Jordi Villanueva - mat-web.upc.edu · de criteris son per a s´ eries de termes positius. Per aix` o, el primer que` ... La idea practica d’aquest criteri de comparaci` o´ es discutir

Series

Jordi Villanueva

Departament de Matematica Aplicada IUniversitat Politecnica de Catalunya

23 de novembre de 2015

Jordi Villanueva (MA1) Series 23 de novembre de 2015 1 / 1

Series numeriques

De forma informal, una serie numerica es una suma infinita.

Definicio (Serie numerica)Donada una successio (an)n construım una nova successio (Sn)ndefinida per les sumes parcials de (an)n :

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, . . .

El terme general de (Sn)n es SN = a1 + a2 + · · ·+ aN =N∑

n=1

an.

Aleshores, si ∃S = limn→∞

Sn , direm que la serie∞∑

n=1

an es convergent i

escriurem∞∑

n=1

an = S com la suma de la serie.

Si (Sn)n es divergent, direm que la serie∑∞

n=1 an es divergent.


Observacio (Fonamental)

Es condicio necessaria per tal que la serie∞∑

n=1

an pugui ser

convergent que limn→∞

an = 0 .

Si limn→∞

an 6= 0 llavors es segur que la serie∞∑

n=1

an es divergent.

Hi ha pero exemples en els quals limn→∞

an = 0 pero la serie∞∑

n=1

an

es divergent. L’exemple basic es an =1n

:

limn→∞

1n= 0 (lımit zero)

∞∑n=1

1n= +∞ (serie divergent)


Exemple (Serie geometrica de rao r : an = r n )

Si volem que∞∑

n=0

rn sigui convergent cal que |r | < 1 ja que

altrament limn→∞

rn 6= 0 .

Les sumes parcials de la successio an = rn son:

SN =N∑

n=0

rn = 1 + r + r2 + · · ·+ rN =1− rN+1

1− r, si r 6= 1.

Si fem N →∞ en SN obtenim:

∞∑n=0

rn =

1

1− r, si |r | < 1

divergent, si |r | ≥ 1

P. ex.: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·+ 1/2n + · · · = 11− (1/2)

= 2.


Exemple (Series telescopiques)Son aquelles en que an = bn − bn+1 . Llavors:

Sn =N∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + aN

= (b1 −��b2) + (��b2 −��b3) + (��b3 −��b4) + · · ·+ (��bn − bN+1)

= b1 − bN+1.

Per tant, si limn→∞

bn = 0 , llavors la serie telescopica es convergent i

∞∑n=1

(bn − bn+1) = b1.

P. ex., si bn = 1n i an = bn − bn+1 = 1

n −1

n+1 :

∞∑n=1

(1n− 1

n + 1

)=

(11− 1

2

)+

(12− 1

3

)+

(13− 1

4

)+ · · · = b1 = 1.


Criteris de convergencia per series

Rarament podem donar el valor de la suma d’una serie. En general,ens conformem en dir si la serie es convergent o divergent. La majoriade criteris son per a series de termes positius. Per aixo, el primer quefem es introduır el concepte de serie absolutament convergent.

Definicio (Series absolutament convergents)∑∞n=1 an es absolutament convergent si

∑∞n=1 |an| es convergent.

ProposicioTota serie absolutament convergent es convergent. Aixo es:∑∞

n=1 |an| convergent =⇒∑∞

n=1 an convergent.

Atencio: Hi ha series convergents que no son absolut. convergents.

Exemple (Serie convergent no absolutament convergent)∑∞n=1

(−1)n

n es convergent pero∑∞

n=1

∣∣∣ (−1)n

n

∣∣∣ =∑∞n=11n es divergent.


Criteri (integral per series)Sigui an = f (n) on f (x) es una funcio contınua, positiva i decreixentper a tot x ≥ 1 . Aleshores:

S =∞∑

n=1

an es convergent ⇐⇒ I =∫ ∞

1f (x)dx es convergent (∗)

A mes, es compleix I ≤ S ≤ a1 + I .Aixı, la convergencia de la serie equival a la d’una integral impropia.(L’equivalencia (∗) tambe val si f (x) decreix d’un x en endavant.)

Exemple (Series harmoniques)

La serie harmonica S(p) =∑∞

n=11np convergeix ⇐⇒ p > 1 .

En efete, an = 1np = f (n) on f (x) =

1xp contınua, positiva i decreixent.

Llavors, sabem que la integral impropia I(p) =∫∞

1dxxp es convergent

sıı p > 1 i val I(p) = 1p−1 . Aixı, 1

p−1 ≤ S(p) ≤ 1 + 1p−1 = p

p−1 .


Criteri (de comparacio directa)Siguin (an)n i (bn)n dues successions tals que 0 ≤ an ≤ bn. Llavors:

(i)∑∞

n=1 an divergent =⇒∑∞

n=1 bn divergent.

(ii)∑∞

n=1 bn convergent =⇒∑∞

n=1 an convergent.

Exemple (Criteri de comparacio directa)∑∞n=1

1n+2n es convergent ja que

∑∞n=1

1n+2n ≤

∑∞n=1

12n i la serie

geometrica de rao 12 es convergent.∑∞

n=11

n+√

n es divergent ja que∑∞

n=11

n+√

n ≥∑∞

n=11

2n i la serie

harmonica∑∞

n=11n es divergent.

Aquı usem que:

√n ≤ n =⇒ n +

√n ≤ 2n =⇒ 1

n +√

n≥ 1

2n


Criteri (de comparacio per pas al lımit)Siguin (an)n i (bn)n dues successions tal que an, bn > 0 . Llavors:

(i) Si limn→∞

an

bn= L ∈ R \ {0} aleshores:∑∞

n=1 an convergent sıı∑∞

n=1 bn convergent.

(ii) Si limn→∞

an

bn= 0 aleshores:∑∞

n=1 bn convergent =⇒∑∞

n=1 an convergent

(iii) Si limn→∞

an

bn= +∞ aleshores:∑∞

n=1 bn divergent =⇒∑∞

n=1 an divergent.

La idea practica d’aquest criteri de comparacio es discutir laconvergencia o no de la serie

∑∞n=1 an a partir d’una serie

∑∞n=1 bn

“semblant” pero de la que sabem a priori si es convergent o no.Cas (i) an i bn son “comparables”.Cas (ii) bn es “mes gran” que an .Cas (iii) bn es “mes petita” que an .


Exemple (Criteri de comparacio per pas al lımit)∑∞n=1

√n+ 3√nn+n2 es comparable a

∑∞n=1

√n

n2 =∑∞

n=11

n3/2 que es

convergent ja que 3/2 > 1 =⇒∑∞

n=1

√n+ 3√nn+n2 es convergent.∑∞

n=1n2n

4n3+1 es comparable a∑∞

n=1n2n

4n3 =∑∞

n=12n

4n2 =∑∞

n=1 bnque es divergent ja que la successio (bn)n no te lımit zero:

limn→∞

bn = limn→∞

2n

4n2 = limx→+∞

2x

4x2 = +∞ (L’Hopital)

Per tant,∑∞

n=1n2n

4n3+1 es divergent.∑∞n=1

n3

n+2n es comparable a∑∞

n=1n3

2n =∑∞

n=1 bn on aralimn→∞ bn = 0 . . . i que podem dir de

∑∞n=1 bn ?


Criteri (del quocient)Suposem que (an)n compleix an 6= 0 per a tot n (pero no cal que ansigui positiva). Llavors:

(i) limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ < 1 =⇒∑∞

n=1 an absolutament convergent i per

tant convergent.

(ii) limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ > 1 =⇒∑∞

n=1 an divergent.

(iii) Si limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1 llavors no podem dir res. (Hem d’usar un altre

metode.)

En el criteri del quocient no comparem (an)n amb cap successio.Nomes mirem el lımit del quocient de dos termes consecutius.


Exemple (Criteri del quocient)∑∞n=1

n3

2n =∑∞

n=1 an es convergent ja que

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

(n+1)3

2n+1

n3

2n

= limn→∞

12

(n + 1

n

)3

=12< 1

∑∞n=1

n!2n =

∑∞n=1 an es divergent ja que

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

(n+1)!2n+1

n!2n

= limn→∞

n + 12

= +∞ > 1

No podem aplicar el criteri del quocient a∑∞

n=11np =

∑∞n=1 an :

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

1(n+1)p

1np

= limn→∞

(n

n + 1

)p

= 1

Pero hem vist “integrant” que es convergent sıı p > 1 .


Criteri (de l’arrel)

(i) limn→∞

n√|an| < 1 =⇒

∑∞n=1 an absolutament convergent i per

tant convergent.

(ii) limn→∞

n√|an| > 1 =⇒

∑∞n=1 an divergent.

(iii) limn→∞

n√|an| = 1 llavors no podem dir res.

Exemple (Criteri de l’arrel)∑∞n=1

2n

nn =∑∞

n=1 an es convergent ja que

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞

2n= 0 < 1


Definicio (Series alternades)Son aquelles en que el terme general “alterna” el seu signe:

∞∑n=1

(−1)nan o be∞∑

n=1

(−1)n+1an on an ≥ 0.

Teorema (Criteri de Leibnitz)Si la serie alternada

∑∞n=1(−1)nan compleix:

limn→∞

an = 0 (lımit zero) i an+1 ≤ an (es decreixent)

llavors es convergent (pero potser no absolutament convergent).A mes, si nomes sumem els seus primers termes, l’error que fem esmes petit que el primer terme que no sumem:

S =∞∑

n=1

(−1)nan =⇒

∣∣∣∣∣S −N∑

n=1

(−1)nan

∣∣∣∣∣ ≤ aN+1.


Exemple (Criteri de Leibnitz)∑∞n=1

(−1)n+1

n =∑∞

n=1(−1)n+1an , on an = 1n , es convergent pel

criteri de Leibnitz, ja que an es decreixent i te lımit zero.

En canvi,∑∞

n=1(−1)n+1

n no es absolutament convergent ja que∑∞n=1

1n es divergent.

Denotem per S =∑∞

n=1(−1)n+1

n el valor de la suma de la serie.Llavors, si sumem els seus 6 primers termes:

S6 =6∑

n=1

(−1)n+1

n=

11− 1

2+

13− 1

4+

15− 1

6' 0.6167,

l’error que fem es mes petit que a7 : |S − S6| ≤ a7 = 17 ' 0.143 .

De fet, es sap que S = ln(2) ' 0.6931 i per tant l’error real quefem si sumem 6 termes es: |S − S6| ' 0.0764 .


Comentari (Criteri de Leibnitz)El criteri de Leibnitz no val si la serie te termes positius i negatiuspero no es alternada. P. ex. la serie seguent no es alternada:

∞∑n=1

sin(n)n' 0.8415

1+

0.90932

+01411

3− 0.7567

4− 0.9589

5+ · · ·

El criteri de Leibnitz tampoc val si la serie es alternada pero an noes una successio decreixent. P. ex., la serie seguent es divergent:

11− 1

2+

12− 1

4+

13− 1

8+ · · ·+ 1

n− 1

2n + · · ·

ja que la seva “part positiva” es una serie divergent i la seva “partnegativa” es una serie convergent:

∞∑n=1

1n= +∞,

∞∑n=1

12n = 1


Series de potencies

De forma informal, una serie de potencies es una suma infinita depotencies de x o de x − c , depenent de si el punt on esta centradaes c = 0 o c 6= 0 .

Definicio (Serie de potencies)Una serie de potencies centrada en c ∈ R es una serie de la forma

∞∑n=0

an(x − c)n = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + · · ·+ an(x − c)n + · · ·

on els coeficients {a0,a1, . . . ,an, . . .} son nombres reals.En el cas particular en que c = 0 tenim

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn + · · ·


Teorema (Convergencia d’una serie de potencies)Donada la serie de potencies

∑∞n=0 an(x − c)n llavors existeix un valor

R ∈ [0,+∞] tal que:1 La serie es absolutament convergent (i per tant convergent) sıı|x − c| < R ⇐⇒ x ∈ (c − R, c + R) .

2 La serie es divergent si |x − c| > R ⇐⇒ x /∈ [c − R, c + R] .

R s’anomena el radi de convergencia de la serie.

Comentari (Radi de convergencia)Si R = 0 llavors la serie de potencies nomes convergeix si x = c .Si R = +∞ llavors la serie de potencies convergeix ∀x ∈ R .Si R 6= 0 es finit, la serie de potencies convergeix absolutamenten l’interior d’un interval de radi R centrat en el punt c .El que succeeix en els extrems de l’interval, quan x = c − R ox = c + R , depen de cada cas.En alguns casos la serie convergeix en els dos extrems; end’altres nomes en un extrem; en d’altres en cap dels dos extrems.


Teorema (Propietats de les series de potencies)Sigui f (x) =

∑∞n=0 an(x − c)n una funcio definida per la suma d’una

serie de potencies de radi R ∈ (0,+∞] . Llavors, f (x) es infinits copsderivable ∀x ∈ (c − R, c + R) (i per tant tambe contınua i integrable).Les derivades i integrals de f (x) es poden calcular derivant i integrantla serie terme a terme:

f ′(x) =∞∑

n=1

n · an(x − c)n−1 =∞∑

n=0

(n + 1) · an+1(x − c)n,

∫f (x)dx = C +

∞∑n=0

an

n + 1(x − c)n+1 = C +

∞∑n=1

an−1

n(x − c)n.

Les series resultants tenen el mateix radi de convergencia R .Si f (x) convergeix en algun dels extrems de l’interval deconvergencia, x = c − R o x = c + R , llavors

∫f (x)dx tambe

convergeix pero pot ser que f ′(x) no convergeixi (depen del cas).


Series de Taylor

Una serie de potencies defineix una funcio. Donada una funcio, enspodem plantejar quina es la serie de potencies que la defineix.

Definicio (Series de Taylor i de MacLaurin)Sigui f (x) una funcio infints cops derivable en x = c . Llavors, la sevaserie de Taylor en el punt x = c es:

∞∑n=0

f (n)(c)n!

(x − c)n = f (c) +f ′(c)

1!(x − c) +

f′′(c)2!

(x − c)2 + · · ·

Si c = 0 la serie de Taylor s’anomena serie de MacLaurin.

La serie de Taylor es una serie de potencies on an = f (n)(c)n! .

Recordem que n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1 es “ n factorial”.


Comentari (Relacio entre f (x) i la seva serie de Taylor)Si R > 0 es el radi de convergencia de la serie de Taylor de f (x)en x = c llavors

∑∞n=0

f (n)(c)n! (x − c)n es absolutament convergent

si |x − c| < R ⇐⇒ x ∈ (c −R, c + R) i defineix una certa funcio:

g(x) =∞∑

n=0

f (n)(c)n!

(x − c)n ∀x ∈ (c − R, c + R).

No es sempre necessariament cert que la funcio g(x) definidaper la suma de la serie de Taylor coincideixi amb f (x) .Ara be, si f (x) es una funcio elemental, llavors sı que es cert que

f (x) =∞∑

n=0

f (n)(c)n!

(x − c)n ∀x ∈ (c − R, c + R).

(Aquesta igualtat s’exten a x = c ± R si la serie de potencies esconvergent en els extrems de l’interval.)


Teorema (Exemples basics de series de MacLaurin)

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 +

x1!

+x2

2!+

x3

3!+ · · · , ∀x ∈ R

ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1 xn

n= x − x2

2+

x3

3− · · · , ∀x ∈ (−1,1]

sin x =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!= x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · , ∀x ∈ R

cos x =∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · · , ∀x ∈ R

11− x

=∞∑

n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · , ∀x ∈ (−1,1)

arctan(x) =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

2n + 1= x − x3

3+

x5

5+ · · · , ∀x ∈ [−1,1]


Teorema (La serie binomial)Si α ∈ R llavors:

(1 + x)α =∞∑

n=0

(α

n

)xn = 1 + αx +

α(α− 1)2!

x2 + · · · , ∀x ∈ (−1,1).

on els “nombres combinatoris generalitzats” es defineixen per

(α

n

)=

n termes︷︸︸︷α · (α− 1) · (α− 2) · · · (α− n + 1)

n!.

En el cas α = m ∈ N obtenim la formula del binomi de Newton:

(1 + x)m = 1 +

(m1

)x +

(m2

)x2 +

(m3

)x3 + · · ·+

(mm

)xm,

on els nombre combinatoris son ara els usuals.


Documents

Jordi Villanueva - mat-web.upc.edu · de criteris son per a s´ eries de termes positius. Per aix` o, el primer que` ... La idea practica d’aquest criteri de comparaci` o´ es discutir