PRUEBA DE HIPÓTESIS

Juan Carlos Colonia

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Una hipótesis estadística es un supuesto acerca de la distribución de probabilidad de una o mas variables aleatorias o de los parámetros de una población. En la practica la distribución de la población es a menudo implícitamente supuesta, especificándose una hipótesis con el valor o los valores del parámetro o los parámetros que la definen.

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

•Es la hipótesis en la que el investigador esta dispuesto a creer a priori como verdadera y cuya validez será sometida a prueba. Se designa .

•Es la hipótesis de investigación; especifica aquellos valores del parámetro que se quiere apoyar con los datos de la muestra. Se designa . La hipótesis alternativa niega a la hipótesis nula.

0H

1H

PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Se denomina prueba, test o contraste de

hipótesis estadística, a la regla de decisión

utilizada para rechazar o aceptar la hipótesis

nula.

Esta decisión se basa en el valor que toma una

estadística en base a lo datos de una muestra

aleatoria de tamaño n extraída de la población

bajo estudio.

REGIÓN CRITICA

Una prueba de hipótesis divide el espacio muestral de

observaciones en dos partes llamados Región de

Rechazo o Región Critica y la Región de Aceptación.

La región critica, es la región del espacio muestral que

contiene los valores muestrales para los cuales se

rechaza la hipótesis nula.

La región de aceptación, es la región del espacio

muestral que contiene los valores muestrales para los

cuales no se rechaza la hipótesis nula.

La decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula

se basa en algún estadístico de la muestra.

REGIÓN CRITICA

Ejemplo:

Sea una muestra aleatoria de tamaño n

extraída de una población . Consideremos la

hipótesis nula y la prueba: rechazar la hipótesis

nula si, . Entonces la región crítica de la

prueba es:

1 2 nX , X , ..., X N , 64

70

x 70 8 n

70 8 n70

Región critica o de rechazo Región de aceptación

Punto critico

Si el valor de cae en

esta región se rechaza H0

x

REGIÓN CRITICA: PRUEBA DE UNA COLA

Prueba de cola izquierda o inferior

Se rechaza si cae en la región de rechazo

0 0

1 0

H :

H :

0H ̂

REGIÓN CRITICA: PRUEBA DE UNA COLA

Prueba de cola derecha o superior

Se rechaza si cae en la región de rechazo

0 0

1 0

H :

H :

0H ̂

REGIÓN CRITICA: PRUEBA DE DOS COLAS

Prueba de dos colas

Se rechaza si cae en la región de rechazo

0 0

1 0

H :

H :

0H ̂

ERRORES TIPO I Y TIPO II

El procedimiento de decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula en base a la información contenida en una muestra de la población en estudio, esta sujeta a dos tipos de errores.

Error Tipo I

Un error tipo I o error de primera especie, es cometido si se rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera.

Error Tipo II

Un error tipo II o error de segunda especie, es cometido si se acepta la hipótesis nula cuando es falsa.

ERRORES TIPO I Y TIPO II

La decisión en un contraste de hipótesis es parecida a la de un juicio penal al establecer si una persona

es inocente o culpable.

Presunción de inocencia

La persona es considerada inocente mientras no se demuestre lo contrario.

Hipótesis nula

Se asume cierta mientras no haya evidencia en

sentido contrario.

ERRORES TIPO I Y TIPO II

Es posible tomar la decisión equivocada

1. Declarando culpable a un inocente (Rechazar H0 siendo cierta)

2. Declarando inocente a un culpable (No rechazar H0 siendo falsa)

El error en el veredicto de culpabilidad es mas grave que en el veredicto de inocencia, es peor condenar a un inocente que dejar ir a un culpable.

El error tipo I es mas grave que el error tipo II

ERRORES DEL TIPO I Y DEL TIPO II

Las posibilidades de decisión se puede

esquematizar en la siguiente tabla

Decisión Estado

Verdadero Verdadero

Aceptar Decisión

correcta

Error del Tipo II

Aceptar Error del Tipo I Decisión

correcta

0H

1H

0H 1H

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Y POTENCIA DE LA

PRUEBA

El tamaño del error tipo I o nivel de significancia de la

prueba es la probabilidad de cometer error tipo I. se

denota por .

La probabilidad de cometer error tipo II se denota . El

complemento de se denomina potencia de la prueba.

0 0P cometer error tipo I P rechazar H H es verdadero

1 1P cometer error tipo II P rechazar H H es verdadero

1 11 P aceptar H H es verdadero

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Y POTENCIA DE LA

PRUEBA

Ejemplo:

Un lote de productos tiene un costo medio de S/. 300,

bajo la sospecha de que el precio ha subido, se

comprará un lote si este no es mayor a S/. 300.

Para esta prueba los riegos y son como sigue:

La potencia de la prueba:

Acción

Comprar Decisión correcta

No comprar Decisión correcta

0H : 300 1H 300

0P a 300

1P a 300

11 P a 300

PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UNA PRUEBA

DE HIPÓTESIS

1. Formular las hipótesis de acuerdo con el problema que se

tiene.

2. Escoger el nivel de significación o riesgo .

3. Escoger la estadística de prueba adecuada cuya distribución

muestral sea conocida cuando sea verdadero.

4. Establecer la región de rechazo para la estadística de prueba,

determinando el valor o valores críticos, en base al nivel de

significación.

5. Calcular el valor la estadística de prueba en base a la

información dada por la muestra.

6. Decisión de rechazar si el valor de la estadística de prueba

cae en la región crítica y aceptarla en caso contrario. 0H

0H

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LOS

PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

Hipótesis

Estadística

de Prueba

Región crítica

Regla de

decisión

0 0

1 0

H :

H :

0 0

1 0

H :

H :

0 1Z Z

0Z Z

0 1 2

Z Z

0 0

1 0

H :

H :

00

xZ N 0 ,1

n

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

Ejemplo:

Se sabe que el tiempo medio de secado de un tipo de pintura es de 75 min con una desviación estándar de 9 min. Los químicos han propuesto un nuevo aditivo diseñado para disminuir el tiempo promedio de secado. Se toma una muestra de 25 observaciones de tiempo de secado y se obtiene un tiempo medio de 72.3 min, con un nivel de significación de 1% se puede afirmar que el medio de secado ha disminuido.

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES CONOCIDA

Ejemplo:

1. Hipótesis:

2. Nivel de significación:

3. Estadística de prueba:

4. Punto crítico:

5. Decisión: No se puede rechazar H0.

No existe evidencia estadística para afirmar que el

tiempo medio de secado ha disminuido.

0.01Z Z 2.33

0.01

0

1

H : 75

H : 75

0Z 1.5

1.5 2.33

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Hipótesis

Estadística

de Prueba

Región crítica

Regla de

decisión

0 0

1 0

H :

H :

0 0

1 0

H :

H :

0 1Z Z

0Z Z

0 1 2

Z Z

0 0

1 0

H :

H :

00

xZ N 0 ,1

s n

n 30

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

Se midió la temperatura de fusión en una

muestra de 49 observaciones de cierta marca de

aceite vegetal hidrogenado, se encontró una

media de 94.32 °C y una desviación estándar de

1.20 ºC. Con un nivel de significación de 5%, se

puede afirmar que la temperatura de fusión

difiere de 95 °C.

n 30

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

1. Hipótesis:

2. Nivel de significación:

3. Estadística de prueba:

4. Punto crítico:

5. Decisión: Se rechaza H0.

La temperatura de fusión es diferente de 95 °C con 5%

de nivel de significación.

1 2 0.975Z Z 1.96

0.05

0

1

H : 95

H : 95

0Z 3.96

3.96 1.96

n 30

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Hipótesis

Estadística

de Prueba

Región crítica

Regla de

decisión

0 0

1 0

H :

H :

0 0

1 0

H :

H :

0 0

1 0

H :

H :

0

0 n 1

xt t

s n

0 , n 1t t

0 , n 1

t t

0

, n 12

t t

n 30

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

Un fabricante de pilas indica que el tiempo de duración de las pilas AA que fabrica, tiene un promedio de duración es al menos de 55 horas. Un distribuidor mayorista ha solicitado un pedido de pilas, pero antes de aceptar el pedido analiza una muestra de 16 pilas cuyos resultados arrojan una media de 48.5 con una desviación estándar de 3.19 horas. ¿Qué decisión tomará el mayorista al 5% de nivel de significación?.

n 30

P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA

POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y

Ejemplo:

1. Hipótesis:

2. Nivel de significación:

3. Estadística de prueba:

4. Punto crítico:

5. Decisión: Se rechaza H0.

Con 5% de nivel de significación se puede afirmar que el

tiempo medio de duración de las pilas AA es menor de

55 horas.

0.05

0

1

H : 55

H : 55

0t 8.15

8.15 2.131

, n 1 0.05 ,15t t 1.753

n 30

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA

Hipótesis

Estadística

de Prueba

Región crítica

Regla de

decisión

2

2 2

0 , n 12

0

n 1 s

2 2

0 0

2 2

1 0

H :

H :

2 2

0 0

2 2

1 0

H :

H :

2 2

0 0

2 2

1 0

H :

H :

2 2

0 , n 1

2 2

0 1 , n 1

2 2

0 2 , n 1

2 2

0 1 2 , n 1

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA

Ejemplo:

El Director de un colegio está interesado en que sus alumnos que terminan la secundaria ingresen a la universidad. Él indica que una varianza superior a 20 en las calificaciones es negativa para el ingreso a la universidad. Propone un programa de preparación a la universidad y al final del curso se elige una muestra de 10 alumnos y se toma un test de conocimientos que arroja como resultado una varianza de 18. Se puede afirmar que la varianza ha disminuido con 5% de nivel de significación.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA

Ejemplo:

1. Hipótesis:

2. Nivel de significación:

3. Estadística de prueba:

4. Punto crítico:

5. Decisión: No se puede rechazar H0.

Con 5% de nivel de significación se puede afirmar que el

programa de preparación no ha hecho que la varianza

disminuya.

0.05 2

0 8.1

8.1 3.325

2 2

1 , n 1 0.95 , 93.325

2

0

2

1

H : 20

H : 20

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

Hipótesis

Estadística

de Prueba

Región crítica

Regla de

decisión 0 1Z Z

0Z Z

0 1 2

Z Z

0

0

0 0

pZ N 0 ,1

1

n

0 0

1 0

H :

H :

0 0

1 0

H :

H :

0 0

1 0

H :

H :

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

Ejemplo:

Según datos de ventas del año pasado proporcionados

por la gerencia comercial de una conocida tienda por

departamentos, de cada 100 compras efectuadas 10

eran por Internet. Se selecciona una muestra en el

presente año de 200 compras para determinar qué

proporción de compras se efectuaron por Internet. Esta

muestra indica que el 14% de las compras fueron por

Internet. A nivel de significancia del 1%, ¿puede

concluirse que la proporción de compras por Internet ha

cambiado significativamente?.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES

Ejemplo:

1. Hipótesis:

2. Nivel de significación:

3. Estadística de prueba:

4. Punto crítico:

5. Decisión: No se rechaza H0.

Con 1% de nivel de significación no se puede afirmar

que el porcentaje de compras por internet haya

cambiado.

0.01

0

1

H : 0.10

H : 0.10

0Z 1.88

1.88 2.33

1 2 0.995Z Z 2.576