José Manuel López Irastorza (*) y Pedro J. Zufiria ... · IG como la proporción entre el área sombreada y el área total coloreada ... de manera que el número total de calorías

Septiembre 2009 • 2009ko Iraila 135

SIGMA

31RELEVANCIA DEL PERFIL DE ASIMILACIÓN DE LOS ALIMENTOS: UN MODELO MATEMÁTICO PARA

EXPLICAR LA ACUMULACIÓN DE GRASA EN NUESTRO ORGANISMO

José Manuel López Irastorza (*) y Pedro J. Zufiria (**)

RESUMEN

En este artículo se elabora un modelo matemático simplificado que caracteriza los procesos de asimilación y almacenamiento de energía en el cuerpo humano. Dicho modelo está com-puesto por ecuaciones diferenciales cuya resolución puede ser justificada directamente con herramientas de cálculo diferencial e integral de bachillerato. El análisis del modelo permite ilustrar la influencia que tiene el perfil de asimilación de un alimento, caracterizable mediante su índice Glucémico (IG), en la generación y acumulación de grasas en el organismo. El estu-dio se completa con la simulación numérica del modelo para varios casos diferentes.

Palabras clave: Perfil de asimilación, Índice Glucémico (IG), glucosa, glucógeno, grasa, ecuación diferencial.

1. INTRODUCCIÓN

En el transcurso de una copiosa cena, los autores de este trabajo acabaron debatiendo acerca del sobrepeso que los postres de la carta les podrían generar. Respaldado por una reciente lectura (véase [5]), uno de los autores planteó la tesis de que, además de las calorías asociadas a un alimento, se debe tener en cuenta su Índice Glucémico (IG). Dicho índice cuantifica el incremento del nivel de glucosa en sangre tras la ingesta del alimento. Si el nivel de glucosa sube moderadamente, la energía se almacena en forma de glucógeno; sin embargo, cuando la glucosa alcanza niveles altos, el organismo almacena parte de la energía en forma de grasa (de difícil consumo). Como consecuencia, tras la asimilación total de un alimento con alto IG, los niveles de glucosa y glucógeno alcanzarán valores bajos (con la consiguiente sensación de hambre) en un plazo más breve que si se hubiera ingerido un alimento con bajo IG. La pesada digestión que los autores sufrieron aquella fatídica noche les proporcionó suficientes horas de vela para comenzar la elaboración de un modelo matemático con el que tratar de justificar (parcialmente y de manera muy aproximada) los argumentos esgrimidos en la sobremesa.

Este artículo presenta los pasos seguidos en la elaboración de dicho modelo matemático, para así ilustrar una vertiente aplicada de la matemática. Precisamente, uno de los aspectos nove-dosos de los nuevos currículos de la matemática se refiere a la modelización. Los alumnos maduran en la medida en que consiguen representar diferentes sistemas con grados crecientes de precisión y complejidad. Y es la matemática la que consolida los modelos ofreciendo la posibilidad de que las predicciones de evolución de las magnitudes respondan a leyes rigu-rosas; así, esta vertiente aplicada de la matemática ofrece un camino para que los alumnos disfruten de una visón más rica y precisa de la realidad.

(*) Centro de Apoyo Berritzegune de Lasarte (Guipúzcoa).

(**) Universidad Politécnica de Madrid.

1.1. Energía y grasa en nuestro organismo

Los alimentos que ingerimos a diario están compuestos fundamentalmente de proteínas, glú-cidos (o hidratos de carbono) y lípidos (o grasas). De entre ellos, los hidratos de carbono y las grasas tienen como función principal aportar energía al organismo. Coloquialmente es habitual nombrar dicha energía en terminos de calorías, aunque la unidad más frecuente para cuanti-ficarla son las kilocalorías (Kcal).

El cuerpo humano asimila los hidratos de carbono transformándolos en glucosa como principal fuente de energía. En caso de que se alcancen niveles de glucosa elevados, parte de dicha energía se almacena en forma de grasa (este fenómeno se denomina "Caballo de Troya" de los lípidos).

El exceso en los niveles de glucosa en sangre puede deberse a dos factores. Por un lado depende de la cantidad total de hidratos de carbono ingeridos. Este factor muy conocido es el fundamento de las numerosas dietas hipocalóricas existentes (que sugieren simplemente comer menos).

El segundo factor importante es la forma como se distribuye a lo largo del tiempo la asimilación de dichos hidratos de carbono. La misma cantidad total ingerida de hidratos de carbono puede generar niveles de glucosa muy diferentes, según cómo se vaya asimilando a lo largo del tiempo. A su vez, la forma de la asimilación depende del calendario de comidas y del tipo de hidratos de carbono ingeridos. Así, una manera de controlar dicha asimilación es distribuir las comidas a lo largo del tiempo (como habitualmente se suele decir: "comer poco y a menudo"); de esta idea han surgido las dietas centradas en la distribución temporal de las comidas (dietas de cinco comidas al día). Finalmente, hay alimentos que se asimilan más rápido que otros, y su perfil de asimilación suele medirse (de manera indirecta y aproximada) mediante el Índice Glucémico (IG). Como veremos, la dieta de Montignac [6] se basa en elegir alimentos con bajo IG.

En resumidas cuentas, la grasa almacenada en el cuerpo puede provenir, además de la inges-tión directa de lípidos, de un exceso en los niveles de glucosa en sangre. Este artículo ilustra cómo dichos niveles de glucosa están determinados por el Perfil de asimilación de los hidratos de carbono ingeridos. A pesar de que, en general, el concepto de perfil de asimilación es válido para modelar tanto la cantidad de calorías asimiladas como la forma temporal de su asimila-ción (considerando la distribución de comidas y los tipos de alimentos), el presente artículo se centra fundamentalmente en analizar la influencia del perfil de asimilación según el tipo de alimento ingerido.

1.2. Índice Glucémico de un alimento

El IG de un alimento se calcula midiendo los niveles de glucosa G(t) generados por 50 g de carbohidratos (aproximadamente, 187,5 Kcal) de dicho alimento en las dos horas siguientes a su ingestión. Una medida unificada y sencilla de esos niveles viene dada por la integral

definida donde la constante define un nivel medio de glucosa antes de la ingestión; así, empleando como referencia la curva generada ingiriendo directamente glucosa pura, el Índice Glucémico de un alimento viene definido por la ratio [6] (véase la figura 1):

136

José Manuel López Irastorza y Pedro J. Zufiria

SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.


Relevancia del perfil de asimilación de los alimentos: un modelo matemático para explicar la acumulación de grasa en nuestro organismo

Figura 1. IG como la proporción entre el área sombreada y el área total coloreada

Por ejemplo muchas frutas y verduras tienen un IG bajo, inferior a 55; muchos derivados del trigo o el arroz integral presentan IG medio, entre 55 y 70; finalmente, muchos productos más refinados presentan IG alto, superior a 70. En general, la composición de todos los ingredientes de un alimento determina su resultante glucémica [6].

Existen dos corrientes de opinión fundamentales que explican el diferente IG de los alimentos. Tradicionalmente, se ha relacionado dicho IG con la velocidad de asimilación del alimento: una absorción gradual daría lugar a una subida moderada de glucosa, mientras que una absor-ción rápida generaría niveles altos de glucosa. Esta corriente ha consolidado la clasificación entre azúcares de absorción lenta y rápida. Alternativamente, algunos autores [6] consideran que todos los tipos de azúcares se absorben en un periodo de tiempo similar, y su diferente IG es consecuencia del diferentes porcentaje de asimilación en la pared intestinal.

Desde un punto de vista matemático, ambas perspectivas quedan modeladas a través del perfil de asimilación de calorías A(t) del alimento. Así, dos alimentos que aportan las mismas calo-rías totales, pero con diferentes tiempos de asimilación, tendrán asociados distintos perfiles de A(t). Lo mismo ocurrirá con alimentos que presentan diferentes porcentajes de asimilación en la pared intestinal.

En cualquier caso, una vez establecido el perfil de asimilación, este determina los niveles de glucosa G(t) resultantes; a su vez, dichos niveles de glucosa determinan la forma en que el orga-nismo acaba repartiendo sus reservas energéticas en forma de glucosa, glucógeno o grasa.

El presente trabajo elabora un modelo matemático sencillo para ilustrar cualitativamente, y de manera aproximada, la influencia de dicho perfil de asimilación en la manera como se repartirán las reservas de energía resultantes en el cuerpo. Para ello, previamente se enuncian las leyes fundamentales que rigen los niveles de glucosa y el almacenamiento de energía en forma de glucógeno o grasa. Posteriormente, se plantea un sistema dinámico simplificado que representa dichas leyes para, a continuación, mediante su análisis, ilustrar la influencia del perfil de asimilación en la generación específica de grasas. De manera indirecta, el modelo sirve también para ilustrar la relación entre el perfil de asimilación de los alimentos y su IG.

El documento está organizado de la siguiente manera. La sección 2 presenta las leyes funda-mentales que rigen la asimilación, el consumo y el almacenamiento de energía en el cuerpo; en la sección 3 se elabora un modelo básico del balance energético interno en el cuerpo humano. La sección 4 detalla el comportamiento del modelo en las diferentes zonas donde el sistema puede evolucionar. La influencia del perfil de asimilación (y consecuente valor de IG) en la generación de grasas se esboza analíticamente en la sección 5, y se ilustra con simula-ciones en la sección 6. Para terminar, la sección 7 concluye con un comentario final.

138



2. ASIMILACIÓN, CONSUMO Y ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA

2.1 Perfil de asimilación

Cuando ingerimos un alimento con una determinada cantidad de hidratos de carbono, nuestro organismo lo transforma inicialmente en glucosa. Las calorías Q del alimento pueden ser asi-miladas de manera muy diferente, según sus propiedades y el estado en que se halla nuestro organismo. Precisamente, el Perfil de asimilación de calorías A(t) es la función que caracteriza las calorías de dicho alimento que el cuerpo ha asimilado hasta el instante t. Si consideramos t = 0 como el momento de la ingesta del alimento, se cumplirá que A(0) = 0 y es de espe-rar que exista un tiempo ta, que define el tiempo de asimilación total del alimento, tal que A(ta) = Q. (Nota: en el presente estudio, todos los análisis se restringirán a un intervalo [0, te] donde te es el tiempo de estudio y cumple te ≥ ta). Evidentemente, la función A(t) es no decreciente y, para llevar a cabo nuestro estudio, asumiremos que A(t) es además una función derivable (por tanto, continua) y con derivada continua. Estas hipótesis de regularidad, muy razonables desde el punto de vista del modelado de procesos reales, nos permitirán emplear sin reticencias las herramientas básicas del análisis matemático.

Se puede definir la Tasa de asimilación de calorías , como las calorías por unidad de tiempo (potencia calórica) que el organismo está asimilando en un determinado instante t. Es evidente que TA(t) ≥ 0 para todo instante de tiempo t entre 0 y ta, y

de manera que el número total de calorías del alimento se puede calcular como

Q =

La figura 2 ilustra dos tipos de alimentos que, a pesar de aportar la misma energía (187,5 Kcal), presentan dos tasas de asimilación TA(t) diferentes.

Figura 2: Tasas de asimilación diferentes para dos alimentos con las mismas calorías

2.2 Perfil de consumo

Por otro lado, nuestro organismo está en constante proceso de consumo de calorías prove-nientes fundamentalmente de sus reservas de glucosa. Dicho consumo depende de diferentes factores (metabolismo, actividad física, etc.) y viene caracterizado por un Perfil de consumo de calorías C(t). Dicha función indica la cantidad de calorías que el cuerpo ha consumido desde el instante 0 (momento de la ingesta del alimento) hasta un determinado instante t. Así, al igual que en el proceso de asimilación, se cumple que C(0) = 0 y obviamente C(t) será una



función creciente. Al igual que antes, para facilitar nuestro estudio, asumiremos que C(t) es además una función derivable (por tanto, continua) y con derivada continua. Asimismo, la Tasa

de consumo de calorías , define las calorías por unidad de tiempo (potencia calórica) que el organismo consume en un determinado instante t. Es evidente que TC(t) > 0 para todo instante de tiempo t, y

2.3 Energía total almacenada

Si denominamos E(t) a la energía total almacenada en el organismo en un determinado instante t, se cumple E(t) = E(0) + A(t) − C(t), donde la constante E(0) representa el valor de la energía en el instante inicial t = 0. Calculando las derivadas en la expresión, la tasa de

variación de energía acumulada viene dada por donde TAC(t) = TA(t) − TC(t) es la diferencia entre las tasas de asimilación y consumo, que se medirá en unidades de potencia calórica (al igual que TA y TC). Nótese que E(t) queda determinada por la ecuación de las derivadas y su valor en t = 0:

. (1)

. (2)

E(t) se obtiene directamente calculando aquella primitiva de TAC que en t = 0 valga E0; for-malmente, ello equivale a computar en ambos miembros de (1) las integrales definidas entre

0 y t, de manera que El pro-blema planteado en (1)-(2) es de hecho un ejemplo sencillo de ecuación diferencial junto con una condición inicial, lo que define un Problema de valor inicial (PVI) o de Cauchy según se detalla en la sección 3.3. Nótese que conocidos E0 y TAC(t) durante el intervalo [0, te], queda unívocamente definido E(t) en dicho intervalo (la diferencia entre el aporte y el consumo energéticos determinarán cómo crece o decrece el valor de E(t) a partir de dicho valor inicial E0).

En este trabajo se pretende analizar la distribución interna de dicha energía almacenada. Para ello, pasamos a considerar los mecanismos fundamentales que regulan dicha distribución.

3. DISTRIBUCIÓN INTERNA DE LA ENERGÍA

Los hidratos de carbono asimilados por el organismo llegan al flujo sanguíneo en forma de glucosa G(t), cuyo nivel activa la generación de insulina, entre otras hormonas. (Existen algu-nos modelos metabólicos [1, 2, 3], orientados fundamentalmente al estudio de la diabetes, que incorporan la dinámica de los niveles de las hormonas involucradas. El objetivo de nuestro trabajo es mucho más modesto y consideramos que los niveles de hormonas son los adecuados para una transformación habitual de las sustancias). En concreto, la insulina juega un papel muy complejo en el organismo: canaliza el consumo de la glucosa, trasladándola del flujo sanguíneo al hígado y músculos, donde se almacenará en forma de glucógeno N(t); también puede transformar parte de la glucosa en grasa R(t). Por lo tanto, la energía total almacenada en el organismo E(t) siempre cumple la relación

E(t) = G(t) + N(t) + R(t). (3)

140



La misma cantidad de energía almacenada E puede acabar distribuida de manera muy dife-rente entre las magnitudes G, N y R. Para determinar dicha distribución es preciso analizar el balance energético interno entre todas las variables del modelo.

3.1 Mecanismos fundamentales

La distribución de la energía almacenada entre glucosa, glucógeno y grasa durante un periodo [0, t] es consecuencia de las tasas de asimilación y consumo, así como los niveles de glucosa y glucógeno que ha habido en la sangre durante dicho periodo. De manera simplificada, la evolu-ción de los niveles de glucosa G, glucógeno N y grasa R, así como las tasas de almacenamiento y consumo de la energía, se rigen según las siguientes reglas fundamentales (véase la Figura 3):

Figura 3. Diagrama simplificado de niveles y tasas

1. El nivel de glucosa en sangre G está determinado por un balance entre la energía asi-milada (con tasa TA), la energía consumida (tasa TC) y el almacenamiento de energía en forma de glucógeno (tasa TN) o grasa (tasa TR).

Las tasas de almacenamiento TN y TR vienen determinadas por los niveles de G y N. Un valor negativo de dichas tasas indica que se está recuperando glucosa de dichas reservas.

2. Los niveles de almacenamiento de glucógeno N y grasa R son el resultado del trasvase de energía (acumulada o recuperada con tasas TN y TR).

(Nota: parte del glucógeno almacenado –que se halla en los músculos–, se consume directamente sin que la glucosa generada regrese al flujo sanguíneo. Para simplificar nuestro modelo, asumiremos que esa glucosa generada a partir del glucógeno en las células musculares se consume también a través del flujo sanguíneo).

3.2 Modelo matemático simplificado

Las leyes anteriores se pueden formalizar en un conjunto de ecuaciones diferenciales que caracterizan la evolución de tres magnitudes que cambian con el tiempo G(t), N(t) y R(t):

(4)

(5)

(6)



Como se ha comentado antes, las reservas totales de energía que tiene el cuerpo en un instante determinado vienen dadas por la ecuación (3). Por lo tanto, teniendo en cuenta

que nótese que la suma de las tres ecuaciones del sistema (4)-(6) proporciona de manera consistente la ecuación (1).

(Nota: si se deseara que el modelo incluyera también el aporte energético proveniente de la ingestión directa de grasas, bastaría con añadir un nuevo termino correspondiente en la ecua-ción (6). En el presente estudio solamente se considerará la ingestión de hidratos de carbono).

3.3 Problema de valor inicial o de Cauchy

Basta con definir en (4)-(6) las funciones TN y TR que caracterizan respectivamente a TN y TR para que (junto con TAC conocido) quede también caracterizada TG, la tasa de variación de G. Según las reglas fundamentales, TN y TR dependen del nivel de glucosa en sangre G y el nivel de glucógeno almacenado N:

(7)

(8)

(9)

El vector [G,N,R] se denomina estado del sistema, y el vector f(t,G,N,R) = [TG(t,G,N), TN(G,N), TR(G,N)] que define las ecuaciones (7)-(9) se denomina vector de campo del sistema. Si ade-más de las ecuaciones del sistema disponemos el valor del estado en el instante inicial

G(0) = G0, N(0) = N0, R(0) = R0, (10)

el sistema de ecuaciones (7)-(9), junto con dichas condiciones iniciales (10), definen, como ya se ha comentado antes, un Problema de valor inicial (PVI) o de Cauchy. Bajo ciertas condicio-nes de regularidad en f, el PVI determina unívocamente la evolución de G(t), N(t) y R(t) para t ≥ 0. (El estudio de las hipótesis de regularidad habituales en f, para garantizar la existencia y unicidad de solución, se detalla en el apéndice A).

Asumida la existencia y unicidad de la solución, esta podrá obtenerse analíticamente, según la forma de las funciones TN, TR y TAC. En algunos casos, si sus expresiones son sencillas, es posible resolver el PVI empleando herramientas básicas de bachillerato.

El primer aspecto resolutivo a destacar es que las dos primeras ecuaciones (7) y (8) están des-acopladas de la tercera (9): la evolución de G y N (nivel de glucosa y glucógeno) no depende de R (grasas almacenadas). Ello implica que, si conocemos la diferencia de tasas TAC, se puede determinar la evolución de G y N sin tener en cuenta R. Posteriormente, conocidos G y N se puede calcular la evolución de las grasas.

3.4 Tasas internas de almacenamiento y consumo

Las tasas de trasformación de glucosa en glucógeno o grasa varían formalmente según la región o zona en la que se encuentre el estado [G(t),N(t),R(t)] del sistema. Debido a que las tasas no dependen del valor de R(t), las regiones se pueden delimitar considerando exclu-sivamente su proyección sobre las variables G y N. Podemos definir las siguientes proyecciones (véase la figura 4):

142



donde × representa el producto cartesiano de conjuntos. Gmed es un valor de referencia medio de glucosa en la sangre cuando el organismo está en ayunas; Ghiper es el valor a partir del cual hay hiperglucemia y el organismo genera mucha insulina activando el almacenamiento de grasa; finalmente, Nmáx define el nivel máximo de almacenamiento de glucógeno. Así, las cinco regiones en las que el estado del sistema puede evolucionar son

Figura 4. Proyecciones Pi de las regiones Zi en el espacio de estados

En Z1 el nivel de glucosa está por debajo de un umbral medio Gmed y al mismo tiempo hay reser-vas de glucógeno (N > 0). Por lo tanto, el organismo consume dichas reservas de glucógeno, es decir, TN < 0. En ese estado, si el valor de N no es elevado, el organismo tiene hambre.

Por otro lado, en Z2∪Z3 el nivel de glucosa supera un umbral medio Gmed y al mismo tiempo no está saturado el almacenamiento de glucógeno (N < Nmáx). Por lo tanto, el organismo alma-cena glucógeno, es decir, TN ≥ 0.

Además, en Z3 el nivel de glucosa supera un umbral máximo Ghiper lo que motiva también la acumulación de grasas, TR ≥ 0. Dicha acumulación de grasas también se da en Z4 debido a que las reservas de glucógeno están saturadas (N = Nmáx). Dicha generación de grasas sin que haya habido ingestión explícita de las mismas, reflejaría lo que se viene a denominar el "Caballo de Troya" de los lípidos [6].

Finalmente, en Z5 el nivel de glucosa está por debajo de un umbral medio y no hay reserva de glucógeno (N = 0) por lo que el organismo consume grasas, es decir TR < 0. Las grasas suponen la última reserva del organismo y solamente se consumen en este estado de alta carencia.

La partición del espacio permite una representación simplificada de las funciones TN y TR a trozos. En una primera aproximación, parece razonable asumir que las tasas de trasvase de energía son proporcionales al incremento (o decremento) del nivel de glucosa en relación con unos valores de referencia; en concreto, las expresiones elegidas para TN y TR son:

donde las constantes kN, kR > 0 cuantifican las tasas de trasvase.



Dichas expresiones proporcionan una sencilla aproximación de las reglas fundamentales, que permitirá a veces resolver nuestro problema con herramientas de bachillerato. Como contra-partida, la definición a trozos de dichas funciones puede dar lugar a discontinuidades, lo que acarrea ciertos problemas teóricos, como se comenta en el apéndice A.

4. COMPORTAMIENTO EN DIFERENTES ZONAS DE EVOLUCIÓN

El sistema de ecuaciones (7)-(9) con la forma concreta para TN y TR propuesta en (11)-(12), define un sistema dinámico a trozos, cuya expresión analítica varía según la región en la que se encuentre el estado del sistema. Debido a la posible discontinuidad del vector de campo, la existencia y unicidad de soluciones no tiene por qué estar siempre garantizada. En el apéndice A se aborda la existencia y unicidad tanto de las trayectorias que evolucionan dentro de cada región como las que transitan de una región a otra.

A continuación calculamos la forma analítica que toman las soluciones en cada región; gracias a las expresiones sencillas elegidas para TAC, TN y TR, a veces es posible obtener una expresión analítica sencilla de la evolución de G, N y R.

4.1 Región Z1: trasvase glucógeno-glucosa

En Z1, el sistema (7)-(9) toma la forma

La primera ecuación (13) está desacoplada ya que la variación del nivel de glucosa solamente depende de la diferencia de tasas de asimilación y consumo del alimento y el valor de dicho nivel de glucosa. Además, la ecuación diferencial es lineal con coeficientes constantes, por lo que admite una solución analítica cerrada (ver [1]):

(Es fácil comprobar que la función (16) satisface la ecuación (13) y la condición inicial G(0) = G0). A continuación, conocida G(t), se puede resolver la segunda ecuación (14) mediante el cálculo de una primitiva:

Finalmente, es obvio que la última ecuación (15) está también desacoplada de manera que

El balance energético resultante es G − G0 +N − N0 = A − C, donde toda la energía del alimento ingerido se aporta al balance glucosa-glucógeno (ello permite calcular N(t) alternativamente como N(t) = N0 + G0 + A(t) − C(t) − G(t)). La distribución porcentual resultante de energía entre glucosa y glucógeno dependerá de los perfiles de asimilación y consumo energéticos.

144



4.2 Región Z2: trasvase glucosa-glucógeno

Las ecuaciones son las mismas que (13)-(15), donde kN(G−Gmed) > 0 reflejará la tasa de alma-cenamiento de glucógeno a partir de glucosa (proporcional al exceso de glucosa). El balance energético resultante es formalmente el mismo, donde toda la energía del alimento ingerido se emplea en generar glucosa y glucógeno.

La expresión (16) válida en Z1∪Z2 permite muchas interpretaciones cualitativas de G(t) en el contexto de la teoría de sistemas lineales. Por ejemplo, si la asimilación y consumo estuvieran balanceados (TAC(t) ≈ 0) el nivel de G(t) tendería a Gmed con una tasa regulada por kN. En gene-ral, G(t) se alejará de Gmed según un perfil que es el resultado de un "filtrado paso bajo" de la función TAC(t). Si el valor de kN es suficientemente grande como para minimizar rápidamente la influencia de la condición inicial G0, y TAC varía de forma suave (es decir, su derivada está acotada: entonces, aplicando integración por partes, se puede demostrar que

Si además se considera TC constante, obtenemos

Este resultado indica que los perfiles de asimilación podrían ser for-

malmente similares a los perfiles de glucosa que generan, lo que justificaría la relación entre el perfil de TA(t) y la medida del IG.

4.3 Región Z3: hiperglucemia sin saturación de glucógeno

Debido a que G(t) supera el umbral Ghiper el termino TR es no nulo, y el sistema (7)-(9) toma la forma

Nuevamente, la primera ecuación (18) está desacoplada y es lineal, por lo que podemos resol-verla analíticamente:

donde hemos empleado la notación una vez más, se puede resolver la segunda ecuación (19) mediante el cálculo de una primitiva:

al igual que la ecuación (20):



El balance energético será A(t) − C(t) = E(t) = G(t)−G0 + N(t)−N0 + R(t)−R0, lo que indica que parte de la calorías A(t) del alimento acabarán transformadas en grasa. Por lo tanto, el incremento de reservas de glucosa y glucógeno G(t) − G0 + N(t) − N0 < A(t) − C(t) será más bajo que en Z1 ∪ Z2.

La expresión de G(t) indica que si TAC ≈ 0 el nivel de G(t) evoluciona con una tasa elevada proporcional a kN + kR, y tiende a G, una media ponderada entre Gmed y Ghiper. Evidentemente, al aproximarse a G, la trayectoria del sistema saldría de Z3 para entrar en Z2. Por otro lado se produce almacenamiento de glucógeno y grasa (tanto N(t) como R(t) son crecientes), y si se saturan las reservas de glucógeno, la trayectoria transitará a Z4.

4.4 Región Z4: saturación de glucógeno

En Z4 se cumple N(t) = Nmáx y no es posible almacenar más glucógeno, por lo que TN(G,N) = 0

y permanecemos en Z4 siempre que G ≥ Gmed.

Una vez más, la ecuación (21) es lineal y su solución toma la forma

La tercera ecuación (23) se resuelve mediante el cálculo de una primitiva, lo que determina la cantidad de grasa almacenada

de manera que el balance energético será A(t) − C(t) = E(t) = G(t) − G0 + R(t) − R0.

La expresión (24) indica que si TAC ≈ 0 el nivel de G(t) evoluciona con una tasa proporcional a kR hacia Gmed, mientras almacena reservas en forma de grasa (R(t) creciente).

4.5 Región Z5: hipoglucemia sin reservas de glucógeno

En Z5 el nivel de glucosa en sangre es bajo G < Gmed y no tenemos glucógeno almacenado (N = 0), por lo que el organismo recurre a sus reservas de grasa. Las ecuaciones del trasvase grasa-glucosa son las mismas que (21)-(23) (en este caso, kR(G − Gmed) < 0 reflejará el aporte de glucosa a partir de las grasas). Siempre que G < Gmed el sistema se mantendrá en Z5 consu-miendo sus reservas de grasa (R(t) decreciente).

4.6 Transición de trayectorias entre regiones

En el apéndice A se justifica la existencia y unicidad tanto para las soluciones que evolucionan dentro de cada región Zi como para las que transitan de una región a otra. En caso de que la

146



trayectoria se mantenga siempre en una misma región, la expresión analítica viene proporcio-nada en las secciones 4.1-4.5; cuando se produzca una transición, la expresión analítica de la trayectoria deberá ser caracterizada a trozos: la clave está en determinar si hay transiciones entre regiones y cuáles son los tiempos de transición entre dichas regiones.

A continuación se esbozan algunas de las directrices que se deberían emplear para un estudio completo de los posibles comportamientos. En concreto, se ilustra cómo determinar la influen-cia del perfil de asimilación (y consecuente IG) de un alimento en la posible transición del estado del sistema a regiones donde se genera grasa.

5. GENERACIÓN DE GRASAS SEGÚN EL PERFIL DE ASIMILACIÓN

Según el balance energético en las diferentes regiones, siempre que el organismo evolucione en Z1 ∪ Z2 se producirá exclusivamente un trasvase glucosa-glucógeno. Sin embargo, cuando el organismo entra en la región Z3 o Z4 se produce acumulación de grasa. Por ello, a conti-nuación se abunda en el análisis de las trayectorias en Z1 ∪ Z2 y su posible transición a Z3 o Z4. Como se verá, dicha transición está fuertemente condicionada por el perfil de asimilación A(t) (y el consecuente Índice Glucémico) del alimento.

5.1 Soluciones que transitan de Z1 ∪ Z2 a Z3 o Z4

En Z1 ∪ Z2 la trayectoria del sistema responde a una expresión analítica sencilla según (16), (17) y R(t) = R0. Sin embargo, dependiendo de los perfiles de asimilación y consumo, es posible que el estado del sistema transite a otras regiones. Para determinar si se produce tal transición es preciso estudiar hasta cuándo son válidas las expresiones (16)-(17). Ello equivale a determi-nar si en algún momento del intervalo [0, te] la función G(t) supera el valor Ghiper o si N(t) no se mantiene en (0,Nmáx). Para ello, se computan los valores extremos que alcanzaría cada una de dichas funciones bajo la hipótesis de evolución según (16)-(17). Si los valores extremos se hallan en Z1 ∪ Z2 la trayectoria no habrá salido de dicha región.

Comenzamos considerando G(t): debido a que es una función continua, alcanzará sus valores extremos en un punto tmáx ∈ [0, te], y se pueden dar los siguientes casos:

1. Si tmáx ∈ (0, te), debido a que G(t) es diferenciable debe cumplir que por

lo que se obtendría:

Entonces, una posible condición suficiente (fácil de comprobar) para garantizar que dicho máximo no supera Ghiper es que

2. Si tmáx = 0, debido a que G(t) ≤ G(0) = G0 < Ghiper es obvio que G(t) ∈ [0,Ghiper).3. Si tmáx = te, basta con evaluar G(te). Si G(te) < Ghiper la variable se mantiene en G(t) ∈ [0,Ghiper).

En caso de que G(tmáx) ≥ Ghiper (mientras que N(t) se mantiene en (0,Nmáx)), entonces existe un subconjunto de valores de tiempo I [0, te] donde G(t) ≥ Ghiper y existirá un valor t3,ínfimo de I y primer instante en que asumiendo régimen normal según las ecuaciones (16)-(17) se alcanza la condición G(t3) = Ghiper. A partir de t3 la solución calculada con (16)-(17) no tiene sentido, ya que el sistema entra a trabajar según (18)-(20). La dinámica de transición entre las regio-nes Z2 y Z3, está bien definida (véase el apéndice A) y a partir de entonces el sistema regido por (18)-(20) trabajará en régimen hiperglucémico siempre que se mantenga la condición G(t) ≥ Ghiper; en caso de que se alcance G(t) < Ghiper se volvería a aplicar el régimen normal, y así sucesivamente.



De la misma manera, se debería analizar la evolución de N(t) para determinar si se mantiene o no en (0,Nmáx). Si alcanza el valor Nmáx se produce una transición a Z4 iniciando la corres-pondiente generación de grasas.

Ejemplo sencillo: tasas constantes a trozos

Un ejemplo sencillo de analizar surge si se considera que la asimilación y el consumo de ener-gía son constantes a trozos. El modelo más sencillo presupone la asimilación de una cantidad fija de Q Kcal uniformemente en [0, ta]:

de manera que durante la fase de asimilación. Se pretende estudiar la influencia del valor de ta, tiempo de asimilación del alimento, en el balance energético final del organismo. (Nota: la discontinuidad de salto de TAC(t) en ta no es crítica en relación con la existencia de soluciones, tal y como se explica en el apéndice A).

Si consideramos que N(t) se mantiene en (0,Nmáx), y G0 = Gmed, el crecimiento de G(t) vendría dado según (13)

de manera que varía de forma monótona creciente 0) desde G0 hacia Gmed + Si además el valor de kN es lo suficientemente grande

para cumplir el término exponencial es despreciable cuando estamos cerca de ta (se

ha alcanzado el régimen permanente); es decir, la función G(t) tenderá a antes de que lleguemos al instante ta. Entonces pueden darse dos posibilidades:

1. El valor de ta (tiempo de asimilación del alimento) es pequeño y se cumple que

En ese caso, el estado del sistema entrará en Z3 y se

acumulará grasa.

2. El valor de ta es grande de manera que Teniendo en cuenta además que en (ta, te] la función G(t) será decreciente, se concluye que G(t) < Ghiper, "t ∈ [0, te], el estado se mantiene en Z1 ∪ Z2 y no se acumula grasa.

La otra vía de acumulación de grasa podría venir de la saturación de N(t). Asumiendo que G(t) no supera Ghiper tendríamos que

y se cumple que de manera que N(t) es creciente hasta alcan-

zar el valor N(ta) ≈ N0 + Q − ta TC. Una vez más, un valor pequeño de ta, tal que N0+Q−taTC ≥ Nmáx producirá una transición a Z4 con la consiguiente generación de grasas. En cambio, un valor grande de ta que garantice N0+Q−taTC < Nmáx nos prevendrá de dicha generación de grasas.

Como conclusión, un valor pequeño del tiempo de asimilación (alto IG) conduce a la gene-ración de grasas bien en Z3 o Z4; ello implica menos reservas de glucosa-glucógeno, lo que supone una aparición más rápida del hambre (regreso a parte baja de Z1) y la presumible ingesta de más alimentos, antes de alcanzar la región límite Z5, única donde se eliminaría la grasa.

148



6. SIMULACIONES

Para corroborar los resultados teóricos, a continuación se presentan los resultados de dife-rentes simulaciones en las que se han empleado magnitudes reales estimadas según se

detalla en el apéndice B. Las magnitudes de referencia empleadas han sido

(equivalente a 440 gramos de glucógeno repartidos en el

organismo); asimismo, se han elegido Se ha considerado una tasa de consumo fija con valor (un total de en todo el organismo), y

una ingesta de (un total de 1000 Kcal). Tras cuatro horas (te = 4), el balance

energético final computa un incremento de

Si se consideran las condiciones iniciales G0 = 100, N0 = 4900

y R0 = 0, tenemos que

La figura 5 representa en tres columnas los perfiles correspondientes a tres tipos de alimentos con las mismas Q calorías, pero diferente perfil de asimilación (y consecuentemente, Índice Glucémico), reflejado en los tres valores ta = 3, 2 y 1. Cada columna representa la tasa de asimilación del alimento, así como los niveles de glucosa, glucógeno y grasa generados.

La primera columna ilustra un alimento con tiempo elevado de asimilación (tres horas), lo que corresponde a un bajo IG. El sistema evoluciona solamente en la región Z1 ∪ Z2, y no se produce generación de grasa. La segunda columna corresponde a un alimento con IG medio, que produce fundamentalmente una saturación de glucógeno (entrada en región Z4) tras una hora y media desde la ingesta (durante dicha saturación que dura alrededor de media hora, se generan unos 8 gramos de grasa). La tercera columna corresponde a un alimento con IG alto, de manera que pasado un cuarto de hora desde la ingesta sube mucho el nivel de glucosa y la trayectoria del sistema entra en Z3 lo que genera unos 14 gramos de grasa; a continuación la trayectoria transita a Z4 (saturación de glucógeno), lo que produce otros 4 gramos adicionales de grasa. La siguiente tabla ilustra el reparto energético final en cada uno de los casos:

(Recuérdese que 1 gramo de glucosa equivale a y un gramo de grasa

equivale a ).

7. COMENTARIO FINAL

El modelo presentado es muy simplificado y no recoge muchos aspectos importantes en la dinámica de los procesos de asimilación de alimentos y almacenamiento de energía. Por ejem-plo, la evolución de los niveles de las hormonas implicadas (como la insulina) es clave para comprender con profundidad estos procesos y poder modelar, además, diferentes patologías.



Figura 5. Perfiles de tasa de asimilación, glucosa, glucógeno y grasa para alimentos con diferentes tiempos de asimilación: ta = 3, ta = 2 y ta = 1

En este sentido, el presente trabajo solamente pretende recoger algunos aspectos cualitativos básicos que sean fácilmente caracterizables con herramientas matemáticas sencillas, para así poder ilustrar las fases de modelado, análisis y simulación.

Los resultados del estudio sugieren que parece deseable ingerir alimentos con tiempos de asimilación altos (que se corresponden con un bajo IG) para así evitar la generación de grasas en el organismo. Algunos autores [6] sostienen la tesis de que la obesidad es fruto de la gene-ración de un exceso de insulina (hiperinsulinismo) cuando el organismo alcanza niveles altos de glucosa. Curiosamente, dicha patología se puede caracterizar fácilmente en el modelo pro-puesto mediante la disminución del umbral Ghiper. En cualquier caso, este trabajo no pretende respaldar ninguna teoría concreta derivada de las diferentes corrientes de opinión que existen en el campo de la nutrición.

Como ya ha sido comentado, el modelo dinámico desarrollado en este trabajo puede emplearse también para estudiar la influencia de la cantidad de calorías ingeridas, así como la distribución temporal de las comidas. Asimismo, dicho modelo admite una extensión directa que permitiría modelar también la ingesta de grasas. Por último, el modelo es también aplica-ble al estudio de la influencia que tiene en las reservas del organismo la tasa de consumo TC (determinada por el metabolismo y la actividad física realizada). La focalización del trabajo en TA en lugar de TC está justificada por el hecho de que los autores tienen mucha más experien-cia práctica en el terreno de la gastronomía que en el del deporte.

150



REFERENCIAS

[1] M. Braun, 1993: Differential Equations and Their Applications. Fourth Ed. Springer Verlag.

[2] E. R. Carson, C. Cobelli, and L. Finkelstein, 1983: The Mathematical Modelling of Metabolic and Endocrine Systems-Model Formulation, Identification, and Validation. Vol. 2 of Biomedical Engineering and Health Systems. John-Wiley and Sons.

[3] Y. Cherruault, 1986: Mathematical Modelling in Biomedicine. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland.

[4] E. A. Coddington and N. Levinson, 1955: Theory of Ordinary Differential Equations. New York, McGraw-Hill.

[5] I. Marber, 2005: El plan diario del doctor dieta. Círculo de Lectores.

[6] M. Montignac, 2004: Comer, adelgazar y no volver a engordar. Salsa Books.

[7] M. M. Polycarpou and P. Ioannou, March 1993: On the Existence and Uniqueness of Solutions in Adaptive Control Systems. IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 38, Nº. 3.

A. Existencia y unicidad de soluciones

Sea un PVI con vector de campo f(t, x) definido en y valor inicial x(0) ∈ Int(D) (donde Int(D) es el interior de D o mayor abierto contenido en D). La condición suficiente habitual para garantizar la existencia y unicidad de solución x(t) ∈ D en un cierto intervalo t ∈ [0, e) I es que el vector de campo f(t, x) sea continuo y además satisfaga la propiedad Lipschitz con respecto de las variables x del vector de estados: $ L > 0 tal que ||f(t, x) − f(t, x')|| ≤ L||x−x'||, véase [4]. (Si se deseara garantizar la existencia de la solución en todo un intervalo [0, te] habría que demostrar además que la trayectoria no sale de D en un tiempo menor o igual que te).

En caso de que f(t,x) presente discontinuidades de salto con respecto de t, la existencia de solución en un cierto intervalo de tiempo [0, e) queda garantizada en un sentido más relajado, de Carathèodory: la solución x(t) satisface la ecuación diferencial en todo [0, e) excepto en un conjunto de medida nula (a este tipo de soluciones se las denomina débiles). Finalmente, si el vector de campo f(t, x) presenta discontinuidades de salto respecto de las variables de estado x, está garantizada la existencia y unicidad de soluciones generalizadas en el sentido de Filipov [7]. Las condiciones expuestas son suficientes (no necesarias), por lo que en caso de no satis-facerse, no se puede saber a priori si existirán o no los tipos de soluciones mencionadas.

Nuestro sistema de ecuaciones (7)-(9) con las expresiones de las tasas en (11)-(12), define un sistema dinámico a trozos, cuya expresión analítica varía según la región en la que se encuentre el estado del sistema. Considerando todo en algunas de las fron-teras de las regiones Zi, el vector de campo es continuo, mientras que en otras no es continuo pero sí es continuo a trozos.

En Z1 ∪ Z2 ∪ Z3, TN y TR son funciones continuas que satisfacen la propiedad de Lipschitz; además TAC es diferenciable con continuidad, lo que implica que también es Lipschitz. Por lo tanto, la existencia y unicidad de soluciones en dicha zona está garantizada. (De hecho, tal y como se ha demostrado en las secciones (4.1)-(4.2), el régimen de funcionamiento en la zona Z1 ∪ Z2 puede definirse con una expresión analítica unificada).



En cuanto a las hipotéticas transiciones Z1 ↔ Z4, Z1 ↔ Z5 , Z2 ↔ Z4, Z2 ↔ Z5 y Z3 ↔ Z4, es fácil demostrar que solamente algunas son posibles. Por otro lado, en las transiciones donde hay discontinuidad del vector de campo, la existencia y unicidad de soluciones solamente estaría garantizada a priori en el sentido genérico de Filipov. Sin embargo, es fácil comprobar que siempre existe una solución al menos en el sentido de Carathèodory, ya que todas las transiciones posibles entre regiones suponen un cambio en el vector de campo cuyos nuevos valores garantizan que las trayectorias continúan existiendo en las regiones de destino.

(Nota: se ha omitido el estudio detallado de las trayectorias en cada una de las posibles tran-siciones, ya que extendía en exceso este apéndice).

B. Cuantificación de las constantes del modelo

El balance energético en el cuerpo humano se mide habitualmente en Kcal; por otro lado, el incremento del nivel de glucosa en la sangre se mide habitualmente en Para vincular los procesos de asimilación, consumo y almacenamiento es necesario realizar una conversión de unidades. Si se asume por un lado que los hidratos de carbono proporcionan la mayoría

de la energía con una proporción de y que por otro lado el reparto de glucosa es uniforme en los 50 dl (5 litros) de sangre que tiene el cuerpo, la constante B de conversión de

vendrá dada por

De la misma manera, si por un lado se miden las tasas de asimilación y consumo en y por otro lado se mide la tasa de variación del nivel de glucosa en la constante de

conversión de unidades será Para simplificar las simulaciones,

se pueden considerar todas las tasas de variación en de manera que el paso desde se realizaría multiplicando simplemente por B.

El cuerpo humano consume unas 2.400 por lo tanto, una comida normal debe aportar del orden de 1.000 Kcal. Si el aporte fuera instantáneo, ello supondría un incremento del

nivel de glucosa de muy por encima del nivel normal, que ronda los De hecho, el organismo llega a almacenar unos 350 gramos (1.315 Kcal) en glucógeno mus-cular y unos 90 gramos (340 Kcal) en el hígado, de manera que la glucosa circulante en la sangre ronda los 5 gramos o 20 Kcal. Existen mecanismos para mantener el nivel de glucosa

(mediante las hormonas pertinentes) en el rango normal de 90 a Se puede interpretar que el glucógeno almacenado está repartido en la sangre de manera que los 440 gramos máxi-

mos se corresponderían con

Si se considera que el tiempo de asimilación de una comida puede oscilar entre una y cuatro horas, las 1.000 Kcal podrán ser asimiladas con una tasa que variará aproximadamente entre

1.000 y 250 respectivamente, o equivalentemente entre 5.333 y 1.333 .

Finalmente, el valor de las constantes de tiempo y se puede estimar sobre la base de que las simulaciones sean compatibles con datos experimentales.

Soneto gastronómico-numérico

Me gustan los sonetos con bizc… 8y los quintetos con chocolate unta… 2Las rosquillas me como en parea… 2con epigramas y moscatel trasn… 8

Mientras el cinturón me desabr… 8pienso que no irán mal acompaña… 2Los serventesios con el cordero asa... 2y el arte menor, con calim… 8

Las odas con pescados de Nept… 1Besugo al madrigal o al roman… 0el vino blanco será muy oport… 1

En mi cocina versos y números ma… 0y pues comer y escribir es todo … 1en la mesa: cuchillo tenedor y lapi… 0

Soneto ingenioso numérico

Existiendo sonetos tan varia… 2busqué entre las estrellas un luc… 0una gota, sin par, de un agua… 0unos versos con números rim… 2

Con sus catorce versos ordena… 2macerando el amor con el a… 0ligados el segundo y el ter… 0y el primero y el cuarto parea… 2

Estudié con rigor el roman… 0a Lope y a Quevedo, a Unam… 1a Cervantes siguió mi lapic… 0

Miré mil libros, sin dejar ning… 1mas querido lector, a ser sin… 0con números no hallé soneto alg… 1

El autor de estos sonetos, Antonio Box Finís, es médico, ilusionista y poeta en Burgos.

Documents

José Manuel López Irastorza (*) y Pedro J. Zufiria ... · IG como la proporción entre el área sombreada y el área total coloreada ... de manera que el número total de calorías