JOSÉ MANUEL REYES BRITO

JOSÉMANUELREYESBRITO

UNIVERSIDADESDEANDALUCÍAPRUEBADEACCESOALAUNIVERSIDAD

MATEMÁTICASII

Instrucciones: a)Duración:1horay30minutos.b)TienesqueelegirentrerealizarúnicamenteloscuatroejerciciosdelaOpciónAorealizarúnicamenteloscuatroejerciciosdelaOpciónB.c)Lapuntuacióndecadapreguntaestáindicadaenlamisma.d)Contestadeformarazonadayescribeordenadamenteyconletraclara.e)Sepermitiráelusodecalculadorasquenoseanprogramables,gráficasniconcapacidadparaalmacenarotransmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estarsuficientementejustificados.

1

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Calculaelvalordelaintegral

2

1 2

23

dx6xx

3x12xx2

Ejercicio2.‐Consideralacurvadeecuacióny=x22x+3. (1)[1,5puntos].Hallaunarectaqueseatangenteadichacurvayqueformeunángulode45ºconelejedeabscisas.(2) [1punto] ¿Hayalgúnpuntode la curvaenelque la recta tangenteseahorizontal?Encasoafirmativo,hallalaecuacióndedicharectatangente;encasonegativo,explicaporqué.Ejercicio3.‐[2,5puntos].Pruebaquetodoslosplanosdelafamilia

(3+)x+(3)y+(52)z=(con ) contienen una misma recta y halla unas ecuacionesparamétricasdedicharecta.

Ejercicio4.‐ConsideralamatrizA=

101010

(1)[1punto].CalculaAtAyAAtdondeAtdenotalamatriztraspuestadeA.(2)[1,5puntos].SiendoXunamatrizcolumna,discutey,ensucaso,resuelve

laecuaciónmatricialAAtX=X,segúnlosvaloresdelparámetroreal.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ (1) [1 punto]. Halla las asíntotas de la gráfica de la funcióndefinidaparax>0por

xx)x(f21

(2) [1 punto]. Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de findicandosusmáximosymínimoslocalesyglobalessiloshay.(3)[0,5puntos].Esbozalagráficadef.Ejercicio2.‐ [2,5puntos].Encuentra la funciónderivable f: [–1,1] quecumplef(1)=–1y

1010122

xsiexsixx)x(f x

Ejercicio3.‐[2,5puntos].Clasificaelsiguientesistemadeecuacionessegúnlosvaloresdelparámetro,

211

11

zyxzyxzyx

Ejercicio 4.‐ (1) [1,75 puntos]. Halla la ecuación de la circunferencia cuyocentroeselpuntoC(3,2)yunadecuyasrectastangentestienedeecuación4x–3y–5=0.(2)[0,75puntos].DeterminasielpuntoX=(3,3)es interior,esexterioroestáenlacircunferencia.

199?‐ 1


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Enunterrenollanosedeseaacotarunaparcelarectangularusando80mde telametálicaparavallarla,perodejandoenunodesus ladosunaaberturade20msinvallartalcomosemuestraenlafigura:

Hallalasdimensionesdelaparcelarectangulardeáreamáximaquepuedeacotarsedeesamanerayelvalordedichaárea.Ejercicio 2.‐ Las coordenadas (a, b) del centro de gravedad de una lámina dedensidaduniformequeestálimitadaporlacurvay=sen(x)ylaporcióndelejeOXcomprendidaentrex=0yx= ,vienedadapor:

2

(1)[1punto]Describeelmétododeintegraciónporpartes.(2) [1,5 puntos] Utiliza dicho método para calcular el centro de gravedad de la

láminasabiendoque

Ejercicio3.‐[2,5puntos].Delsistemadedosecuacionescondosincógnitas1 0

0

sesabequex=1,y=2esunasoluciónyquex=7,y=3esotrasolución.¿Quépuedeafirmarserespectodelassolucionesdelsistema?,¿cuántastiene?,¿cuálesson?Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA=(2,1,2)yB=(1,1,2).(1) [1 punto]. Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tressegmentosiguales.

(2)[1,5puntos].EncuentraunpuntoCsobrelarecta ≡ deformaqueeltriánguloABCsearectánguloenC.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos].Setomaunacuerdade5metrosdelongitudyseunenlosextremos.Entoncespodemosconstruirconellauntriánguloisóscelesdediferentesmedidas.Calcula,demanerarazonada,lasmedidasdelquetienemayorárea.Ejercicio2.‐[2,5puntos].Lasgráficas(a),(b)y(c)corresponden,respectivamente,atresfuncionesderivablesf,gyh.¿Podríanrepresentarlasgráficas(r),(s)o(t)alasgráficasdef’,g’oh’(nonecesariamenteeneseorden)?Justificalarespuestaencadacaso.

Ejercicio3.‐UnpuntoMsemueveenelespaciotridimensionaldemaneraqueenuninstantedetiempotseencuentraenelpunto(1+t,3+t,6+2t).(1)[0,5puntos].¿Esestatrayectoriaunalínearecta?Siesasí,escribesusecuacionesdedosformasdistintas.(2)[1punto]Hallaelinstantedetiempoenelqueelpuntoestáenelplanodadoporlaecuaciónx–2y+z–7=0.(3) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a latrayectoriadeMypasaporelpunto(1,1,0).Ejercicio4.‐(1)[1punto]SeanAyBdosmatricescuadradasdelmismoordenquetieneninversa.RazonasisuproductoA·Btambiéntieneinversa.

(2)[1,5puntos]DadaslasmatricesC= 1 0 20 1 1 ,D=

1 01 11 1

,determinasiC·D

tieneinversay,ensucaso,hállala.

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MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐Sea : 0, ∞ → lafunciónlogaritmoneperiano,f(x)=Ln(x)(1) [1punto].Pruebaque la funciónderivada f ’ esdecrecienteen todosudominio.(2)[1,5puntos].Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodelafunción : 0, ∞ → dadaporg(x)=f(x)/x.Ejercicio2.‐[2,5puntos].Dibujaycalculaeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdelasfunciones , : → dadasporf(x)=x2,g(x)=x3−2x.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos]. Determina y representa el lugar geométricoformado por los puntos P(x, y) del plano que verifican la siguientepropiedad: El triángulo PAB cuyos vértices sonP,A(2, 0) yB(2, 0) es untriángulorectánguloconángulorectoenP.Ejercicio4.‐LamatrizcuadradaXdeorden3verificalarelación

2 4 70 2 40 0 2

(1)[1punto].Determina,siesposible,elrangodeX.(2)[1,5puntos]¿VerificaalgunadelasmatricesAyBsiguienteslarelacióndelenunciado?

1 1 10 0 10 0 1

1 1 10 1 10 0 1

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ La función derivada de una función derivable : → vienedadaporlagráficadelafigura.Además,sesabequef(1)=9/2.(1)[2puntos].Determinaunaexpresiónalgebraicadef.(2)[0,5puntos].Calculalim → .

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos].Calcula una primitiva de la función : → definidaporf(x)=2x2sen(x)cuyagráficapaseporelorigendecoordenadas.Ejercicio3.‐Seaelsistemadeecuaciones

1 01 1

(1)[1,5puntos]Estudiasucomportamientosegúnlosvaloresdelparámetrom.(2)[1punto].Resuélveloparam=2.Ejercicio 4.‐ (1) [2 puntos]. ¿Cuál es el punto P de la recta r dada por 2 12 4 1queestámáscercadelpuntoA=(2,3,1).

(2)[0,5puntos].HallaeláreadeltriángulocuyosvérticessonA,PyB(1,0,0).

199?‐ 3


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea la función : → definidapor 0 0

(1)[1punto]Estudialaderivabilidaddef. (2) [1,5 puntos] Calcula

2 Ejercicio2.‐Seakunnúmerorealysea : → lafuncióndefinidapor

f(x)=cos(x)+kx.(1) [1,25puntos].Determinatodos losvaloresdekpara losque la funciónanteriorescrecienteentodosudominio.(2)[1,25puntos].Parak=1hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadelafunciónfenelpuntodeabscisax=0.Ejercicio3.‐Seaelplanoquepasaporlospuntos(1,0,0),(0,1,1)y(1,1,1).SeaAelpunto(1,2,3)yseaBelsimétricodeArespectodelplano.(1)[1,5puntos].HallalarectaquepasaporAyporelpuntomediodeAB.(2)[1punto]Hallalarectaparalelaalaanteriorquepasaporelpunto(2,2,2).

Ejercicio4.‐[2,5puntos].SeaAlamatrizdadaporA=1 3 72

Hallaa,b,cydsabiendoque:(i)ElvectorcuyascoordenadassonlasqueaparecenenlaprimeracolumnadeAesortogonalalvector(1,–1,1)(ii)ElproductovectorialdelvectorcuyascoordenadassonlasdelaterceracolumnadeAporelvector(1,0,1)eselvector(–2,3,2).(iii)ElrangodelamatrizAes2.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] De entre todos los rectángulos inscritos, comoindicalafigura,entrelagráficadelafunción : → dadapor yelejeOX,hallaeldemayorárea.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Dibujaycalculaeláreadelrecintolimitadoporlarectay+x=0ylacurvadeecuacióny=x2+4x+4.Ejercicio3.‐ (1) [1,5puntos]Discuteel siguiente sistemasegún losvaloresdelparámetrob.

3

3

(2)[1punto]Resuélvelocuandoseacompatibleindeterminado.Ejercicio4.‐Unobjetosemueveenelespaciosiguiendounalínearectacuyadirección vienedadapor el vector v = (1, 2, –1). En sumovimiento, dichoobjetopasaporelpuntoA=(2,1,2).(1)[1punto]Calculalospuntosdecortedelatrayectoriadelobjetoconlosplanoscoordenados.(2) [0,75 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen decoordenadasyesperpendicularadichatrayectoria.(3)[0,75puntos].¿CuáleselánguloqueformalatrayectoriadelobjetoconelplanoXOY?

199?‐ 4


MATEMÁTICASII


5

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Consideralafunción : 0, ∞ → dadapor ,dondeLn(x)esellogaritmoneperianodex.(1)[1,5puntos].Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientoasícomolosextremosrelativosdef.(2)[1puntos].CalculalarectatangentealagráficadefenelpuntodecortededichagráficaconelejeOX.Ejercicio2.‐[2,5puntos]DeterminaunaprimitivaFdelafunciónfdada(enlospuntosdondenoseanulaeldenominador)por talquelagráficadeFpaseporelpunto(2,Ln(8)).

Ejercicio3.‐Detodoslosplanosquecontienenlarecta ≡ 4 9 03 9 0.

(1)[1punto].DeterminaelquepasaporelpuntoP=(1,4,0).(2) [1,5 puntos] Determina uno que esté a 3 unidades de distancia delorigen,¿cuántassolucioneshay?Ejercicio4.‐[2,5puntos]Clasificaelsiguientesistemadeecuacioneslinealessegúnlosvaloresdelparámetrorealm.

5 4 2 02 3 04 1

OPCIÓNBEjercicio1.‐Consideralafunción : → definidaenlaformaf(x)=xe2x.(1)[1punto]Determinalosextremosrelativosdef(dondesealcanzaycuálessuvalor)

(2)[1,5puntos]Determinaelvalordelaintegral 1 Ejercicio2.‐[2,5puntos]Sedeseaconstruirunaventanacomolade la figura (en la que la parte superior es unasemicircunferencia) que tenga un perímetro de 6 m. ¿Quédimensionesdebetenerparaquesusuperficieseamáxima?Ejercicio3.‐(1)[1punto]Defineelconceptodeinversadeunamatrizcuadrada.(2) [0,75 puntos] Da algún criterio que permita decidir si una matrizcuadradaesinvertible.(3)[0,75puntos]¿EsinvertiblelamatrizAsiguiente?Justificalarespuesta.

1 0 12 1 30 1 1

Ejercicio 4.‐ Considera la recta r y el plano dados, en función de un

parámetroreala,por ≡ 1 02 2 0y3x–z=a

(1)[1,75puntos]Estudialaposiciónrelativadelarectayelplanosegúnlosvaloresdelparámetroa.(2)[0,75puntos].Paraa=1determinaelpuntodeinterseccióndelarectaconelplano.

199?‐ 5


MATEMÁTICASII


6

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos]. La función : → dada por

0 0esderivableenelpuntox=0.¿Cuántovalen

byc?(Nota:Ln(t)esellogaritmoneperianodet)Ejercicio2.‐[2,5puntos].Delasfuncionescontinuas , : → sesabe:

3; 3 3; 3; 2 3

Calcula,siesposible, y,sinoesposible,diporqué.Ejercicio 3.‐ Los puntos A = (1, 2) y B = (5, 6) son los extremos de undiámetrodeunacircunferencia. (1)[1,5puntos]Calculalaecuacióndelacircunferencia. (2)[1punto]HallalaecuacióndelarectatangentealacircunferenciaenelpuntoA.Ejercicio4.‐SedicequedosmatricesAyBsonsemejantescuandoexisteunamatrizinvertiblePtalqueAP=PB.

(1) [1,5 puntos] Prueba que lasmatrices A = 1 21 0 y B = 2 0

0 1 sonsemejantes.

(2)[1punto]Resuelvelossistemas: 1 21 0 2 y 1 2

1 0

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndadaporf(x)=2x3–5x2+2x.(1)[1,5puntos]Demuestraquelarectadeecuacióny=2x+1estangentealagráficadelafunciónyhallaelpuntodetangenciacorrespondiente.(2) [1 punto]. ¿Corta esta recta tangente a dicha gráfica en algún puntodistintoaldetangencia?Ejercicio 2.‐ La gráfica de la función f de la figuracorrespondeaunafunciónpolinómicadegrado2.(1) [1,5 puntos] Determina una expresión algebraicadelafunciónf.(2)[1punto]Calculaeláreadelaregiónsombreada.Ejercicio 3.‐ Un paralelogramo cuyo centro es M = (3/2, 3, 4) tiene porvérticeslospuntosA=(1,2,3)yB=(3,2,5).(1)[1punto].Hallalascoordenadasdelosotrosdosvértices.(2)[1punto].HallalaecuacióndelarectaquepasaporMyesperpendicularalplanoquecontienealparalelogramo.(3)[0,5puntos].Calculaeláreadelparalelogramo.Ejercicio4.‐SedicequeunamatrizAcuadradadeorden3esortogonalsisuinversaA–1 y su traspuestaAt coinciden.Dadounnúmero real x, seaB la

matriz B=00

0 0 1

(1)[1,5puntos]¿EsortogonallamatrizB? (2)[1punto]¿EsB2ortogonal?

1998‐ 6


MATEMÁTICASII


7

OPCIÓNAEjercicio1.‐Consideralafunción : → definidaenlaforma

f(x)=1+x|x|.(1)[1punto]Hallaladerivadadef.(2)[0,5puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.

(3)[1punto].Calcula .Ejercicio2.‐[2,5puntos]Delafunción : → definidaenlaformaf(x)=ax3+bx2+cx+dsesabequetieneunmáximorelativoenx=1,unpuntodeinflexiónen(0,0)yqueCalculaa,b,cyd.Ejercicio3.‐[2,5puntos].Hallaelpuntodelplanodeecuaciónx–z=3queestámáscercadelpuntoP=(3,1,4)asícomoladistanciaentreelpuntoPyelplanodado.

Ejercicio4.‐Considera lamatrizA= 2 33 0 4

dondea,bycsonno

nulos.(1)[1punto].DeterminaelnúmerodecolumnasdeAqueson linealmenteindependientes.(2)[1,5puntos].CalculaelrangodeAyrazonasidichamatriztieneinversa.

OPCIÓNBEjercicio1.‐(1)[1punto]Dibujalaregiónlimitadaporlacurvadeecuacióny=x(3–x)ylarectadeecuacióny=2x–2.(2)[1,5puntos]Hallaeláreadelaregióndescritaenelapartadoanterior.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos]. Dada la función : 1, → definida por

(dondeLn(x)esellogaritmoneperianodex),determinacuáldelasrectastangentesalagráficadeftienelamáximapendiente.Ejercicio3.‐Seanlosvectores: u=(–1,2,3), v=(2,5,–2), x=(4,1,3) yz=(4,1,–8)(1)[1punto].¿Sepuedeexpresarxcomocombinaciónlinealdeuyv?Siesasí,escribedichacombinaciónlineal;sinoesasí,explicaporqué.(2)[1punto].¿Sepuedeexpresarzcomocombinaciónlinealdeuyv?Siesasí,escribedichacombinaciónlineal;sinoesasí,explicaporqué.(3) [0,5 puntos]. ¿Son u, v y z linealmente independientes? Justifica larespuesta.Ejercicio4.‐

(1)[2puntos]CalculaunpuntoRdelarectasdadapor 5 03 7 0

queequidistedelospuntosP(1,0,1)yQ(2,1,1).(2)[0,5puntos]CalculaeláreadeltriángulodeterminadoporlospuntosP,QyR.

1999


MATEMÁTICASII


8

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ (a) [1 punto] Dibuja el recinto limitado por los semiejes decoordenadasylascurvas:y=x2+1,y=2/xey=x−1(b)[1,5puntos]Hallaeláreadelrecintoconsideradoenelapartadoanterior.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula a y b sabiendo que la función : →

definidapor5 2

2esderivable.

Ejercicio 3.‐ Sabiendo que 2, calcula los siguientes

determinantesyenuncialaspropiedadesqueutilices:

(a) [1punto]3 3 15

55

(b) [1,5puntos]222

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallaladistanciaentreelorigendecoordenadasylarectainterseccióndelosplanosdeecuacionesrespectivasx+y+2z=4y2x−y+z=2

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] De entre los rectángulos de 40 kilómetros deperímetro,calculalasdimensionesdelquetieneáreamáxima.

Ejercicio2.‐(a)[1punto]Dibujaelrecintolimitadoporlacurva ,larectatangenteaestacurvaenelpuntodeabscisax=1yelejedeabscisas.(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto considerado en el apartadoanterior.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico del(1,−3,7)respectodelarectadadaporlasecuaciones 1 3 .

Ejercicio4.‐Consideraelsistemadeecuaciones2 32 1

3 7 1

(a)[1punto]Hallatodoslosvaloresdelparámetroλparalosqueelsistemacorrespondientetieneinfinitassoluciones.(b) [1 punto] Resuelve el sistema para los valores de λ obtenidos en elapartadoanterior.(c)[0,5puntos]Discuteelsistemaparalosrestantesvaloresdeλ.

2000‐ 1


MATEMÁTICASII


9

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Consideralafunción : → definidapor

f(x)=2+x−x2.

Calculaα,α<2,deformaque

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

lim→

Ejercicio3.‐(a) [1,5 puntos] Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por lospuntos(0,2),(0,−2)y(−1,1).(b) [1punto]Determina losvaloresm talesque elpunto (3,m)esté en lacircunferenciadeterminadaen(a).Ejercicio4.‐Consideraelsistemadeecuaciones

3 2 5 14 2 32 3

(a) [1,75 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitassoluciones.(b)[0,75puntos]Resuelveelsistemaresultante.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Determina el valor de las constantes a, b y csabiendoquelagráficadelafunción : → definidapor

f(x)=x(ax2+bx+c)tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la rectatangentetieneporecuación10x+y+8=0.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula el valor de α, positivo, para que el áreaencerradaentrelacurvay=αx−x2yelejedeabscisassea36.Representalacurvaqueseobtieneparadichovalordeα.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Calcula el punto de la recta de ecuaciones

1 máscercanoalpuntoA=(1,1,1).

Ejercicio4.‐[2,5puntos]ConsideralamatrizA=1 0 10 34 1

(a)[1punto]DeterminaparaquévaloresdelparámetrobexisteA−1.(b)[1,5puntos]CalculaA−1parab=2.

2000‐ 2


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐(a)[1punto]Dibujaelrecintolimitadoporlascurvas

y=ex+2, y=e−x y x=0.(b)[1,5puntos]Hallaeláreadelrecintoconsideradoenelapartadoanterior.Ejercicio 2.‐ Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde undeterminado punto. La altura enmetros alcanzada al cabo de t segundos,vienedadaporh(t)=5−5t−5e−2t.(a)Calculaeltiempotranscurridohastaalcanzarlaalturamáximayelvalordeésta.(b) [1 punto] Teniendo en cuenta que la velocidad es v(t) = h’(t), halla lavelocidadalcabode2segundos.Ejercicio3.‐[2,5puntos]DeterminalaecuacióndelacircunferenciaquepasaporlospuntosA=(1,6)yB=(5,2)ytienesucentrosobrelarectay=2x.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Dadalamatriz 1 23 4 ,calcula

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Se dispone de 2880 € para vallar un terrenorectangularcolindanteconuncaminorecto.Sielpreciodelavallaquehadeponerseenel ladodelcaminoesde8€/myelde lavallade losrestanteslados es de 1 €/m, ¿cuáles son las dimensiones y el área del terrenorectangulardeáreamáximaquesepuedevallar?Ejercicio2.‐[2,5puntos]Determinaa,bycparaquelacurva sealasiguiente:

Ejercicio3.‐LospuntosA=(3,3,5)yB=(3,3,2)sonvérticesconsecutivosde un rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta deecuaciones . (a) [1,75 puntos] Determina elvérticeC. (b)[0,75puntos]DeterminaelvérticeD.

Ejercicio4.‐Consideralasmatrices1 2 1

1 00 1

; ;000(a)

[1punto]HallalosvaloresdeλparalosquelamatrizAnotieneinversa. (b)[1,5puntos]Tomandoλ=1,resuelveelsistemaAX=O.

2000‐ 3


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐Consideralafunción : → definidapor

0

0 0 (a)[1,5puntos]Calcularloslímiteslaterales

defenx=0.¿Esfcontinuaenx=0? (b) [1 punto] Calculaelvalordeladerivadadefenx=1.Ejercicio 2.‐ Considera la función : → definida por 1 . (a)[15puntos]Calcula . (b) [1 punto] Calcula unaprimitivadefcuyagráficapaseporelpunto(0,3).Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Halla las ecuaciones de la recta que se apoyaperpendicularmenteenlasrectasrysdefinidasrespectivamentepor:

1 212

41

13 2

Ejercicio4.‐Consideralasmatrices 3 24 3 , y 7

9 . (a)[0,75puntos]HallalosvaloresdexeytalesqueAX=U. (b) [0,75puntos]HallalamatrizA−1ycalculaA−1U. (c) [1 punto] Encuentra losposiblesvaloresdemparaque losvectores y sean linealmentedependientes.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Determina una función polinómica de grado 3sabiendoqueverificaquealcanzaunmáximoenx=1,quesugráficapasaporelpunto(1,1)yquelarectadeecuacióny=xestangenteasugráficaenelpuntodeabscisax=0.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calculalasiguienteintegraldefinida:

3

¿Quérepresentageométricamente?Ejercicio3.‐[2,5puntos]Calculaelvolumendeuncubosabiendoquedosdesuscarasestán,respectivamente,enlosplanos 2x−2y+z−1=0 y 2x−2y+z−5=0.

Ejercicio4.‐Consideraelsistemadeecuaciones1 11

2 3 (a)

[1 punto]Halla todos los posibles valores del parámetro λ para los que elsistemacorrespondientetienealmenosdossolucionesdistintas. (b) [1punto]Resuelve el sistemapara los valores de λ obtenidos en el apartadoanterior. (c) [0,5 puntos] Discute el sistema para losrestantesvaloresdeλ.

2000‐ 4


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Calculaelvalordelaintegral

5

Ejercicio2.‐Seaflafuncióndefinidaparax≠−2por

2

(a)[1punto]Hallalasasíntotasdelagráficadef. (b) [1 punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimiento,ylosextremoslocalesdef. (c)[0,5puntos]Teniendoencuentalosresultadosdelosapartadosanteriores,hazunesbozodelagráficadef.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos]Discute y resuelve el siguiente sistema según losvaloresdeλ:

000

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico delpuntoP=(1,2,−2)respectodelplanodeecuacion3x+2y+z−7=0.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ Se ha observado que en una carretera de salida de una granciudadlavelocidaddeloscochesentrelas2hylas6hdelatardevienedadaporv(t)=t3–15t2+72t+8parat∈[2,6] (a) [1,25puntos]¿Aquéhoracirculanloscochesconmayorvelocidad?Justificalarespuesta. (b) [1,25 puntos] ¿A qué hora circulan los coches con menorvelocidad?Justificalarespuesta.Ejercicio2.‐Consideralasfunciones , : → f(x)=6−x2,g(x)=|x|,x∈ (a)[1punto]Dibujaelrecintolimitadoporlasgráficasdefyg. (b) [1,5puntos]Calculaeláreadelrecintodescritoenelapartadoanterior.Ejercicio3.‐ResuelvelaecuaciónmatricialA2·X=2B,siendo

1 12 3 1 1 4

0 3 1

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Halla la ecuación del plano cuyo punto máspróximoalorigenes(−1,2,1).

2000‐ 5


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Sequieredividirlaregiónplanaencerradaentrelaparábolay=x2ylarectay=1endosregionesdeigualáreamedianteunarectay=a.Hallaelvalordea.Ejercicio2.‐Seaflafuncióndefinidaparax≠1por

21

(a)[1punto]Determinalasasíntotasdelagráficadef. (b) [1 punto]Determina los intervalosdecrecimientoydedecrecimientoy losextremosrelativosdef. (c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Delasmatrices:

1 23 4 ; 1 2 3

4 5 6 ; 1 13 3 ;

1 2 30 1 20 0 1

determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula eldeterminantededichasinversas.Ejercicio4.‐[2,5puntos]Determinaelcentroyelradiodelacircunferenciaquepasaporelorigendecoordenadas,tienesucentroenelsemiejepositivodeabscisasyestangentealarectadeecuaciónx+y=1.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor:

5 10 12 2 1

(a)[1punto]Esbozalagráficadef. (b)[1,5puntos]Calculaeláreadelaregiónlimitadaporlagráficadef,elejedeabscisasylarectax=3.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]SiendoLn(x)ellogaritmoneperianodex,calcula:

lim→ 1

1

Ejercicio3.‐Considera:1 2 30 2

1 2;

101

;

(a)[1punto]DeterminaelrangodeAenfuncióndelparámetroa. (b)[0,75puntos]Discute,enfuncióndea,elsistema,dadoenformamatricial,AX=B. (c)[0,75puntos]ResuelveAX=Benloscasosenqueseacompatibleindeterminado.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Consideralospuntos A(1,0,3), B(3,1,0), C(0,1,2)y D(a,b,1) HallaaybsabiendoquelarectaquepasaporAyBcortaperpendicularmentealarectaquepasaporCyD.

2001‐ 1


MATEMÁTICASII


14

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndadapor |8 |. (a) [1punto]Esbozalagráficay halla los extremos relativos de f (donde sealcanzanycuálessonsusrespectivosvalores) (b)[1,5puntos]Calculalospuntosdecortedelagráficadef conlarectatangentealamismaenelpuntodeabscisax=2.Ejercicio2.‐SiendoLn(x)el logaritmoneperianodex,considera la función: 0, ∞ → definidapor .Calcula: (a) [1,5puntos]

(b)[1punto]Unaprimitivadefcuyagráficapaseporelpunto(1,0).Ejercicio3.‐[2,5puntos]Sealamatriz:

001

¿Para qué valores de x existe lamatriz inversa deA? Calcula dichamatrizinversa.Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Halla laecuacióndelplanoquepasaporelpuntoA(1,0,1),esperpendicularalplanox–y+2z+1=0yesparaleloalarecta

2 00

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]De la función : → se sabeque "2 2ytieneunatangentehorizontalenelpuntoP(1,2).Hallalaexpresióndef.Ejercicio2.‐ [2,5puntos]Hallaeláreadelrecintorayadoqueapareceenlafiguraadjuntasabiendoquelapartecurvatieneporecuacióny=

Ejercicio3.‐[2,5puntos]Calculaasabiendoquelosplanos ax + y –7z=−5 y x+3y+a2z=8 se cortan en una recta que pasa por elpuntoA(0,2,1)peroquenopasaporelpuntoB(6,−3,2).

Ejercicio4.‐Consideralamatriz0 3 41 4 51 3 4

(a)[1punto]

SiendoIlaidentidad3×3yOlamatriznula3×3,pruebaque . (b)[1,5puntos]Calcula .

2001‐ 2


MATEMÁTICASII


15

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Calculalim →

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=|x2–1| (a) [0,5puntos]Esbozalagráficadef (b) [1 punto] Estudia laderivabilidaddef. (c)[1punto]Calcula

Ejercicio3.‐Sesabequelamatriz 0

0 1 00

verifica que det(A) = 1 y sus columnas son vectores perpendicularesdosados. (a)[1,5puntos]Calculalosvaloresdeayb. (b) [1 punto] Comprueba que para dichos valores se verifica que

donde denotalamatriztraspuestadeA.Ejercicio4.‐Consideralosplanosπ1:2x+5=0yπ2:3x+3y–4=0 (a)[1,25puntos]¿Quéángulodeterminanambosplanos? (b) [1,25 puntos]Hallaelplanoquepasaporelorigendecoordenadasyesperpendicularalosplanosdados.

OPCIÓNBEjercicio1.‐SiendoLn(x)el logaritmoneperianodex,considera la función

: 1, ∞ → definidapor 1 1 1 1 (a) [1

punto]Determinaelvalordeasabiendoquefesderivable. (b) [1,5puntos]Calcula Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Determina la función : → sabiendo que suderivadasegundaesconstanteeiguala3yquelarectatangenteasugráficaenelpuntodeabscisax=1es5x–y–3=0.

Ejercicio3.‐Consideraelsistema14 (a) [1,5 puntos]

Discútelosegúnlosvaloresdem. (b) [1 punto] ¿Cuál es, según losvaloresdem,laposiciónrelativadelosplanoscuyasecuacionesrespectivassonlastresqueformanelsistema?

Ejercicio4.‐Sea la recta r de ecuaciones 3 2 03 0 (a) [1,5 puntos]

Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 7 unidades. (b) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1, 2, 1)

2001‐ 3


MATEMÁTICASII


16

OPCIÓNAEjercicio1.‐

(a) [1,25 puntos] Determina el valor de las constantesa y b sabiendoque lagráficade la funcióndefinidapor 0

0 admiterectatangenteenelpunto(0,1). (b) [1,25 puntos] ¿Existenconstantesc ydpara las cuales la gráficade la función : → definidapor 0

0 admita recta tangente en el punto (0, 1)?(Justificalarespuesta)

Ejercicio2.‐Calcula: (a)[1,25puntos]lim →√ (b)

[1,25puntos]lim → Ejercicio3.‐[2,5puntos]DeterminalamatrizXtalqueAX–3B=O,siendo:

1 0 12 3 70 1 2

y1 21 02 1

Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Halla lascoordenadasdelpuntosimétricodeA(0,1,1)conrespectoalarecta

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 2 9 12 . (a)[1punto]Determina los intervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. (b)[1,5puntos]Determinalosextremosrelativosydefcon<ycalcula Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Determina las dimensiones de unapuerta formadaporun rectánguloyun semicírculo (comoen lafigura), sabiendoque es la que tieneperímetromínimoentre laquetienenáreaiguala2m2.


(a) [1,5 puntos] Calcula el determinante de las matrices2 , .

(b)[1punto]Hallalamatriz .

Ejercicio 4.‐ [2’5 puntos] Halla el punto de la recta queequidistadeA(1,2,1)ydelorigendecoordenadas.

2001‐ 4


MATEMÁTICASII


17

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor

01 0

. (a)[1,25puntos]Determinamsabiendoque

fesderivable. (b)[1,25puntos]Calcula Ejercicio2.‐[2,5puntos]Unhilodealambrede1mdelongitudsecortaendos trozos formando con uno de ellos una circunferencia y con otro uncuadrado. Prueba que la suma de las áreas es mínima cuando el lado delcuadradoeseldoblequeelradiodelacircunferencia.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma

matricial, AX = −AX + B donde 1 0 21 1 13 1 4

; 141

Ejercicio4.‐Consideraelplano2x+y+2z−4=0. (a) [1,75] Halla eláreadeltriángulocuyosvérticessonlospuntosdecortedelplanodadoconlosejescoordenados. (b) [0,75 puntos] Calcula la distancia delorigenalplanodado.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Consideralafunción : 0, 4 → definidapor

4 0 1

1 34 3 4

. (a)[1punto]Esbozalagráficadef.

(b)[1,5puntos]Hallaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefyelejedeabscisas.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Considera la función : 0, 3 → definida por

3 2.Calculaelpuntodelagráficadefmáscercanoalpunto(2,6)ycalculatambiénelmásalejado.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Determinatodoslospuntosdelplanodeecuación2x−y+2z−1=0queequidistandelospuntosA(3,0,2)yB(1,2,0).¿Quérepresentangeométricamente?

Ejercicio4.‐Consideralamatriz1 1

10 1

(a) [1 punto]

DeterminaparaquévaloresdelparámetroλlamatrizAnotieneinversa. (b) [1,5puntos]Calcula, si esposible, lamatriz inversadeAparaλ=−2.

2001‐ 5


MATEMÁTICASII


18

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Consideralafunción : ∞, 10 → definidapor

6 2| 5| 2 10. (a) [1 punto] Determina el valor de a

sabiendoquefescontinua(yquea>0) (b) [0,5 puntos]Esbozalagráficadef (c)[1punto]Estudialaderivabilidaddef.Ejercicio2.‐

(a) [0,5puntos]Dibujael recintoplano limitadopor lacurva ,losejesdecoordenadasylarectax=. (b) [2 puntos] Calcula eláreadelrecintodescritoenelapartadoanterior.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Determina a, b y c sabiendo que la matriz

3 1 11 21

verifica123

294yrango(A)=2.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Consideralostresplanossiguientes: π1:x+y+z=1, π2:x−y+z=2yπ3:3x+y+3z=5¿Secortanπ1yπ2?¿Hayalgúnpuntoquepertenezcaalostresplanos?

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Calculaeláreaencerradaentrelacurvay=x34xyelejedeabscisas.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Determinasabiendoqueexisteyesfinitoellímite

lim→

Calculadicholímite.Ejercicio3.‐(a)[1,5puntos]Clasificaelsiguientesistemasegúnlosvalores

delparámetrom: 2 0

3 1 (b) [1

punto]Resuelveelsistemaanteriorparam=6.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]ConsideralospuntosA(1,2,3),B(3,2,1)yC(2,0,2). Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del planoquecontieneaA,ByC.

2001‐ 6


MATEMÁTICASII


19

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Consideralafunción : → definidapor . (a)[1punto]Calculalasasíntotasdelagráficadef (b) [1,5 puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimiento,ylosextremosrelativosdef(puntosdondeseobtienenyvaloresquealcanzan)Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Determina un polinomio P(x) de segundo gradosabiendoqueP(0)=P(2)=1y

Ejercicio3.‐[2,5puntos]DeterminaunamatrizAsimétrica(Acoincideconsutraspuesta)sabiendoquedet(A)=−7y 2 6

1 34 121 3 .

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Calculalaecuacióndeunarectaquepasaporelpuntodeinterseccióndelplanoπ:x+y−z+6=0conlarecta ≡ 2 1

yesparalelaalarecta ≡ 3 4 04 3 1 0

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor ,parax0yx2 (a)[1punto]Calculalasasíntotasdelagráficadef (b) [1 punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef (c)[0,5puntos]Conlosdatosobtenidos,esbozalagráficadefEjercicio2.‐[2,5puntos]Sea : → lafuncióndefinidapor .Esbozaelrecintolimitadoporlacurvaf(x),losejesdecoordenadasylarectax=1.Calculasuárea.Ejercicio3.‐[2,5puntos]DeterminalamatrizCqueverificalaecuación AX

=X−B siendo0 0 10 0 01 0 0

y1 0 10 1 10 1 1

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Calculaeláreadeltriángulodevértices A(1,1,2), B(1,0,−1) y C(1,−3,2).

2002‐ 1


MATEMÁTICASII


20

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐ Consideremos . (a)[1,5puntos]Siffueselafuncióncuyagráficaapareceeneldibujo,indica si son verdaderas o falsas las siguientesafirmaciones,razonandolarespuesta: i)F()=0. ii)F‘()=0. iii)Fescrecienteen(0,). (b) [1 punto]CalculaF(1)siendo

√

Ejercicio2.‐Consideralafunciónfdefinidapor parax1. (a)[1,5puntos]Calculalasasíntotasdelagráficadef (b) [1 punto]Estudialaposicióndelagráficadefrespectodesusasíntotas.

Ejercicio3.‐[2,5puntos]Consideralamatriz2 0

2 13 0 1

. Calcula los

valoresdetpara losqueeldeterminantedeAespositivoyhallaelmayorvalorquealcanzadichodeterminante.Ejercicio4.‐LospuntosA(1,0,2)yB(−1,0,−2)sonverticesopuestosdeuncuadrado. (a)[1punto]Calculaeláreadelcuadrado. (b) [1,5 puntos] Calcula el plano perpendicular al segmento deextremosABquepasaporsupuntomedio.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Estudialaderivabilidaddelafunción ∶ 0, ∞ →

definidapor √3 0 1

1

Calculalafunciónderivada.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula .

Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

3 3

23 5 5

(a)[1punto]Determina,siesposible,unvalor

demparaqueelcorrespondientesistematengaunaysólounasolución. (b) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que elcorrespondientesistematenga,almenos,dossoluciones. (c) [0,5puntos]Determina,siesposible,unvalordemparaqueelcorrespondientesistemanotengasoluciones.

Ejercicio4.‐Consideraelplanoπ:x+2y−z=3yelpuntoA(−1,−4,2). (a)[1punto]HallalaecuacióndelarectaperpendicularaπquepasaporA.(b)[1,5puntos]HallaelpuntosimétricodeArespectodeπ.

2002‐ 2


MATEMÁTICASII


21

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ Sea Ln(x) el logaritmo neperiano de x y sea : → lafuncióndefinidapor (a)[1punto]Determinael

conjuntoDsabiendoqueestáformadoportodoslospuntosx paralosqueexistef(x). (b)[1,5puntos]Usaelcambiodevariablet=Ln(x)paracalcularunaprimitivadef.Ejercicio 2.‐ Sea : 1, 4 → una funcióncuyaderivadatieneporgráficaladelafigura. (a) [1,5puntos]Estudia el crecimientoyeldecrecimiento de f y determina los valoresdondealcanzasusextremosrelativos. (b)[1 punto] Estudia la concavidad y laconvexidaddef.¿Tienepuntosdeinflexiónlagráficadef?Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] En el sector de las aceitunas sin hueso, tresempresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio porunidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientesrelaciones: ‐ El precio de la empresa A es 0’6 €menosquelamediadelospreciosestablecidosporByC. ‐ El preciodadoporBeslamediadelospreciosdeAyC. ‐ElpreciodelaempresaCesiguala2€más2/5delpreciodadoporAmás1/3delpreciodadoporB.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,−3,2),B(1,1,2)yC(1,1,−1). (a)[1,25puntos]¿PuedenserA,ByCvérticesconsecutivosdeunrectángulo?Justificalarespuesta. (b) [1,25 puntos] Halla, si es posible, lascoordenadas de un punto D para el que el paralelogramo ABCD sea unrectángulo.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Determinaelvalordelasconstantescydsabiendoque la gráficade la función : → definidapor f(x)= x3+3x2+cx+dtienecomorectatangenteensupuntodeinflexiónalarectay=3x+4.


Ejercicio3.‐Consideralasmatrices0 0 10 1 01 0 0

; 0 0 1

1 00 0

(a)[1punto]CalculalamatrizinversadeA. (b) [1 punto] Calculay (c)[0,5puntos]DeterminaxeytalqueAB=BA

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,1,1),B(2,2,2),C(1,1,0)yD(1,0,0) (a)[1,25puntos]HallalaecuacióndelplanoquecontienealospuntosAyBynocortaalarectadeterminadaporCyD. (b) [1,25 puntos] Hallalas ecuaciones de la recta determinada por los puntos medios de lossegmentosAByCD.

2003‐ 1


MATEMÁTICASII


22

OPCIÓNAEjercicio1.‐

(a) [1,5 puntos] Determina la función : → , sabiendo que2 6 yquesuvalormínimoes12. (b) [1 punto]

Calculalaecuacióndelasrectastangentesalagráficadefenlospuntosdeinflexióndesugráfica.Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | 4| (a)[0,75puntos]Esbozalagráficadef. (b) [0,75 puntos] Estudia laderivabilidadenx=4. (c) [1 punto] Calcula el área del recintolimitadoporlagráficadefyelejedeabscisas.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Consideralospuntos A(1,−1,2), B(1,3,0)y C(0,0,1). HallaelpuntosimétricodeArespectodelarectaquepasaporByC.Ejercicio4.‐[2,5puntos]Sean

1 11 3 22 1 3

;1 0 1

1 1 20 0

;153

;250

;

Determina α, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados enformamatricial)AX=b yBX= c, tengan infinitas soluciones (cadaunodeellos)

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Consideraelrecintolimitadoporlacurva y

larectay=9, Deentre los rectángulos situados comoelde la figura,determinaelque tieneáreamáxima.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Sea Ln(x) el logaritmo neperiano de x. Esboza elrecinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas y = 1 e y = Ln(x).Calculasuárea.Ejercicio3.‐Seaπelplanodeecuación3x−y+2z−4=0 (a) [1 punto]Hallalaecuacióndelplanoπ1queesparaleloaπypasaporelpuntoP(1,−2,2). (b) [1,5 puntos] Halla la ecuación del plano π2

perpendicularaambosquecontienealarectar: 12 4 1

Ejercicio4.‐Consideralamatriz1 0

0 12 1 1

(a) [1 punto]

Hallalosvaloresdeaparalosque3Atieneinversa. (b) [1,5 puntos]Calcula,siesposible,lainversadelamatrizA2paraa=0.

2003‐ 2


MATEMÁTICASII


23

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Calculaunaprimitivadelafunciónfdefinidapor

2 102 3

parax1yx3.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Consideralafunción ∶ → definidapor

3 0 0

Determinaaybsabiendoquefesderivable.

Ejercicio3.‐Considera1 1

2 13 2 2

; ;211 (a) [1

punto]¿ParaquévaloresdemtieneinversalamatrizA? (b) [1,5 puntos]Resuelve,param=2,elsistemadeecuacionesAX=C.Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Determina la recta que no corta al plano deecuaciónx−y+z=7ycuyopuntomascercanoalorigenes(1,2,3).

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sealafunción ∶ → definidapor 5 53ysearlarectadeecuación2x+y=6. (a) [1,5 puntos]Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la rectatangentesear. (b)[1punto]¿Hayalgúnpuntodelagráficadefenelquelarectanormalalagráficasear?Justificalarespuesta.

Ejercicio2.‐Consideralacurvadeecuación . (a) [1,5puntos]Determinasusasíntotas. (b) [1 punto] ¿Corta la curva aalgunadesusasíntotasenalgúnpunto?Ejercicio 3.‐ Denotamos por la matriz traspuesta de una matriz M.

Considera121

; 1 4 3 ;0 4 32 9 61 4 4

(a) [1,5

puntos]Calcula y . (b)[1punto]DeterminaunamatrizXqueverifiquelarelación

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Sabiendoquelasrectas ≡

12 y ≡ 2

2 secortan,determinaayelpunto

decorte.

2003‐ 3


MATEMÁTICASII


24

OPCIÓNAEjercicio1.‐2,5puntos]Deentretodaslasrectasquepasanporelorigendecoordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuación

4 4.Calculalospuntosdetangenciacorrespondientes.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Consideralafunción : → definidapor (a)[1punto]Calculalim → ylim → (b)[1,5puntos]Calculalosintervalosdemonotoníaylosextremoslocalesdef(puntosdondeseobtienenyvalorquealcanzan)

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones124

(a)

[1,5puntos]Clasifícalosegúnlosvaloresdelparámetrom. (b) [1,5puntos]Resuélvelocuandoseacompatibleindeterminado.

Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Hallaelpuntode la recta r: 3 11 que

estámáscercanoalpuntoP(1,−1,0).

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Estudia la derivabilidad de la función : → definidapor

01 0

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de laparábolay=(x–2)2–2,larectatangentealagráficadelaparábolaenelpuntodeabscisax=3,elsemiejepositivodeabscisasyelsemiejenegativodeordenadas.Calculasuárea.Ejercicio3.‐ [2,5puntos]Sidesarrollarlo,calculaelvalordeldeterminante

delamatriz1

2 23 3

yenuncialaspropiedadesquehayasusado.

Ejercicio4.‐Consideralarecta : 01 0yelplanoπ:2x−y=b.

(a)[1,5puntos]Determinaaybsabiendoquerestácontenidaenπ. (b) [1punto]Hallalaecuacióndeunplanoquecontengaryseaperpendicularaπ.

2003‐ 4


MATEMÁTICASII


25

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Sea : → lafuncióndefinidapor 2 √ (a)[1,5puntos]DeterminaF(1) (b) [1punto]Halla laecuaciónde larecta tangentea lagráficadeFenelpuntodeabscisax=1.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Una empresa quiere fabricar vasos de cristal deformacilíndricaconunacapacidadde250centímetroscúbicos.Parautilizarlamínimacantidaddecristal,seestudianlasmedidasapropiadasparaquelasuperficie total del vaso sea mínima. ¿Cuáles deben ser dichas medidas?Justificalarespuesta.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Determina los puntos de la recta de ecuaciones

queequidistandelosplanosdeecuaciones3x+4y–1=0y4x−3z−1=0.Ejercicio4.‐Consideraelsistemadeecuacionesescritoenformamatricial

1

0 11 1

202 (a) [1,5 puntos] Discute el sistema

segúnlosvaloresdelparámetrob. (b)[1punto]Resuelveelsistemacuandoseacompatibleindeterminado

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sea : → lafuncióndefinidaenlaforma

2

0 2 11

. Estudialaderivabilidaddef.

Ejercicio2.‐Consideralasfuncionesf,g:[0,2π]→ definidaspor f(x)=2sen(x) y g(x)=sen(2x) (a) [1 punto] Dibuja la región del planolimitadaporlasgráficasdefydeg (b)[1,5puntos]Calculaeláreadelaregióndescritaenelapartadoanterior.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Hallalaecuacióndelacircunferenciacuyocentroeselpuntodeinterseccióndelasrectasdeecuacionesrespectivas2x−y−4=0,yx−2y+3=0yestangentealarectax−3y+3=0.Calculaelpuntodetangencia.

Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Unmayoristadecafédisponede tres tiposbase,Moka,Brasil yColombia, parapreparar tres tiposdemezcla,A,B yC, queenvasaensacosde60kgconlossiguientescontenidosenkilosypreciosdelkiloeneuros:

Mezcla A Mezcla B Mezcla CMoka 15 30 12 Brasil 30 10 18 Colombia 15 20 30 Precio (cada kg) 4 4,5 4,7

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, ¿cuál es el precio de cada uno de los tipos base de café?

2003‐ 5


MATEMÁTICASII


26

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Delafunciónf:(1,+)→ sesabeque yquef(2)=0. (a)[1,25puntos]Determinaf. (b)[1,25puntos]Hallalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(0,1).Ejercicio2.‐Consideralafunciónf: → definidapor

1 1 2 . (a)[1punto]Hallalasecuacionesdelasrectastangenteynormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=1. (b)[1,5puntos]Determinalosintervalosdeconcavidadydeconvexidaddef.¿tienepuntosdeinflexiónlagráficadef?

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones 12 1 . (a)

[1,5puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdem. (b) [1 punto]Calculalosvaloresdemparalosqueelsistematieneunasoluciónenlaquex=3.Ejercicio4.‐SeanlospuntosA(1,2,1),B(2,3,1),C(0,5,3)yD(−1,4,3). (a)[1 punto] Prueba que los cuatro puntos están en elmismo plano. Halla laecuacióndedichoplano. (b) [0,75 puntos] Demuestra que elpolígonodevérticesconsecutivosABCDesunrectángulo. (c)[0,75puntos]Calculaeláreadedichorectángulo.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sesabequelafunciónf: 1, ∞ → definidapor

4 3 1 0

0 escontinuaen 1, ∞ .

(a)[1,25puntos]Hallaelvalordea.¿Esfderivableenx=0? (b)[1,25puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Determinabsabiendoqueb>0yqueeláreadelaregiónlimitadaporlacurvay=x2ylarectay=bxesiguala9/2.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices 1 0 10 1 2 ;

1 00 10 0

;1 00 21 0

(a) [1,25 puntos] Calcula A·B, A·C, At·Bt y Ct·At,

siendoAt,BtyCtlasmatricestraspuestasdeA,ByC,respectivamente. (b) [1,25 puntos] Razona cuáles de las matrices A, B, C y A·B tienenmatriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla lacorrespondientematrizinversa.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Dadoslosvectores =(2,1,0)y =(−1,0,1),hallaunvectorunitarioqueseacoplanariocon y yortogonala .

2004‐ J


MATEMÁTICASII


27

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Se desea construir una caja cerrada de basecuadradaconunacapacidadde80cm3.Paralatapaylasuperficielateralseusaunmaterialquecuesta1€/cm2yparalabaseseempleaunmaterialun50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste seamínimo.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Siendo Ln x el logaritmoneperiano de x, halla eláreadelasuperficiesombreada.

Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de

ecuaciones3 1

2 14

tienealmenosdossolucionesdistintas.

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Se sabe que el triánguloABC es rectángulo en elvérticeC,quepertenecea larectadeinterseccióndelosplanosy+z=1ey−3z+3=0,yquesusotrosdosvérticessonA(2,0,1)yB(0,−3,0).HallaCyeláreadeltriánguloABC.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Deunafunción : 0, 4 → sesabequef(1)=3yquelagráficadesufunciónderivadaeslaqueapareceeneldibujo.

(a) [0,5 puntos] Halla la rectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1. (b)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.¿Enquépuntoalcanzalafunciónfsumáximoabsoluto? (c) [1 punto] Estudialaconcavidadylaconvexidaddef.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calculaeláreadelrecintoacotadoqueestálimitadoporlarectay=2x,yporlascurvasy=x2ey= .

Ejercicio3.‐ (a) [1 punto] Sabiendo que la matriz3 2 11 4 21 1

tienerango2,¿cuáleselvalordea?

(b)[1,5puntos]Resuelveelsistemadeecuaciones

3 2 11 4 21 6 5

101

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallalaperpendicularcomúnalasrectas

≡11 y ≡ 1

1

2004‐ S


MATEMÁTICASII


28

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidaparax1por . (a) [0,5puntos]Hallalasasíntotasdelagráficadef. (b) [0,75 puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. (c) [0,75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y deconvexidaddef. (d)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calculalaintegral .


2 0 : (a) [1

punto]Determina losvaloresdempara losqueel sistematieneunaúnicasolución.Calculadichasoluciónparam=1. (b) [1 punto] Determinalos valores dempara los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calculadichassoluciones. (c)[0,5puntos]¿Hayalgúnvalordemparaelqueelsistemanotienesolución?

Ejercicio4.‐SeaelpuntoP(1,0,−3)ylarecta ≡ 2 1 00 (a) [1

punto]HallalaecuacióndelplanoquecontieneaPyesperpendicularar. (b) [1,5puntos]Calcula las coordenadasdelpunto simétricodePrespectoder.

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Determina lospuntosde laparábolade ecuacióny = 5 − x2 que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula ladistanciaentrelospuntosobtenidosyelorigendecoordenadas.Ejercicio 2.‐ Se sabe que la función: : 0, ∞ → definida por

√ 0 8

8escontinuaen[0,+). (a) [0,5 puntos]

Hallaelvalordea. (b)[2puntos]Calcula Ejercicio3.‐[2,5puntos]HallalamatrizXquecumpleque

0 00 0 siendo 3 1

2 1 y 5 21 3

Ejercicio4.‐SesabequelospuntosA(m,0,1),B(0,1,2),C(1,2,3)yD(7,2,1)estánenunmismoplano. (a) [1,5puntos]Hallam y calcula laecuacióndedichoplano. (b) [1 punto] ¿Están los puntos B, C y Dalineados?

2005‐ 1


MATEMÁTICASII


29

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐ [2,5puntos]Sesabeque lim → es finito.Determinaelvalordeycalculaellímite.Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor

2 4 02 0 (a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la

gráficadefconelejedeabscisasyesbozadichagráfica. (b)[1,5 puntos] Halla el área de la región acotada que está limitada por lagráficadefyporelejedeabscisas.


1 21 4

:

(a)[1,5puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrob.(b) [1punto]Resuelveelsistemacuandoseacompatibleindeterminado.

Ejercicio4.‐Sesabequelasrectas ≡ 3 02 2 0 y

≡ 6 6 02 2 0 sonparalelas. (a) [1,5 puntos]

Calculaa. (b)[1punto]Hallalaecuacióndelplanoquecontienealasrectasrys.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Considera las tres funciones cuyas expresionesrespectivas vienen dadas, para x 0, por: , y

| |,siendoLnlafunciónlogaritmoneperiano. (a)[1,75 puntos]Hallalasecuacionesdelasasíntotasdelasgráficasdef,gyh.(b) [0,75 puntos]Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando larespuesta.

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula 2 ; siendo Ln la funciónlogaritmoneperiano.

Ejercicio3.‐ Sea I lamatriz identidaddeorden3ysea0 0 11 1 11 0

(a)[1,25puntos]DeterminaelvalordebparaelqueA2−2A+I=O. (b)[1,25puntos]Parab=2hallalamatrizXquecumplequeA·X−2At=O,dondeAtdenotalamatriztranspuestadeA.

Ejercicio4.‐Consideralasrectas ≡ 2 01 0y ≡ 1 (a)

[1,25puntos]Hallalaecuacióndelplanoπquecontieneasyesparaleloar. (b)[1,25puntos]Calculaladistanciadelarectaralplanoπ.

2005‐ 2


MATEMÁTICASII


30

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor (a) [0,5puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejescoordenados. (b) [0,5 puntos] Hallas las asíntotas de lagráficadef. (c)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodefycalculasusextremosrelativosolocales(puntosenlosqueseobtienenyvaloresquealcanzalafunción) (d) [0,5 puntos]EsbozalagráficadefEjercicio2.‐Consideralafunción : → definidaporf(x)=x2−5x+4. (a)[0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=3. (b) [1,75 puntos] Calcula el área de laregiónacotadaqueestálimitadaporelejedeordenadas,porlagráficadefyporlarectatangenteobtenida.

Ejercicio3.‐SeaIlamatrizidentidaddeorden2ysea 2 11 2 (a) [1

punto]HallalosvaloresdexparalosquelamatrizA−xInotieneinversa. (b)[1,5puntos]HallalosvaloresdeaybparalosqueA2+aA+bI=O.Ejercicio4.‐[2,5puntos]Calculaladistanciaentrelasrectas

≡6 1 25 7

y ≡ 2 3 1 03 2 0

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Deun terrenosedeseavenderun solar rectangular de 12800 m2 dividido en tresparcelasigualescomolasqueapareceneneldibujo.Sisequierenvallarlaslindesdelastresparcelas(losbordesylasseparacionesde lasparcelas),determina lasdimensionesdelsolarparaquelalongituddelavallautilizadaseamínima.Ejercicio2.‐Calculalassiguientesintegrales: (a) [0,5 puntos]cos 5 1 (b)[0,5puntos] (c)

[1,5puntos]


42 3 0

(a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que elsistematieneunaúnicasolución. (b) [1,5 puntos] Resuelve elsistemacuandotengainfinitassolucionesydaunasoluciónenlaquez=19.

Ejercicio 4.‐ Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los vertices de untriángulo. (a) [0,75puntos]Halla laecuacióndelplanoπquecontienealtriángulo. (b)[0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectaqueesperpendicularaπypasaporelorigendecoordenadas. (c) [1punto]CalculaeláreadeltriánguloABC.

2005‐ 3


MATEMÁTICASII


31

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ Se sabe que la gráfica de la función: → definida por eslaqueapareceeneldibujo. (a) [1,25puntos]Determinaf (b)[1,25puntos]Calculaeláreadelaregiónsombreada.Ejercicio 2.‐ Sea f la función definida para x 2por . (a)[1punto]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef (b)[0,75puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. (c) [0,75 puntos] Calcula, si existen, elmáximoyelmínimoabsolutosdefenelintervalo[0,2)(puntosenlosqueseobtienenylosvaloresquealcanzalafunción)Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos.ÁlvarodiceaMarta:si tedoy laquintapartedeldineroquetengo, lostreshermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno sientrelostresjuntan84euros.Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoA(0,−3,1),elplanoπ≡2x−2y+3z=0ylarecta ≡ 3 (a) [1 punto] Determina la ecuacióndelplanoquepasaporAycontienear. (b) [1,5 puntos] Determina laecuacióndelarectaquepasaporA,esparalelaaπycortaar.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Delafunción : 0, ∞ → definidapor sesabequelarectatangenteasugráficaenelpuntodeabscisax=1vienedadapory=2. (a)[1,5puntos]Calculaayb. (b) [1punto]DeterminalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodefEjercicio2.‐[2,5puntos]Sea : → lafuncióndefinidapor

2 . Calculalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(0,1).

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones02 (a) [1

punto]¿Paraquévalordemelsistematienealmenosdossoluciones? (b) [1,5 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema admitesoluciónenlaquex=1?

Ejercicio 4.‐ Se sabe que las rectas ≡11 y ≡ 3

6 2 2

estáncontenidasenunmismoplano. (a)[1,25puntos]Calculab. (b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a lasrectasrys.

2005‐ 4


MATEMÁTICASII


32

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Delafunción : → definidaporf(x)=ax3+bx2+cx+dsesabequetieneunmáximoenx=−1,yquesugra icacortaalejeOXenelpuntodeabscisax=−2ytieneunpuntodein lexionenelpuntodeabscisax=0.Calculaa,b,cydsabiendo,ademásquelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2tienependiente9.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Se sabe que las dosgráficas del dibujo corresponden a la función: → definida por f(x) = x2ex y a su funciónderivadaf’. (a) [1 punto] Indica,razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f ycuálladef’ (b)[1,5puntos]Calculaeláreadelaregiónsombreada.

Ejercicio3.‐Seanlasmatrices 2 13 2 ;

0 1 03 1 2 1 2 0

1 1 4 (a)[1punto]¿TieneAinversa?Encasoafirmativo,calcúlala. (b) [1,5puntos]Determina lamatrizXque cumpleque ,siendo latraspuestadeB.

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(2,0,1)ylarecta ≡ 2 62 (a) [1

punto]HallalaecuacióndelplanoquecontieneaPyar. (b) [1,5 puntos]CalculaelpuntosimétricodePrespectodelarectar.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidaparax≠0por (a) [1punto]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef. (b) [1 punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodefycalculasusextremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores quealcanzalafunción). (c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.

Ejercicio2.‐Consideralafunción : → definidapor (a)[0,75puntos]Halla la ecuaciónde la recta tangentea la gráficade f en elpuntodeabscisax=0. (b) [1,75 puntos] Calcula el área de laregiónacotadaqueestálimitadaporlagráficadef,larectadeecuaciónx=2ylarectatangenteobtenidaen(a).

Ejercicio 3.‐ Considera el sistema de ecuaciones 2 3 7

2 2 5 (a)[1,5puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdelparámetroλ.(b)[1punto]Resuelveelsistemacuandoseacompatibleindeterminado.

Ejercicio4.‐Seanlosvectores =(0,1,0), =(2,1,−1)y =(2,3,−1)(a)[0,75puntos]¿Sonlosvectores , y linealmenteindependientes? (b)[0,75puntos]¿Paraquévaloresdea,elvector(4,a+3,−2)puedeexpresarsecomocombinaciónlinealdelosvectores , y ? (c)[1punto]Calculaunvectorunitarioyperpendiculara ,y .

2005‐ J


MATEMÁTICASII


33

OPCIÓNAEjercicio1.‐Deunafunción : → sesabeque 0 2yque ′ 2 . (a)[1punto]Determinaf. (b) [1,5 puntos] Calcula el área delaregiónlimitadaporlagráficadef,porelejedeabscisasyporlasrectasdeecuacionesx=2yx=2.Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 1 . (a)[0,5puntos]Hallalasasíntotasdelagráficadef. (b) [1,5 puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodefycalcula,siexisten,susextremosrelativosolocalesysusextremosabsolutosoglobales(puntosenlosqueseobtienenyvaloresquealcanzalafunción). (c)[0’5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Enunaexcavaciónarqueológicasehanencontradosortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendientepesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objetodeformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionadoobjetoesunasortija,unamonedaounpendiente,sabiendoquelosobjetosquesondelmismotipopesanlomismo.Ejercicio4.‐Consideraunplano π≡x+y+mz=3 y la recta ≡ 1 (a) [0,75 puntos] Halla m para que r y π seanparalelos. (b) [0,75 puntos] Halla m para que r y π seanperpendiculares. (c)[1punto]¿Existealgúnvalordemparaquelarectarestécontenidaenelplanoπ?

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Deunafunción : 0, 5 → sesabeque 3 6y que sufunciónderivadaestádadapor ′ 5 2 0 1

6 8 1 5. (a) [1punto]Calculalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=3. (b) [1,5 puntos] Determina los intervalos decrecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos olocales(puntosenlosqueseobtienenyvaloresquealcanzalafunción).

Ejercicio2.‐Consideralaintegraldefinida√

. (a) [1,25puntos]Exprésalaaplicandoelcambiodevariables√1 1 . (b) [1,25puntos]CalculaI.

Ejercicio3.‐ Siendo 2, calcula, indicando laspropiedades

queutiliceslossiguientesdeterminantes. (a) [1 punto] | 3 | y

| | (b)[0,75puntos]2 2 2

(c) [0,75 puntos]

Ejercicio4.‐Seanlosplanosπ1≡2x+y−z+5=0yπ2≡x+2y+z+2=0 (a)[1,5puntos]CalculalascoordenadasdelpuntoPsabiendoqueestáenelplanoπ1yquesuproyecciónortogonalsobreelplanoπ2eselpunto(1,0,−3). (b) [1 punto] Calcula el simétrico de P respecto delplanoπ2.

2005‐ S


MATEMÁTICASII


34


MATEMÁTICASII


35

OPCIÓNA

Ejercicio 1.‐ [2,5 puntos] Calcula lim → , siendo Ln(1 + x) ellogaritmoneperianode1+x.

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor . (a)[1punto]¿Enquépuntodelagráficadeflarectatangenteaéstapasaporelorigendecoordenadas?Hallalaecuacióndedicharectatangente. (b)[1,5puntos]Calculaeláreadelrecintoacotadoqueestálimitadoporlagráficadef,larectatangenteobtenidayelejedeordenadas.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices 1 0 01 01 1 1

,

0 1 11 0 00 0 0

1 0 00 1 01 0 1

(a)[1,25puntos]¿Paraquévaloresdem

tienesoluciónlaecuaciónmatricialA·X+2B=3C? (b) [1,25puntos]Resuelvelaecuaciónmatricialdadaparam=1.Ejercicio4.‐Sesabeque lospuntosA(1,0,−1),B(3,2,1)yC(−7,1,5) sonvérticesconsecutivosdeunparalelogramoABCD. (a) [1 punto]CalculalascoordenadasdelpuntoD. (b)[1,5puntos]Hallaeláreadelparalelogramo.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Sea la función : 0, ∞ → la funcióndefinidapor 1 ,dondeLn(x)el logaritmoneperianodex.Calculalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(1, )

Ejercicio2.‐ [2,5 puntos] Estudia la derivabilidad de la función : →

definidapor: | | 1 10 1 1


(a)

[1,25puntos]SiendoIlamatrizidentidaddeorden3,calculalosvaloresdeλparalosquelamatrizA+λInotieneinversa. (b) [1,25 puntos]ResuelveelsistemaA·X=3Xe interpreta geométricamenteelconjuntodetodassussoluciones.

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Los puntos A (1, 1, 0) y B (2, 2, 1) son vérticesconsecutivosdeunrectánguloABCD.Además,sesabequelosvérticesCyDestáncontenidosenunarectaquepasaporelorigendecoordenadas.HallaCyD.

2006‐ 1


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 1 , siendoLnlafunciónlogaritmoneperiano. (a) [1 punto] Determina losintervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de lafunciónf(puntosdondesealcanzanyvalordelafunción). (b)[1,5puntos]Calculalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeinflexióndeabscisanegativa.

Ejercicio2.‐Sea lafuncióndefinidapor 1 0 0

(a) [1

punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula laderivadadefenesepunto. (b)[1,5puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadef,elejedeabscisasylarectax=1.Ejercicio3.‐Sean =(x,2,0), =(x,−2,1)y =(2,−x,−4x)tresvectoresde (a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores sonlinealmenteindependientes. (b) [1,5 puntos] Halla los valoresdexparalosquelosvectoressonortogonalesdosados.

Ejercicio4.‐Sear larectadeecuación 1 24

ys larectadeecuación

(a)[1,5puntos]Calculaelvalordeasabiendoquelasrectasryssecortan. (b)[1punto]Calculaelpuntodecorte.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Calcula

lim→

1 11

siendoLnlafunciónlogaritmoneperiano.

Ejercicio2.‐Sea : → definidapor 11 1

. (a)

[0,75puntos]Hallaelvalordeasabiendoquefescontinua. (b) [0,5puntos]Esbozalagráficadef. (c)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadef,elejedeabscisasylasrectasx+2=0yx–2=0.

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuacioneslineales1

(a)[1,5puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdelparámetroλ.(b)[1punto]Resuélveloparaλ=2.

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuaciónyunpuntoBdelarectasdeecuación deformaque

ladistanciaentreAyBseamínima.

2006‐ 2


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | |. (a)[0,75puntos]Estudialaderivabilidaddef. (b) [1 punto] Determinalosintervalosdecrecimientoydecrecimientodef.(c)[0,75puntos]Calculalosextremosrelativosdef(puntosdondesealcanzanyvalordelafunción).

Ejercicio2.‐Calcula. (a)[1,5puntos] (b)[1punto] 2 3 3 ,siendotgxlafuncióntangente.Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuacioneslineales

142 (a) [1,5puntos]Clasificael sistemasegún los

valoresdeλ. (b)[1punto]Resuelveelsistemaparaλ=2.Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Determina lospuntosde la recta r de ecuaciones

01 queequidistandelplanoπdeecuaciónx+z=1ydelplanoπ’

deecuacióny−z=3.

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Unalambrede longitud1metrosedivideendostrozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia.Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas deambosrecintosseamínima.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Hallalafunción : → sabiendoquef’’(x)=12x–6yquelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2tienedeecuación4x–y–7=0.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Resuelve 2 , siendo la matriztraspuestadeBy 1 0 3

2 1 0 , 1 3 00 2 2 1 4

0 1

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,0,−2)yB(−2,3,1). (a)[1punto]DeterminalospuntosdelsegmentoABquelodividenentrespartesiguales. (b)[1,5puntos]CalculaeláreadeltriángulodevérticesA,ByC,dondeCesunpuntodelarectadeecuación−x=y−1=z.¿DependeelresultadodelaelecciónconcretadelpuntoC?

2006‐ 3


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuación

enelquelapendientedelarectatangenteseamáxima.

Ejercicio2.‐Sea√

(a) [1,25 puntos] Expresa Iaplicandoelcambiodevariablet=1+x2. (b)[1,25puntos]CalculaelvalordeI.

Ejercicio3.‐Considera 10 ,siendoaunnúmeroreal. (a) [1

punto]Calculaelvalordeaparaque 12 10 20 (b) [1punto]

Calcula,enfuncióndea,losdeterminantesde2AyAt,siendoAtlatraspuestadeA. (c) [0,5puntos] ¿Existealgúnvalordeaparaelque lamatrizAseasimétrica?Razonalarespuesta.Ejercicio4.‐Consideraelplanoπdeecuación2x+y−z+2=0ylarectadeecuaciones (a) [1 punto] Halla la posiciónrelativaderyπsegúnlosvaloresdelparámetrom. (b)[0,75 puntos] Param = −3, halla el plano que contiene a la recta r y esperpendicularalplanoπ. (c) [0,75puntos]Param =−3,hallaelplanoquecontienealarectaryesparaleloalplanoπ.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor ,parax0. (a) [0,75puntos]Halla,siexisten,lospuntosdecorteconlosejesylasasíntotasdelagráficadef. (b)[1punto]Calcula los intervalosdecrecimientoydecrecimientoylosextremosrelativos. (c) [0,75 puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] El área del recinto limitado por las curvasy √ ,cona>0,vale3.Calculaelvalordea.

Ejercicio3.‐[2,5puntos]Resuelve2 0 51 1 21 1 1

223

502

Ejercicio 4.‐ Considera el punto P (3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones

3 02 1 0 . (a) [1 punto] Halla la ecuación del

planoquecontienealpuntoPyalarectar. (b) [1,5puntos]DeterminalascoordenadasdelpuntoQsimétricodePrespectodelarectar.

2006‐ 4


MATEMÁTICASII


39

OPCIÓNAEjercicio1.‐ (a) [1,5 puntos] Sea : ⟶ la funcióndada por . Halla los valores de a y b sabiendo que

6 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de lafunciónfenelpuntodeabscisa3vale12. (b) [1 punto] Sea : ⟶ lafuncióndadapor .Calculalosvaloresdepyqsabiendolafunciónftieneunextremoenx=6ysuvalorenéles2.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula 1 .

Ejercicio3.‐Sea1 1 10 3 31 2 0

(a) [1 punto]

Determinalosvaloresde ∈ paralosquelamatrizAtieneinversa. (b)[1,5puntos]Param=0ysiendoX=(xyz),resuelveXA=(311).

Ejercicio4.‐Sear larectadeecuaciones ys larectadadapor3 2 2

2 3 2. (a) [1,5puntos]Determina laposición

relativadeambasrectas. (b) [1 punto] Halla la ecuación del plano quecontienealarectaryesparaleloalarectas.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : ⟶ lafuncióndefinidapor . (a)[0,75puntos]Estudiasiexistenycalcula,cuandoseaposible,lasasíntotasdelagráficadef (b) [1,25 puntos] Determina los intervalos decrecimientoydecrecimiento,losextremosrelativosylosvaloresquealcanzaenelloslafunciónf. (c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Hallaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadelafunciónf(x)=sen(x)ylasrectastangentesadichagráficaenlospuntosdeabscisax=0yx=π.

Ejercicio3.‐Sea 4 21 3 yseaIlamatrizidentidaddeordendos. (a)

[1,25puntos]Calculalosvalores ∈ talesque|AI|=0 (b) [1,25puntos]CalculaA2–7·A+10·I

Ejercicio4.‐Consideralarectardeecuaciones 12 3 0 (a)

[1,25puntos]DeterminalaecuacióndelplanoquecontienealarectarynocortaalejeOZ. (b) [1,25 puntos] Calcula la proyecciónortogonaldelpuntoA(1,2,1)sobrelarectar.

2006‐ 5


MATEMÁTICASII


40

OPCIÓNAEjercicio1.‐ [2,5 puntos] Sea : 1, ∞ → la función dada por

, siendo Ln la función logaritmo neperiano. Estudia laexistenciadeasíntotahorizontalparalagráficadeestafunción.Encasodequeexista,hállala.Ejercicio2.‐Sea : 0, 4 → unafuncióntalquesufunciónderivadaviene

dadapor ′ 0 32 8 3 4

(a) [1,75 puntos]

Determinalaexpresióndefsabiendoquef(1)= . (b)[0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuacioneslineales2810

(a)[1,5puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdelparámetroλ.(b)[1punto]Resuelveelsistemaparaλ=2.Ejercicio 4.‐ Considera los puntos A (2, 1, 2) y B (0, 4, 1) y la recta r deecuación 2 . (a)[1,5puntos]DeterminaunpuntoCdelarectarqueequidistedelospuntosAyB. (b) [1punto]CalculaeláreadeltriángulodevérticesABC.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sesabequelafunción : 0, 5 → definidapor 0 2

4 √ 1 2 5 es derivable en el intervalo (0,

5). (a)[1,75puntos]Calculalasconstantesayb. (b)[0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Sean las funciones , ∶ 0, ∞ → , dadas porf(x) = x2 y √ , donde λ es unnúmero real positivo fijo. Calcula elvalordeλsabiendoqueeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdeambasfuncioneses1/3.Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

1 1 02 1 14 1 1

, 000 (a) [1 punto] Halla el

valorde ∈ paraelquelamatrizAnotieneinversa. (b)[1,5puntos]ResuelveAX=Oparam=3.

Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Halla laecuacióndeunplanoqueseaparaleloalplanoπdeecuaciónx+ y+ z=1y formecon los ejesde coordenadasuntriángulodeárea18√3.

2006‐ 6


MATEMÁTICASII


41

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=x3+ax2+bx+1. (a)[1,5puntos]Determinaayb∈ sabiendoquelagráficadefpasaporelpunto(2,2)ytieneunpuntodeinflexióndeabscisax=0. (b) [1 punto]Calculalasecuacionesdelasrectastangentesynormalalagráficadefenelpuntodeinflexión.Ejercicio 2.‐ Sea : 0, 2 → la función definida por

0 12 1 2,siendoLnlafunciónlogaritmoneperiano.

(a)[1punto]Estudialaderivabilidaddefenelpuntox=1. (b) [1,5puntos]Calcula , .

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices 32 , 2 1 1 2

6 6 (a)[1,25puntos]Halla,siexiste,lamatrizinversadeAB+C. (b) [1,25puntos] Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican

3 .

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Sea la recta rde ecuaciones y elplanoπdeecuaciónx−y+z+1=0.CalculaelareadeltriangulodevérticesABC,siendoAelpuntodecortedelarectaryelplanoπ,Belpunto(2,1,2)delarectaryClaproyecciónortogonaldelpuntoBsobreelplanoπ.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sedeseaconstruirunalatadeconservaenformadecilindrocircularrectoquetengaunasuperficietotalde200cm2.Determinaelradiodelabaseylaalturadelalataparaqueelvolumenseamáximo.Ejercicio2.‐ (a) [0,75 puntos]Haz un esbozo del recintolimitadoporlascurvas e 1. (b) [1,75puntos]Calculaeláreadedichorecinto.Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuacioneslineales

4

3 12 2

(a)[1,25puntos]Clasificaelsistemasegúnlos

valoresdelparámetroλ. (b)[0,75puntos]Resuelveelsistemaparaλ=1.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallalasecuacionesparamétricasdeunarectaquecortaalarectardeecuacionesx=y=z,esparalelaalplanoπdeecuación3x+2y−z=4ypasaporelpuntoA(1,2,−1).

2006‐ 7


MATEMÁTICASII


42

OPCIÓNAEjercicio1.‐ [2,5puntos]Determinadosnúmerosrealespositivossabiendoquesusumaes10yqueelproductodesuscuadradosesmáximo.Ejercicio2.‐Sea : → yg: → lasfuncionesdefinidasmediante f(x)=x3+3x2 y g(x)=x+3. (a) [1,25 puntos] Esboza las gráficasdefygcalculandosuspuntosdecorte.(b)[1,25puntos]Calculaeláreadecadaunodelosdosrecintoslimitadosentrelasgráficasdefyg.

Ejercicio3.‐Consideralamatriz 1 11 (a) [1 punto]

DeterminalamatrizB=A2−2A. (b) [0,75 puntos] Determina losvaloresdeλparalosquelamatrizBtieneinversa. (c) [0,75puntos]Calcula paraλ=1.Ejercicio4.‐Consideralosplanosdeecuacionesx−y+z=0yx+y−z=2. (a)[1punto]DeterminalarectaquepasaporelpuntoA(l,2,3)ynocortaaningunodelosplanosdados. (b) [1,5 puntos] Determina lospuntosqueequidistandeA(1,2,3)yB(2,1,0)ypertenecenalarectainterseccióndelosplanosdados.

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2'5puntos]Sea : → lafuncióndefinidapor f(x)=2x3+12x2+ax+b. Determina a y b sabiendo que la rectatangentealagráficadefensupuntodeinflexióneslarectay=2x+3.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Dadalafunción : → definidapor 1 , hallalaprimitivadefcuyagráficapasaporelorigendecoordenadas(Lndenotalafunciónlogaritmoneperiano).

Ejercicio3.‐(a)[1punto]Calculalamatrizinversade1 1 00 1 11 0 1

(b) [1,5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y

resuélvelousandolamatriz halladaenelapartadoanterior,123

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(0,3,−1)yB(0,1,5). (a) [1,25puntos]CalculalosvaloresdexsabiendoqueeltriánguloABCdevérticesA(0,3,−1),B(0,1,5)yC(x,4,3)tieneunángulorectoenC. (b) [1,25puntos]Hallalaecuacióndelplanoquepasaporlospuntos(0,1,5)y(3,4,

3)yesparaleloalarectadefinidaporlasecuaciones 02 3

2007‐ 1


MATEMÁTICASII


43

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : 0, ∞ → lafuncióndefinidapor √

(a)[1,5puntos]Determina los intervalosde crecimientoydedecrecimiento ylos extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que sealcanzan). (b) [1 punto] Calcula el punto de inflexión de lagráficadef.Ejercicio2.‐Sea : 0, ∞ → lafuncióndefinidapor | 2| (a)[1punto]Estudialaderivabilidaddefenx=2. (b) [0,5 puntos]Esbozalagráficadef. (c) [1 punto] Calcula el área del recintolimitadoporlagráficadefyelejedeabscisas.

Ejercicio3.‐SeanIlamatrizidentidaddeorden2y 11 1 (a) [1,25

puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que,dondeOeslamatriznuladeorden2. (b) [1,25 puntos]

Param=2,hallalamatrizXtalque 2 ,donde denotalamatriztraspuestadeA.Ejercicio4.‐ (a) [1,25 puntos] Halla los dos puntos quedividen al segmento de extremos A (1, 2, 1) y B (−1, 0, 3) en tres partesiguales. (b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del planoperpendicularalsegmentoABquepasaporsupuntomedio.

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Determinauna función : → sabiendoquesuderivadavienedadaporf′(x)=x2+x−6yqueelvalorquealcanzafensupuntodemáximo(relativo)eseltripledelvalorquealcanzaensupuntodemínimo(relativo).Ejercicio2.‐Sea : 1, ∞ → lafuncióndefinidaporf(x)=Ln(x+1)(Lndenotalafunciónlogaritmoneperiano). (a)[1punto]Determinalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=0. (b) [1,5puntos]Calculaeláreadel recinto limitadopor lagráficadef,larectatangenteobtenidaenelapartadoanteriorylarectax=1.

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones 412 (a) [1,5

puntos]Resuélveloparaelvalordeaquelohagacompatibleindeterminado. (b)[1punto]Resuelveelsistemaqueseobtieneparaa=−2.

Ejercicio4.‐Consideralosvectores: =(1,1,m), =(0,m,−1)y =(1,2m,0). (a) [1,25puntos]Determinael valordem paraque losvectores , y seanlinealmentedependientes. (b) [1,25 puntos] Para el valorde m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector comocombinaciónlinealdelosvectores y .

2007‐ 2


MATEMÁTICASII


44

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ Sea : 0, ∞ → la función definida por f(x) = x2Ln(x) (Lndenotalafunciónlogaritmoneperiano). (a) [1,5 puntos]Determina los intervalosdecrecimientoydedecrecimientoy losextremosrelativosdef(puntosdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). (b)[1punto]Calculalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=√ .Ejercicio2.‐Consideralasfunciones : → y : → definidaspor y . (a) [1,25 puntos] Esboza las gráficasdefydegydeterminasupuntodecorte. (b) [1,25puntos]CalculaeláreadelrecintolimitadoporelejeOYylasgráficasdefyg.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices 12 3 y 2 0

1 1 . (a) [0,75puntos]DeterminalosvaloresdeαparalosquelamatrizAtieneinversa. (b)[1,75puntos]Paraα=1,calcula yresuelvelaecuaciónmatricialAX=B.

Ejercicio4.‐Searlarectadefinidapor yslarectadefinidapor

. (a) [1,25 puntos] Halla k sabiendo que lasrectasryssecortanenunpunto.(b)[1,25puntos]Determinalaecuacióndelplanoquecontienealasrectasrys.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas condosmaterialesdistintos.Elpreciodecadaunodeestosmaterialeses2y3eurosporcentímetrocuadrado,respectivamente.Porotraparte,lasumadelosperímetrosdelosdoscuadradostienequeser1metro.¿Cómohemosdeelegirlosladosdeloscuadradossiqueremosqueelcostetotalseamínimo?Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=x(x−3)2. (a) [1punto]Calculalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. (b) [0,5puntos]Hazunesbozodelagráficadef. (c)[1punto]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefyelejedeabscisas.


2 21 (a)

[1,5puntos]Determinaelvalordeλparaqueelsistemaseaincompatible. (b)[1punto]Resuelveelsistemaparaλ=1.Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallalaecuacióndelarectacontenidaenelplanode ecuación x + 2y + 3z − 1 = 0 que corta perpendicularmente a la recta

definidapor 2 42 3enelpunto(2,1,−1).

2007‐ 3


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] De entre todos losrectángulossituadosenelprimercuadrantequetienendos de sus lados sobre los ejes coordenados y unvérticeenlarectardeecuación +y=1(verfigura),determinaelquetienemayorárea.

Ejercicio2.‐Sea . (a) [1punto]Expresa Ihaciendoelcambiodevariablet=ex. (b)[1,5puntos]CalculaI.Ejercicio3.‐ [2,5puntos]Clasificayresuelveel siguientesistemasegún los

valoresdea, 0

1 22 2 2

Ejercicio4.‐Consideralarectardefinidapor yelplanoπdeecuación2x−y+βz=0.Determinaαyβencadaunodelossiguientescasos: (a)[1punto]Larectaresperpendicularalplanoπ. (b)[1,5puntos]Larectarestácontenidaenelplanoπ.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor . (a) [1,5puntos]Determinalosextremosrelativosdef(puntosdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). (b) [1 punto] Estudia y determina lasasíntotasdelagráficadef.Ejercicio2.‐Sea : 2, 0 → lafuncióndefinidamediante

2 1

1 0. (a) [1,5 puntos] Determina y

sabiendoquefesderivable. (b)[1punto]Calcula .Ejercicio3.‐Sesabequeelsistemadeecuacioneslineales

1 2

01 0

tienemásdeunasolución.

(a)[1,5puntos]Calcula,endichocaso,elvalordelaconstanteλ. (b) [1punto]Hallatodaslassolucionesdelsistema.

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Calcula la distancia del punto P (1, −3, 7) a su

puntosimétricorespectodelarectadefinidapor3 2 06 0 .

2007‐ 4


MATEMÁTICASII


46

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinida,parax≠2yx≠−2,por 3 . (a)[1punto]Calculalosextremosrelativosdef(puntosdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). (b) [1,5puntos]Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en supuntodeinflexión.

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 1 0 0.

(a)[1punto]Determinaelvalordesabiendoquefesderivable. (b) [0,5puntos]Hazunesbozodelagráficadef. (c) [1 punto] Calcula

.Ejercicio3.‐ (a)[1,5puntos]Calculaelvalordemparaelquelamatriz 1 0

1 verifica larelación2 ydetermina paradichovalordem. (b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada queverificalarelación2 ,determinalaexpresiónde enfuncióndeMydeI.Ejercicio4.‐

(a)[1,5puntos]Encuentralaecuacióndelarectarquepasaporelorigendecoordenadasyesparalelaalosplanosπ1deecuaciónx+y+z=3√3yπ2deecuación−x+y+z=2. (b)[1punto]Hallaladistanciadelarectaralplanoπ1.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea lafuncióndefinida,parax2yx2,por . (a)[1punto]Determinalasasíntotasdelagráficadef. (b) [1 punto]Determina los intervalosdecrecimientoydedecrecimientoy losextremosrelativosdef(puntosdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). (c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.

Ejercicio2.‐Calcula. (a)[1punto] .

(b)[1,5puntos] cos 2 .Ejercicio3.‐ [2,5puntos]Resuelveelsiguientesistemadeecuacionesparalosvaloresdemquelohacencompatible: x+my=m mx+y=m mx+my=1

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(1,0,−2)ylarectardefinidapor

2 52 4 7 (a) [1,5 puntos] Determina la recta

perpendiculararquepasaporP.(b) [1 punto] Halla la distancia entre elpuntoPysusimétricoQrespectodelarectar.

2007‐ 5


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Determina la función : → sabiendo quef′′(x)=x2−1yquelarectatangentealagra icadefenelpuntodeabscisax=0eslarectay=1.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calculaβ>0paraqueeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdelasfunciones : → y : → definidasporf(x)=x2yg(x)=−x2+2β2sea72(unidadesdeárea).

Ejercicio 3.‐ SeaA lamatriz3 05 5

0 3 e I lamatriz identidad de

orden3. (a) [1,25puntos]Calcula losvaloresde paralosqueeldeterminantedeA–2Iescero. (b) [1,25 puntos]CalculalamatrizinversadeA–2Ipara =2.Ejercicio4.‐Consideraelplanoπdeecuación2x+2y−z−6=0yelpuntoP(1,0,−1). (a) [1,25puntos]Calcula larectaquepasaporelpuntoPyesperpendicularalplanoπ. (b) [1,25 puntos]EncuentraelpuntosimétricodePrespectodelplanoπ.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sequiereconstruirundepósitoenformadeprismade base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500m3. ¿Quédimensioneshadetenereldepósitoparaquesusuperficieseamínima?Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=x2. (a) [0,75puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en elpuntodeabscisax=1. (b) [1,75 puntos] Dibuja el recintolimitadoporlagráficadef,larectatangenteobtenidaenelapartadoanterioryelejeOX.Calculasuárea.Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones x+y+mz=1 my−z=−1 x+2my=0. (a)[1,5puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdem. (b) [1 punto]Resuelveelsistemacuandoseacompatibleindeterminado.

Ejercicio4.‐Consideraelplanoπdeecuación2x+2y−z−6=0ylarectardefinidapor (a) [1,25puntos]Calculael áreadeltriángulocuyosvérticessonlospuntosdecortedelplanoπconlosejesdecoordenadas. (b)[1,25puntos]Calcula,razonadamente,ladistanciadelarectaralplanoπ.

2007‐ 6


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐Sea : → y : → lasfuncionesdefinidaspor f(x)=x2+ax+b y g(x)=c·e(x+1) Se sabe que las gráficas de f y g secortanenelpunto(1,2)ytienenenesepuntolamismarectatangente. (a)[2puntos]Calculalosvaloresdea,byc. (b) [0,5puntos]Hallalaecuacióndedichatangente.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Dadaslasfunciones : 0, ∞ → y : 0, ∞ → las funciones definidas por √ y √ , calcula el área delrecintolimitadoporlasgráficasdefyg.Ejercicio3.‐Dadoelsistemadeecuacioneslineales

0

2 05 1

(a)[1,5puntos]Clasifícalosegúnlosvaloresdel

parámetroλ. (b)[1punto]Resuélveloparaλ=−1.Ejercicio4.‐LospuntosA (−2,3,1),B (2,−1,3)yC (0,1,−2)sonverticesconsecutivosdelparalelogramoABCD. (a) [1 punto] Halla lascoordenadasdelvérticeD. (b) [1 punto] Encuentra la ecuación de larectaquepasaporByesparalelaaladiagonalAC. (c) [0,5puntos]Hallalaecuacióndelplanoquecontieneadichoparalelogramo.

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Sea : → la funcióndefinidapor f (x)=ax3+bx2+cx+d.Sesabequeftieneunmáximolocalenx=1,queelpunto(0,1)esunpuntodeinflexióndesugráficayque .Calculaa,b,cyd.

Ejercicio2.‐Sea : 0, ∞ → lafuncióndadaporg(x)=Ln(x)(Lndenotalogaritmoneperiano). (a) [0,75 puntos] Justifica que la rectade ecuación es la recta tangente a la gráfica de g en el punto deabscisax=e. (b)[1,75puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadeg,elejeceabscisasylarectatangentedelapartadoanterior.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Dadaslasmatrices

1 1 10 1 01 2 2

,1 00 12 1

2 0 11 1 1

CalculalamatrizPqueverificaAP−B=CT(CTeslamatriztraspuestadeC).

Ejercicio4.‐ Sealarectardadapor 2 2yelplanoπdefinido

porx+my−z=1. (a) [1 punto] ¿Existe algún valor de mparaelqueπyrsonparalelos? (b) [1 punto] ¿Para qué valor dem está larectacontenidaenelplano? (c)[0,5puntos]¿Cuáleslaposiciónrelativadelarectayelplanocuandom=0?

2008‐ 1


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐Consideralafunción : → definidapor

3 24 2

. (a) [1,5 puntos] Halla a y b sabiendo

quefesderivableen . (b) [1 punto] Determina la recta tangente y larectanormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=3.Ejercicio2.‐Dadalafunción : → definidapor 2 | 1|. (a)[1punto]Esbozalagráficadeg. (b) [1,5 puntos] Calcula

.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

1

21

(a) [1,5 puntos]Discútelo según los valores del

parámetroa. (b)[1punto]Resuélveloenelcasoa=2.

Ejercicio4.‐Sealarectasdadapor 12 3. (a) [125 puntos]

Hallalaecuacióndelplanoπ1queesparaleloalarectasyquecontienealarectardadaporx−1=−y+2=z−3. (b) [1,25 puntos] Estudia laposiciónrelativadelarectasyelplanoπ2,deecuaciónx+y=3ydeduceladistanciaentreambos.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Deentretodaslasrectasdelplanoquepasanporelpunto(1,2),encuentraaquellaqueformaconlaspartespositivasdelosejescoordenadosuntriángulodeáreamínima.Hallaeláreadedichotriángulo.Ejercicio2.‐Sean : → y : → lasfuncionesdefinidaspor f(x)=x2–1 y g(x)=2x+2. (a)[1punto]Esbozalasgráficasdefyg. (b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por ambasgráficas.

Ejercicio3.‐Sabemosqueelsistemadeecuaciones 2 3 1 2 2 tiene

lasmismassolucionesqueelqueresultadeañadirlelaecuación ax+y+7z=7 (a)[1,25puntos]Determinaelvalordea. (b)[1,25puntos]Calculalasolucióndelsistemainicialdedosecuaciones,demaneraquelasumadelosvaloresdelasincógnitasseaigualalaunidad.

Ejercicio4.‐DadoslospuntosA(1,1,0),B(1,1,2)yC(1,−1,1). (a) [1,5puntos] Comprueba que no están alineados y calcula el área del triánguloquedeterminan. (b)[1punto]HallalaecuacióndelplanoquecontienealpuntoAyesperpendicularalarectadeterminadaporByC.

2008‐ 2


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Seaflafuncióndefinidaparax≠0,por .Determinalasasíntotasdelagráficadef.


Ejercicio3.‐Uncajeroautomáticocontienesólobilletesde10,20y50euros.Entotalhay130billetesconunimportede3000euros. (a) [1,25puntos]¿Esposiblequeenelcajerohayaeltriplenúmerodebilletesde10quede50? (b) [1,25 puntos] Suponiendo que el número debilletes de 10 es el doble que el númerode billetes de 50, calcula cuántosbilleteshaydecadatipo.

Ejercicio4.‐Dadalarectardefinidapor (a) [1,25puntos]Hallalaecuacióndelplanoquepasaporelorigendecoordenadasycontienear. (b) [1,25puntos]Halla laecuacióndelplanoquepasaporelorigendecoordenadasyesperpendicularar.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Deentretodoslosrectángulosdeperímetro8cm,determinalasdimensionesdelquetienediagonaldemenorlongitud.Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndadporf(x)=e2x (a) [1 punto]Justificaquelarectadeecuacióny=−2exeslarectatangentealagra icadefenelpuntodeabscisax=½. (b) [1,5 punto] Calcula el área delrecintolimitadoporlagráficadef,elejedeordenadasylarectatangentedelapartadoanterior.

Ejercicio3.‐Consideralamatriz1 1 1

. (a) [1 punto]

HallalosvaloresdelparámetromparalosqueelrangodeAesmenorque3.

(b) [1,5 puntos] Estudia si el sistema111 tiene

solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartadoanterior.Ejercicio4.‐ [2,5puntos]DadoslospuntosA(2,1,1)yB(0,0,1),hallalospuntosCenelejeOXtalesqueeláreadeltriángulodevérticesA,ByCes2.

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MATEMÁTICASII


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OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Dadalafunción : → definidapor ,determina laecuaciónde la recta tangentea lagráficade f ensupuntodeinflexión.Ejercicio 2.‐ Sean : → y : → las funciones definidas por

4 y 3 6 (a)[0,75puntos]Determinalospuntosdecortedelasgráficasdefyg. (b)[1,75puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadopordichasgráficas.Ejercicio3.‐Dadoelsiguientesistemadeecuaciones

10

1 1 (a)[1,25puntos]Determinaelvalordel

parámetrokparaqueseaincompatible. (b) [1,25 puntos]Hallaelvalordelparámetrokparaquelasolucióndelsistematengaz=2.

Ejercicio4.‐Consideralarectardefinidapor 03 3ylarectasdefinida

por 2 30 . (a) [1 punto] Estudia la posición relativa

derys. (b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general de un plano quecontieneasyesparaleloar.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sealafunción : 0, 4 → definidapor

0 21 2 4

(a) [2 puntos] Determina a, b y c

sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en elintervaloabierto(0,4)yquef(0)=f(4). (b)[0,5puntos]¿Enquépuntodelintervaloseanulaladerivadadelafunción?

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula 1 (Ln denota la funciónlogaritmoneperiano)Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Halla los valores del parámetro m que hacencompatibleelsistemadeecuaciones:

2 2 22

3

Ejercicio4.‐ [2,5puntos] Sea la recta r definidapor 10y sean los

planosπ1,deecuaciónx+y+z=0,yπ2,deecuacióny+z=0.Hallalarectacontenidaenelplanoπ1,queesparalelaalplanoπ2yquecortaalarectar.

2008‐ 4


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : 0, 2 → lafuncióndefinidapor (a) [1,25 puntos] Determina losintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. (b) [1,25puntos]Calculalospuntosdeinflexióndelagráficadef.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Sean : → y : → lasfuncionesdadaspor

y (cona>0).Sesabequeeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdelasfuncionesfyges .Calculaelvalordelaconstantea.

Ejercicio3.‐[2,5puntos]SeaIlamatrizidentidaddeorden3y

0 1 21 0 21 1 3

. Calcula,siexiste,elvalordekparaelcual(A−

kI)2eslamatriznula.Ejercicio4.‐Sesabequelosplanosdeecuaciones x+2y+bz=1, 2x+y+bz=0, 3x+3y−2z=1 secortanenunarectar. (a)[1,25puntos]Calculaelvalordeb. (b) [1,25 puntos] Hallaunasecuacionesparamétricasder.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | | 26 2.

(a)[0,75puntos]Esbozalagráficadef. (b) [1 punto] Estudia laderivabilidaddef. (c) [0,75 puntos] Calcula el área comprendidaentrelagráficadefyelejedeabscisas.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula (Ln denota la funciónlogaritmoneperiano).

Ejercicio3.‐Dadaslasmatrices1 1 21 2 11 1 1

y1 0 22 0 41 1 1

(a) [1

punto]Calcula,siexisten,lamatrizinversadeAyladeB. (b) [1,5 puntos]Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I; donde I denota la matrizidentidaddeorden3.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]DadoslospuntosA(2,1,−1)yB(−2,3,1)ylarectar definidapor las ecuaciones 1

3 2 5 halla las coordenadasde unpuntodelarectarqueequidistedelospuntosAyB.

2008‐ 5


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuación enelquelapendientedelarectatangenteseamáxima.


. (a) [1,25 puntos] Expresa Iaplicandoelcambiodevariablest=1+x2. (b) [1,25 puntos] Calcula elvalordeI.

Ejercicio3.‐Considera 10 ,siendoaunnúmeroreal. (a) [1

punto]Calculaelvalordeaparaque 12 10 20 . (b) [1 punto]

Calcula,enfuncióndea,losdeterminantesde2AyAt,siendoAtlatraspuestadeA. (c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de a para el que lamatrizAseasimétrica?Razonalarespuesta.Ejercicio4.‐Consideraelplanoπdeecuación2x+y−z+2=0ylarectadeecuación . (a)[1punto]Hallalaposiciónrelativaderyπsegúnlosvaloresdelparámetrom. (b) [0,75puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y esperpendicularalplanoπ. (c)[0,75puntos]Param=−3,hallaelplanoquecontienealarectaryesparaleloalplanoπ.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas condosmaterialesdistintos.Elpreciodecadaunodeestosmaterialeses2y3eurosporcentímetrocuadrado,respectivamente.Porotraparte,lasumadelosperímetrosdelosdoscuadradostienequeser1metro.¿Cómohemosdeelegirlosladosdeloscuadradossiqueremosqueelcostetotalseamínimo?Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 3 . (a) [1punto]Calculalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. (b) [0,5puntos]Hazunesbozodelagráficadef. (c)[1punto]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefyelejedeabscisas.


2 21 (a)

[1,5puntos]Determinaelvalordeλparaqueelsistemaseaincompatible. (b)[1punto]Resuelveelsistemaparaλ=1.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallalaecuacióndelarectacontenidaenelplanode ecuación x + 2y + 3z − 1 = 0 que corta perpendicularmente a la recta

definidapor 2 42 3enelpunto(2,1,−1).

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MATEMÁTICASII


54

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 3 2 . (a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y dedecrecimientodef. (b) [1 punto] Calcula los extremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).Ejercicio2.‐Consideralasfunciones : 0, → y : 0, ∞ → definidaspor y (Lndenotalogaritmoneperiano): (a)[1,25puntos]Halla laprimitivade f que tomaelvalor1cuando (sepuedehacerelcambiodevariablet=cosx) (b) [1,25 puntos] Calcula

.Ejercicio3.‐ (a) [1 punto] Determina razonadamente losvalores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuacionestienemásdeunasolución: 2x+y+z=mx x+2y+z=my x+2y+4z=mz (b) [1,5 puntos] Resuelveelsistemaanteriorparaelcasom=0yparaelcasom=1.Ejercicio4.‐Seconsideralarectardefinidapormx=y=z+2,(m≠0),ylarectasdefinidapor 1 (a) [1,5 puntos] Halla elvalordemparaelqueryssonperpendiculares. (b) [1 punto] Deducerazonadamentesiexistealgúnvalordemparaelqueryssonparalelas.

OPCIÓNB

Ejercicio 1.‐ [2,5 puntos] Dada la función f definida para x 0 por determinalasasíntotasdesugráfica.

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor . (a)[0,5puntos]Esbozalagráficadeg. (b)[0,75puntos]Determinalaecuacióndelarectatangentealagráficadegenelpuntodeabscisax=2. (c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por lagráficadegyelejedeabscisas

Ejercicio3.‐Dadalamatriz1 3

1 31 7

(a) [1,25 puntos]

EstudiaelrangodeAenfuncióndelosvaloresdelparámetrok. (b)[1,25puntos]Parak=0,hallalamatrizinversadeA.

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(2,0,1),B(−1,1,2),C(2,2,1)yD(3,1,0). (a)[1punto]CalculalaecuacióndelplanoπquecontienealospuntosB,CyD. (b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de Arespectodelplanoπ.

2008‐ 7


MATEMÁTICASII


55

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Sea : → lafuncióndefinidapor.Calculalosvaloresdea,b,cydsabiendoquefverifica: ‐ El

punto(0,1)esunpuntodeinflexióndelagráficadef. ‐ f tiene unmínimolocalenelpuntodeabscisax=1. ‐ La recta tangente a lagráficadefenelpuntodeabscisax=2tienependiente1.Ejercicio2.‐Consideralasfunciones , : → definidaspor

| | y 6 . (a) [1punto]Esbozaelrecinto limitadoporsusgráficas. (b)[1,5puntos]Calculaeláreadedichorecinto.Ejercicio 3.‐ Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios detresproductosA,ByC. Pista1:SicompramosunaunidaddeA,dosdeByunadeCgastamos118euros. Pista 2: SicompramosnunidadesdeA,n+3deBytresdeCgastamos390euros. (a)[1,5puntos]¿Hayalgúnvalordenparaelqueestasdospistasseanincompatibles? (b) [1punto]Sabiendoquen=4yqueelproductoCcuestaeltriplequeelproductoA,calculaelpreciodecadaproducto.Ejercicio 4.‐ Considera el punto A (1, ‐2, 1) y la recta r definida por las

ecuaciones 22 7. (a) [1punto]Halla laecuacióndel

planoperpendiculararquepasaporA. (b) [1,5 puntos] Calcula la distanciadelpuntoAalarectar.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]SedivideunsegmentodelongitudL=20cmendostrozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro unrectánguloenelque labaseeseldoblede laaltura.Calcula la longituddecada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y delrectánguloseamínima.Ejercicio 2.‐ La recta tangente a la gráfica de la función : → , definidapor 3, en el punto (1, 6), es paralela a la recta deecuacióny=x. (a) [1,25 puntos] Determina lasconstantesmyn.Hallalaecuacióndedicharectatangente. (b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de lafunción,latangenteanterioryelejedeordenadas.Ejercicio3.‐SeanA,B,CyXmatricescualesquieraqueverificanAXB=C. (a) [1 punto] Si lasmatrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que eldeterminantedeAes3,eldeBes–1yeldeCes6,calculaeldeterminantedelasmatricesXy2X. (b)[1,5puntos]Si 1 1

0 2 ,1 22 3 0 3

4 2 ,calculalamatrizX.

Ejercicio4.‐ [2,5puntos]Consideralarectardefinidapor 12 2y la

recta s definida por4 33 5 4

. Determina la ecuación del plano que

contienearyesparaleloas.

2009‐ 1


MATEMÁTICASII


56

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | 3|. (a) [1punto]Estudialacontinuidadyderivabilidaddef. (b) [1,5 puntos]Estudiael crecimientoydecrecimientode f.Calculasusextremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).Ejercicio 2.‐ Sea : 0, ∞ → la función definida por 1 ,siendoLnlafunciónlogaritmoneperiano. (a) [1 punto]Comprueba que la recta de ecuación 1 es la recta tangente a lagráficadefenelpuntodeabscisax=e. (b) [1,5 puntos] Calcula elárea del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la rectatangentedelapartado(a).

Ejercicio3.‐Dadaslasmatrices 3 71 2 y 1 3

4 2 . (a) [1punto]Calcula,siexiste,lamatrizinversadeA. (b) [1,5 puntos] CalculalasmatricesXeYquesatisfacenlasecuacionesmatricialesX·A=A+2·ByA·Y=A+2·B.Ejercicio 4.‐ Considera el punto P(1, 0, −2), la recta r de inida por

2 1 02 0 yelplanoπdeecuación2x+y+3z−1=0. (a) [1,25

puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y esperpendicularaπ. (b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de larectaquepasaporP,cortaaryesparalelaaπ.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : 0, ∞ → definidapor 11. (a)

[1,25puntos]Sabiendoque fescontinua,calculaa(Lndenotael logaritmoneperiano). (b)[1,25puntos]Estudialaexistenciadeasíntotahorizontalparalagráficadeesta función.Encasodequeexista,determinasuecuación.Ejercicio2.‐Seconsideranlasfunciones : 0, ∞ → y : → definidaspor √3 y . (a) [0,5 puntos]Haz un esbozodesusgráficas. (b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitadoporlasgráficasdeambasfunciones.

Ejercicio3.‐Dadoelsistemadeecuacioneslineales4

3 54 (a)

[1,75puntos]Discútelosegúnlosvaloresdelparámetro. (b) [0,75puntos]Resuélveloenelcaso=1.

Ejercicio4.‐ Consideraelplanoπdeecuación3x−2y−2z=7y larectardefinidapor . (a) [1,25 puntos] Determina laecuacióndelplanoparaleloaπquecontienear. (b) [1,25puntos]Hallalaecuacióndelplanoortogonalaπquecontienear.

2009‐ 2


MATEMÁTICASII


57

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Se sabe que la función : → definida por

1 15 2 1

esderivable.Determinalosvaloresdeayb.

Ejercicio2.‐ (a)[1,25puntos]Calcula . (b) [1,25 puntos] Sean las funciones , : → , definidas por

1, 1. Calcula el área del recinto limitado por susgráficas.Ejercicio3.‐ (a) [1,25 puntos] Resuelve el sistema de

ecuaciones: 2

2 02 5 2

(b)[1,25puntos]Calcula

λsabiendoqueelsiguientesistematienealgunasolucióncomúnconeldel

apartado(a) 1

3 12 3

Ejercicio4.‐[2,5puntos]HallalaecuacióndelarectaquepasaporelpuntoA(1,1,−1),esparalelaalplanodeecuacionx−y+z=1ycortaalejeZ.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sesabequelafunción : → definidaporf(x)=ax3+bx2+cx+dtieneextremosrelativosen(0,0)yen(2,2).Calculaa,b,cyd.Ejercicio 2.‐ Las dos gráficas del dibujocorresponden a la función : 0, ∞ → definidapor 2 y ladesuderivada′: 0, ∞ → (Lndenotalogaritmoneperiano). (a) [0,5 puntos] Indica, razonando la respuesta,cuáleslagráficadefycuálladef‘. (b) [2puntos]Calculaeláreadelaregiónsombreada.


(a) [1

punto]Calcula,siexiste, . (b) [1,5 puntos] Resuelve el sistemaAX=3Xeinterpretageométricamenteelconjuntodesussoluciones.

Ejercicio4.‐Consideralarectardefinidapor 3 2 03 0 (a) [1

punto]Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por elpuntoP(1,1,1). (b) [1,5 puntos] Halla los puntos de r cuyadistanciaalorigenesde4unidades.

2009‐ 3


MATEMÁTICASII


58

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor . a) [0,75puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef,asícomolosextremosrelativosolocalesdef. b) [0,5 puntos] Determina losintervalosdeconcavidadydeconvexidaddef.c) [0,75 puntos] Determina lasasíntotasdelagráficadef. d)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio 2.‐ Sean las funciones : → y : → definidas por

| |yg(x)=2. a)[1punto]Determinalospuntosdecortedelasgráficasdefyg. b) [1,5 puntos] Calcula el área del recintolimitadopordichasgráficas.

Ejercicio3.‐Seconsideranlasmatrices 3 12 1 yB=A−kI,dondek

esunaconstanteeIeslamatrizidentidaddeorden2. (a) [0,75puntos]DeterminalosvaloresdekparalosqueBnotieneinversa. (b)[0,5puntos]Calcula parak=−1. (c) [1,25puntos]DeterminalasconstantesαyβparalasquesecumpleA2+αA=βI.

Ejercicio4.‐Seanlarectardefinidapor 23ylarectasdefinidapor

12 2. (a)[1punto]Estudialaposiciónrelativade

rys. (b) [1,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a s y esparaleloar.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Detodoslostriánguloscuyabaseyalturasuman20cm¿québasetieneeldeáreamáxima?Ejercicio2.‐ [2,5puntos]Calculaunnúmeropositivoa,menorque4,paraqueelrecintolimitadoporlaparáboladeecuacióny=x2ylasdosrectasdeecuacionesy=4ey=a,tengaunáreade unidadescuadradas.

Ejercicio3.‐Seaelsistemadeecuaciones 11 (a) [1,5

puntos]Determinalosvaloresdemparalosqueelsistemaescompatible. (b)[1punto]Resuelveelsistemaenelcasom=−1.

Ejercicio4.‐SeaelpuntoP(2,3,−1)ylarectarde inidapor

2 12 4 1 (a) [1,25 puntos]Halla la ecuación del plano que

pasaporPycontienear. (b)[1,25puntos]HallaelpuntoderqueestámáscercadeP.

2009‐ 4


MATEMÁTICASII


59

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Calcula el siguiente límite (Ln denota logaritmoneperiano),

lim→

1 21

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=x|x−1|. (a) [0,5puntos]Esbozalagráficadef. (b) [0,75puntos]Compruebaque larectadeecuacióny=xes larecta tangentea lagráficade fenelpuntodeabscisax=0. (c)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefyladedichatangente.Ejercicio 3.‐ Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera,respectivamente, de unamatriz B de orden 3, cuyo determinante vale −2.Calcula,indicandolaspropiedadesqueutilices: (a) [0,5 puntos] Eldeterminantede . (b)[0,5puntos]Eldeterminantede (

eslamatriztraspuestadeB).(c)[0,5puntos]Eldeterminantede2B. (d)[1punto]Eldeterminantedeunamatrizcuadradacuyasfilasprimera,segundaytercerason,respectivamente,5F1F3,3F3,F2.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Seconsideralarectardefinidapor11

2yla

rectasdefinidapor 11.Halla laecuaciónde larectaperpendicular

comúnarys.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor

03 1 0

(a) [0,75 puntos] Estudia su continuidad y

derivabilidad. (b)[1,25puntos]Determinasusasíntotasysusextremosrelativos. (c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio2.‐Consideralacurvadeecuacióny=x3—3x. (a) [0,5puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto deabscisax=−1. (b) [2 puntos] Calcula el área del recintolimitadoporlacurvadadaylarectay=2.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Unaempresaenvasadorahacompradountotalde1500cajasdepescadoentresmercadosdiferentes,aunprecioporcajade30,20y40eurosrespectivamente.Elcostetotaldelaoperaciónhasidode40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado,sabiendoqueenelprimerodeellossehacompradoel30%delascajas.

Ejercicio 4.‐ Considera la recta r definidapor 20 y la recta s que

pasaporlospuntosA(2,1,0)yB(1,0,−1). (a) [1 punto] Estudialaposiciónrelativadeambasrectas. (b)[1,5puntos]DeterminaunpuntoCdelarectartalquelossegmentos y seanperpendiculares.

2009‐ J


MATEMÁTICASII


60

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Seconsideralafunción : 1, ∞ → definidapor√ .Determinalaasíntotadelagráficadef.

Ejercicio 2.‐ La curva divide al rectángulo de vértices A (0, 0),B(2,0),C(2,1)yD(0,1)endosrecintos. (a) [0,75 puntos]Dibujadichosrecintos. (b) [1,75puntos]Hallaeláreadecadaunodeellos.Ejercicio3.‐ (a) [1,75 puntos] Discute según los valores

delparámetroelsiguientesistema 3 0

3 1 (b)

[0,75puntos]Resuélveloparaλ=0.Ejercicio 4.‐ Considera el punto P (1, 0, 0), la recta r definida por

3 ylarectasdefinidapor(x,y,z)=(1,1,0)+(1,2,0). (a)[1,25puntos]Estudialaposiciónrelativaderys. (b) [1,25 puntos]HallalaecuacióndelplanoquepasandoporPesparaleloarys.

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Deentretodos losrectánguloscuyaáreamide16cm2,determinalasdimensionesdelquetienediagonaldemenorlongitud.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Seaflafuncióndefinidapor

√.Hallala

primitiva F de f que cumple F(0) = 3. (Sugerencia: utiliza el cambio devariable ).

Ejercicio3.‐[2,5puntos]Seanlasmatrices 1 2 12 1 11 0 1

,

B= 3 1 01 2 1

2 11 20 3

Determina la matriz X que verifica

2 ( eslamatriztraspuestadeB).

Ejercicio4.‐Consideralarectardefinidapor 3 01 0ylarectas

definidapor 2 1 02 3 0 (a) [1,5 puntos] Determina la

ecuacióndelplanoquecontienearyesparaleloas. (b)[1punto]¿Existealgúnplanoquecontengaaryseaperpendicularas?Razonalarespuesta.

2009‐ S


MATEMÁTICASII


61

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Lahipotenusadeuntriángulorectángulomide90cm.Sisehacegiraralrededordeunodesuscatetos,eltriánguloengendrauncono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo apara que elvolumendel cono engendrado seamáximo? (Recuerdaque el volumendelconoes ).

Ejercicio2.‐Consideralasfunciones , : → definidasporf(x)=2–x2yg(x)=|x|. a)[1punto]Esbozalasgráficasenunosmismosejescoordenados. b)[1,5puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdefyg.

Ejercicio3.‐Sealamatriz 5 4 22 1 14 4 1

(a) [1,25 puntos]

Compruebaqueseverifica2A−A2=I. (b) [1,25 puntos] Calcula A−1.(Sugerencia:Puedesusarlaigualdaddelapartado(a)).Ejercicio4.‐[2,5puntos]Calculaeláreadeltriángulocuyosvérticessonlospuntos de intersección del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes decoordenadas.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidacomo parax1. a) [1punto]Estudiayhallalasasíntotasdelagráficadef. b) [0,75 puntos]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef. c)[0,75puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio2.‐Dadalafunción : 0, ∞ → definidacomo ,dondelneslafunciónlogaritmoneperiano,sepide: a) [0,75 puntos]Compruebaquelarectadeecuacióny=ex+1+e2eslarectanormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=e. b) [1,75 puntos] Calcula elárea de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la rectanormaldelapartadoa).Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

2 1

1 (a) [1,75 puntos] Discútelo según los

valoresdem. (b)[0,75puntos]Resuélveloparaelcasom=1.

Ejercicio4.‐SeanlospuntosA(1,1,1),B(−1,2,0),C(2,1,2)yD(t,−2,2)(a)[1,25puntos]DeterminaelvalordetparaqueA,B,CyDesténenelmismoplano. (b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de un planoperpendicularalsegmentodeterminadoporAyB,quecontengaalpuntoC.

2010‐ 1


MATEMÁTICASII


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OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Entretodoslostriángulosrectángulosde5metrosdehipotenusa,determinaloscatetosdeldeáreamáxima.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Sea : 2, ∞ → lafuncióndefinidaporf(x)=ln(x +2). Halla una primitiva F de f que verifique F(0) = 0. (ln denota ellogaritmoneperiano).

Ejercicio3.‐Consideraelsistema 3 2 52 3 4 (a) [1,5 puntos]

Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante alañadirlelaecuaciónx+y+λz=9seacompatibleindeterminado. (b)[1punto]¿Existealgúnvalordeλparaelcualelsistemaresultantenotienesolución?Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,0,2),B(−1,2,4)ylarectarde inidapor 1 (a) [1,5 puntos] Determina laecuacióndelplanoformadoporlospuntosqueequidistandeAydeB. (b)[1punto]HallalaecuacióndelplanoparaleloaryquecontienelospuntosAyB.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ Sea : 0, ∞ → la función definida por f(x) = ln(x2 + 3x),dondelndenotaellogaritmoneperiano. a) [1,5 puntos]Determina,siexisten,lospuntosdelagráficadefenlosquelarectatangentealagráficaesparalelaalarectadeecuaciónx–2y+1=0. b)[1punto]Hallalaecuaciónde la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en elpuntodeabscisax=3.Ejercicio2.‐ [2,5puntos]Calculaelvalordea>0sabiendoqueeláreadelrecintocomprendidoentrelaparábolay=x2+axylarectay+x=0vale36unidadescuadradas.

Ejercicio3.‐Seanlasmatrices1 2 3

1 30 2

y234

(a) [0,5

puntos]DeterminalosvaloresdeαparalosqueAtieneinversa.(b) [1,25puntos]CalculalainversadeAparaα=1. (c) [0,75 puntos] Resuelve,paraα=1,elsistemadeecuacionesAX=B.

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,1,1),B(0,−2,2),C(−1,0,2)yD(2,−1,2). (a)[1punto]CalculaelvolumendeltetraedrodevérticesA,B,CyD.(b)[1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y esperpendicularalplanoquecontienealospuntosA,ByC.

2010‐ 2


MATEMÁTICASII


63

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Sealafunción : → definidapor

0

1 0

Calcula las constantesa,b, y c sabiendoque f es derivable y que la rectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1tienependiente3.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Dadalafunción definidapor

35 4

parax1yx4.Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadef,elejedeabscisas,ylasrectasx=2,x=3.

Ejercicio3.‐Consideralassiguientesmatrices 1 20 1 y 3 0

2 1 (a)[0,75puntos]Calcula . (b) [1,75 puntos] Resuelve laecuaciónmatricial 2 ,dondeIeslamatrizidentidaddeorden2y eslamatriztraspuestadeA.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,2,1)yB(−1,0,3). (a) [1,25puntos]Calcula lascoordenadasde lospuntosquedividenelsegmentoABentrespartesiguales. (b) [1,25 puntos] Halla la ecuación delplanoperpendicularalsegmentoAByquepasaporA.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Sea : → la función definida como

1 √3 .Hallalasecuacionesdelarectatangenteydelarectanormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=5yenelpuntodeabscisax=2.Ejercicio2.‐Consideralafunción : → definidapor |2 |. a)[1punto]Esbozasugráfica b)[1,5puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadef,elejedeabscisasylarectadeecuaciónx=3.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Obténunvectornonulov=(a,b,c),demaneraquelasmatricessiguientestengansimultáneamenterango2.

1 11 01 1

2 00 13 1

Ejercicio4.‐ Consideraelplanoπdefinidopor2x−y+nz=0y la recta r

dadapor conm0. (a) [1,25 puntos] Calculamynparaquelarectarseaperpendicularalplanoπ. (b)[1,25puntos]Calculamynparaquelarectarestécontenidaenelplanoπ.

2010‐ 3


MATEMÁTICASII


64

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Dada la función : → definida como

,determinalosvaloresdelasconstantesa,b,cydsabiendoquelagráficadeftienetangentehorizontalenelpunto(0,4)yquelasegundaderivadadefes 3 10.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Sealafunciónfdadapor ,parax1yx0.DeterminalaprimitivaFdeftalqueF(1)=1.Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones

2 6 02 4 2

2 6 2

(a)[1,75puntos]Discútelosegúnlosvaloresdelparámetro (b)[0,75puntos]Resuélvelopara=2.Ejercicio4.‐[2,5puntos]HallaelpuntosimétricodeP(1,1,1)respectodelarectardeecuación:

12 3

11

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Consideralafunción : → definidapor

01 0 121

1

Estudiasucontinuidadyderivabilidad.Determinalafunciónderivadadef.Ejercicio2.‐Seanf,g:R→Rlasfuncionesde inidasporf(x)=x2–2x+3yg(x)= x2+1. (a) [1 punto] Esboza las gráficas de f y g, yhallasupuntodecorte. (b) [1,5 puntos] Calcula el área del recintolimitadoporlasgráficasdeambasfuncionesyelejedeordenadas.

Ejercicio3.‐DelamatrizA= sesabequedet(A)=4.Sepide: (a)

[1,25puntos]Halladet(3 )ydet 2 23 3 .Indicalaspropiedadesque

utilizas.( eslamatriztraspuestadeA). (b) [0,75 puntos] Calculadet( ). (c)[0,5puntos]SiBesunamatrizcuadradatalqueB3=I,siendoIlamatrizidentidad,halladet(B).

Ejercicio4.‐SeanlospuntosA(2,,),B(,2,0)yC(0,,1). (a) [1punto] ¿Existe algún valor de R para el que los puntosA, B y C esténalineados?Justificalarespuesta. (b)[1,5puntos]Para=1hallalaecuacióndelplanoquecontienealtriángulodevérticesA,ByC.Calcula ladistanciadelorigendecoordenadasadichoplano.

2010‐ 4


MATEMÁTICASII


65

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor ,paraxa. a) [1,5puntos]Calculaaybparaquelagráficadefpaseporelpunto(2,3)ytengaunaasíntotaoblicuaconpendiente4. b) [1punto]Parael casoa=2,b=3,obténlaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula √ Sugerencia: Efectúa elcambio√ .

Ejercicio3.‐Seanlasmatrices 1 0 10 34 1

,

1 03 21 1

, 5 3 43 2 2 (a) [0,5 puntos] Indica los valores de m

paralosqueAesinvertible. (b) [2 puntos] Resuelve la ecuaciónmatricial param=0.( eslamatriztraspuestadeB).Ejercicio4.‐Consideralasrectasrysdeecuaciones 1

1 y 2 11 (a)[0,75puntos]Determinasupuntodecorte.

(b)[1punto]Hallaelánguloqueformanrys. (c) [0,75 puntos]Determinalaecuacióndelplanoquecontienearys.


lim→

Ejercicio2.‐Consideralafunciónfdadaporf(x)=5–xylafuncióndefinidacomog(x)= ,parax0 a) [1 punto] Esboza el recintolimitadoporlasgráficasdefygindicandosuspuntosdecorte. b)[1,5puntos]Calculaeláreadedichorecinto.

Ejercicio3.‐Seaelsiguientesistemadeecuaciones:

2

2 2 (a)[1,75puntos]Discútelosegúnlosvaloresde

λ.¿Tienesiempresolución? (b) [0,75puntos]Resuelveelsistemaparaλ=−1.

Ejercicio 4.‐ Los puntos P (2, 0, 0) yQ (1, 12, 4) son dos vértices de un

triángulo.EltercervérticeSpertenecealarectardeecuación 4 3 330

(a) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r esperpendicularalarectaquepasaporPyS. (b) [1 punto]Compruebasieltriánguloesrectángulo.

2010‐ J


MATEMÁTICASII


66

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 detexto. Losmárgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y loslaterales1cm.Calculalasdimensionesdelahojaparaqueelgastodepapelseamínimo.Ejercicio2.‐Sea

51 √

(a)[1punto]ExpresaIhaciendoelcambiodevariable . (b)[1,5puntos]DeterminaI.Ejercicio3.‐ (a)[1,75puntos]Discute,segúnlosvaloresdelparámetro,elsiguientesistemadeecuaciones:

2 2 43 2 6

(b)[0,75puntos]Resuelveelsistemaanteriorpara=0.Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallalaecuacióndelplanoqueesparaleloalarecta

r de ecuaciones 2 11 02 19 0 y contiene a la recta s definida por

1 52 32 2

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Consideralafunción : 0, 4 → ,definidapor:

0 22 4

a) [1,75 puntos] Sabiendo que f

es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina losvaloresdea,byc. b)[0,75puntos]Paraa=3,b=4yc=1,hallalosextremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que sealcanzan).Ejercicio2.‐Consideralafunción : → ,dadaporf(x)=x2+4 a) [0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1. b)[1,75puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadef,elejedeordenadasylarectadeecuacióny=2x+3.Calculasuárea.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Seanlasmatrices

1 01 1 ,

1 0 00 1 10 1 2

, 3 1 20 1 2

CalculalamatrizXquecumplalaecuaciónAXB=C.

Ejercicio4.‐Consideralosplanosπ1,π2yπ3dadosrespectivamenteporlasecuaciones x+y=1, ay+z=0, y x+(1+a)y+az=a+1 (a) [1,5 puntos] ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningúnpuntoencomún? (b) [1 punto] Para a = 0, determina laposiciónrelativadelosplanos.

2010‐ S


MATEMÁTICASII


67

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Unalambrede100mdelongitudsedivideendostrozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro unrectángulocuyabaseesdoblequesualtura.Calcula las longitudesdecadaunodelostrozosconlacondicióndequelasumadelasáreasdeestasdosfigurasseamínima.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Determina la función : 0, ∞ → tal que

ysugráficatienetangentehorizontalenelpuntoP(1,1).

Ejercicio 3.‐ Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyosdeterminantesson|A|=½y|B|=–2.Halla: (a)[0,5puntos]|A3| (b)[0,5puntos]|A–1| (c)[0,5puntos]|–2A|(d) [0,5 puntos] |ABt|, siendo Bt lamatriztraspuestadeB. (e)[0,5puntos]ElrangodeB.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,0,2)yB(1,2,–1). (a) [1,25puntos]HallaunpuntoCdelarectadeecuación queverificaqueeltriángulodevérticesA,ByCtieneángulorectoenB. (b) [1,25 puntos]CalculaeláreadeltriángulodevérticesA,ByD,dondeDeselpuntodecortedelplanodeecuación2x–y+3z=6conelejeOX.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=4–x2 (a) [1punto]Halla laecuaciónde larectanormala lagráficade fenelpuntodeabscisax=2. (b)[1,5puntos]Determinaelpuntodelagráficaenelquelarectatangenteesperpendicularalarectax+2y–2=0.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula:

2

Ejercicio3.‐Dadalamatriz0 3 41 4 51 3 4

(a) [0,5 puntos]

Demuestraqueseverificalaigualdad ,siendoI lamatrizidentidaddeorden3. (b) [1,25 puntos] Justifica que A es invertible yhallasuinversa. (c)[0,75puntos]Calcularazonadamente .

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Considera los planos 1, 2 y 3 dadosrespectivamenteporlasecuaciones 3x–y+z–4=0 x – 2y + z–1=0 y x+z–4=0Halla la ecuación de la recta que pasa por el puntoP(3,1,–1),esparalelaalplano1ycortaalarectainterseccióndelosplanos2y3.

2011‐ 1


MATEMÁTICASII


68

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercadorectangular para unos caballos enuna zona llana. Cadametrodel ladodelcercadoqueestájuntoalacarreteranoscuesta100€,mientrasqueparaelrestodelcercadonoscuesta10€elmetro.¿Cuálessonlasdimensionesdelpradodeáreamáximaquepodemoscercarcon3000euros?Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula un número positivoamenor que 2, paraqueelrecinto limitadopor laparáboladeecuacióny= x2y lasdosrectas

horizontales de ecuaciones y = a e y = 2, tenga un área de unidadescuadradas.Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones

2 2 4 42 3 3 3 3

(a)[1,75puntos]Discútelosegúnlosvaloresdelparámetroa. (b)[0,75puntos]Resuélvelocuandoseaposible.

Ejercicio 4.‐ Dada la recta r definida por 3 y la recta s

definidapor 12 2 (a) [1,25 puntos] Halla la ecuación

delplanoquepasaporelorigenycontienear. (b) [1,25puntos]Hallalaecuacióndelplanoquecontieneasyesparaleloar.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Enunaempresalosingresos(eneuros)dependendelaedad.Silaedad,x,esde18a50años,losingresosvienendadosporlafórmula–x2+70x,mientrasqueparaedadesigualesosuperioresa50añoslosingresosestándeterminadosporlaexpresión

40030

Calculacuáleselmáximodelosingresosyaquéedadsealcanza.Ejercicio2.‐Dadalafunciónf:RRdefinidaporf(x)=–2x2+3x–1 (a)[0,5puntos]Pruebaquelasrectary=–x+1ey=3x–1sontangentesasugráfica. (b)[2puntos]Hallaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefylasrectasmencionadasenelapartadoanterior.

Ejercicio3.‐Dadalamatriz 1 12 1 (a) [1 punto] Demuestra

queA2+2A=IyqueA–1=A+2I,siendoIlamatrizidentidaddeorden2. (b)[1,5punto]CalculalamatrizXqueverificalaecuaciónA2+XA+5A=4I.

Ejercicio4.‐Dadalarectardefinidapor ylarectasdefinida

por25 (a)[1,75puntos]Hallalaecuacióndelarecta

quecortaperpendicularmenteaambas. (b)[1,5punto]Calculaladistanciaentrerys.

2011‐ 2


MATEMÁTICASII


69

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Dadalafunción : → definidaporf(x)=ax3+bx2 + cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto deinflexiónen(1,0),yque larecta tangenteenesepuntotieneporecuacióny=–3x+3.Ejercicio2.‐Seanlasfunciones : → y : → lasfuncionesdefinidasporf(x)=4–|x|yg(x)=x2. (a)[1punto]Esbozalasgráficasdefyg.Determinasuspuntosdecorte. (b) [1,5 puntos] Calcula el área delrecintolimitadoporlasgráficasdefyg.Ejercicio3.‐SeanAyBdosmatricesqueverifican: 4 23 2 y 2 4

1 2 (a) [1 punto] Halla las matricesy . (b)[1,5puntos]Resuelvelaecuaciónmatricial

2 ,siendoIlamatrizidentidaddeorden2y lamatriztraspuestade .Ejercicio 4.‐ Sea el punto P (2, 3, –1) y la recta r dada por las ecuaciones

12

(a)[1punto]HallalaecuacióndelplanoperpendiculararquepasaporP.(b)[1,5puntos]CalculaladistanciadelpuntoPalarectarydeterminaelpuntosimétricodePrespectoder.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] En el primer cuadrante representamos unrectángulodetalmaneraquetieneunvérticeenelorigendecoordenadasyelvérticeopuestoenlaparábolay=–x2+3.Determinalasdimensionesdelrectánguloparaquesuáreaseamáxima.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula:

Ejercicio3.‐Sealamatriz3 05 5

0 3. (a) [1 punto]

DeterminalosvaloresdeparalosquelamatrizA–2Itieneinversa,siendoIlamatrizidentidaddeorden3. (b)[1,5puntos]Para=–2,resuelvelaecuaciónmatricialAX=2X+I.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Consideralosplanos1y2dadosrespectivamenteporlasecuaciones (x,y,z)=(–2,0,7)+(1,–2,0)+(0,1,–1) y2x+y–z+5=0Determina los puntos de la recta r definida por

1 yqueequidistande1y2.

2011‐ 3


MATEMÁTICASII


70

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos]Una ventananormanda consiste enunrectángulocoronadoconunsemicírculo.De entre todas las ventanas normandas de perímetro de 10 mhallalasdimensionesdelmarcodeladeáreamáxima.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calculaelvalordeb>0,sabiendoqueeláreadelaregióncomprendidaentrelacurvay=√ ylarectay=bxesde unidadescuadradas.Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

1 0 00 10 1

,0 0 11 0 00 1 0

(a)[1punto]¿HayalgúnvalordeparaelqueAnotieneinversa? (b)[1,5 puntos] Para = 1, resuelve la ecuación matricial

.Ejercicio4.‐DadoslospuntosA(1,0,0),B(0,0,1)yP(1,–1,1),ylarectardefinidapor 2 0

0 (a)[2puntos]Halla lospuntosdelarectarcuyadistanciaalpuntoPesde3unidades. (b)[0,5puntos]CalculaeláreadeltriánguloABP.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : , 4 → lafuncióndefinidapor

ln 21 ln 2 2 4

Dondelndenotalafunciónlogaritmoneperiano. (a) [1.25 puntos]Calculalosvaloresdeaybparaquefseaderivableenelintervalo( ,4). (b) [1,25 puntos] Para a = 0 y b = ½ halla los extremosabsolutosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Sea : 0, ∞ → la función definida porf(x) = x(1 − ln(x)), donde ln denota la funcion logaritmo neperiano.DeterminalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpuntoP(1,1).

Ejercicio3.‐Dadaslasmatrices1 1 02 1 1

2 1 0 3

(a)[1,75puntos]CalculaelrangodeAsegúnlosdiferentesvaloresdet (b) [0,75puntos]RazonaparaquévaloresdetelsistemahomogéneoAX=0tienemásdeunasolución.

Ejercicio4.‐DadoselpuntoP(1,1,−1)ylarectardeecuaciones 10

(a)[1punto]HallalaecuacióndelplanoquecontienearypasaporP.(b)[1,5puntos]Hallalaecuacióndelarectacontenidaenelplanodeecuacióny+z=0,queesperpendiculararypasaporP.

2011‐ 4


MATEMÁTICASII


71

OPCIÓNAEjercicio1.‐ [2,5puntos] Sedesea construirundepósito cilíndrico cerradode área total igual a 54 m2. Determina el radio de la base y la altura delcilindroparaqueéstetengavolumenmáximo.Ejercicio 2.‐ Sea : 1, ∞ → la función definida por f (x) = ln(x + 1),dondelndenotalafunciónlogaritmoneperiano. a) [0,75 puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadef,elejeOYylarectay=1.Calculalospuntosdecortedelasgráficas. b) [1,75 puntos] Halla el área delrecintoanterior.

Ejercicio3.‐Dadoelsistemadeecuacioneslineales 121

a)

[1,75puntos]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdelparámetro. b)[0,75puntos]Resuelveelsistemapara=0.Ejercicio4.‐[2,5puntos]DeterminaelpuntosimétricodelpuntoA(–3,1,6)respectodelarectardeecuaciones 1

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Sea : 1, ∞ → la función definida por

√ 1.Determina el puntoPde la gráfica de fque se encuentra amenordistanciadelpuntoA(2,0).¿Cuálesesadistancia?Ejercicio2.‐[2,5puntos]Halla

1 1

Sugerencia:efectúaelcambiodevariablet=ex.

Ejercicio3.‐DadalamatrizA= 1 01 1 (a) [1,25 puntos]

DeterminalosvaloresdeparalosquelamatrizA2+3Anotieneinversa. (b) [1,25puntos]Para=0,halla lamatrizXqueverifica laecuaciónAX+A=2I,siendoIlamatrizidentidaddeorden2.

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,0,–1)yB(2,1,0),ylarectardadapor 1

2 (a) [1,75 puntos] Determina la ecuación delplanoqueesparaleloarypasaporAyB. (b) [0,75puntos]DeterminasilarectaquepasaporlospuntosP(7,2,1)yQ(3,4,1)estácontenidaendichoplano.

2011‐ J


MATEMÁTICASII


72

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Calcula la base y la altura de un triángulo deperímetro8ydeáreamáxima.Ejercicio2.‐Consideralasfunciones , : → definidaspor f(x)=6x–x2 y g(x)=x2–2x. (1) [0,75 puntos] Esboza las gráficas enunosmismosejescoordenadosycalculasuspuntosdecorte. (2)[1,75puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdefyg.Ejercicio3.‐Dadaslasmatrices

1 11 11 1

011

(a)[1,75puntos]CalculaelrangodeAdependiendodelosvaloresde.(b)[0,75puntos]Para=2,resuelvelaecuaciónmatricialAX=B.Ejercicio 4.‐ Considera los puntosA (–1, k, 3), B (k + 1, 0, 2), C (1, 2, 0) yD(2,01). (a)[1,25puntos]¿Existealgúnvalordekparaelquelosvectores , ,y seanlinealmentedependientes?(b)[1,25puntos]CalculalosvaloresdekparalosquelospuntosA,B,CyDformanuntetraedrodevolumen1.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor parax0. (a) [1,25puntos]Estudialasasíntotasdelagráficadelafunción. (b) [1,25 puntos]Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).Ejercicio2.‐Sean , : → lasfuncionesdefinidaspor

14

4 1(a) [0,75 puntos] Halla la ecuaciónde la recta tangentea la gráficade fenelpuntodeabscisax=–2. (b) [1,75 puntos] Esboza el recintolimitadoporlasgráficasdeambasfuncionesylarectay=x+5.Calculaeláreadeesterecinto.Ejercicio3.‐Seanlasmatrices

13 1 3 1

1 4 2 (a)[1,25puntos]CalculalosvaloresdeparalosquelamatrizinversadeAes A. (b) [1,25 puntos] Para = –3, determina lamatrizXqueverificalaecuación ,siendo lamatriztraspuestadeA.

Ejercicio 4.‐ Dados el plano de ecuación x + 2y – z = 0 y la recta r de

ecuaciones 3 54 13 (a)[0,75 puntos] Halla el punto

deinterseccióndelplanoylarectar. (b)[1,75 puntos] Halla el puntosimétricodelpuntoQ(1,–2,3)respectodelplano.

2011‐ S


MATEMÁTICASII


73

OPCIÓNA

Ejercicio 1.‐ Sea la función : 0, ∞ → definida por ln dondelndenotalafunciónlogaritmoneperiano a) [1,75 puntos]Halla los extremosabsolutosde la función f (abscisasdonde seobtienenyvaloresquesealcanzan)enelintervalo , . b) [0,75 puntos]Determina laecuaciónde la recta tangentea la gráficade fenelpuntodeabscisax=e.Ejercicio2.‐Sean , : → lasfuncionesdefinidasporf(x)=senxyg(x)=cosxrespectivamente. a) [0,75puntos]Realizaunesbozode lasgráficasdefygenelintervalo 0, . b) [1,75 puntos] Calcula el área de losrecintoslimitadosporambasgráficasylasrectasx=0yx= .

Ejercicio3.‐[2,5puntos]Consideralasmatrices

1 2 00 1 21 2 1

0 11 0 1 2 0

1 1 2

Determina,siexiste,lamatrizXqueverifica ,siendo lamatriztraspuestadeC.Ejercicio 4.‐ El punto M (1, −1, 0) es el centro de un paralelogramo yA(2,1,−1)yB(0,−2,3)sondosvérticesconsecutivosdelmismo. (a) [1punto]Hallalaecuacióngeneraldelplanoquecontienealparalelogramo. (b) [1,5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices ycalculaeláreadedichoparalelogramo.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sealafuncióndefinidapor parax1yx2. a)[1punto]Estudiaycalculalasasíntotasdelagráficadef. b)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.c) [0,5 puntos]Calcula,siexiste,algúnpuntodelagráficadefdondeéstacortaalaasíntotahorizontal.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Sealafunción : → definidapor Determinalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(,0).

Ejercicio3.‐Dadoelsistemadeecuaciones2 3

2 13 7 1

(a) [1,75

puntos]Estudiaelsistemaparalosdistintosvaloresdelparámetrok. (b)[0,75puntos]Resuélveloparak=1.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]CalculademanerarazonadaladistanciadelejeOX

alarectardeecuaciones 2 3 42 3 0

2012‐ 1


MATEMÁTICASII


74

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sealafunción : 1, → definidaporf(x)=x2–8lnxdondelndenotalafunciónlogaritmoneperiano a) [0,75 puntos] Halla losintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.b) [1 punto] Calcula losextremosabsolutosyrelativosdelafunciónf(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). c) [0,75 puntos] Estudia los intervalos deconcavidadydeconvexidad.Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidaporf(x)=x3–4x a) [0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1. b)[0,75puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadefylarectay=x–2,determinandolospuntosdecortedeambasgráficas. c) [1punto]Calculaeláreadelrecintoanterior.


22 1

(a)[1,75puntos]Clasifícalosegúnlosdistintosvaloresdek. (b) [0,75puntos]Resuélveloparaelcasok=2.Ejercicio4.‐Dadaslasrectas

≡36

94

84

≡3

392

82

(a)[1punto]Determinalaposiciónrelativadelasrectasrys. (b) [1,5puntos]Calculaladistanciaentrerys.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sealafunción : → definidapor 1 a)[0,75puntos]Calculalim → ylim → . b) [1,25 puntos]Hallalosextremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan),determinandosisonmáximosomínimos.c) [0,5 puntos]Determinalasabscisasdelospuntosdeinflexióndelagráficadef.Ejercicio2.‐ Sean , : → las funcionesdefinidaspor 2 y

4 respectivamente. a) [0,75 puntos] Halla lospuntosdecortedesusgráficasyrealizaunesbozodelrecintoquelimitan. b)[1,75puntos]Calculaeláreadedichorecinto.Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Encuentra lamatriz X que satisface la ecuación

,siendo0 0 10 1 01 0 0

2 1 00 2 11 0 2

Ejercicio 4.‐ [2,5 puntos] Los puntos A (1, 1, 5) y B (1, 1, 2) son vérticesconsecutivosdeunrectánguloABCD.ElvérticeC,consecutivoaB,estáenlarecta .DeterminalosvérticesCyD.

2012‐ 2


MATEMÁTICASII


75

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Unalambredelongitud2metrossedivideendostrozos.Conelprimerose formaun rectángulo cuyabasees eldoblede sualturayconelsegundotrozoseformauncuadrado.Calculalaslongitudesdedichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadradoresultantesseamínima.Ejercicio2.‐Seconsideraelrecintodelplanosituadoenelprimercuadrantelimitadoporlasrectasy=4x,y=8–4xylacurvay=2x–x2. a) [0,5puntos]Realizaunesbozodedichorecinto. b) [2 puntos] Calcula suárea.

Ejercicio 3.‐ Considera el sistemade ecuaciones2 1

2 31 2

(a)[1,25puntos]Determina losvaloresdekpara losqueelsistematienemásdeunasolución. (b) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de kparaelcualelsistemanotienesolución? (c) [0,75 puntos]Resuelveelsistemaparak=0.Ejercicio4.‐Seconsideranlosvectores =(k,1,1), =(2,1,−2)y =(1,1,k),dondekesunnúmeroreal. (a) [0,75 puntos] Determina losvaloresdekparalosque , y sonlinealmentedependientes. (b) [1 punto]Determina los valores de k para los que + y sonortogonales. (c) [0,75 puntos] Para k = −1, determinaaquellosvectoresquesonortogonalesa y ytienenmódulo1.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sealafunción : ⟶ definidaporf(x)= ln(x2+3x+3)–xdondelndenotalafunciónlogaritmoneperiano. a)[1,5puntos]Hallalos intervalosdecrecimientoydedecrecimientoy losextremosrelativosde f(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). b) [1 punto]Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto deabscisax=2.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calculalosvaloresdeaybsabiendoquelafunción: 0, ∞ ⟶ definida por ln , donde ln denota lafunciónlogaritmoneperiano,tieneunextremorelativoenx=1yque

27 8 4

Ejercicio3.‐ Dada lamatriz 3 25 1 ,seaB lamatrizqueverificaque

2 17 3 (a)[1punto]CompruebaquelasmatricesA

yBposeeninversas. (b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Encuentralospuntosdelarecta

≡1

422

3

cuyadistanciaalplanoπ≡x−2y+2z=1valecuatrounidades.

2012‐ 3


MATEMÁTICASII


76

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Seconsideralafunciónderivable : → definida

por 1 1

√ 1

Calculalosvaloresdeayb.

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Sea la función : → definida por

1 . Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por elpunto(1,0).Ejercicio 3.‐ Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por lacompra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el librocuestaeldoblequeeltotaldelacalculadorayelestuchejuntos. (a) [1,25puntos]¿Esposibledeterminardeformaúnicaelpreciodellibro?¿Yeldelacalculadora?Razonalasrespuestas. (b) [1,25 puntos] Si el precio dellibro,lacalculadorayelestuchehubieransufridoun50%,un20%yun25%de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34euros.Calculaelpreciodecadaartículo.Ejercicio4.‐[2,5puntos]DeterminaelpuntoPdelarecta

≡3

25

34

3

queequidistadelorigendecoordenadasydelpuntoA(3,2,1).

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos dehipotenusa10unidades,determinalasdimensionesdeldeáreamáxima.Ejercicio 2.‐ Sean las funciones : → y : 0, ∞ → definidas por

y 2√ . a) [0,75puntos]Halla lospuntosdecortedelasgráficasdefyg.realizaunesbozodelrecintoquelimitan. b)[1,75puntos]Calculaeláreadedichorecinto.Ejercicio3.‐Consideraelsistemadeecuaciones

12 1 2

(a)[1punto]Clasificaelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrok. (b)[0,75puntos]Resuélveloparak=1. (c) [0,75 puntos] Resuélveloparak=−1.

Ejercicio 4.‐ Considera el punto P (1, 0, 2) y la recta r dada por las

ecuaciones 2 4 02 8 0 (a) [1 punto] Calcula la ecuación

delplanoquepasaporPyesperpendicularar. (b) [1,5puntos]CalculaelpuntosimétricodePrespectodelarectar.

2012‐ 4


MATEMÁTICASII


77

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sealafunción : → definidapor 2 (a) [1punto]Calculalasasíntotasdef (b) [1 punto] Halla los extremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquealcanzan)ylosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.(c)[0,5puntos]Determina,siexisten,lospuntosdeinflexióndelagráficadef.Ejercicio2.‐Seafunafuncióncontinuaenelintervalo[2,3]yFunafunciónprimitivadeftalqueF(2)=1yF(3)=2.Calcula: (a) [0,75 puntos]

(b)[0,75puntos] 5 7 (c) [1 punto]

Ejercicio3.‐SealamatrizA=0 0 12 1 21 1

(a) [1 punto] ¿Para qué

valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica larespuesta. (b) [1,5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuaciónmatricial (X + I)·A = At, donde I es la matriz identidad y At la matriztraspuestadeA.Ejercicio 4.‐ De un paralelogramo ABCD conocemos tres vérticesconsecutivos:A(2,–1,0),B(–2,1,0)yC(0,1,2). (a) [1 punto]Calculalaecuacióndelarectaquepasaporelcentrodelparalelogramoyesperpendicularalplanoquelocontiene. (b)[0,75puntos]Hallaeláreadedichoparalelogramo. (c)[0,75puntos]CalculaelvérticeD.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoque

lim→

esfinito,calculaelvalordeayeldedicholímite.

Ejercicio2.‐Sealafunciónfdefinidapor parax–1yx1. (a)[1,25puntos]Hallaunaprimitivadef. (b) [1,25 puntos] Calcula elvalordek paraque el áreadel recinto limitadopor el ejede abscisas y lagráfica de f en el intervalo [2, k] sea ln(2), donde ln denota el logaritmoneperiano.


3 2 2 33 1

(a)[1punto]Resuelveelsistemapara=1. (b) [1 punto] Hallalosvaloresdeparalosqueelsistematieneunaúnicasolución. (c)[0,5puntos]¿Existealgúnvalordeparaelqueelsistemaadmitelasolución , 0, ?

Ejercicio4.‐Seanlasrectasrysdadaspor

≡ 63 ≡

11

16 2

(a)[1,25puntos]Determinaelpuntodeinterseccióndeambasrectas.(b)[1,25puntos]Calculalaecuacióngeneraldelplanoquelascontiene.

2012‐ J


MATEMÁTICASII


78

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sealafuncióncontinua : → definidapor

01

0

(a)[1,25puntos]Calculaelvalordek. (b) [1,25 puntos] Halla laecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto deabscisax=1.


(a) [1,75 puntos] Expresa laintegralIaplicandoelcambiodevariable √1 . (b)[0,75puntos]CalculaelvalordeI.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacionescondosincógnitas

2 22

1

(a)[0,5puntos]Pruebaqueelsistemaescompatibleparacualquiervalordelparámetrok. (b) [1 punto] Especifica para qué valores delparámetrokesdeterminadoyparacuálesindeterminado. (c) [1punto]Hallalassolucionesencadacaso.Ejercicio4.‐SeanlospuntosA(0,0,1),B(1,0,–1),C(0,1,–2)yD(1,2,0). (a)[1punto]Hallalaecuacióndelplano determinadoporlospuntosA,ByC. (b)[0,5puntos]Demuestraqueloscuatropuntosnosoncoplanarios. (c)[1punto]CalculaladistanciadelpuntoDalplano.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sealafunciónfdefinidapor parax1. (a) [1,25puntos]Estudialasasíntotasdelagráficadelafunciónf. (b) [1,25 puntos]Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que sealcanzan)losintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor . (a) [0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1. (b)[1,75puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadef,larectax+2y=5yelejedeabscisas.Calculaeláreadedichorecinto.Ejercicio 3.‐ Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

2

0

(a)[1,25puntos]Clasifícalosegúnlosdistintosvaloresdelparámetro. (b)[1,25puntos]Resuélvelopara=0y=–1.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]HallaelpuntosimétricodeP(2,1,–5)respectode

larectardefinidapor 02 0

2012‐ S


MATEMÁTICASII


79

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor parax>0,x1(dondelndenotalogaritmoneperiano) a) [1,25 puntos] Estudia ydeterminalasasíntotasdelagráficadef. b) [1,25 puntos] Calcula laecuacióndelarectatangenteydelarectanormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=e.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Sea g: (0, +) → la función definida por

√ Determina laprimitivadeg cuyagráficapasa

por elpuntoP(1,0).Sugerencia: sepuedehacer el cambiodevariable√ .

Ejercicio3.‐Sean2 1 31 2

0 2,

110

. a) [1,25

puntos]DeterminaelrangodeAsegúnlosvaloresdelparámetrom. b) [0,75 puntos] Discute el sistemaAX=B según los valores delparámetrom. c) [0,5 puntos] Resuelve el sistema AX = Bparam=1.Ejercicio4.‐ Considera lospuntosA (1, 2, 1),B (−1, 0, 2) yC (3, 2, 0) y elplanoπdeterminadoporellos. a)[1,75puntos]HallalaecuacióndelarectarqueestácontenidaenπytalqueAyBsonsimétricosrespectoder. b)[0,75puntos]CalculaladistanciadeAar.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor paraxayx . a)[1punto]Hallaayksabiendoquefpasaporelpunto(0,2)yquelarectax=2esunaasíntotadedichagráfica. b)[1,5puntos]Parak=4ya=2,halla losextremosrelativosde f (abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan)ysusintervalosdecrecimientoydedecrecimiento.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula 2 .

Ejercicio3.‐SeanAyBlasmatrices 2 33 5 1 4

9 5 a)[1,25puntos]CalculalasmatricesXeYparalasque2X−Y=AyX−3Y=B. b) [1,25 puntos] Halla la matriz Z que verifica B2+ZA+Bt=3I(IdenotalamatrizidentidadyBtlamatriztraspuestadeB).

Ejercicio4.‐Consideralasrectasrysdadaspor

≡2 33 5

≡ 1 05 0

a)[1punto]Determinalaposiciónrelativaderys. b) [1,5 puntos]Calculaladistanciaentrerys.

2013‐ 3


MATEMÁTICASII


80

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Unrectánguloestáinscritoenunsemicírculode√5cmderadio,deformaqueunodesusladosestácontenidoeneldiámetrodelsemicírculoyelladoopuestotienesusvérticessobrelasemicircunferencia.Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayorperímetroposible.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Halla√

. Sugerencia: se puede hacerelcambiodevariablet=√ Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales

02 3 3 . a)[1,5puntos]Determinaelvalordemparael

quealañadirlaecuaciónx+my+4z=−3alsistemaanteriorseobtengaunsistemaconlasmismassoluciones. b)[1punto]Calculalasolucióndelsistemaparalaquelasumadelosvaloresdelasincógnitassea6.Ejercicio 4.‐ Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A (−1, 0, 3),B(2,−1,1)yC(3,2,−3). a) [1 punto] Halla la ecuación delplanoquecontienealparalelogramo.b) [1 punto] Halla la ecuación de larectaquecontienealadiagonalACdelparalelogramo. c) [0,5puntos]CalculalascoordenadasdelvérticeD.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Considera la función f: dada por . Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a lagráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es y + x =3 y que el punto deinflexióntieneabscisax=1.Ejercicio2.‐Sea : 0, ∞ → lafuncióndefinidaporg(x)=|ln(x)|(dondelndenotalogaritmoneperiano). a) [1,25 puntos] Esboza elrecintolimitadoporlagráficadegylarectay=1.Calculalospuntosdecorteentreellas. b)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintoanterior.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices 1 20 1 1 1

1 0 . a)[1,25puntos]CalculaXeYtalesqueX−Y=Aty2X−Y=B(AteslamatriztraspuestadeA). b)[1,25puntos]CalculaZtalqueAZ=BZ+A.

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,2,3)yB(−1,0,4). a) [1,25puntos]Calcula lascoordenadasde lospuntosquedividenalsegmentoABentrespartesiguales. b) [1,25 puntos] Halla la ecuación delplanoquepasaporelpuntoAyesperpendicularalsegmentoAB.

2013‐ 4


MATEMÁTICASII


81

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Seaglafuncióndefinidapor paraxn. a)[1,75puntos]Hallamynsabiendoquelarectay=2x−4esunaasíntotadelagráficadeg. b)[0,75puntos]Determinasilagráficadegessimétricarespectoalorigen.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Delafunciónf: → definidaporf(x)=ax3+bx2+cx+dsesabequealcanzaunmáximorelativoenx=1,quelagráficatieneunpuntodeinflexiónen(0,0)yque .Calculaa,b,cyd.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

1 1 02 0 01 0 1

, 0 2 11 2 0 1 2

1 6

a)[0,75puntos]Halla . b)[1,25puntos]CalculalamatrizXquesatisface ( eslamatriztraspuestadeB) c)[0,5puntos]Hallaeldeterminantede .Ejercicio4.‐[2,5puntos]Calculaladistanciaentrelasrectas r≡x=y=z y s≡x−1=y−2=z−3.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Seaf: definidapor .Sesabequeunpuntodeinflexióndelagráficadeftieneabscisax=1yqueftieneunmínimorelativoenx=2devalor9.Calculaa,byc.


Ejercicio3.‐ Sabiendoqueeldeterminantedeunamatriz

es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, laspropiedadesqueutilizas: a)[1punto]det(−2A)ydet( ).

b)[1,5puntos] 2 2 2 3 3 3

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Consideralasrectas

≡ ≡ 21 ≡

1 231

Hallalarectaquecortaaryasyesparalelaat.

2013‐ 5


MATEMÁTICASII


82

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de áreamáxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el ladodesigual)y4metrosdealto.

Ejercicio2.‐ Sean fyg las funcionesdefinidaspor f(x)=2−xyg(x)= parax−1. a) [0,5 puntos] Calcula los puntos de corteentrelasgráficasdefyg. b)[0,5puntos]Esbozalasgráficasdefygsobrelosmismosejes. c) [1,5puntos]Hallaeláreadel recinto limitadopor lasgráficasdefyg.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales,

2 02

3 2

a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrom. b)[0,75puntos]Resuélvelo,siesposible,param=2.

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Determinaelpuntodelarecta ≡ 1queequidistadelosplanos

≡ 3 2 0 ≡4 3

1

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidaporf(x)= parax≥−1,x0. a) [1punto]Calculaloslímiteslateralesdefenx=0. b) [1,5 puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula√

. Sugerencia: se puedehacerelcambiodevariablet=√ Ejercicio3.‐SeaMunamatrizcuadradadeorden3talquesudeterminanteesdet(M)=2.Calcula: a)[0,5puntos]ElrangodeM3. b) [0,75puntos]Eldeterminantede2Mt (Mtes lamatriz traspuestadeM).c)[0,75puntos]Eldeterminantede(M−1)2. d) [0,5 puntos] Eldeterminante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar laprimeraysegundafilasdeM.

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(0,5,3),B(−1,4,3),C(1,2,1)yD(2,3,1). a) [1,75puntos]Compruebaque los cuatropuntos son coplanariosyqueABCDesunrectángulo. b) [0,75 puntos] Calcula el área dedichorectángulo.

2013‐ 6


MATEMÁTICASII


83

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoquelim → esfinito,calculabyelvalordellímite.Ejercicio2.‐Seanf: → yg: → lasfuncionesdefinidasmediante: f(x)=|x(x–2)|yg(x)=x+4 a)[1,25puntos]Esbozalasgráficasde f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambasgráficas. b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por lasgráficasdefyg.

Ejercicio3.‐SeaM=1 0 10 1 01 1 1

a) [0,75 puntos]

Determina los valores de m para los que los vectores fila de M sonlinealmenteindependientes. b) [1 punto] Estudia el rango de Msegúnlosvaloresdem. c)[0,75puntos]Param=1,calculalainversadeM.Ejercicio4.‐Searlarectaquepasaporelpunto(1,0,0)ytienecomovectordirección(a,2a,1)yseaslarectadadapor 2 2

0 a) [1punto]Calculalosvaloresdeaparalosqueryssonparalelas. b) [1,5puntos]Calcula,paraa=1,ladistanciaentrerys.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea f : (, 1) → ℝ la función definida por:

f (x) = 2 0√ 0 1

a) [1,5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Ejercicio2.‐[2,5 puntos] Sea g: ℝ → ℝ la función definida por: g(x) = ln(x2 + 1)

(donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio3.‐Sea A = 1 11 1

a) [1,5 puntos] Comprueba que A2 = 2I y calcula A–1.

b) [1 punto] Calcula A2013 y su inversa.

Ejercicio4.‐Considera los puntos P (2, 3, 1) y Q (0, 1, 1). a) [1,75 puntos] Halla la ecuación del plano respecto del cual P y Q son simétricos. b) [0,75 puntos] Calcula la distancia de P a .

2013‐ J


MATEMÁTICASII


84

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Unalambrede10metrosdelongitudsedivideendostrozos.Conunodeellosseformauntriánguloequiláteroyconotrouncuadrado.Halla la longituddedichos trozosparaque la sumade lasáreasseamínima.Ejercicio2.‐ a) [2puntos]Determina la función f: → talque 2 1 ysugráficapasaporelorigendecoordenadas. b)[0,5puntos]Calculalarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=0.

Ejercicio3.‐ConsideralasmatricesA=1 0 11 1 00 0 2

yB=1 1 11 1 10 0 1

a)

[1punto]Halla,siesposible,A1yB1 b) [0,25 puntos] Halla eldeterminantedeAB2013AtsiendoAtlamatriztraspuestadeA c)[1,25puntos]CalculalamatrizXquesatisfaceAX–B=AB.Ejercicio4.‐Consideraelplanodeecuación2x+y+3z–6=0. a) [1,5puntos]Calculaeláreadeltriángulocuyosvérticessonlospuntosdecortedelplanoconlosejesdecoordenadas. b) [1 punto] Calcula elvolumendeltetraedrodeterminadoporelplanoylosplanoscoordenados.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Seaf:(0,+) definidapor (dondelndenotalogaritmoneperiano) a) [1,75 puntos] Determina losintervalosde crecimiento ydedecrecimiento y los extremos relativosde f(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan) b)[0,75puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.Ejercicio2.‐Seag: lafuncióndefinidaporg(x)=x2+6x–5 a)[0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en elpuntodeabscisax=4. b) [1,75 puntos] Esboza el recintolimitadoporlagráficadegylarectax–2y+2=0.Calculaeláreadeesterecinto.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales:

2 4 6 6 2 1

3 6 3 9

a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrom.b)[0,75 puntos] Resuélvelo param = 3. Para dicho valor dem, calcula, si esposible,unasoluciónenlaquey=0.

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,0,2),B(2,3,1),C(2,1,2)yD(1,0,4). a)[1punto]HallalaecuacióndelplanoquecontieneaA,B,yC. b) [1,5puntos]HallaelpuntosimétricodeDrespectodelplanox–y–5z+9=0.

2013 ‐ S


MATEMÁTICASII


85

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Deentretodoslostriángulosrectángulosdeárea8cm2, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menorlongitud.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

2 √

(Sugerencia:cambiodevariable √ )

Ejercicio3.‐Sabiendoqueeldeterminantedelamatriz es3,

halla lossiguientesdeterminantesindicando,encadacaso, laspropiedadesqueutilices: a) [1 punto] det( ), det( ), det( )

( indicalatraspuestadeA) b)[0,75puntos]det2 2 2

c)[0,75puntos]det444

Ejercicio4.‐Sealarectardefinidapor11

ysecuaciones

a)[1,75puntos]Hallalaecuacióndelarectaquecortaperpendicularmentearyas. b)[0,75puntos]Calculaladistanciaentrerys.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Sea : → lafunciónderivabledefinidapor

1

1

a)[1,25puntos]Calculaayb. b)[1,25puntos]Paraa=3yb=2calculalosextremosabsolutosdefenelintervalo[0,e](abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan)

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor cosx a) [1punto]Calculalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=0. b) [1,5 puntos] Calcula la primitiva de f cuyagráficapasaporelpunto(0,0).

Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales 2 1

2 22 1

a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrom. b)[0,75puntos]Siesposible,resuelveelsistemaparam=−2.

Ejercicio4.‐Consideraelplanodeecuación2x+y–z+2=0,ylarectardeecuaciones

52

63

a)[0,5puntos]Determinalaposiciónrelativadeyr. b) [1 punto]Hallalaecuacióngeneraldelplanoquecontienearyesperpendiculara. c) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del planoparaleloaquecontienear.

2014‐ 1


MATEMÁTICASII


86

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoquelim → esfinito,calculaayelvalordellímite(lndenotaellogaritmoneperiano).Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Determina una función derivable : → sabiendoquef(1)=1yque

2 01 0

Ejercicio3.‐Sesabequeeldeterminantedelamatriz

es 3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientesdeterminantes: a)[1punto]det( 2 )ydet( ).

b)[1,5puntos] 7 7 72 2 2

y2 52 52 5

Ejercicio4.‐Consideralosvectores =(1,1,3), =(1,0,1)y =(,1,0). a) [0,75 puntos] Calcula los valores de que hacen que y seanortogonales. b) [0,75 puntos] Calcula los valores de quehacenque , y seanlinealmenteindependientes. c) [1 punto]Para=1escribeelvector =(3,0,2)comocombinaciónlinealde , y .

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ Considera la función derivable : → definida por

2 0

0

a)[1,75puntos]Calculaayb. b) [0,75 puntos] Halla laecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.

Ejercicio2.‐Consideraelrecintolimitadoporlassiguientescurvas y =x2, y=2–x2, y=4 a)[1punto]Hazunesbozodelrecintoycalculalospuntosdecortedelascurvas. b) [1,5puntos]Calculaeláreadelrecinto.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices, 1 0 21 1 12 3 0

yB2 0 33 1 31 2 1

a)[0,5puntos]Calcula . b) [2puntos]Halla lamatrizXqueverifica ,siendoI lamatrizidentidady lamatriztraspuestadeA.

Ejercicio4.‐Searlarectadadapor 1 yseaslarectadadapor3 0

3 6 0 a)[1punto]Estudialaposiciónrelativade

rys. b)[1,5puntos]Hallalaecuacióngeneraldelplanoquecontienearyesparaleloas.

2014‐ 2


MATEMÁTICASII


87

OPCIÓNA

Ejercicio 1.‐ Sea f la función definida por para x > 0 (lndenotaellogaritmoneperiano). a) [1,75 puntos] Determina elpunto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente esmáxima. b)[0,75puntos]Hallalaecuacióndelarectanormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=1.

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Calcula ln 4 (ln denota el logaritmoneperiano)Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales

1

1 2

2

1

1

a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrom. b)[0,75 puntos] Resuélvelo param = 2. Para dicho valor dem, calcula, si esposible,unasoluciónenlaquez=2.Ejercicio4.‐Consideralosvectores =(1,1,0), =(0,1,2)y =(1+,2,23).Hallalosvaloresdeencadaunodelossiguientescasos: a)[1punto] , y estánenelmismoplano. b) [0,5 puntos] esperpendiculara ya . c) [1 punto] El volumen del tetraedro quetieneporaristasalosvectores , y es .

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Sea : → la función definida por

x x Hallab,c yd sabiendoque f tienenunmáximo relativo en x=1 yquelim → 4.

Ejercicio 2.‐ Sea : → la función definida porx 2x 3. a)[0,5puntos]Calculalaecuacióndela

rectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2. b)[0,75puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadef,larecta2x+y–7=0yelejeOX,calculandolospuntosdecorte. c)[1,25puntos]Hallaeláreadelrecintodescritoenelapartadoanterior.

Ejercicio3.‐Consideralasmatrices, 1 11 1 yB 1 1

1 0 a) [0,75 puntos] ¿Para qué valores dem se verifica que 2 ? (Idenotalamatrizidentidad). b) [1,75puntos]Param=1,calcula

ylamatrizXquesatisfaceAX–B=AB.

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(2,2,0)ylarectardadapor2 01 0

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a P y esperpendicularar. b)[1,25puntos]CalculaladistanciadePar.

2014‐ 3


MATEMÁTICASII


88

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Calculalim → .Ejercicio2.‐Sea : → lafunciónderivabledefinidapor

3 3a)[0,75puntos]Halla,siexiste,elpuntodelagráficade f enelquela

rectatangenteesy=3–x. b)[1,75puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefylarectadelapartadoanterior.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacionesconincógnitasx,y,z,

1

a)[1,5puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdelparámetro . b)[0,5puntos]Resuelveelsistemapara 1. c) [0,5 puntos] Para

0,siesposible,datressolucionesdistintas. Ejercicio4.‐SeanA(3,4,0),B(3,6,3)yC(1,2,1)losvérticesdeuntriángulo. a)[1punto]Hallalaecuacióndelplanoquecontienealtriángulo. b) [1punto]Hallalaecuacióndelarectaperpendicularaquepasaporelorigendecoordenadas. c)[0,5puntos]CalculaeláreadeltriánguloABC.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Consideralafunción : → definidapor a)[0,75puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef. b) [1,25puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y losextremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Sea : 1, 3 → lafuncióndefinidapor 9

1 3

Determinalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(1,0).

Ejercicio3.‐[2,5puntos]Consideralasmatrices,1 0 00 2 10 5 3

yB0 0 11 1 11 0 0

HallalamatrizXqueverifica .

Ejercicio 4.‐ Considera el punto A(8, 1, 3) y la recta r dada por1

22

13

a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por A y esperpendicularar. b)[1,25puntos]HallaelpuntosimétricodeArespectoder.

2014‐ 4


MATEMÁTICASII


89

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Sea : → definidapor . a) [1,75puntos]Hallaa,bycparaquelagráficadeftengaunpuntodeinflexióndeabscisa yquelarectatangenteenelpuntodeabscisax=0tengaporecuacióny=5–6x. b)[0,75puntos]Paraa=3,b=9yc=8,calculalosextremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).Ejercicio 2.‐ Sea : → y : → las funciones definidasrespectivamentepor

| |2

11

a)[1punto]Esbozalasgráficasdefygsobrelosmismosejesycalculalospuntosdecorteentreambasgráficas. b) [1,5 puntos] Calcula eláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdefyg.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales

2 3 32 3 5

a)[1,5puntos]Calculademaneraquealañadirunaterceraecuacióndelaformax+y–7z=1elsistemaresultantetengalasmismasolucionesqueeloriginal. b) [1 punto] Calcula las soluciones del sistemadadotalesquelasumadelosvaloresdelasincógnitassea4.Ejercicio4.‐ConsideralarectarquepasaporlospuntosA(1,0,1)yB(1,1,0). a)[1punto]HallalaecuacióndelarectasparalelaarquepasaporC(2,3,2). b)[1,5puntos]Calculaladistanciaderas.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐ [2,5puntos]Sedeseaconstruirundepósitoen formadecilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una

capacidadde125m3.Hallaelradiodelabasey laalturaquedebetenereldepósitoparaquelasuperficieseamínima.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Sea f la función definida por 1 parax>1(Lndenotaellogaritmoneperiano).Determinalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(1,0).Ejercicio3.‐[2,5puntos]Consideralasmatrices

0 1 11 0 00 0 1

1 1 11 1 01 2 3

Determina,siexiste,lamatrizXqueverificaAX+B=A2.

Ejercicio4.‐Searlarectadefinidapor 2 32 1 a) [1,5

puntos]Determinalaecuacióngeneraldelplanoquecontienearypasaporelorigendecoordenadas. b) [1 punto] Halla las ecuacionesparamétricasdelplanoquecortaperpendicularmentearenelpunto(1,1,0).

2014 ‐ J


MATEMÁTICASII


90

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoquelim → esfinito,calculaayelvalordellímite.


2 2 4

Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales

02 0

2 0

a)[0,75puntos]Hallalosvaloresdelparámetromparalosqueelsistematieneunaúnicasolución. b) [1 punto] Halla los valores delparámetrom para los que el sistema tiene alguna solución distinta de lasoluciónnula. c)[0,75puntos]Resuelveelsistemaparam=2.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,1,2)yB(1,1,2)ylarectardadapor

1 21

. a) [1 punto] Halla la ecuación general del

planoquecontienearyesparaleloalarectaquepasaporAyporB. b)[1,5puntos]HallaelpuntodelarectarqueestáalamismadistanciadeAydeB.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] De entre todos los números reales y positivos,determinaelquesumadoconsuinversodasumamínima.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

(Sugerencia:Integraciónporpartes)

Ejercicio3.‐Sabiendoqueeldeterminantedelamatriz 1 0 11 2 3

es2,

calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, laspropiedadesqueutilices: a)[0,5puntos]det(3A) b) [0,5

puntos]det(A1) c)[0,75puntos]3 0 13 23 4 3

d) [0,75 puntos]

1 2 32 4 61 0 1

Ejercicio4.‐SearlarectaquepasaporlospuntosA(1,0,1)yB(2,1,3). a)[1,25puntos]Calculaladistanciadelorigendecoordenadasalarectar. b)[1,25puntos]Hallalaecuacióndelarectaquecortaperpendicularmentearypasaporelorigendecoordenadas.

2014‐ S


MATEMÁTICASII


91

OPCIÓNA

Ejercicio 1.‐ [2,5 puntos] Sea : → definida por.Hallaloscoeficientesa,b,cydsabiendoquefpresentaunextremo

local en el punto de abscisa x = 0, que (1, 0) es punto de inflexión de lagráficadefyquelapendientedelarectatangenteendichopuntoes3.

Ejercicio2.‐ [2,5puntos]Calculaelvalordea>1sabiendoqueeláreadelrecintocomprendidoentrelaparábola ylarectay=xes .

Ejercicio3.‐Consideraelsistemadadopor .

2 10 1 23 4

,12

3

(a) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de para los que elsistematienesoluciónúnica.(b) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de para los que elsistemanotienesolución(c)[1punto]Determina,siexisten,losvaloresdeparalosqueelsistematienealmenosdossoluciones.Hallatodaslassolucionesendichoscasos.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosB(1,2,3),C(9,1,2),D(5,0,1)ylarecta

≡ 1 00 .

(a)[1,25puntos]CalculaeláreadeltriángulocuyosvérticessonB,CyD. (b)[12,5puntos]HallaelpuntoAenlarectardeformaqueeltriánguloABCsearectánguloenA.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | |.(a)[0,5puntos]Estudialaderivabilidaddef.(b)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.(c)[1punto]Calculalosextremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).

Ejercicio2.‐Seaflafuncióndefinidapor parax≠0yx≠1yseaF laprimitivadefcuyagráficapasaporelpuntoP(2,ln(2))(lndenotalogaritmoneperiano).(a)[0,5puntos]CalculalarectatangentealagráficadeFenelpuntoP.(b)[2puntos]DeterminalafunciónF.Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

1 1 11 2 31 4 9

1 1 11 1 11 1 1

(a) [1,75puntos]Halla lamatrizXqueverifica (Idenota lamatrizidentidaddeorden3).

(b) [0,75puntos]Calculaeldeterminantedelamatriz .

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(1,0,1)ylarectardadapor 01 0

(a)[1,5puntos]HallaladistanciadePar.(b)[1punto]DeterminalaecuacióndelplanoquepasaporPycontienear.

2015‐ 1


MATEMÁTICASII


92

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor parax≠1.

(a)[1punto]Estudiaycalculalasasíntotasdelagráficadef.(b) [1,5puntos]Halla los intervalosdecrecimientoydedecrecimientoy losextremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan)def.

Ejercicio2.‐Sea f la funcióndadapor parax>0 (lndenota lafunciónlogaritmoneperiano)yseaFlaprimitivadeftalqueF(1)=2.(a) [0,5puntos]CalculaF’(e).(b) [2puntos]Halla laecuaciónde la recta tangentea lagráficadeF enelpuntodeabscisax=e.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones:

3 42 2

2 3 4

(a) [1,25 puntos] Determina, si existen, los valores de para los que elsistemadadotieneunasoluciónúnica.(b) [1,25 puntos] Determina, si existen, los valores de para los que elsistema dado tiene almenos dos soluciones. Halla todas las soluciones endichoscasos.Ejercicio4.‐[2,5puntos]Hallaunasecuacionesparamétricasparalarectar,que contiene al punto P(3, −5, 4) y corta perpendicularmente a la recta

≡4

583 4

OPCIÓNBEjercicio1.‐ [2,5puntos]Queremos fabricar una caja con base cuadrada,detalmaneraquelaalturadelacajamáselperímetrodelabasesumen60cm.Determinasusdimensionesparaquecontengaelmayorvolumenposible.

Ejercicio2.‐Sean : 0, ∞ → y : → las funciones definidas por

√2 y x x .

(a) [0,75 puntos]Halla los puntos de corte de las gráficas de fyg. Haz elesbozodelrecintoquelimitan.(b)[1,75puntos]Calculaeláreadedichorecinto.Ejercicio3.‐Consideralasmatrices 1 2

1 1 4 14 1 .

a) [1punto]HallaeldeterminantedeunamatrizXqueverifiquelaigualdad.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad.

Ejercicio4.‐Searlarectadeecuación .

(a)[1,5puntos]HallaelpuntoderqueequidistadelorigendecoordenadasydelpuntoP(4,2,2).(b) [1 punto] Determina el punto de la recta r más próximo al origen decoordenadas.

2015‐ 2


MATEMÁTICASII


93

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Se quiere vallar un campo rectangular que estájuntoauncamino.Silavalladelladodelcaminocuesta80euros/metroyladelosotroslados10euros/metro,hallalasdimensionesdelcampodeáreamáximaquepuedevallarsecon28800euros.


2 √ 2:√ 2

Ejercicio 3.‐ [2,5 puntos] Halla la matriz X que verifica la igualdad

,sabiendoque 0 1 01 3 01 4 1

,1 1 20 0 11 0 1

1 1 01 1 11 5 3

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(3,1,6)ylarectardadapor 2 5 02 0

(a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por P y esperpendicularar.(b)[1,25puntos]CalculalascoordenadasdelpuntosimétricodePrespectodelarectar.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Determinaaybsabiendoqueb>0yquelafunción: → definidacomo

cos 2 0

ln 11

0

esderivable.(lndenotalafunciónlogaritmoneperiano).

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Seaglafuncióndefinidaporg(x)=ln(x)parax>0(lndenotalafunciónlogaritmoneperiano).Calculaelvalordea>1paraelque el área del recinto limitado por la gráfica deg, el eje de abscisas y larectax=aes1.


2 2 02 0

(a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresde.(b) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de para los que elsistematienealgunasoluciónenlaquez≠0.Ejercicio 4.‐ Los puntos A(0, 1, 1) y B(2, 1, 3) son dos vértices de untriángulo.Eltercervérticeesunpuntodelarectardadapor 2 0

0 y.

(a)[1punto]CalculalascoordenadasdelosposiblespuntosCderparaqueeltriánguloABCtengaunángulorectoenelvérticeA.(b)[1,5puntos]CalculalascoordenadasdelosposiblespuntosDderparaqueeltriánguloABDtengaunáreaiguala√2.

2015‐ 3


MATEMÁTICASII


94

OPCIÓNAEjercicio 1.‐ [2,5 puntos] Halla a y b sabiendo que es continua la función: → definidacomo

cos0

0

Ejercicio2.‐Seaflafuncióndefinidapor |ln |parax>0(lndenotalogaritmoneperiano)(a) [0,5puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadefylarectay=1.(b) [0,5puntos]Calculalospuntosdecortedelagráficadefconlarectay=1.(c) 1,5puntos]Calculaeláreadelrecintocitado.

Ejercicio3.‐Consideralamatriz0 11 0 2

0 1 0.

(a)[1,75puntos]Hallaelvalor,ovalores,demparalosquelamatrizAtienerango2.(b)[0,75puntos]Param=1,determina .Ejercicio4.‐Seanlosplanosx+3y+2z–5=0y’2x+y+3z+3=0.(a)[1,5puntos]Determinaelánguloqueformany’.(b) [1punto]Calcula el volumendel tetraedro limitadopor y losplanoscoordenados.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor 3 1 .(a) [1punto]Estudiaycalculalasasíntotasdelagráficadef.(b) [1 punto] Halla los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente eshorizontal.(c) [0,5puntos]Determinalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=0.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula


2 43 4 7

(a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresde.(b)[0,75puntos]Resuelveelsistemapara=2.

Ejercicio4.‐SeanelpuntoP(1,6,2)ylarecta ≡ .

(a)[1punto]HallalaecuacióngeneraldelplanoquecontienealpuntoPyalarectar.(b)[1,5puntos]CalculaladistanciaentreelpuntoPylarectar.

2015‐ 4


MATEMÁTICASII


95

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de basecuadradayparedesverticalesconcapacidadpara13,5metroscúbicos.Paraello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula lasdimensionesdeldepósitoparaqueelgastoseaelmínimoposible.


2

Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

1

0 a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los

valoresde. b)[1punto]Resuelveelsistemapara=0.Ejercicio4.‐SeanlospuntosA(0,1,1),B(2,1,3),C(−1,2,0)yD(2,1,m). a)[0,75puntos]CalculamparaqueA,B,CyDesténenunmismoplano.b)[0,75puntos]DeterminalaecuacióndelplanorespectodelcuallospuntosAyBsonsimétricos.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoque

lim→

1 cos

esfinitoeigualauno,calculalosvaloresdeayb.Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos]Determina la función : 0,∞ → sabiendo quef‘‘(x)=ln(x)yquesugráficatienetangentehorizontalenelpuntoP(1,2)(lndenotalafunciónlogaritmoneperiano).Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

1 22

1 2 02 03 2

a) [1,5 puntos]

Encuentrael valor,o losvalores,dem para losqueAyB tienenelmismorango. b) [1 punto] Determina, si existen, los valores demparalosqueAyBtienenelmismodeterminante.

Ejercicio4.‐Seaelplano2x+y−z+8=0. a) [1,5 puntos]CalculaelpuntoP’,simétricodelpuntoP(2,−1,5)respectodelplano. b) [1 punto] Calcula la recta r’, simétrica de la recta r respectodelplano.

2015‐ J


MATEMÁTICASII


96

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Hallalosvaloresdea,bycsabiendoquelagráfica

delafunción tieneunaasíntotaverticalenx=1,unaasíntotaoblicuadependiente2,yunextremolocalenelpuntodeabscisax=3.


Ejercicio3.‐Consideralassiguientesmatrices: 1 22 1 ,

1 0 02 1 03 2 1

1 0 01 5 0

a) [1,5 puntos] Determina la matriz X para que , ( es latraspuestadeA). b)[1punto]Calculaeldeterminantede ,( eslatraspuestadeC).

Ejercicio4.‐Sea r la recta definida por112 y la recta s dada por

11 .

a)[1,75puntos]Hallalaecuacióndelarectaquecortaperpendicularmentealasrectasdadas.b)[0,75puntos]Calculaladistanciaentrerys.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pastoadyacente a un río. El terreno debe tener 180 000 m2 para producirsuficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terrenorectangulardemodoqueutilicelamínimacantidaddevalla,sielladoquedaalríononecesitavallado?Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | 4|.a) [0,75puntos]Hazunesbozodelagráficadef.b) [1,75puntos]Calculaeláreadelrecinto limitadopor lagráficade f y larectay=5.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

2 1 13 1

2 2 2

a)[1punto]Resuelveelsistemapara=1.b)[1,5puntos]Determina,siexiste,elvalordeparaelque(x,y,z)=(1,3,)eslaúnicasolucióndelsistemadado.

Ejercicio4.‐ Consideraelplanodeecuaciónmx+5y+2z=0ylarectardadapor

13

12

a)[1punto]Calculamynenelcasoenelquelarectaresperpendicularalplano.b)[1,5puntos]Calculamynenelcasoenelquelarectarestácontenidaenelplano.

2015‐ S


MATEMÁTICASII


97

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5 puntos] Sea : → la función definida por

cona0.Calculaaybsabiendoqueftieneunextremorelativoenx=0ysugráfica,unpuntodeinflexiónenelpuntocuyaabscisaesx=1.

Ejercicio2.‐[2,5 puntos] Calcula el valor de a > 0 para el que se verifica

21

Ejercicio3.‐Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricialmedianteAX=B,siendo:

1 1 21 21 1 2

1

7

a)[1,5puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdem. b) [1 punto]Resolver el sistemaparam =3ydetermina endicho caso, siexiste,unasoluciónenlaquez=2.Ejercicio4.‐Consideraelplanodeecuaciónx+2y+z=1.a)[1punto]Hallaelpuntodemáspróximoalpunto(3,1,2).b)[1,5puntos]Determinalaecuacióndeunplanoparaleloaqueformeconlosejesdecoordenadasuntriángulodeárea√6.

OPCIÓNBEjercicio 1.‐ [2,5 puntos]De un terreno se desea vender unsolarrectangularde12800m2divididoen3parcelasigualescomolasqueapareceneneldibujo. Se quieren vallarlaslindesdelastresparcelas(losbordesylasseparacionesdelasparcelas).Determinalasdimensionesdelsolarydecadaunadelastresparcelasparaquelalongituddelavallautilizadaseamínima.

Ejercicio 2.‐ [2,5 puntos] Considera la función : → dada porsiendom>0. Esbozaelrecinto limitadopor la

gráficadefylarectay=−mxycalculaelvalordemparaqueeláreadedichorecintosea36.

Ejercicio 3.‐ De los datos recabados en un informe sobre los beneficiosobtenidosporlasempresasA,ByCelpasadoaño,sedesprendelosiguiente: •laempresaBobtieneelmismobeneficioquelasempresasAyCjuntas. •elbeneficiodelaempresaAeslamediaaritméticadeldelasotrasdos.

a) [1,5 puntos]Determina si se puedehallar el beneficio de cada empresasabiendoqueAhaobtenidoeldoblequeC. b) [1 punto] Calcula elbeneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210millonesdeeuros.

Ejercicio4.‐SearlarectaquepasaporlospuntosA(1,1,0)yB(3,−1,1)ys

larectadadapor ≡ 2 11

a)[1,25puntos]Hallalaecuacióngeneraldelplanoquepasaporelorigendecoordenadasyesparaleloalasrectasdadas.

b)[1,25puntos]HallaunasecuacionesparamétricasdelplanoquepasaporByesperpendicularas.

2016‐ 1


MATEMÁTICASII


98

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Sequiereconstruirunbotedeconservascilíndrico,contapa,deunlitrodecapacidad.Calculalasdimensionesdelboteparaqueensuconstrucciónseutilicelamenorcantidadposibledehojalata.


√2 12 1 √2 1

dx : √2 1

Ejercicio3.‐Considera lamatriz 11 0 . Determina, si existen,

losvaloresdekencadaunodeloscasossiguientes: a) [0,75 puntos]rango(A)=1 c)[0,5puntos]Atieneinversa. b)[0,75puntos]A2=A. d)[0,5puntos]det(A)=2

Ejercicio4.‐[2,5puntos]Determinaelpuntode la recta ≡ 1 queequidistadelosplanos

≡ 3 0 ′ ≡3

6

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor | 4|. a) [1,5puntos]Determina los intervalosde crecimientoydedecrecimientode f ycalculasusextremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan). b)[1punto]Calculalaecuacióndelarectatangenteydelarectanormalalagráficadefenelpuntodeabscisax=−1.

Ejercicio2.‐[2,5puntos]Determinalafunción : → talque 2 2 0 1

20

Ejercicio3.‐Consideralamatriz1 0 1

1 10 0 1

. a) [1,5 puntos]

Determina,siexisten,losvaloresdeparalosque 2 (siendoIlamatrizidentidaddeorden3). b) [1 punto] Determina, si existen, losvaloresdeparalosquelamatriz notieneinversa( es lamatriztraspuestadeA)

Ejercicio4.‐Consideraelplanodeecuación6x−my+2z=1y larectardadapor

13

12

21

a)[1punto]Calculamenelcasoenquelarectaresperpendicularalplano.

c) [1,5puntos]¿Existealgúnvalordemparaelquelarectarestécontenidaenelplano?

2016‐ 2


MATEMÁTICASII


99

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoque

lim→

ln 1 3

esfinito,calculaayelvalordellímite(lndenotalogaritmoneperiano).Ejercicio2.‐[2,5puntos]Hallalaecuacióndelarectatangentealagráficadeuna función f en el punto de abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y

parax>1.

Ejercicio3.‐Consideralassiguientesmatrices: 1 1 10 1 02 1 1

3 3 28 7 48 6 3

a)[1,75puntos]HallalamatrizXqueverifica 2 . b)[0,75puntos]Calcula y .

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(1,0,5)ylarectardadapor 2 01 .

a) [1 punto] Determina la ecuación del plano que pasa por P y esperpendicularar.b)[1,5puntos]CalculaladistanciadePalarectaryelpuntosimétricodePrespectoar.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor .

a) [0,75puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.Calculalospuntosdecortededichasasíntotasconlagráficadef.b) [1,25puntos]Halla los intervalosdecrecimientoydedecrecimientoy losextremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).c) [0,5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio 2.‐ Sea : 0, ∞ → la función dada por ln (lndenotalogaritmoneperiano).a) [0,5puntos]Calculalaecuacióndelarfectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=1.b) [2puntos]Esbozaelrecintocomprendidoentrelagráficadef,larectay=x–1ylarectax=3.Calculasuárea.Ejercicio3.‐Seconsideraelsistemadeecuacioneslineales

3 1 2 52

3 3 5

a)[1,5puntos]Discútelosegúnlosvaloresdelparámetro.b)[1punto]Resuélvelopara=1ydeterminaendichocaso,siexiste,algunasolucióndondex=4.Ejercicio4.‐Consideralasrectasrysdadaspor

≡1 211

≡ 2 11

a) [1,5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla laecuacióndelplanoquelascontiene.b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en lasrectasrys,calculasuárea.

2016‐ J


MATEMÁTICASII


100

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Sabiendoque

lim→

11 2

esfinito,calculamyelvalordellímite.Ejercicio2.‐[2,5 puntos] Sea : → la función definida por .Encuentralarectahorizontalquecortaalagráficadefformandoconellaunrecintodeárea

Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales:

2 4 2 15 11 9

3 5 2

a)[1,75puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresde . b)[0,75puntos]Resuélvelo,siesposible,para 4.

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoA(1,1,1)ylarectardadapor1 21 1

.

a)[1,5puntos]CalculalascoordenadasdelpuntosimétricodeArespectoder.b)[1punto]DeterminalaecuacióndelplanoquecontienearypasaporA.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Sea : → lafuncióndefinidapor . a)[0,75puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef. b)[1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y dedecrecimientode f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde seobtienenyvaloresquesealcanzan) c) [0,5 puntos] Esboza lagráficadef.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

1 √

(sugerencia: √ )Ejercicio3.‐Considera

110

,111

1 1 11 1 10 0 0

a) [1punto]Calculaelrangode segúnlosvaloresde ( eslamatriztraspuestadeB,Ieslamatrizidentidaddeorden3)

b) [1,5puntos]CalculalamatrizXqueverifica 2 Ejercicio4.‐[2,5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas porlassiguientesecuaciones:

13

2016‐ S


MATEMÁTICASII


101

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5 puntos] Se necesita construir un depósito cilíndrico, contapasinferiorysuperior,concapacidadde20m3.Elmaterialparalastapascuesta10euroscadam2yelmaterialparaelrestodelcilindro8euroscadam2.Calcula,siexiste,elradiodelastapasylaalturadelcilindroquehacequeelcostetotalseamínimo.Ejercicio2.‐Sea

12 √ 1

a)[1,25puntos]ExpresaIaplicandoelcambiodevariable 2 √ 1b)[1,25puntos]CalculaelvalordeI.

Ejercicio3.‐Consideralamatriz 2 11 0 .

a)[0,5puntos]Compruebaque 2 (AtdenotalatraspuestadeAeIlamatrizidentidad).b)[0,75puntos]Calcula .c)[1,25puntos]Determina,siexiste,lamatrizXqueverifica 3 .Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,2,1)yB(1,0,1).a)[1,25puntos]DeterminalaecuacióndelplanorespectodelcuallospuntosAyBsonsimétricos.b)[1,25puntos]CalculaladistanciadeP(1,0,1)alarectaquepasaporlospuntosAyB.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5 puntos] Considera la función : → dada por

. Calcula a, b, c y d sabiendo que f tiene unextremorelativoen(0,1)ysugráficaunpuntodeinflexiónen(1,1).Ejercicio2.‐Consideralaregiónlimitadaporlagráficadelafuncióndadapor

√2 2parax1,larecta 5yelejedeabscisas.a)[0,75puntos]Esbozalagráficadelaregióndada,hallandolospuntosdecorteentrelagráficadefylasrectas.b)[0,75puntos]Expresamedianteintegraleseláreadelrecintoanterior.c)[1punto]Calculaelárea.Ejercicio3.‐SeaAunamatriz33talquedet(2A)=8.a)[0,5puntos]¿Cuántovaledet(A)?b)[0,75puntos]SiendoBlamatrizqueseobtienedeAmultiplicandopor3laprimerafilaypor1latercera,¿cuántovaledet(B)?c)[1,25puntos]DeterminalosvaloresdexparalosquelasiguientematrizAverificaquedet(2A)=8,

1 1

1 2 22 1

Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,1,1),B(0,2,2),C(1,0,2)yD(2,1,2).a)[1punto]CalculaelvolumendeltetraedrodevérticesA,B,CyD.b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y esperpendicularalplanodeterminadoporlospuntosA,B,yC.

2017‐ 1


MATEMÁTICASII


102

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5 puntos]Calcula la función polinómica,de grado3,de laque se sabeque tiene un extremorelativo enelpunto (0,2)yque latangenteasugráficaenelpuntodeabscisax=1eslarectax+y=3.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

11 √

√

Ejercicio3.‐Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por AX = Bsiendo

1 1 11

1 3,

11

a)[1,5puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdem.b)[1punto]Param=2,siesposible,resuelveelsistemadado.Ejercicio4.‐SeaπelplanodeterminadoporlospuntosA(1,0,0),B(0,1,0)yC (0, 0, λ), siendo λ un número real, y sea r la recta dada por ≡

32 3

a)[1,25puntos]HallalaecuacióndelplanoquepasaporAycontienear.b)[1,25puntos]Estudialaposiciónrelativaderyπsegúnlosvaloresdeλ.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Consideralafuncióndefinidapor parax0.

a)[1punto]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.b) [1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoyde decrecimientode fycalculasusextremosrelativos(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).c)[0,5puntos]Esbozalagráficadef.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

11


1 0 11 1 00 1 1

a)[1punto]DeterminalosvaloresdemparalosquelamatrizAnotieneinversa.b) [1,5 puntos] Param = 1, calcula, si existe, lamatriz X que verifica laigualdad ,siendoIlamatrizidentidad.Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(−1,0,1),elvector =(1,2,1)yelplanoπdeecuacióny=0.a) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P , estácontenidaenπycuyovectordirectoresperpendiculara .b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por P , esperpendicularaπydelque esunvectordirector.

2017‐ 2


MATEMÁTICASII


103

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sesabequelafunción : → dadapor

3 2 02 cos 0

escontinua.a)[1,5puntos]Determinaayb.b)[1punto]Estudialaderivabilidaddef.Ejercicio2.‐Consideralafuncióndadapor 3 | |parax∈[−3,3].a)[0,5puntos]Expresalafunciónfdefinidaatrozos.

b)[2puntos]Halla


2 1 20 1 50 0 2

a)[1,25puntos]Calculalamatrizinversade(A+B).b)[1,25puntos]Calculaeldeterminantede2 ,siendo lamatriztraspuestadeA+B.Ejercicio4.‐Considera los vectores = (2, 3, 4), = (−1, −1, −1) y=(−1,λ,−5)siendoλunnúmeroreal.

a) [1,25 puntos] Halla los valores de λ para los que el paralelepípedodeterminadopor , y tienevolumen6unidadescúbicas.b) [1,25 puntos] Determina el valor de λ para el que , y sonlinealmentedependientes.


lim→

1 cos

Ejercicio2.‐[2,5 puntos] Sea : → la función definida porarctan .Determinalaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(0,π).Ejercicio3.‐[2,5puntos]Consideralasmatrices

1 22 10 1

, 3 1 12 1 1

1 1 01 2 11 1 1

Determina,siexiste,lamatrizXqueverificaqueABX−2C=CX.Ejercicio4.‐SearlarectaquepasaporA(4,3,6)yB(−2,0,0)yseaslarecta

dadapor2

1 2

a)[1,25puntos]Determinalaposiciónrelativaderys.b)[1,25puntos]Calcula,siexisten,lospuntosCdestalesquelosvectoresy sonortogonales.

2017‐ 3


MATEMÁTICASII


104

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐Seconsideralafunciónfdadapor parax1.

a)[1,5puntos]Estudiaycalculalasasíntotasdelagráficadef.b)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.

Ejercicio2.‐Sea f la función definida como 2 ln para x > 0,dondeln(x)representaallogaritmoneperianodex.a)[1,75puntos]Calcula b)[0,75puntos]Encuentralaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(1,0).


,121

, 1 1 2 y

a)[0,75puntos]CalculaBM.b)[1punto]RazonasielsistemadadoporAX=Btienesoluciónonoy,encasoafirmativo,cuántassolucionestiene.c)[0,75puntos]ResuelveAX=B.

Ejercicio4.‐Consideralasrectasdadaspor

≡ 1 01 0 y ≡

12

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que cortaperpendicularmentearyas.b)[0,75puntos]Hallaladistanciaentrelasrectasrys.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Unacuerdadeunmetrodelongitudsedivideendostrozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferenciarespectivamente.Determina,siesposible,las longitudesdelostrozosparaquelasumadelasáreasseamínima.Ejercicio2.‐a)[2puntos]Halla

1 ⁄ sugerencia 1

b)[0,5puntos]Hallalaprimitivacuyagráficapasapor(2,0).

Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones3 1

2 13 2 1

delquesesabequeparaunciertovalordekescompatibleindeterminado.a)[1,5puntos]Determinaelvalordek.b)[1punto]Resuelveelsistemaparak=1.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(1,3,−1)yB(3,−1,−1).a) [1,75puntos]DeterminalaecuacióndelplanorespectodelcualBeselsimétricodeA.b)[0,75puntos]SiendoC(5,1,5),calculaeláreadeltriángulodevérticesA,ByC.

2017‐ 4


MATEMÁTICASII


105

OPCIÓNA

Ejercicio1.‐[2,5puntos]Sequierehacerunapuertarectangularcoronadaporunsemicírculocomoeldelafigura.Elhuecodelapuerta tiene que tener 16 metros cuadrados. Si es posible,determinalabasexparaqueelperímetroseamínimo.

Ejercicio2.‐Considera la región limitada por las curvas e

4 a)[0,75puntos]Esbozalagráficadelaregióndada,hallandolospuntosdecortedeambascurvas.b)[0,75puntos]Expresaeláreacomounaintegral.c)[1punto]Calculaelárea.

Ejercicio3.‐Considera 2 2 02 1 00 0 2

a)[1punto]Determinalosvaloresde paralosquelamatriz notieneinversa(Ieslamatrizidentidad). b)[1,5puntos]Resuelve 3 .Determina,siexiste,algunasolucióncon

1.

Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(1,1,0)ylarectardadapor1 32

.

a)[1,25puntos]DeterminalaecuacióndelplanoquepasaporPycontienear.b)[1,25puntos]HallalascoordenadasdelpuntosimétricodePrespectoder.

OPCIÓNB

Ejercicio1.‐Consideralafunciónfdefinidapor parax1.

a)[1punto]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.b) [1,5 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y losintervalosdedecrecimientodef.Calculalosextremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

√ √ sugerencia: √

Ejercicio3.‐Sabemosqueelcostede3lápices,1rotuladory2carpetasesde15euros,mientrasqueelde2lápices,4rotuladoresy1carpetaesde20euros.a) [1,5 puntos] Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros¿podemosdeducirelpreciodecadaunodelosartículos?Razonalarespuesta.b) [1punto]Siporelpreciodeunacarpetasepuedencomprar10 lápices¿cuántocuestacadaunodelosartículos?Ejercicio4.‐Consideralosvectores =(1,0,1), =(0,2,1)y =(m,1,n).a) [1,25 puntos] Halla m y n sabiendo que , y son linealmentedependientesyque esortogonala .b) [1,25 puntos] Para n = 1, halla los valores dem para que el tetraedrodeterminadopor , y tengavolumen10unidadescúbicas.

2017‐ J


MATEMÁTICASII


106

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Una imprentarecibeunencargopararealizarunatarjeta rectangular con las siguientes características: la superficierectangularquedebeocuparlazonaimpresadebeserde100cm2,elmargensuperior tieneque serde2 cm, el inferiorde3 cmy los lateralesde5 cmcadauno.Calcula,siesposible,lasdimensionesquedebetenerlatarjetadeformaqueseutilicelamenorcantidaddepapelposible.

Ejercicio2.‐[2,5 puntos] Determina la función : → tal que

, cuyagráficapasaporelorigendecoordenadasy tieneunextremorelativoenx=1.

Ejercicio3.‐Considera el sistema de ecuaciones dado por siendo

1 1 12 0 31 3 2

, 2 11

a) [1,25puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdem.b) [1,25puntos]Param=2, calcula, siesposible,unasolucióndelsistemaanteriorparalaquez=17.

Ejercicio4.‐Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) y C(1, 3, 3) son vérticesconsecutivosdeunparalelogramoABCD.a)[1punto]Calculaeláreadelparalelogramo.b)[1punto]Hallalaecuacióngeneraldelplanoquecontieneadichoparalelogramo.c)[0,5puntos]CalculalascoordenadasdelvérticeD.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Consideralafunción : → definidapor

2

a) [2 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y losintervalosdedecrecimientodef.Calculalosextremosrelativosdef(abscisasdondeseobtienenyvaloresquesealcanzan).b) [0,5 puntos]Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en elpuntodeabscisax=0.Ejercicio2.‐ConsideraelrecintodelprimercuadrantelimitadoporelejeOX,larecta ,lagráfica ylarecta 3.

a)[0,5puntos]Hazunesbozodelrecintodescrito.b)[1,5puntos]Calculaeláreadelrecinto.

c)[0,5puntos]Siconsideraslagráfica enlugarde ,eláreadelrecintocorrespondiente¿serámayoroserámenorqueladelrecintoinicial?¿porqué?

Ejercicio3.‐Considera0

1 00 1 1

a)[1,5puntos]DiscuteelrangodeAsegúnlosvaloresdek.b)[1punto]Parak=1,calculaeldeterminantede2 ,siendo latraspuestadeA.Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(0,1,1)ylarectardadapor 2 5

2

a)[1,25puntos]DeterminalaecuacióndelplanoquepasaporPycontienear.b)[1,25puntos]HallalascoordenadasdelpuntosimétricodePrespectoder.

2017‐ S


MATEMÁTICASII


107

OPCIÓNAEjercicio1.Sedeseaconstruirunrectángulo,comoel de la figura, de área máxima. La base estásituadasobreelejeOX,unvérticeestáenlarectay=xyelotro,enlarectay=4−x.Sepide:a) [0,25 puntos]Halla la altura del rectángulo enfuncióndea(verlafigura).b) [1 punto] Halla la base del rectángulo enfuncióndea.c)[1,25puntos]Encuentraelvalordeaquehacemáximoeláreadelrectángulo.Ejercicio2.Sea : → lafuncióndefinidapor .a)[0,75puntos]Calculalaecuacióndelarectatangentealagráficadefenelpuntodeabscisax=2.b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje deordenadasylarectax+y=3.c)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintoindicado.Ejercicio3.Consideralasmatrices

2 12 12 1 1

,110

y

a)[1,25puntos]DiscuteelrangodeAsegúnlosvaloresdelparámetroλ.b)[1,25puntos]Paraλ=−2,estudiayresuelveelsistemadadoporAX=BEjercicio4.‐Consideraelplanoπdeecuaciónx+2y+z=6.a) [1 punto]Determina la recta perpendicular aπ quepasapor el origendecoordenadas.b)[0,5puntos]Hallaelpuntosimétricodelorigendecoordenadasconrespectoaπ.c) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen decoordenadasylospuntosdecortedeπconlosejesdecoordenadas.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Consideralafunción : → dadapor

00 11

a)[1punto]Estudialaderivabilidaddefenx=0yenx=1.b)[1,5puntos]Estudialaexistenciadeasíntotashorizontalesdelagráficadef

Ejercicio2.‐Considera la función : , ∞ → definida porln 2 ,dondelndenotalogaritmoneperiano.a) [0,75puntos]Hazunesbozode lagráficade f calculandosuspuntosdecorteconlosejescoordenados.b)[1,75puntos]CalculaeláreadelrecintolimitadoporlagráficadefylosejesdecoordenadasEjercicio3.‐[2,5puntos]Consideralasmatrices

1 0 00 0 10 1 0

,2 2 11 0 11 2 2

,123

, y 4 5 6

Determina,siexiste,lamatrizXqueverificaque .Ejercicio4.‐Consideralasrectasrysdadaspor

≡ 2 2 y ≡44

a)[1punto]Determinamparaquerysseanparalelas.b)[0,5puntos]Halla,siexiste,unvalordemparaelqueambasrectasseanlamisma.c)[1punto]Param=1,calculalaecuacióndelplanoquecontienearyas.

2018‐ 1


MATEMÁTICASII


108

OPCIÓNAEjercicio1.‐Sedeseaconstruirunacanaleta,paralarecogidadeagua,cuyasecciónescomoladelafigura.Labaseyloscostadosdebenmedir10cmyse trata de darle la inclinación adecuada a los costados para obtener unaseccióndeáreamáxima.Sepide:a)[0,25puntos]Hallalaalturadelacanaletaenfuncióndex(verlafigura).b) [0,75 puntos] Halla el área de la sección de lacanaletaenfuncióndex.c) [1,5 puntos] Encuentra el valor de x que hacemáximodichoárea.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Determinalafunción : 1, ∞ → sabiendoque

yquelaecuacióndelarectatangentea lagráficade fenelpuntodeabscisax=2esy=x+2.Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

1 1 10 1 00 0 1

,011

y 1 1 2

a)[1punto]Calcula .b)[1,5puntos]Determina,siexiste,lamatrizXqueverificaA(X+2I)=BCdondeIeslamatrizidentidad.Ejercicio4.‐Consideralasrectasrysdadaspor

≡ 42 7 ≡ 2 0

3 0

a)[1punto]Estudiaydeterminalaposiciónrelativaderys.b)[1,5puntos]Determinalarectaperpendicularcomúnaryas.

OPCIÓNBEjercicio1.‐Seaflafuncióndefinidapor

1para 1

a)[0,75puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.b)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodefyhallasusmáximosymínimosrelativos(puntosenlosqueseobtienenyvaloresquealcanzalafunción).c)[0,75puntos]Esbozalagráficadefindicandosuspuntosdecorteconlosejescoordenados.

Ejercicio2.‐Sea : → lafuncióndefinidapor

a)[1,75puntos]Calcula b)[0,75puntos]Encuentralaprimitivadefcuyagráficapasaporelpunto(0,1).Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

11

2 4

a)[1,75puntos]Discuteelsistemaenfuncióndelparámetrom.b)[0,75puntos]Siesposible,resuelveelsistemaparam=1.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosA(2,−1,−2)yB(−1,−1,2),ylarectardadapor

111

12

a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en 3segmentosdelamismalongitud.b)[1,5puntos]DeterminaunpuntoCderdeformaqueeltriánguloABCsearectánguloenC.

2018‐ 2


MATEMÁTICASII


109

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Calcula

lim→

Ejercicio2.‐Considera las funciones f y g : → definidas por3y | |.

a)[1,25puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlasgráficasdefygycalculalospuntosdecorteentreambasgráficas.b)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintodescritoenelapartadoanterior.

Ejercicio3.‐Considera la matriz1 2 36 0 3 . Sabiendo que el

determinante deM es 2, calcula los siguientes determinantes e indica laspropiedadesqueutilices:a)[0,75puntos]Eldeterminantedelamatriz5 .

b)[0,75puntos]2 0 11 2 3 c)[1punto]

1 623 3

Ejercicio4.‐SearlarectaquepasaporlospuntosA(3,6,7)yB(7,8,3)yseaslarectadadapor

4 103 4 2

a)[1,25puntos]Determinalaposiciónrelativaderys.b)[1,25puntos]Calculaladistanciaentrerys.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sedeseaconstruiruna caja sin tapaderadebasecuadrada.Elpreciodelmaterialesde18euros/m2paraloslateralesyde24euros/m2para labase.Halla lasdimensionesde la cajademayorvolumenquesepuedeconstruirsidisponemosde50euros.Ejercicio2.‐Sesabequelafunción : 0, ∞ → dadapor

√ 0 8324

8

escontinua.a)[0,5puntos]Determinaa.

b)[2puntos]Paraa=8,calcula


a)[0,75puntos]Halla,siexiste,lainversadeA.b)[1,25puntos]Determinalosvaloresdemtalesque tieneinversa(Ieslamatrizidentidad).c)[0,5puntos]Calculaelrangode 2 .Ejercicio4.‐a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por el punto0, 1, 0 yesperpendicularalarectardadapor

12

21

b)[1,25puntos]Calculaeláreadel triángulocuyosvérticesson lospuntosdecortedelplanodeecuación2 3 4 12conlosejescoordenados

2018‐ 3


MATEMÁTICASII


110

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5 puntos] Considera un triánguloisóscelesenelqueelladodesigualmide8cmylaalturacorrespondientemide5cm.Calculalasdimensionesdelrectángulo de área máxima que se puede inscribir endichotriángulo(verfigura).Ejercicio2.‐Siendoa>1,consideraelrectángulodevérticesA(1,0),B(1,1),C(a,1)yD(a,0).Lagráficadelafunciónfdefinidapor para 0dividealrectánguloanteriorendosrecintos.a)[0,5puntos]Hazunesbozodelagráficadefydelrectángulodescrito.b)[2puntos]Determinaelvalordeaparaelquelosdosrecintosdescritostienenigualárea.Ejercicio3.‐Consideralasmatrices

2 0 01 2 11 0 3

y

a) [1,5puntos]Discute el sistemadadoporAX =mX según los valoresdelparámetrom.b)[0,5puntos]Dalasolucióndelsistemaenloscasosenqueescompatibledeterminado.c) [0,5 puntos] Param = 3 resuelve el sistema y halla, si es posible, unasoluciónenlaquex+y+z=3.Ejercicio4.‐Se sabe que los puntos A(−1, 2, 6) y B(1, 4, −2) son simetricosrespectodeunplanoπ.a)[0,75puntos]CalculaladistanciadeAaπ.b)[1,75puntos]Determinalaecuacióngeneraldelplanoπ.

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5puntos]Sea : → lafuncióndefinidapor a)[1,25puntos]Calculalaecuacióndelarectatangentealagráficadefqueesparalelaalarectax−y+1=0.b)[1,25puntos]Estudiaydeterminalasasíntotasdelagráficadef.Ejercicio2.‐[2,5puntos]Calcula

11

dondelndenotalogaritmoneperiano(sugerencia ).Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

3 14 5

a)[1,5puntos]Discútelosegúnlosvaloresdelparámetrom.b) [1punto]Param=1 resuelveel sistemayencuentra, siesposible,unasoluciónparalaqueseax=z.Ejercicio4.‐Consideralasrectasrysdadaspor

≡210

y ≡ 2 2

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que cortaperpendicularmentearyas.b)[0,75puntos]Calculaladistanciaentrelasrectasdadas.

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MATEMÁTICASII


111

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5 puntos] Halla los coeficientes a, b y c sabiendo que lafunción : → definida por tiene en x = 1 unpuntodederivadanulaquenoesextremorelativoyquelagráficadefpasaporelpunto(1,1).Ejercicio2.‐Consideralasfunciones y : → dadaspor 6 y | 2 |.a)[1,25puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlasgráficasdefygycalculalospuntosdecortededichasgráficas.b)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdefyg.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuaciones

2 3 33

2 4 3 1 8

a)[1,75puntos]Discútelosegúnlosvaloresdelparámetrom.b)[0,75puntos]Resuelveelsistemaparam=−2.Ejercicio4.‐ConsideralospuntosP(1,0,−1),Q(2,1,1)ylarectardadapor

522

a)[1,25puntos]DeterminaelpuntosimétricodePrespectoder.b)[1,25puntos]CalculaelpuntoderqueequidistadePyQ

OPCIÓNBEjercicio1.‐[2,5 puntos] Determina k sabiendo que la función : → definidapor

3 12

1

esderivable.Ejercicio2.‐Consideralasfunciones y : → definidaspor y

3 .a) [1punto]Calcula la ecuaciónde la recta tangente a la gráficade f en elpuntodeabscisax=1ycompruebaquetambiénestangentealagráficadeg.Determinaelpuntodetangenciaconlagráficadeg.b)[0,75puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlarectay=4−2xylasgráficasdefyg.Calculatodoslospuntosdecorteentrelasgráficas(ylarecta).c)[0,75puntos]Calculaeláreadelrecintodescritoenelapartadoanterior.Ejercicio3.‐a) [1,5 puntos] Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euroscumpliendolassiguientesrestricciones:

utilizandoúnicamentemonedasde50céntimosdeeuro,de1euroyde2€; setienenqueutilizarexactamenteuntotalde30monedas; tienequehaberigualnúmerodemonedasde1€comode50ctsy2€juntas.

¿Decuántasmanerasyconcuántasmonedasdecadatiposepuedehacerelpago?b) [1 punto] Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si esposibleonoseguirhaciendoelpagobajolasmismascondicionesqueenelapartadoanterior.Ejercicio4.‐ConsideraelpuntoP(2,−1,3)yelplanoπdeecuación3x+2y+z=5.a)[1,75puntos]CalculaelpuntosimétricodePrespectodeπ.b)[0,75puntos]CalculaladistanciadePaπ

2018‐ J


MATEMÁTICASII


112

OPCIÓNAEjercicio1.‐[2,5puntos]Consideralafunción : → definidapor

02

0

Determinaa,bycsabiendoquefescontinua,alcanzaunmáximorelativoenx=−1ylarectatangentealagra icadefenelpuntodeabscisax=−2tienependiente2.Ejercicio2.‐[2,5 puntos] Considera la función f definida por

parax>0(lndenotalafunciónlogaritmoneperiano).Determinaaybsabiendoqueftieneunextremorelativoenx=1yque

8 ln 2 9

Ejercicio3.‐Consideralassiguientesmatrices:0 0 10 1 01 0 0

y 0 1 01 0 0

a)[0,75puntos]Determina,siexisten,losvaloresdea,bycparalosquelasmatricesAyBconmutan.b)[1punto]Calcula , , y .c)[0,75puntos]Calcula,siexiste,lamatrizinversadeA.Ejercicio4.‐Consideralasrectas

≡1

2 11

3y ≡ 2 3 5

2 1

a)[1punto]Estudiaydeterminalaposiciónrelativaderys.b)[1,5puntos]Calculaladistanciaentrerys.

OPCIÓNB

Ejercicio 1.‐ Considera la función f definida por parax>0,dondelndenotalogaritmoneperiano.a)[1,5puntos]Hallaaybsabiendoqueftieneextremosrelativosenx=1yenx=2.b)[1punto]¿Quétipodeextremostienefenx=1yenx=2?Ejercicio2.‐Consideralafunción : → definidapor .a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de f en el que la rectatangenteesy=−2ex.b)[0,5puntos]Esbozaelrecintolimitadoporlagráficadef,larectay=−2exyelejedeordenadas.c)[1,25puntos]Calculaeláreadelrecintodescritoenelapartadoanterior.Ejercicio3.‐Consideraelsiguientesistemadeecuacioneslineales

a)[1,5puntos]Discuteelsistemasegúnlosvaloresdelparámetrom.b) [1 punto] Resuélvelo param = 1. Para dicho valor dem, calcula, si esposible,unasoluciónenlaquez=2.Ejercicio4.‐Consideralasrectas

≡1

21

y ≡ 2 3

a) [1,5 puntos] Halla los valores de m y n para los que r y s se cortanperpendicularmente.b) [1punto]Param = 3yn =1, calcula la ecuacióngeneraldelplanoquecontienearyas.

2018‐ S


MATEMÁTICASII


113

OPCIÓNAEjercicio1.‐Consideralafunciónfdefinidapor

3 42 2

1

(a)[1,5puntos]Estudiayhallalasasíntotasdelagráficadef.(b)[1punto]Determinalosintervalosdecrecimientoydedecrecimientodef.

Ejercicio2.‐Sealafunción : 0, ∞ → definidapor .Hallalaprimitivade fcuyagráficapasaporelpunto(1,1).(Sugerencia:cambiodevariable )

Ejercicio3.‐[2,5 puntos] Calcula todas las matrices tales que

1,tienendeterminante1ycumplen ,siendo 0 11 0 .

Ejercicio4.‐Considera la recta ≡ y los planos≡ 0y ≡ 0.

(a)[1,25puntos]Hallalospuntosdelarectarqueequidistandelosplanosy .

(b) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de la recta r y la rectainterseccióndelosplanos y .

OPCIÓNBEjercicio1.‐Consideralafunción : → definidapor .a)[1,25puntos]Determinaasabiendoquelafuncióntieneunpuntocríticoenx=0.b)[1,25puntos]Paraa=1,calculalospuntosdeinflexióndelagráficadef. Ejercicio2.‐Considera las funciones : 2, ∞ → , definida por

2 (ln denota la función logaritmo neperiano) y : → ,definidapor 3 .

a)[1punto]Esbozaelrecintoquedeterminanlagráficadef,lagráficadeg,la rectax=1y larectax=3. (Noesnecesariocalcular lospuntosdecorteentrelasdosgráficas).b)[1,5puntos]Determinaeláreadelrecintoanterior.Ejercicio3.‐[2,5puntos]Dadaslasmatrices

2 1 2 11 1

1 1, ,

2 1

1,

consideraelsistemadeecuacioneslinealesdadopor ,donde , denotanlastraspuestas.Discútelosegúnlosdistintosvaloresdem.Ejercicio4.‐Considerael triángulocuyosvérticesson lospuntosA(1,1,0),B(1,0,2)yC(0,2,1).(a)[1,25puntos]Hallaeláreadedichotriángulo.(b)[1,25puntos]CalculaelcosenodelánguloenvérticeA.

2019 ‐ J

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JOSÉ MANUEL REYES BRITO