias concéntricas con el conductor y perpendiculares a él, siendo el vector campo tangente a ellas (se obtiene aplicando la regla de la mano derecha).

Aplicando la ley de Biot y Savart a un conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I , obtenemos que el módulo del campo magnético, , a una distancia r de él es:~B

B =µ I

2⇡ r

Campo magnético creado por una corriente rectilínea

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Campo magnéticoEjercicio

Por un hilo conductor indefinido y rectilíneo contenido en el plano YZ vertical circula una corriente hacia arriba de intensidad 0,5 A. Calcula y representa el vector campo magnético que crea en un punto, A, situado a la derecha del hilo y a una distancia de 2 m, indicando su módulo, dirección y sentido. Repite los cálculos la representación para otro punto, B, situado a la izquierda del hilo y a 3 m.

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Campo magnéticoCampo magnético creado por una espira

Aplicando la ley de Biot y Savart a un conductor con forma de espira circular de radio R, el módulo del campo magnético en el centro de la espira es:

B =µ I

2R

La dirección del campo es perpendicular al plano de la espira, y el sentido se obtiene aplicando la regla de la mano derecha. Las líneas de campo salen por una cara de la espira, que, a semejanza de un imán, se llama cara norte, y entran por la otra cara, que será la cara sur.

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Campo magnéticoEjercicioCalcula y representa el vector campo magnético que crea en su centro una espira circular de 10 cm de radio por la que circula una intensidad de corriente de 2 A. Supón que la espira está situada en el plano XZ y que la corriente circula en el sentido de las agujas del reloj mirando la espira desde la parte positiva del eje OY.

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Campo magnético

Recordando: el campo eléctrico es conservativo y en consecuencia, la circulación del vector campo eléctrico a lo largo de un línea cerrada es nula.

Ley de Ampère

I~E · d~r = 0

Pero la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada no es nula, sino que viene dada por la ley de Ampère:

Como consecuencia de ello, el campo magnético NO es conservativo y por tanto no se puede definir un potencial magnético.

El teorema de Ampère permite, por otra parte, calcular de forma sencilla el campo magnético producido por corrientes eléctricas.

I~B · d~r = µ0 I

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Campo magnéticoCampo magnético creado por un solenoide

Una aplicación del teorema de Ampère es el cálculo del campo en el interior de un solenoide: un solenoide es un conductor arrollado en espiral y tiene la particularidad de que el campo en su interior es prácticamente uniforme. El campo en el interior de un solenoide vale:

B =µN I

l= µn I

Donde n es el número de espiras por unidad de longitud (N/l)

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Campo magnéticoEjercicio

Se dispone de un solenoide de 20 cm de longitud que tiene 600 espiras y un núcleo de hierro (µhierro = 1000 µ0). Halla:a) El valor de la intensidad de la corriente necesaria para generar un campo

magnético de 0,5 T en su interior.b) El valor del campo magnético si se mantiene el valor hallado para la

corriente pero se saca el núcleo de hierro del solenoide.

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Z

XX

Z

Y

Campo magnético

I2I1

d

B1

B2

F1,2F2,1

21

d

F1,2F2,1 21

B1

B2

B1 =µ0 I12⇡ d

B2 =µ0 I22⇡ d

F1,2 = I2 L2 B1 = I2 L2µ0 I12⇡ d

F2,1 = I1 L1 B2 = I1 L1µ0 I22⇡ d

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Campo magnético

Dos conductores paralelos por los que circulan corrientes en el mismo sentido se atraen, y si tienen distinto sentido se repelen. En ambos casos, la fuerza que actúa por unidad de longitud sobre cada conductor vale:

El amperio

F

L=

µ0 I1 I22⇡ d

Si I1 = I2 = 1 A; d = 1 m; como µ0 = 4!·10-7 N/A2 F

L= 2 · 10�7 N m�1

Un amperio es la intensidad de corriente que, circulando por dos conductores paralelos separados entre sí por una distancia de 1 m en el vacío, produce sobre cada unos de ellos una fuerza de 2·10-7 N por cada metro de longitud de conductor.

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Campo magnéticoEjercicioDos alambres conductores paralelos y lo suficientemente largos están separados por una distancia de 0,3 m y están recorridos por sendas corrientes con intensidades de sentidos contrarios de 160 A. Determina la fuerza con la que interaccionan los alambres por cada metro de longitud y justifica si es atractiva o repulsiva mediante los diagramas oportunos.

Fin

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Campo magnéticoLey de AmpèreSupongamos que la trayectoria cerrada es una circunferencia perpendicular a un hilo rectilíneo por el que circula una corriente I, y concéntrica con él.Los vectores y son paralelos en cada punto, el valor de B a unadistancia R del hilo es:

y el valor de R es constante para todos los puntos del recorrido:

~B d~r

La circulación del vector a lo largo de una curva cerrada es igual al producto de µ0 por la intensidad de corriente que atraviesa dicha curva. En el caso de que haya más de una intensidad de corriente que atraviese la curva cerrada, se suman todas las intensidades y la expresión anterior se refiere a la intensidad total. volver

B =µ0I

2⇡R

I~B · d~r =

IB · dr · cos 0o =

Iµ0

I

2⇡R· dr =

µ0

I

2⇡R

Idr =

µ0

I

2⇡R· 2⇡R = µ

0

I