DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Juan Carlos Colonia

OTRAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Entre otras distribuciones continuas importantes tenemos:

Distribución Ji–cuadrado de Pearson

Distribución t de Student

Distribución F de Fisher–Snedecor

La importancia de estas distribuciones es por que tienen un rol fundamental dentro de Inferencia Estadística.

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

Definición:

Una variable aleatoria tiene distribución Ji-cuadrado con n grados de libertad si su función de densidad esta dada por:

Notación:

Características numéricas:

n x1

2 2n

2X

1x e x 0

nf x 2

2

0 x 0

2

nX

X

V X 2n E X n

es la Función Gamma

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

Grafica:

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

Propiedades:

1. La distribución sólo depende del parámetro n (grados de libertad).

2. El dominio de la variable es

3. A medida que n aumenta de la función de densidad se hará más simétrica y menos apuntada y 2

n N n , 2n

0 ,

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

Definiciones:

1. Sea una variable aleatoria con distribución normal

estándar. La variable aleatoria tiene distribución Ji-

cuadrado con 1 grado de libertad.

2. Sean variables aleatorias independientes cada

una con distribución normal estándar. Entonces la variable

aleatoria tiene distribución Ji-cuadrado con n

grados de libertad.

2X Z

1 2 nX , X , ..., X

n2

i

i 1

Y X

Z

TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

La tabla de la distribución Ji-cuadrado se basa en su función de distribución, es decir , la cual se encuentra tabulada para diferentes valores de n y x. La tabla Ji-cuadrado ofrece el valor de x tal que

para valores seleccionados de y n.

2

nP x

2

n

2

nF x P x

TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

Actualmente, para las aplicaciones en Inferencia Estadística, la tabla de la distribución Ji-cuadrado ofrece el valor de x tal que

para valores seleccionados de y .

Por tanto es el valor de la abscisa x en la distribución Ji-cuadrado tal que el área a la derecha de la abscisa x es igual a una probabilidad de .

2

nP x

2

,n

2 2

,n nP x

n

PROBABILIDAD EN TABLA JI-CUADRADO

El área a la derecha de q es igual a una probabilidad de

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Definición:

Una variable aleatoria tiene distribución con n grados de libertad si su función de densidad esta dada por:

Notación:

Características numéricas:

n 12 2

X

n 1

x2f x 1 x

n nn

2

nX t

E X 0 para n 1

n

V X para n 2n 2

X t

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Grafica:

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Propiedades:

1. La distribución sólo depende del parámetro n

2. El dominio de la variable es

3. Es simétrica con respecto al valor 0

4. Para n grande la distribución t se aproxima a una distribución N 0 ,1

,

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Definición:

Sean y variables aleatorias independientes con distribución y respectivamente. La variable aleatoria

tiene distribución t con n grados de libertad.

2

n

Zt

n

X Y

2

n N 0 ,1

TABLA DE DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

La tabla de la función de distribución t ofrece el valor de

x tal que

para y n = 1, 2, …, 30, 40, 60, 120. Debido a la

simetría de la distribución, cuando , por lo

que se cumple

nt nF x P t x

0.5

0.5

x 0

n nt tF x 1 F x

TABLA DE DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Actualmente, para las aplicaciones en Inferencia

Estadística, la tabla de la distribución t ofrece el

valor tal que

Por tanto es el valor de la abscisa x de la

distribución t tal que el área a la derecha de x es

igual a una probabilidad de .

, n nt P t x

x

nP t x

, nt

PROBABILIDAD EN TABLA T DE STUDENT

El área a la derecha de q es igual a una probabilidad de

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución F con m y n grados de libertad si su función de densidad esta dada por:

Notación:

mm 122

m n

2X

m n

m x2x 0

m n nf x mx12 2

n

0 x 0

m,nX F

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR

Características numéricas:

Propiedades:

Si entonces la variable aleatoria

Si entonces la variable aleatoria

n

E X para n 2n 2

2

2

2n m n 2V X para n 4

m n 2 n 4

m,nX F n,m

1F

X

nX t

2

1,nX F

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR

Grafica:

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER – SNEDECOR

Definición:

Si X y Y son variables aleatorias independientes, con distribuciones Ji-cuadrado con m y n grados de libertad respectivamente. La variable aleatoria

tiene distribución F con m y n grados de libertad.

2

m2

m

2 2

n n

nmF

m

n

TABLA DE DISTRIBUCIÓN F

En una de las formas empleadas la tabla de la función

de distribución F ofrece el valor de x tal que

Para . En ocasiones es necesario

obtener el valor de x para con pequeño.

Si el valor de es el complemento a 1 de alguno de los

valores tabulados, entonces:

m , nF m , nF x P F x

0.90, 0.95, 0.975, 0.99

, m , n

, n , m

1F

F

m , nP F x

TABLA DE DISTRIBUCIÓN F

Actualmente, para las aplicaciones en Inferencia

Estadística, la tabla de la distribución F ofrece el

valor tal que

Es decir es el valor de la abscisa en la

distribución F tal que el área a la derecha de abscisa

x es igual a una probabilidad de .

, m , n m , nF P F x

x

m , nP F x

, m , nF

PROBABILIDAD EN TABLA F

El área a la derecha de q es igual a una probabilidad de

ANEXO: FUNCIÓN GAMMA

Definición:

La función Gamma de una variable real esta dada

por:

para todo a real positivo.

Propiedades:

a 1 x

0

a x e dx

a

1 1

a a 1 a 1 si a 1 0

a a 1 ! si a