JUGANDOCON EL INFINITO

MATEMÁTICAS PAR A FOR ASTEROS

RÓZSA PÉTER

JUGANDOCON EL INFINITO

MATEMÁTICAS PAR A FOR ASTEROS

RÓZSA PÉTEREötövos Loránd Universiry, Budapest

TR ADUCIDO POR

JORGE LOSADA RODRÍGUEZR AÚL PINO VELASCO

EL

Universidad de Santiago de Compostela

Título orignal: Játék a végtelennel: Matematika kívülállóknak

Primera edición en E de 2021

Copyright © E como sucesor legal de Rózsa Péter, 1957Copyright de la traducción © Jorge Losada y Raúl Pino, 2021Copyright de la presente edición © E , 2021

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ISBN: EDepósito Legal: E

Impreso en España

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transfor-mación de esta obra solo puede ser realizada con autorización de sus titulares, salvoexcepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos deReprográ�cos, www.cedro.org) si necesita fotogra�ar o escanear algún fragmento deesta obra.

Cuando comencé mi educación universitaria,todavía tenía muchas dudas sobre si era

lo suficientemente buena para las matemáticas.

Un colega me dijo las palabras decisivas:“no es que yo sea digno de ocuparme de las matemáticas,

sino que las matemáticas son dignas de que uno se ocupe”.

Rózsa Péter

Dedicado a mi hermano, el Dr. Miklós Politzer,quien falleció en Colditz (Sajonia) en 1945.

Prefacio

Este libro ha sido escrito para personas con inquietudes intelectuales nomatemáticas; esto es, para gente de letras, artes y humanidades. He re-

cibido tantas cosas buenas de estas disciplinas que ahora me gustaría corres-ponderles ofreciendo a cambio las matemáticas. Quisiera hacerles entenderque no estamos tan alejados como creemos. Me encantan las matemáticas nosólo por sus aplicaciones técnicas, sino principalmente por su belleza; el serhumano ha infundido en ellas su espíritu juguetón y éstas, como recompen-sa, nos agasajan con el mejor de los juegos: tocar y entender el in�nito. Lasmatemáticas nos proporcionan contribuciones válidas y universales sobreel in�nito y otros conceptos, pero también arrastran consigo la naturalezainterminable de toda creación humana.

El carácter popular o divulgativo del libro no signi�ca que se toque el te-ma de forma super�cial. Me he esforzado por presentar todos los conceptoscon absoluta claridad, intentando arrojar así nueva luz sobre el tema inclu-so para los propios matemáticos y, por supuesto, para los profesores. Sí hedescuidado sin embargo el aspecto sistemático y formalista que fácilmenteresultaría aburrido. Es decir, sólo he omitido los tecnicismos (el propósito deeste libro no es enseñar técnicas matemáticas). Si este libro cae en manos deun estudiante interesado, le proporcionará una imagen bastante completa delas matemáticas. No era mi intención escribir un libro tan extenso, pero elmaterial fue aumentando a medida que escribía y el número de temas quepodrían omitirse menguó rápidamente. Si había fragmentos a los que se ha-bían adherido recuerdos de de antiguos aburrimientos, me sentía ahora como

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quien hace brillar de nuevo a una vieja baratija quitándole el polvo con susmanos.

Es posible que el estilo te parezca ingenuo en algunos momentos, pero noimporta. Un punto de vista ingenuo en relación con hechos simples siempreevoca la emoción de un nuevo descubrimiento.

En la Introducción te contaré cómo surgió este libro. El escritor del quehablaré allí es Marcell Benedek, a quien escribí numerosas cartas sobre cálculodiferencial. Fue sugerencia suya que escribiera un libro a partir de aquellacorrespondencia.

No cito ninguna fuente bibliográ�ca. He aprendido mucho de otras per-sonas, pero a día hoy ya soy capaz de recordar con certeza de dónde saquécada parte. No tenía libros frente a mí mientras escribía. De vez en cuando,me venían a la mente algunas comparaciones cuya fuente, en ocasiones, sí re-cordaba; como por ejemplo, el hermoso libro de Rademacher y Toeplitz 1 o laexcelente introducción al Análisis matemático de Beke 2. Una vez concebidoun método en mi mente, no podía renunciar a él sólo por ser más original.En este sentido, me re�ero especialmente a las ideas que recibí de László Kal-már, compañero de promoción y mi maestro en matemáticas. Todo lo queescribo está indisolublemente ligado a su forma de pensar. Debo mencionar,en particular, que el “ejemplo del chocolate”, mediante el que se discuten lasseries in�nitas, se originó gracias a él, así como la idea sobre la construcciónde las tablas logarítmicas.

Citaré a mis pequeños colaboradores en el aula por sus nombres de pila; sereconocerán a sí mismos. Debo mencionar a mi alumna Kató, que acaba determinar el cuarto año de la escuela primaria y contribuyó al libro mientrasse escribía. Es a ella a quien debo agradecerle poder ver el material a través delos ojos de una alumna con talento.

La ayuda más importante fue, sin embargo, la contribución de la “personano matemática”. Mi querida amiga la directora de teatro Béla Lay, quien hasta

1 Nota de los traductores: se re�ere a la versión original de la obra:H. Rademacher y O. Toeplitz, The enjoyment of mathematics, Dover Publications,1990.

2 Nota de los traductores: se re�ere a la obra (de la que desconocemos si existe al-guna traducción):M. Beke, Di�erenciál- és integrálszámítás I–II , Franklin-Társulat, 1916.

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no hace mucho a�rmaba no tener oído para las matemáticas, siguió de cerca laredacción de cada uno de los capítulos; yo solo escribía el punto �nal cuandoella quedaba convencida. Sin su ayuda, este libro nunca se hubiera escrito.

Pál Csillag examinó el manuscrito desde un punto de vista matemático;László Kalmár también encontró tiempo, aunque en el último momento,para una revisión rápida. Agradezco a ambos la seguridad que siento de quetodo en el libro es correcto.

Rózsa PéterBudapest, otoño de 1943.

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Prefacio(a la edición de 1957)

Desde 1943 han pasado diecisiete años plagados de acontecimientos. Du-rante este tiempo, mi amigo matemático, Pál Csillag, y mi alumna, Kató

(Kató Fuchs), han sido víctimas del fascismo. El padre de mi alumna Anna,que fue encarcelado durante diecisiete años por actividades sindicalistas, hasido �nalmente liberado. De esta manera, es posible que en la imaginaciónde Anna las líneas rectas que siempre se acercan entre sí acaben encontrándo-se (véase la página 227). Durante la ocupación alemana no pudo publicarseningún libro y muchas de las copias existentes fueron destruidas por los bom-bardeos, las pocas que resistieron aparecieron el primer día del libro gratuitoen 1945.

Este libro re�eja mi modo de pensar en 1943; apenas he cambiado. Desdeentonces, László Kalmár y yo hemos probado que la existencia de los cono-cidos como “problemas absolutamente indecidibles” se sigue del Teoremade Gödel sobre problemas relativamente indecidibles, pero por supuesto enningún caso una consecuencia puede ser más importante que el teorema delque se deriva.

Rózsa PéterBudapest, primavera de 1957.

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Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I El aprendiz de brujo 41 Jugando con los dedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Las operaciones tienen fiebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Parcelando la sucesión infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 El aprendiz de brujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Variaciones sobre un tema fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Posdata sobre geometría sin mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Pasamos por todas las posibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 Coloreando la sucesión infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 “He pensado un número” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

II La función creativa de la forma 779 Números con dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710 Densidad sin límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811 Captamos el infinito de nuevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912 La línea está llena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313 Los diagramas se suavizan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12714 Matemáticas sólo hay una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Posdata sobre ondas y sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15615 Elementos “teniente Kijé” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16516 Algunos secretos del taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18217 “Muchas cosas pequeñas hacen algo grande” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

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III Autocrítica de la razón pura 21918 Hay, sin embargo, diferentes tipos de matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Posdata sobre la cuarta dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23219 El edificio se tambalea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23520 La forma se independiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24421 Frente al Tribunal Supremo de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Posdata sobre la aproximación al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26422 ¿Qué no saben las matemáticas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Después de usar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

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Introducción

Me viene a la cabeza una conversación que tuve hace ya mucho tiempo.Uno de nuestros escritores, un querido amigo mío, se quejaba ante mí

de que un importante aspecto de su educación había sido completamentedescuidado: no sabía nada de matemáticas. Sentía esta carencia en su propiotrabajo, a la hora de ponerse a escribir. Porque, por ejemplo, todavía recordabael sistema de coordenadas de las matemáticas escolares y ya lo había empleadoen comparaciones y metáforas, pero sentía que debería haber muchos másconceptos matemáticos que también podría utilizar, por lo que su expresi-vidad era mucho más pobre al no poder acceder a esta rica fuente. Era unaqueja desesperada, pues el pobre hombre estaba convencido de que nuncasería capaz de penetrar en el corazón de las matemáticas.

He recordado esta conversación muy a menudo, pues alentaba en mí nue-vos planes e ideas. Entendí de inmediato que debía hacer algo, pues para mí,en matemáticas, el estado de ánimo siempre ha sido el factor decisivo y, porotra parte, era cierto lo que decía mi querido amigo, las matemáticas son, sinduda alguna, una fuente común de la que tanto escritores como artistas pue-den y deben beber. Recuerdo un ejemplo de mi vida en la escuela. Estábamosleyendo una de las obras de Shaw y llegamos al momento en el que el prota-gonista pregunta a la protagonista cuál es su secreto para dominar y contenerincluso a los hombres más rebeldes. La protagonista pensó por un momentoy sugirió luego que, tal vez, esto podría explicarse por el hecho de haberse man-tenido alejada de todos ellos. Al escuchar esto, mi compañera de pupitre (IcaBenkő) exclamó de repente: “¡es el mismo teorema que aprendimos hoy en la

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o aprendiz de feiticeiro

clase de matemáticas!”. La pregunta matemática era la siguiente: ¿es posibleacercarse a un conjunto de puntos desde un punto exterior de modo que nosacerquemos a todos los puntos del conjunto simultáneamente? La respuestaes a�rmativa siempre y cuando el punto exterior esté su�cientemente alejadodel conjunto:

La otra a�rmación de mi amigo: aquello de que nunca sería capaz de pene-trar en el corazón de las matemáticas y que, por ejemplo, nunca lograría en-tender el concepto de derivada, no quise ni creerla. Intenté descomponer eseconcepto en los pasos más claros, simples y evidentes que pude. El resultadofue muy sorprendente: un matemático no puede ni tan siquiera imaginarselas di�cultades que incluso la fórmula más simple podría causar al profano,así como el maestro no comprende como un niño es capaz de silabear hastaveinte veces la palabra ca. . . ra. . . col sin darse cuenta de que es un caracol.

Esta fue una experiencia que me hizo pensar nuevamente. Siempre habíacreído hasta entonces que la razón por la que el público estaba tan mal in-formado sobre las matemáticas era, simplemente, que nadie había escrito unbuen libro popular para el público general sobre, por ejemplo, cálculo dife-rencial. No es el interés lo que falta, pues el público se apropia de todo lo queestá a su disposición en este género, pero ningún matemático profesional haescrito un libro así hasta el momento. Estoy pensando en el profesional deverdad que sabe exactamente hasta qué punto se pueden simpli�car las cosassin falsi�carlas y que entiende que no se trata de dar la vieja medicina amargaen una fuente de plata (pues la matemática escolar es un amargo recuerdopara la gran mayoría); alguien que sea capaz de iluminar los puntos esenciales,que conozca por sí mismo el gozo de la creación matemática y que sepa dar

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ese ímpetu cautivador a su escritura como para entusiasmar al lector. Me doycuenta de que incluso el libro más popular no es comprensible para muchoslectores.

Quizás sea éste el atributo característico del matemático: asumir y aceptarla amargura inherente al camino que recorre. “Me veo forzado a decirle, alteza,que el camino Real a la Geometría aún no ha sido inventado” dijo Euclidescon enfado al rey Ptolomeo al ver que se había quedado dormido durante unade sus lecciones, ni siquiera puede ser fácil para los reyes. No es posible leermatemáticas de manera super�cial, la ineludible abstracción implica siemprecierto grado de auto-tortura y el matemático no es más que aquel para quienesta auto-tortura trae alegrías. Incluso el libro popular más simple sólo seráentendido por aquellas personas que se comprometan de verdad y emprendanasí una amarga silabización de los detalles de una fórmula hasta entender porcompleto su signi�cado.

No tengo intención alguna de escribir para esta gente; escribiré matemá-ticas sin fórmulas. Me gustaría transmitir la esencia y el espíritu de las mate-máticas, pero desconozco si un intento como este puede ser exitoso. Dejandode lado las fórmulas, renuncio a uno de los rasgos esenciales de las matemá-ticas. Tanto el escritor como el matemático son plenamente conscientes dela importancia de las fórmulas. Intenta si no, imaginarte como expresarías laesencia de un soneto sin mencionar su estructura y forma tan características.Sin embargo, quiero intentarlo. Puede que, aun así, quede algo del verdaderoespíritu de las matemáticas.

Hay algo que en ningún caso puedo permitir: no pospongas la lectura deningún capítulo y no te conformes nunca con una simple ojeada. Las matemá-ticas sólo pueden construirse ladrillo a ladrillo; ningún paso es prescindibley no hay pasajes super�uos. Aunque no será tan evidente como lo sería enun aburrido libro sistemático, cada detalle posterior se basa en el anterior. Esnecesario por tanto, seguir algunas instrucciones: analiza con detalle y cau-tela todas las �guras y realiza los cálculos y dibujos que te vaya aconsejando.Prometo que no te aburrirás.

No haré uso de las nociones escolares habituales. Empezaré contando yterminaré hablando de la rama más reciente de las matemáticas: la lógicamatemática.

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PARTE I

El aprendiz de brujo

1 . Jugando con los dedos

Empecemos por el principio. No voy a describir la historia de las mate-máticas; eso sólo podría hacerse sobre la base de la evidencia escrita ¡y

cuán posterior al principio es la primera evidencia escrita! Debemos imagi-narnos al hombre prehistórico en su entorno primitivo mientras empieza acontar. En esta representación, ese pequeño hombre primitivo que se convier-te en un ser humano educado ante nuestros ojos, siempre vendrá en nuestraayuda; me re�ero al bebé que empieza a conocer su propio cuerpo y el mundoque le rodea mientras juega con sus diez dedos. Es muy probable que, para él,las palabras “uno”, “dos”, “tres”, “cuatro” y “cinco” sólo sean meras abrevia-turas de “este es el chiquito”, “este el del anillo”, “este el de la mano”, “este elescribano” y “este el matapulgas”. No es ninguna broma lo que digo; una vezescuché a un doctor decir que hay personas a las que cierta lesión cerebral lesimpide distinguir un dedo de otro y pierden así, irremediablemente, la capaci-dad de contar. Esta conexión subconsciente sigue dentro de muchas personaseducadas y bien formadas. Esto me hace pensar que uno de los orígenes delas matemáticas se encuentra en la naturaleza lúdica del ser humano y es porello que las matemáticas no son sólo una ciencia, sino también un arte.

Se piensa que contar fue una actividad práctica desde el principio; es posi-ble que el hombre primitivo quisiera vigilar sus pertenencias contando cuan-tas pieles de animales tenía. Pero también es concebible que contar fuese unaespecie de ceremonia ritual, ya que todavía hoy los neuróticos compulsivoscuentan como invocando una prescripción mágica que aísle ciertos pensa-mientos nocivos o prohibidos; por ejemplo, si te pido que cuentes de unohasta veinte, ya tienes que pensar en otra cosa. Sea como sea, ya se tratase depieles de animales o de intervalos de tiempo sucesivos, contar signi�ca siem-pre ir más allá de donde originalmente estábamos de uno en uno; incluso

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jugando con los dedos

podemos avanzar más allá de nuestros diez dedos y aparece así la primera grancreación del ser humano: una sucesión in�nita de números

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

la sucesión de los números naturales. Es in�nita porque después de cada nú-mero, por muy grande que éste sea, siempre podemos contar uno más. Estacreación necesitó de una gran dosis de abstracción, pues estos números sóloson sombras de la realidad. Por ejemplo, el 3 no signi�ca tres dedos, 3 manza-nas, 3 latidos, etc, sino aquello que es común a todos ellos, algo que abstrae-mos de ellos, es decir, su número o cantidad. Las cantidades muy grandes nitan siquiera han sido abstraídas de la realidad, pues nadie ha visto mil millonesde manzanas y nadie ha contado mil millones de latidos; imaginamos estosnúmeros por analogía con los más pequeños que sí tienen una base de reali-dad, pero en la imaginación uno podría seguir inde�nidamente, contandomás allá de cualquier número conocido.

Nunca nos cansamos de contar. La simple alegría de la repetición es sumotor. Los poetas también lo saben: el regreso repetido al mismo ritmo, almismo sonido o a la misma rima no son más que expresiones de cierta ac-tividad vital. Del mismo modo, los niños no se aburren jugando siempre almismo juego; pero, sin embargo, el anciano reumático pronto se cansa depasar el balón una y otra vez.

¿Hemos llegado hasta 4? ¡Contemos uno más, después uno más, despuésuno más! ¿Adónde hemos llegado? Pues llegamos al 7, el mismo número alque hubiéramos llegado sumásemos tres de golpe. Descubrimos así la suma:

4 + 1 + 1 + 1 = 4 + 3 = 7.

Sigamos jugando con esta operación. Sumemos 3 a 3, después otros 3,luego otros 3 y �nalmente otros 3. En tal caso caso, habremos sumado 3cuatro veces, hecho que podríamos enunciar brevemente diciendo que cuatrotreses son 12, o simbólicamente:

3 + 3 + 3 + 3 = 4× 3 = 12

y esto es la multiplicación.Una vez que conocemos la alegría de la repetición, es difícil parar, ya que

podemos seguir jugando con la multiplicación de la forma: multipliquemos4 por 4 y otra vez por 4, obtendremos

4× 4× 4 = 64.

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el aprendiz de brujo

Esta repetición o “iteración” de la multiplicación se llama exponenciación.Se dice que 4 es la “base” e indicamos con un pequeño número escrito en laparte superior derecha del 4 el “exponente”, que es el número de cuatros quetenemos que multiplicar. Es decir, la notación es la siguiente:

43 = 4× 4× 4 = 64.

Como ves, los resultados que obtenemos son números cada vez más gran-des: 4 × 3 es más grande que 4 + 3 y 43 es mucho más grande que 4 × 3.La divertida repetición nos eleva a números cada vez más grandes. Iteremospues la exponenciación elevando 4 al exponente que es la cuarta potencia decuatro, que es

44 = 4× 4× 4× 4 = 256,por lo que

444

= 4256 = 4× 4× 4× 4× . . .En total, deberían aparecer 256 cuatros, pero no tengo paciencia para se-

guir escribiendo y ¡ni hablemos del cálculo efectivo de todas esas multiplica-ciones! El resultado sería un número inimaginablemente grande, por lo quepreferimos emplear el sentido común y aun sabiendo lo divertido que seríacontinuar iterando, no incluiremos la iteración de la exponenciación entrelas operaciones aceptadas.

Quizás esta sea la verdad: el espíritu humano juega todo aquello que se leofrezca, pero sólo permanece aquello que el sentido común considera comoapropiado.

La suma, la multiplicación y la potenciación han demostrado ser muy útilesy convenientes en las actividades ordinarias del ser humano, por lo que hanadquirido derechos civiles perpetuos en matemáticas. Así pues, conocemostodas sus propiedades que simpli�can el cálculo. Por ejemplo, es un gran aliviosaber que 28×7, además de ser calculado sumando 28 siete veces, también sepuede calcular en tres pasos: hacemos primero los productos 7× 20 y 7× 8y sumamos después 140+56. Por otra parte, cuando sumamos una larga �lade números, es completamente indiferente el orden en que lo hagamos; porejemplo, para calcular 8+ 7+ 2, podemos hacer 8+ 2 = 10 y ahora a 10 esmuy fácil sumarle 7 y evitamos así la incómoda suma de 8 + 7. Sólo hay queentender que sumar signi�ca contar tantas veces como números queremossumar y entonces es evidente que cambiar el orden no altera en absoluto elresultado. Convencerse de que ocurre lo mismo con la multiplicación es un

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jugando con los dedos

poco más complicado, pues 4× 3 signi�ca 3 + 3 + 3 + 3 y 3× 4 signi�ca4 + 4 + 4, por lo que ya no es tan evidente que

3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

Pero sí lo es cuando lo dibujamos. Prueba a dibujar cuatro veces, una debajode otra, tres puntos en posición horizontal como estos

• • •obtendrás algo como esto:

• • •• • •• • •• • •

Todos vemos que es lo mismo que dibujar tres veces, cada una al lado de laanterior, cuatro puntos en posición vertical

••••

Este es el motivo por el que los matemáticos llaman a multiplicando y multi-plicador por el mismo nombre: factores.

Fijémonos ahora en las reglas de la exponenciación:4× 4× 4× 4× 4 = 45

Si me canso de tanta multiplicación, puedo tomarme un descanso; el produc-to de los tres primeros cuatros es 43 y todavía tengo que multiplicar por 42;por tanto,

43 × 42 = 45

y el exponente del resultado es5, que es igual a3+2. Así pues, para multiplicardos potencias de4, sumamos los exponentes correspondientes. De hecho, éstaes una regla general. Por ejemplo,

54 × 52 × 53 = 5× 5× 5× 5︸ ︸× 5× 5︸ ︸× 5× 5× 5︸ ︸ = 59,

donde nuevamente 9 = 4 + 2 + 3.Revisemos el camino recorrido: fue contando como llegamos a cada ope-

ración. Por supuesto, cualquiera podría objetar ¿dónde está la resta? ¿y a divi-sión? Pero estas operaciones no son más que inversiones de las operaciones yacomentadas (así como la extracción de raíces y los logaritmos). Porque, porejemplo, 20÷ 5 signi�ca que ya conozco el resultado de una multiplicación,

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el aprendiz de brujo

que es igual a 20, y estoy buscando el número que multiplicado por 5 da20. En este caso, es muy fácil, pues sabemos que 5 × 4 = 20, pero no serásiempre tan simple encontrar dicho número y, de hecho, no siempre existe.Por ejemplo, 23 no coge a 5 sin un resto ya que 4 × 5 = 20 es demasiadopequeño y 5× 5 = 25 es mayor que 23. Es por esto que nos vemos obliga-dos a conformarnos con el más pequeño y decir que 23 coge a 5 cuatro vecespero faltan 3. Este tipo de cosas provoca más dolores de cabeza que nuestrashilarantes iteraciones; las operaciones inversas suelen ser amargas. Por eso sonel punto de ataque favorito de las investigaciones matemáticas, ya que –comoes bien sabido– a los matemáticos les encantan las di�cultades. Hablaremosde las operaciones inversas más adelante.

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2 . Las operaciones tienen fiebre

Ya hemos constatado que la iteración de las operaciones elementales nosconduce a números cada vez más y más grandes. Merece la pena re�exio-

nar un rato sobre las alturas alcanzadas.Tenemos que emplear potencias cuando queremos calcular el volumen

de un cubo. Si escogemos un pequeño cubo como unidad, la pregunta seríacuántos de estos cubos son necesarios para llenar el cubo más grande quepretendemos medir. Consideremos, por ejemplo, un cubo de 1 cm, esto es,un cubo cuya altura, anchura y longitud sean de 1 cm.

Coloquemos ahora cuatro de estos cubos, cada uno al lado del anterior, ob-teniendo así una �la de cubos coma esta:

y pongamos después cuatro de estas �las pegadas formando una placa comola que vemos en dibujo

en la que hay 4 × 4 = 42 cubos. Finalmente, si colocamos cuatro de estasplacas, cada una encima de otra, obtendremos un gran cubo como este:

que está formado por 4× 4× 4 = 43 = 64 cubos pequeños.

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el aprendiz de brujo

Por el contrario, si empiezo con el cubo grande cuya longitud, anchuray altura es de 4 cm, éste puede formarse empleando 43 cubos de 1 cm delongitud, anchura e altura. En general, obtenemos el volumen de un cuboelevando la longitud de una de sus aristas a la tercera potencia. Es por esto quellamamos “cubicar” o “elevar al cubo” a la operación consistente en elevar ala tercera potencia1.

Una consecuencia de lo anterior es que un cubo cuya arista sea relativa-mente pequeña tendrá un volumen enorme. Por ejemplo, 1 kilómetro no esuna distancia tan grande; la calle Nagymezö de Budapest mide aproximada-mente 1 kilómetro de largo, por lo que si construyeran un cubo tan grandecomo para que una de sus aristas fuese la calle Nagymezö, dicho cubo tendríavolumen su�ciente como para contener a toda la humanidad. Si no me crees,echemos cuentas: supongamos que no hay personas cuya estatura sea mayorque 2 metros, hagamos entonces una nueva planta cada 2 metros –puestoque nuestro cubo mide 1 kilómetro de alto, tendrá 500 pisos de altura– ydividamos cada una de estas plantas longitudinalmente en franjas de 1 metrode ancho de largo tal y como se indica en este dibujo

entonces cada franja se divide en 1 000 cuadrado y dado que teníamos 1 000franjas, obtendremos 1 000×1 000 = 1 000 000 de cuadrados en cada plan-ta. La dimensión de cada cuadrado es de 1 metro de ancho por 1 metro delargo, por lo que podemos meter tranquilamente a cuatro personas en cadacuadrado, dos de estas personas llevarán además un niño pequeño en brazos.Así pues, en cada planta caben 6 veces 1 000 000 personas, esto es, 6 millones

1 Conozco las objeciones de los pedagogos: debería haber dicho que obtengo lamedida del volumen del cubo elevando la medida de la longitud de su arista al cubo.Intentaré no aburrirte con estas simplezas, pero hay un asunto más importante; lapregunta es la siguiente, ¿es posible expresar la longitud de la arista de cualquier cuboen centímetros? Volveremos sobre esto más adelante.

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curvas febriles

de personas por planta, por lo que en los 500 pisos del cubo entrarían 500veces 6 millones de personas, esto es, 3 000 000 000 personas, la poblaciónaproximada de la Tierra cuando me hablaron de dicho cubo.

Y, sin embargo, en el cálculo del volumen de un cubo tan sólo entra enjuego la tercera potencia; un exponente más grande nos haría avanzar todavíamás rápido sobre la sucesión de los números naturales. Esto sorprendió alpríncipe a quien el inventor del ajedrez le pedía modestamente sólo unospocos granos de trigo como recompensa.

Para la primera casilla de su tablero de 64 pidió 1 grano de trigo, el doble–esto es, 2 granos– para la segunda casilla, el doble –esto es, 2× 2 = 22 = 4granos– para la tercera y así sucesivamente. Inicialmente, esta solicitud pareceexcesivamente modesta, pero a medida que vamos avanzando por las casillasdel tablero, nos encontramos con potencias de 2 cada vez más grandes, hastaque �nalmente estaríamos hablando de un total

1 + 2 + 22 + 23 + 24 + · · ·+ 263

granos de trigo (por favor, imagina que en la suma anterior aparecen todaslas potencias intermedias; no tuve paciencia para escribir los 64 sumandos).Si uno está dispuesto a calcular esa cantidad, resulta que es trigo su�cientecomo para cubrir la super�cie de la Tierra con una capa de trigo de 1 cm dealtura.

Después de esto, ya no debería sorprenderte la inmensa altura a la que noselevará la iteración de la exponenciación. Me limitaré a mencionar el siguientehecho curioso: se puede estimar que 99

9

es un número tan grande que paraescribirlo sería necesario un papel de 18 000 kilómetros de longitud (escri-biendo un dígito cada medio centímetro) y toda una vida sería insu�cientepara efectuar dicho cálculo.

Revisando lo que llevaba escrito hasta ahora me percaté de que he emplea-

11

el aprendiz de brujo

do expresiones como “nos eleva a” re�riéndome a la sucesión de númerosnaturales, pero la sucesión

1, 2, 3, 4, 5, . . .

es una �la horizontal de números, por lo que debería decir que avanzo haciala derecha o, como mucho, que voy hacia números que se hacen cada vezmás grandes. El término escogido muestra una clara in�uencia de nuestroestado de ánimo: hacerse cada vez más grande signi�ca crecer y el crecimientocrea una sensación de conmoción en los seres humanos. Los matemáticosconcretan este sentimiento sobre el papel acompañando sus imaginacionescon dibujos y esquemas; el dibujo de un crecimiento muy rápido se identi�cacon una línea que se eleva abruptamente.

Los pacientes conocen bien estos dibujos; sólo necesitan echar un vistazoa su curva de la temperatura corporal para conocer el curso de su enfermedad.Supongamos que los siguientes números indican la temperatura corporal deun paciente a intervalos regulares de tiempo:

38°, 38.5°, 39°, 39°, 38°, 38.5°, 37°, 36.5°Estos datos se representan grá�camente del siguiente modo: dibujamos pri-mero una línea recta horizontal y pintamos en ella los intervalos regulares detiempo mediante marcas separadas entre sí una misma distancia

escogemos después cierta distancia para representar a un grado de tempera-tura y, desde cada una de las marcas que representa a un instante de tiempo,dibujamos hacia arriba2 esta distancia tantas veces como indica la �ebre delpaciente en dicho instante. No es necesario dibujar líneas tan largas, pues atemperatura corporal de nuestro paciente nunca caerá por debajo de 36°, porlo que podemos imaginarnos que la línea horizontal se corresponde con 36°.Es decir, tenemos que dibujar por encima de la línea horizontal los números:

2, 2.5, 3, 3, 2, 2.5, 1, 0.5,

que representan a los correspondientes grados de temperatura corporal. Ob-tenemos así la siguiente grá�ca

2 Decir “hacia arriba” es un discurso �gurativo, ya que en una hoja de papel pla-na sólo podemos dibujar líneas horizontales. Sin embargo, percibimos que una líneacomo esa apunta, efectivamente, hacia arriba.

12

curvas febriles

y conectando los extremos de los segmentos verticales dibujados:

La curva de �ebre así obtenida lo dice todo. Los segmentos ascendentes in-dican un aumento de la temperatura corporal, los segmentos descendentesindican una caída de la �ebre y los segmentos horizontales mostrarían unperiodo de estancamiento de la �ebre. El ascenso fue uniforme al principio,esto lo atestigua que los dos primeros segmentos son igual de empinados,formando así una línea recta. Excepto una leve recaída en la sexta medición,el paciente se recuperó rápidamente: la pendiente del segmento que une lasexta y la séptima medición es muy abrupta, más abrupta que la de cualquierincremento.

Nada nos impide trazar las curvas febriles de nuestras operaciones.Es costumbre representar los números a lo largo de una línea recta en la

que escogemos un punto de partida arbitrario, a quien llamaremos 0 y a partirde este punto, medimos distancias iguales y vamos acumulando una a conti-nuación de otra; es decir, contamos empleando dichas distancias

Si ya eres hábil contando, puedes realizar las operaciones sobre dicha recta au-tomáticamente. Por ejemplo, si 2+3 fuese la operación considerada, tan sólotendríamos que dar tres pasos hacia la derecha desde el2 y leer el resultado queaparece allí: 5. Si quisiéramos calcular5−3, tendríamos que desplazarnos trespasos hacia la izquierda de 5. Esto sólo es otro diseño de aquella calculadorade la escuela primaria que nos permitía contar deslizando esferas por varillasmetálicas.

Abandonemos la línea horizontal y miremos hacia arriba. Comencemos

13

el aprendiz de brujo

con un número �jo, como por ejemplo 3, y veamos como aumenta si le su-mamos 1, 2, 3, . . . , si lo multiplicamos por 1, 2, 3 . . . o si lo elevamos a1, 2, 3, . . . (“elevar a cierta potencia”, otra expresión en la que aparece laidea de apuntar hacia arriba).

Empecemos por la suma. Uno de los sumandos siempre es 3; representare-mos el otro sumando en la línea horizontal y la suma correspondiente haciaarriba.

3 + 1 = 4

3 + 2 = 5

3 + 3 = 6

3 + 4 = 7

Así pues, si representamos horizontalmente a 1 mediante una distancia co-

ma esta y verticalmente mediante una distancia coma esta otra , el“diagrama febril” de la suma será algo coma esto:

Aquí, cada segmento de unión cae sobre una misma recta, por lo que deduci-mos que la suma crece de forma uniforme.

En el caso da multiplicación, tenemos que:3× 1 = 3

3× 2 = 6

3× 3 = 9

3× 4 = 12

14

curvas febriles

Se observa entonces que el producto también crece de forma uniforme siaumentamos uno de sus factores, pero mucho más rápidamente que la suma:la pendiente de la recta es mucho más pronunciada.

Finalmente, para las potencias tenemos que31 = 3

32 = 3× 3 = 9

33 = 3× 3× 3 = 27

Las potencias ya no crecen de forma uniforme, sino a un ritmo cada vez mayor;34 ya no cabría en esta hoja. Este es el origen de la expresión “crecimientoexponencial”.

También podemos construir la curva febril para las operaciones inversas.Por ejemplo, para la resta tenemos que

3− 1 = 2

3− 2 = 1

3− 3 = 0

3− 4 = −1

15

el aprendiz de brujo

por lo que la diferencia disminuye uniformemente a medida que aumenta elsustraendo.

La división es una operación delicada; no hablaré de su curva febril hastamás adelante.

Tan sólo haré un comentario más; lo que acabamos de hacer aquí es lo quelos matemáticos llaman representar grá�camente una función. El resultado�nal de la suma dependía del valor escogido para el segundo sumando; ex-presamos este hecho diciendo que la suma es función del sumando variabley lo que hicimos no fue más que representar grá�camente el crecimiento dedicha función. De la misma manera, la multiplicación es función de su fac-tor variable y la exponenciación es función del exponente. Como ves, nosencontramos con las funciones sin más que mencionar las primeras operacio-nes; continuaremos examinando estas relaciones funcionales más adelante,pues el concepto de función es la columna vertebral de toda la estructuramatemática.

16

3 . Parcelando la sucesión infinita

¡Cuán largo camino hemos recorrido desde aquellos juegos iniciales condiez dedos! Si prácticamente hemos olvidado que tenemos diez dedos

es sólo porque no quise aburrirte con muchas cuentas. En otro caso, ya tehabrías percatado de que por muy grande que sea el número que queramosescribir, sólo haremos uso de 10 símbolos distintos, a saber:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

¿Cómo es posible describir una cantidad in�nita de números con sólo 10 ca-racteres? El truco consiste en parcelar la sucesión de números que se extiendeinde�nidamente agrupando oportunamente sus elementos: tan pronto co-mo hayamos contado 10 unidades, decimos que todavía podemos captar estacantidad de un vistazo, juntamos esas diez unidades en un manojo y llama-mos decena a cada uno de estos manojos; una decena es, por tanto, el nombrecolectivo para 10 unidades. Podemos cambiar 10 monedas de un céntimopor una única moneda de 10 céntimos. Ahora podemos contar a pasos agi-gantados avanzando de diez en diez y también podemos atar diez decenasen un manojo con una cinta en la que diga “1 centena”. Continuando deesta manera, podemos agrupar ahora 10 centenas en 1 millar, 10 millares enun diez mil millar, 10 diez mil millares en un cien mil millar y 10 cien milmillares en un millón. De este modo, podemos escribir cualquier númeroempleando dichos diez símbolos: tan pronto como vayamos más allá de 9,escribimos un nuevo 1, indicando así 1 decena; el siguiente número consisteen una decena y una unidad, por lo que será descrito empleando dos 1’s. Sinembargo, a la hora de escribirlos, también debemos utilizar las palabras “dece-na”, “centena”, etcétera a la hora de escribirlos. Una idea inteligente hace queesto sea innecesario: fíjate que el cajero del supermercado coloca las monedasen diferentes compartimentos de la caja, las monedas de menor valor siempreestán a la derecha porque el cajero necesita de ellas constantemente a la horade dar las vueltas, mientras que reserva los compartimentos hacia la izquierdapara monedas y billetes cada vez mayores. La mano del cajero está tan acos-tumbrada a esta disposición que conoce sin mirar el valor de la moneda quetoma, por ejemplo, del tercer compartimento. Análogamente, nosotros tam-bién podemos ponernos de acuerdo en la posición que ocuparán las unidades,decenas, centenas, millares, etcétera. Escribiremos las unidades a la derecha y

17

el aprendiz de brujo

luego, avanzando hacia a la izquierda, las decenas, las centenas, etcétera. Portanto, podemos omitir las palabras, pues el valor de los números también sereconoce por su posición; los símbolos también tienen un valor posicional.

354

consta de 3 centenas, 5 decenas y 4 unidades. Esto es a lo que nos referimoscuando decimos que empleamos el sistema de numeración decimal.

Pero en realidad, no hay ningún obstáculo que nos impida detenernosantes o después de 10. He escuchado hablar de pueblos primitivos cuyo con-cepto de los números consisten en: uno, dos, muchos. También podemoscrear un sistema de numeración para ellos: consistirá en agrupar los núme-ros en pares. El 2 es, por tanto, una nueva unidad, el par; dos pares formanun cuarteto, dos cuartetos un octeto y así sucesivamente. En este sistema denumeración hay dos símbolos:

0, 1,

pero son su�cientes para escribir cualquier número. La forma más fácil deconvencernos de esto es la siguiente: supongamos que tenemos monedas co-mo estas

por lo que las unidades del sistema de numeración binario aparecen ahoracomo unidades monetarias. La pregunta es la siguiente: ¿cómo juntarías 11�orines con la menor posible cantidad de monedas? Es claro que estas 3 mo-nedas

(1)

suman 11 �orines y no es posible juntar 11 �orines con menos monedas. Deforma similar

(2)

suman 9 �orines y

(3)

18

parcelando la sucesión infinita

suman 15 �orines. Intenta comprobar por ti mismo que podemos obtenercualquier número entre 1 y15 empleando cada una de las siguientes monedas

como máximo una vez. Sin embargo, ya no podemos juntar 16 chelines de talmodo, pero esto no debe sorprendernos en absoluto porque 2× 8 = 16; la“16-upla” es de hecho la siguiente unidad a considerar. Por tanto, de acuerdocon el ejemplo (1), 11 se escribirse en el sistema de numeración binario de lasiguiente manera:

1011porque esto signi�ca, en realidad, 1 uno, 1 dos, 0 cuatros y 1 ocho, y todosjuntos suman 11. De forma similar, teniendo en cuenta los ejemplos (2) y(3), concluimos que 9 y 15 se escriben en el sistema de numeración binariocomo

1001 y 1111 respectivamente.Constatamos entonces que, efectivamente, podemos trabajar sólo con dos

símbolos. También merece la pena practicar un poco en sentido contrario:en el sistema binario, 11101 es igual a:

1 uno + 0 doses + 1cuatro + 1 ocho + 1 dieciséis,por lo que es igual a 1 + 0 + 4 + 8 + 16 = 29 en el sistema decimal.

¿Cuál es la utilidad de un sistema de numeración? Bien, basta observar quecada operación será tremendamente mucho más fácil si mantenemos ciertoorden entre los números y, por ejemplo, sumamos unidades con unidadesy decenas con decenas. El gerente del supermercado no suma cada uno delos ingresos en caja, sino que cuenta por separado el número de monedas ybilletes que tiene en cada compartimento de la caja y suma luego las cantidadescorrespondientes. La conveniencia es a menudo un factor importante en eldesarrollo de las matemáticas. La operación más inconveniente es, sin dudaalguna, la división; las incomodidades y tormentos que conlleva motivaronla parcelación de la sucesión numérica. ¡Cuán placenteras son esas divisionesen las que no queda ningún resto! Hay números verdaderamente hermososen los que entran muchos otros números sin dejar ningún resto. Un ejemplomuy bueno es 60:

19

el aprendiz de brujo

60 =

1× 602× 303× 204× 155× 126× 10

por lo que 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 entran todos ellos en60 sin dejar ningún resto. Entonces, si queremos dividir entre alguno de estosdoce números (aunque es un poco estúpido incluir a 1, pues ni multiplica nidivide), conviene recordar que obtuvimos el número que queremos dividir(como cualquier otro número) contando de uno en uno. Contemos ahora60 de estos 1’s, luego otros 60 y así sucesivamente durante el mayor tiempoposible; la división de estos 60’s es fácil y divertida y el mayor de los restosposibles es 59, que no es un número excesivamente grande. No sería puesmucho problema dividir los restos en caso de que los hubiere. Según esto,deberíamos agrupar los números en manojos de 60 y de hecho, las antiguascivilizaciones ya empleaban el sistema de numeración de 60 para a medirángulos y tiempo, magnitudes directamente relacionadas con los estudiosastronómicos, que requieren multitud de divisiones incómodas: un círculocompleto todavía se divide en 6× 60 = 360 grados, 1 grado en 60 minutosy 1 minuto en 60 segundos; la división de una hora en minutos y segundoses exactamente lo mismo.

Por otra parte, 60 es un número quizás excesivamente grande y no lo su�-cientemente cómodo como para trabajar con él. Entre los números próximosa 10, 12 es quien tiene más divisores:

12 =

1× 122× 63× 4

es decir: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, que hacen un total de seis divisores, mientrasque 10 sólo se puede dividir sin restos entre cuatro números: 1, 2, 5 y 10.Todavía podemos observar huellas del sistema duodecimal: un año tiene 12meses y 12 huevos forman una docena. El hecho de que haya prevalecido elsistema decimal indica que jugar con los dedos tiene una in�uencia muchomás fuerte en el ser humano que la mera y fría conveniencia. Los francesestodavía recuerdan cuando jugaban con los dedos de los pies: sólo quien estuvo

20

parcelando la sucesión infinita

acostumbrado al sistema de numeración de 20 puede llamarle al 80 cuatroveintes (quatrevingt).

Limitémonos al sistema decimal y veamos cuáles son sus ventajas para ladivisión.

La ventaja principal se observa si queremos dividir entre alguno de losdivisores de 10: ya sea 2,5 o el mismo 10. Estos números cogen en 10 sin restoalguno y también en 2× 10 = 20, en 3× 10 = 30 y, en general, en todos osmúltiplos de 10; luego también en 10× 10 = 100, en 2× 100 = 200, en3 × 100 = 300 y así sucesivamente. Vemos entonces que 2, 5 y 10 entransin resto en las decenas, las centenas, los millares y así sucesivamente; tansólo queda la duda de si entran en las unidades. Pero 10 es más grande quecualquier valor posible de las unidades, por lo que dicho número no puededividirse entre 10 sin dejar restos. Esta es la razón por la que sólo son divisiblesentre 10 aquellos números que no tienen unidades. La ausencia de unidadesse indica con un 0 al �nal, por lo que obtenemos así la conocida regla de quelos números terminados en 0 son divisibles entre 10. La única unidad que sepuede dividir entre 5 es el propio 5; este es el motivo por el 5 sólo divide sindejar restos a los números terminados en 0 o en 5. Finalmente, 2 divide ea2, 4, 6 y 8, por lo que 2 dividirá sin dejar restos a los números que terminanen 0, 2, 4, 6 u 8; los números pares.

Con esto agotamos el estudio de los divisores de 10, pero no todas lasposibilidades que nos ofrece el sistema decimal. La siguiente unidad en estesistema es 100, por lo que los divisores de 100 también estarán en ventaja.Por ejemplo, 4 no divide a 10 sin restos, pero sí divide a 100 ya que 4 ×25 = 100. Por tanto, 4 también divide a 2 × 100 = 200 o, en general, acualquier múltiplo de 100 –es decir, a cualquier centena– y divide entoncesa 10×100 = 1 000 o, en general, a cualquier millar y así sucesivamente. Tansólo queda la duda de las decenas y unidades. Por tanto, para decidir si unnúmero –por muy grande que sea– es divisible entre 4, basta �jarnos en susdos últimas cifras. Por ejemplo,

3 478 524

es divisible entre 4 porque 24 es divisible entre 4. Podemos decidir esto de unsimple vistazo ignorando por completo las cinco primeras cifras. Del mismomodo, es vidente que

312.486.434

21

el aprendiz de brujo

no es divisible entre 4, pues 4 no divide a 34 sin dejar restos.Después de los divisores de 100, podemos lidiar ahora con los divisores de

1 000. Por ejemplo,8no divide a 100, ya que entran 80pero quedan 20 comoresto. Sin embargo, sí divide a 1 000 porque podemos escribir 1 000 como800+160+40 y 20 divide a cada uno de los tres sumandos sin restos. Es poresto que 8 divide sin resto a todos los millares, diez millares, cien millares. Portanto, si queremos saber si un número –por muy grande que sea– es divisibleentre 8, tan sólo tenemos que �jarnos en sus tres últimas cifras.

Tenemos así una receta para decidir cuándo determinado número es di-visor de otro número: empezamos por comprobar si el número en cuestióndivide a 10; en caso a�rmativo, la divisibilidad depende únicamente de la cifrade las unidades; en caso negativo, tenemos que ir más allá y comprobamossi dicho número divide a 100, 1 000 o 10 000 y, en consecuencia, será nece-sario examinar más o menos cifras para aclarar la divisibilidad. Por supuesto,existen números que non son divisores 10, ni de 100, ni de 1 000, ni de deninguna unidad del sistema decimal; es más, es fácil ver que éstos son la ma-yoría. Sin embargo, este tipo de criterios o recetas les aportan en ocasionescierta legitimidad. El caso más simple es el del 9; tenemos que:

10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1, . . .

por lo que 9 no puede dividir a 10, ni a 100, ni a 1 000, etcétera porque siem-pre que intentemos dividir entre él, queda un 1 de resto; pero es justamenteese 1 quien nos proporcionará un criterio de divisibilidad. Si dividimos 10entre 9 queda 1 de resto, por lo que si dividiésemos 20 quedarían 2 de restoy si dividiésemos 30 quedarían 3. En general, si dividimos cierta cantidad dedecenas entre 9, quedarán como resto tantas unidades como decenas dividía-mos. Del mismo modo, si dividimos 100 entre 9, queda 1 de resto, por loque si dividiésemos 200 quedarían 2 y, en general, al dividir centenas entre 9obtenemos como resto tantas unidades como centenas dividíamos. Por tanto,para decidir la divisibilidad entre 9, lo más conveniente es distinguir entreunidades, decenas, centenas, etcétera. Por ejemplo:

234 = 2 centenas + 3 decenas + 4unidades,y entonces, al dividir 2 centenas quedará 2 como resto, al dividir 3 decenasquedará 3 como resto y al dividir 4 unidades quedarán esas 4 unidades comoresto. Es decir, el resto total será igual a

2 + 3 + 4 = 9

22

parcelando la sucesión infinita

que es divisible entre 9; esto es, los restos todos juntos dan un número divisi-ble entre 9, por lo que 234 es divisible entre 9. Esta es la regla que estábamosbuscando: un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es un nú-mero divisible entre 9. Y la suma de las cifras de un número suele ser unacantidad mucho menor que el propio número, por lo que podremos decidirde un vistazo si el número en cuestión es divisible entre 9. Examinemos, porejemplo, el siguiente número

2 304 576

La suma de sus cifras es igual a2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 6 = 27

y si recuerdas la tabla de multiplicar, reconoces fácilmente que 27 es divisibleentre 9. Sin embargo,

2 304 5777non es divisible entre 9 porque

2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 7 + 7 = 28

y 9 no divide a 28 sin dejar restos.En conclusión, lo que hicimos fue evitar alguna de las di�cultades propias

de la división. Este bypass ha sido fructífero: casi sin darnos cuenta, nos hemosencontrado con conexiones interesantes y sorprendentes. Más adelante nosenfrentaremos a una división que puede efectuarse sin dejar restos; abriránuevas perspectivas para las matemáticas más audaces.

23

4 . El aprendiz de brujo

El concepto de divisibilidad conduce a otras muchas cosas interesantescon las que jugar. Mencionemos, por ejemplo, el descubrimiento de que

existen “números amigos”: se dice que dos números son amigos si al sumarlos divisores de uno obtenemos el otro número y viceversa. El número en síno suele contarse entre los divisores “propios”, por lo que, por ejemplo, losdivisores propios de 10 son 1, 2 y 5. Ejemplo de números amigos son 220 y284, pues

220 =

1× 2202× 1104× 55

10× 2211× 20

y 284 =

1× 2842× 1424× 71

y entonces la suma de los divisores propios de 220 es igual a1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

mientras que la suma de los divisores propios de 284 es1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Incluso hay “números perfectos”: se dice que un número es perfecto si esigual a la suma de sus divisores propios. Un ejemplo de número perfecto esel 6; sus divisores propios son 1, 2 y 3, y

1 + 2 + 3 = 6.

Los antiguos atribuían ciertas propiedades mágicas a estos números e ini-ciaron así la búsqueda de más números perfectos. Encontraron muchos másnúmeros perfectos; entre todos ellos, destaca la simplicidad del 28:

28 =

1× 282× 144× 7

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28;pues los restantes números perfectos ya son mucho mayores y son todos nú-meros pares. Incluso fueron capaces de dar con una receta para construirnúmeros perfectos pares, pero a día de hoy todavía no sabemos si esa recetaproporciona todos los números perfectos o si falla en algún momento. Hasta

24

el aprendiz de brujo

el día de hoy, nadie ha encontrado un número perfecto impar; es una cuestiónabierta saber si existe alguno.

¡¿Pero de qué se trata todo esto?! El ser humano ha creado la sucesión delos números naturales para sus propósitos, es su creación para contar y efec-tuar otras operaciones que surgen de contar. Sin embargo, una vez que la hacreado, pierde el poder y control sobre ella. Ahora la sucesión de los númerosnaturales existe por sí misma, ha alcanzado una existencia independiente yya no podemos modi�car nada en ella; tiene sus propias leyes y propiedades,propiedades que ningún ser humano llegó ni siquiera a imaginar cuando lacreó. El aprendiz de brujo se queda ojiplático frente a los espíritus que hadespertado. El matemático “crea un mundo nuevo de la nada” y después esemundo se apodera de él con sus misterios e intrigantes leyes; ahora ya no esun creador, sino un investigador que explora los secretos y conexiones delmundo que ha levantado.

Esta exploración es tan tentadora porque casi ni preparación requiere, bas-ta con dos ojos curiosos. Un estudiante de 10 años vino un día junto a mí conel siguiente problema: “ya me di cuenta en la clase anterior de que si sumo to-dos los números hasta un número impar, como por ejemplo hasta 7, obtengoexactamente lo mismo que si multiplico ese número por el número del medio.Por ejemplo, el número del medio hasta 7 es 4 (esto debe entenderse comoque 4 está en el de la lista de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y 7× 4 = 28, quecoincide con la suma de los números hasta 7,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28;

sé que esto es cierto siempre, pero no sé por qué”. Bien, está sumando losprimeros términos de una progresión aritmética, a ver cómo se lo explicopara que me entienda; fue lo que pensé. En cualquier caso, decidí compartir elproblema con todo el grupo: “Zsuzsi tiene un problema interesante”. Apenashabía terminado de explicarlo cuando la niña más brillante del grupo levantóla mano tan emocionada que casi se cae de su pupitre. “Estoy segura de quedirás una tontería, Évi; es imposible que lo hayas resuelto en un instante”.Pero nada, ella insistía en que sí lo sabía. “Bien, dinos entonces”.

“Zsuzsi dijo 7× 4, que quiere decir4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4,

en vez de1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

25

el aprendiz de brujo

Dijo 4 en vez de 1, que son 3 más. Pero luego, en vez de 7, dijo 4, que son3 menos y equilibran las anteriores. También dijo 4 en vez de 2, que son 2más; pero después dijo 4 en vez de 6, que son 2 menos, por lo que tambiénse equilibran entre sí. Y �nalmente, dijo 4 en vez de 3 y 5, por lo que ambascantidades son iguales”.

Me vi obligada a darle la enhorabuena a Évi: yo nunca lo habría explicadode esa forma tan hermosa.

Estos exploradores tan pequeños e imparciales hacen observaciones real-mente extraordinarias. “Es como un cuadernillo de ejercicios”, exclamó Mari-ka, otra pequeña estudiante. “¿Qué quieres decir con eso, Marika?”, pregunté.“Las hojas del cuadernillo están emparejadas de la misma forma: la primeracon la última, la segunda con la penúltima, la tercera con la antepenúltima yasí con todas”.

La pura curiosidad mueve a estos pequeños investigadores; Gauss, el prin-ceps mathematicorum, debió haber descubierto esta misma relación por ra-zones más utilitarias durante su escuela primaria. Cuenta la historia que elprofesor de Gauss quería descansar tranquilamente y asignó a los estudiantesla aburrida tarea de sumar todos los números del 1 al 100. Sin embargo, nopudo tomarse tal descanso, pues el pequeño Gauss exclamó al poco rato: “elresultado es 5050”. El profesor tuvo que admitir que era correcto, pero ¿có-mo se las había arreglado para hacer ese cálculo tan rápido? “Me di cuenta deque 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 y así con todos, siempresuman 101. La última suma es50+51 = 101. Por tanto, después efectuar50de estas sumas, los sumandos escogidos por el principio y por el �nal acabanpor encontrarse en el medio. Y entonces, por supuesto, 50× 101 = 5 050”.

El pequeño Gauss sumó los números hasta cierto número par, por lo queobtuvo un método inteligente para sumar rápidamente su conjunto de nú-meros, como Zsuzsi, que sumaba hasta un número impar. Si somos un pocoretorcidos, podemos juntar ambos razonamientos. Hay un chiste muy cono-cido sobre alguien que observa un rebaño de ovejas pastar y dice: “hay 357ovejas en el rebaño”. Cuando se le preguntó cómo las había contado, dijo:“muy fácil; conté todas las patas y dividí entre 4”. En ocasiones, los matemáti-cos actúan justamente así. Por ejemplo, si queremos sumar todos los númeroshasta cierto número dado –ya sea éste par o impar–, podemos calcular pri-mero el doble de dicha suma sin pensar mucho: sumaremos el primero con

26

el aprendiz de brujo

el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente. Esto es, procede-mos del siguiente modo: escribimos la suma que queremos calcular dos veces,pero en orden inverso. Por ejemplo,

1 + 2 + 3 + 44 + 3 + 2 + 1

o 1 + 2 + 3 + 4 + 55 + 4 + 3 + 2 + 1

De este manera, aparecen por columnas los números que tenemos que sumar.Sumando dichos números, obtenemos

5 + 5 + 5 + 5= 4× 5 = 20

y6 + 6 + 6 + 6 + 6

= 5× 6 = 30

y el resultado será el doble de la cantidad buscada; por lo que obtenemosel valor de las sumas requeridas dividiendo entre 2. Así pues, los resultadoscorrectos son 10 y 15 respectivamente; de hecho,

1 + 2 + 3 + 4 = 10 y 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Vemos que en ambos casos la regla es multiplicar la suma del primer y últimosumando por el número de sumandos y quedarnos después con la mitad delo obtenido. Esto incluye tanto el resultado de Zsuzi como el resultado deGauss: en el caso de 1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7 la suma del primer y últimosumando es 8, que multiplicado por el número de sumandos es 7× 8 = 56y la mitad de esto es 28; para 1 + 2 + 3 + · · · + 100, la suma del primery último sumando es 101, que multiplicado por el número de sumandos es100× 101 = 10 100 y cuya mitad es 5 050.

Está claro, en mi clase se percataron de inmediato, que no solo se puedecalcular la suma de números consecutivos con esta regla, sino también la sumade números que se sucedan a pasos iguales, como por ejemplo (el punto departida puede ser cualquier cosa):

5 + 7 + 9 + 11 + 13,

donde cada sumando es el anterior más 2, o10 + 15 + 20 + 25 + 35,

donde la diferencia entre dos términos consecutivos es 5. Para estas sumastambién es cierto que la suma del primer y el último término coincide conla suma del segundo y el penúltimo término y así sucesivamente. Intentaconvencerte; en el primer ejemplo

5 + 13 = 18, 7 + 11 = 18

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el aprendiz de brujo

y para el cálculo del doble de la primera suma también aparece 9 + 9 que esigual a 18. En el segundo ejemplo,

10 + 35 = 45, 15 + 30 = 45, 20 + 25 = 45

Los matemáticos llaman a este tipo de sucesiones en las que la distanciaentre dos términos consecutivos permanece constante progresiones aritméti-cas.

Curiosamente, aparece la misma idea en diferentes áreas de las matemáticas.Por ejemplo, el truco con el que sumamos los términos de progresión aritmé-tica también es útil a la hora de calcular áreas. Es muy fácil calcular el área deun rectángulo, es incluso más simple que el calcular el volumen de un cubo:elegimos un cuadrado pequeño como unidad de medida y nos preguntamoscuántos de éstos tenemos que emplear para construir el rectángulo. Cojamos,por ejemplo, un cuadrado de 1 centímetro cuadrado, es decir, un pequeñocuadrado cuyo lado mide 1 cm de longitud:

Coloquemos 8 de esos pequeños cuadrados uno al lado de otro:

esto ya es un rectángulo; para que no sea tan estrecho, coloquemos tres �lasde este tipo una encima de otra.

El rectángulo que acabamos de construir está formado por 3× 8 = 24 cua-drados pequeños.

Recíprocamente, si empezamos con un rectángulo de 8 cm de largo y 3 cmde alto, tendremos espacio para exactamente 3× 8 = 24 cuadrados peque-ños y, en general, calcularemos el área de un rectángulo multiplicando laslongitudes de dos lados adyacentes entre sí.

Observa también que los lados adyacentes de un rectángulo forman un

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el aprendiz de brujo

ángulo recto (esto se expresa diciendo que los lados son perpendiculares entresí). Un ángulo recto es un ángulo con el que debemos ser muy cuidadosos siestamos construyendo una casa, ninguno de los brazos que forman dicho án-gulo puede inclinarse alejándose o acercándose al otro brazo, como sí ocurreen el caso de los ángulos agudos y obtusos:

(pues unos tabiques como estos se derrumbarían muy fácilmente). Un ángu-lo recto se mantiene en equilibrio.

En la �gura delimitada por tres líneas rectas –esto es, en un triángulo–es posible tener un ángulo recto, pero sólo uno. Te pido que hagas algunosintentos para que te convenzas: por mucho que nos empeñemos, los otrosdos ángulos siempre serán agudos.

Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto son loscatetos y el lado que se encuentra enfrente del ángulo recto es la hipotenusa.

Ahora bien, debido precisamente a sus ángulos agudos, no podremos for-mar nunca un triángulo rectángulo partiendo de nuestros pequeños cuadra-dos unidad:

En la primera �la, para empezar, ya dejamos fuera el área sombreada, por loque la medición del área de un triángulo se nos presenta como una cuestióndifícil y problemática.

29

el aprendiz de brujo

Sin embargo, es un problema que puede resolverse muy fácilmente: si nopodemos calcular el área de un triángulo, calculemos la de dos triángulos.Ajustemos a la hipotenusa del triángulo original un nuevo triángulo idénticopero colocado en posición invertida; obtenemos así un rectángulo:

para el que sí sabemos calcular su área: tan sólo tenemos que multiplicar dosde sus lados adyacentes. Y los dos lados adyacentes del rectángulo son loscatetos de nuestro triángulo. De este modo, estaremos calculando el dobledel área del triángulo; obtendremos entonces el área del triángulo originaldividiendo entre dos. Por tanto, el área de un triángulo rectángulo se calculamultiplicando sus dos catetos y dividiendo después entre dos.

Resulta entonces claro que el argumento que estamos empleando aquí esel mismo que el que ya empleamos cuando quisimos sumar los términos deuna progresión aritmética si seguimos las explicaciones de Euclides, quienlegó al mundo una obra matemática genial hace ya más de dos mil años. Eu-clides viste con túnica geométrica las propiedades de los números: para él lossímbolos de

1, 2, 3, . . .podrían ser

y entonces la suma1 + 2 + 3 + 4

sería representada mediante un “triángulo con escaleiras” como este

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el aprendiz de brujo

y el truco mediante el cual colocábamos la suma en orden inverso debajo,consiste ahora en insertar otro triángulo con escaleras encima del primero taly como se indica en la siguiente �gura

ya que es así como el 1 va encima del 4, el 2 encima del 3, el 3 encima del2 y el 4 encima del 1. Los cuadrados apilados son siempre 5 y son, en total,4× 5 = 20 cuadrados, en coherencia así con el hecho de que el rectánguloresultante tiene una longitud de 4 unidades y una altura de 5 unidades, porlo que su área es igual a 4× 5 = 20 unidades de área. Esto es exactamente eldoble de la cantidad que estamos buscando, la cantidad en sí es justamente lamitad, pues el área de un triángulo escalonado también es la mitad del área delrectángulo. Es entonces evidente que, en efecto, hemos empleado el mismoargumento: primero con el lenguaje de la aritmética y ahora con el lenguajede la geometría. Más adelante veremos que esta idea todavía admite muchasvariaciones.

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5 . Variaciones sobre un tema fundamental

¿Cuándo tenemos que sumar los números del 1 en adelante? El si-guiente problema, de apariencia completamente diferente a todo lo

anterior, también nos llevará hacia este tipo de sumas.Ya hemos hablado de triángulos y cuadriláteros; en general, las �guras pla-

nas delimitadas por líneas rectas reciben el nombre de polígonos.

Todos los anteriores son polígonos “convexos”. A diferencia de los que siguena continuación, no presentan ningún tipo de abolladura

Más exactamente, éstos se distinguen de los anteriores en que si prolongamosalguno de sus lados, dividimos al polígono en dos partes.

Intenta convencerte de que esto no es así para los primeros polígonos que hedibujado. Es importante que tengas clara esta diferencia; de ahora en adelan-te consideraré siempre polígonos convexos (haremos una distinción similarpara el caso de los cuerpos geométricos).

Las líneas que unen dos vértices no consecutivos se llaman diagonales (losvértices no están conectados por una diagonal, sino por un lado). Dibujemos,

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variaciones sobre un tema fundamental

por ejemplo, algunas diagonales del siguiente polígono

El problema es ahora el siguiente: dado un polígono, digamos por ejemploun octógono, ¿cuántas diagonales puedo dibujar? Aun siendo capaz de pintarun dibujo con todas las diagonales, no es inmediato contarlas; la �gura estáatiborrada de diagonales apiñadas.

El problema se simpli�ca notablemente si no diferenciamos entre vérticesconsecutivos y no consecutivos, contando también entonces los lados. Encualquier caso, sabemos que un octógono tiene 8 lados, por lo que bastaríarestar 8 al resultado obtenido.

De este modo, el problema puede formularse así: tenemos 8 vértices de unoctógono

¿de cuántas maneras podemos conectarlos entre sí? Hay dos caminos que nosconducen a la respuesta.

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el aprendiz de brujo

El primer camino consiste en conectar el vértice 1 con los otros siete, obte-niendo así 7 diagonales:

A continuación, unimos el vértice 2 con los otros vértices, excepto con 1, puescon éste ya estaba emparejado. Añadimos por tanto seis nuevas diagonales alas que ya teníamos.

Conectemos ahora el vértice 3 con los vértices restantes, exceptuando clarolos dos vértices con quienes ya está emparejado; dibujamos así 5 nuevas diago-nales. Análogamente, el vértice 4 proporciona 4 nuevas diagonales, el vértice5 otras 3, el vértice 6 otras 2, el vértice 7 una única diagonal y, �nalmente, elvértice 8 ya estaría emparejado con todos los vértices, por lo que no aportaríaninguna nueva diagonal. En total, tenemos

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 diagonales,o dándole la vuelta,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 diagonales.El segundo camino consiste en observar cuántas diagonales podemos dibu-

jar desde un vértice independientemente de los otros vértices. Evidentemente,se pueden dibujar 7 diagonales, pues cada vértice puede emparejarse con cual-

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variaciones sobre un tema fundamental

quiera de los 7 restantes. Ahora bien, cuidado con argumentar de la siguientemanera: si partiendo de un vértice puedo dibujar 7 diagonales, partiendo de 8vértices podre dibujar 8×7 diagonales. Esto es erróneo porque cada diagonalconecta 2 vértices; así pues, por ejemplo, la diagonal que une los vértices 1 y6 habría sido contada tanto cuando contamos las diagonales que salen delvértice 1, pero también cuando contamos las diagonales que salen del vértice6. Por tanto, el error consistiría simplemente en que hemos contado cada dia-gonal dos veces y entonces, el resultado correcto es la mitad de 8× 7 = 56–esto es, 28–.

Tenemos que llegar al mismo resultado independientemente del caminoescogido, por lo que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

es igual a la mitad de 8 × 7; coincidiendo también con el resultado de mialumna Zsuzsi.

Pero todavía podemos introducir nuevas variaciones sobre este mismo te-ma. El problema también puede formularse de la siguiente manera: dado quecada diagonal empareja dos vértices, lo que nos estamos preguntando es, enrealidad, por el número de distintas maneras en que podemos escoger 2 vér-tices entre los 8 vértices que tenemos en total. Y ahora hablar de vértices escompletamente irrelevante; podríamos pensar tranquilamente en una bolsacon 8 bolas pintadas cada una con un color distinto y preguntarnos entoncesde cuántas maneras diferentes podremos escoger un par de bolas o, si tuviése-mos que emparejar 8 alumnos, ¿de cuántas maneras distintas podríamos es-coger la primera pareja? Todas estas preguntas se expresan matemáticamentepreguntándonos: ¿cuántas combinaciones de 2 elementos pueden generarsecon 8 elementos?

Si denotamos a los elementos con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las“combinaciones de 2 elementos"(o simplemente pares o parejas) se forman apartir de ellos:

1 21 31 41 51 61 71 8

2 32 42 52 62 72 8

3 43 53 63 73 8

4 54 64 74 7

5 65 75 8

6 76 8

7 8

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el aprendiz de brujo

y es evidente que el número total de pares es (yendo de derecha a izquierda)1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

Por otra parte, también podríamos razonar que cada elemento puede empa-rejarse con los 7 restantes, de modo que los 8 elementos proporcionarían a8×7 parejas; pero cada pareja habría sido contada dos veces, primero cuandocontamos las parejas del primer miembro y después cuando hicimos lo pro-pio con el segundo miembro. El resultado correcto es, nuevamente, la mitadde 8× 7.

Todos los caminos culminan en el mismo resultado �nal; no puedo evi-tar expresar esto escribiendo una fórmula. Pero antes, debo advertirte de losiguiente: en matemáticas los paréntesis non indican que algo sea de menorimportancia, sino que el matemático escribe entre paréntesis aquello que quie-re enfatizar. Por ejemplo, (2 + 3)× 6 signi�ca que debemos multiplicar por6 al resultado de la suma 2 + 3 –esto es, a 5–, mientras que si lo escribimossen paréntesis, como 2 + 3× 6, signi�ca que debemos sumar 2 al producto3× 6 (por acuerdo unánime de la comunidad matemática la multiplicación“se une más estrechamente” que la suma y entonces, en el último caso, no esnecesario escribir 2 + (3× 6)). Todo el mundo sabe que la mitad de 4, 6 y10 puede escribirse, respectivamente, como

4

2,

6

2,

10

2y que, por lo general, la división puede expresarse en este formato “fracciona-rio”. En tal caso, sin es el número natural hasta el que queremos sumar todoslos anteriores, la suma del primer y último término es 1 + n y hay que multi-plicar esto por el número de sumandos, que es n, y dividirlo �nalmente entre2. Es decir, todas las variaciones de nuestro tema fundamental se resumen enla siguiente fórmula:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =(1 + n)× n

2.

Las matemáticas son, en realidad, un idioma: un idioma un tanto extrañoque habla en símbolos. La fórmula anterior sólo es un símbolo, no signi�canada en sí misma; cada uno puede substituirla por sus propias experiencias.Para una persona podría signi�car el recuento de las diagonales de un polí-gono; para otra podría ser, sin embargo, el recuento de las distintas opcionespara escoger la pareja principal de un baile. Escribir una fórmula matemática

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variaciones sobre un tema fundamental

no es más que una expresión de nuestra alegría por haber respondido a todasestas preguntas empleando un único argumento.

Posdata sobre geometría sin medicionesHan sonado mientras tanto dos nuevos temas: uno geométrico y otro arit-

mético. Me gustaría avanzar un poco más por el camino de la geometría.Volvamos nuevamente sobre la �gura que muestra al octógono con todas

sus diagonales. Es muy posible que la �gura no sea muy clara; las diagonales secruzan unas con otras y hay una gran cantidad de puntos de corte. Con todo,que el polígono sea convexo facilita notablemente las cosas, pues al quedartodos los vértices fuera del jaleo provocado por tanta diagonal, éstos no seconfunden con las intersecciones de las diagonales. Sería todo más fácil deentender si las diagonales fuesen gomas elásticas �jadas a los vértices corres-pondientes, pudiendo así moverlas y levantarlas en el espacio. Una personaagarraría una de las diagonales hasta cierta altura, la siguiente diagonal seríaelevada luego hasta una altura un poco mayor, la tercera diagonal hasta unaaltura todavía mayor que la anterior y así sucesivamente hasta terminar. Deeste modo, las diagonales ya no se cortarían entre sí; sería todo mucho másclaro y dado que dicho levantamiento y estiramiento de las diagonales noaltera en absoluto su número, podríamos contarlas fácilmente.

Hay una rama perfectamente de�nida de la Geometría, llamada Topología,que se ocupa del estudio de las propiedades de las �guras que permaneceninvariantes aún imaginándonos las �guras hechas de un material elástico quepuede estirarse y comprimirse tanto como deseemos. Es un tanto extraño queesta ciencia forme parte de la Geometría, ya que aquí no hay nada que medir:al estirar y comprimir la longitud de las distancias y la amplitud de los ángulossufren grandes alteraciones. Lo que hace interesantes a estas investigacioneses que son muy novedosas y conocemos su origen: hemos sido testigos delnacimiento de una rama de las matemáticas a partir de un juego.

Tal juego es un famoso acertijo sobre los puentes de Königsberg. Las dosislas del río Pregel a su paso por Königsberg están conectadas entre sí y conlos márgenes mediante siete puentes, tal y como se indica en este croquis:

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el aprendiz de brujo

El rompecabezas consiste en saber si es posible, iniciando una caminata encualquier lugar, regresar al mismo punto de partida habiendo pasado por to-dos los puentes, pero una única vez por cada uno de ellos. Te animo a que lointentes. A medida que vayas probando, entenderás que el acertijo en nadacambia si nos imaginamos que los puentes que conducen a una misma isla oal mismo margen del río convergen en un punto (esto nos evitaría caminarpor la tierra), por lo que el croquis bien podría ser algo como esto:

Podríamos pensar también, por supuesto, que es una tontería tener dos puen-tes que conecten una misma isla con una misma orilla del río, pero se suponeque un puente fue diseñado sólo para peatones y el otro para trá�co viario.Esta consideración, nos permite esbozar un croquis aún más sencillo:

y el acertijo puede formularse ahora preguntando si es posible dibujar esta�gura de un sólo trazo, esto es, sin levantar el lápiz del papel (ya que nuestrocaminante no puede volar) de modo que ninguna parte de la �gura sea dibu-jada dos veces y terminemos con la punta del lápiz en el punto de partida. Esprobable que ya te hayas encontrado antes con este tipo de rompecabezas;también se plantea en ocasiones en relación con sobres para cartas como es-tos:

Es evidente que estamos ante preguntas que caen dentro del alcance de laTopología: para saber si podemos representar una �gura mediante un únicotrazo, nada importa que dicha �gura esté hecha de goma que podemos estirar,

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variaciones sobre un tema fundamental

comprimir y deformar como deseemos; lo que no podemos hacer es romperlaen pedazos y pegar después algunos de estos.

El gran Euler dio una respuesta simple y sencilla a estas a estas preguntas. Sipodemos dibujar tal �gura de un sólo trazo y regresando al punto de partida,entonces el lápiz sale del punto de inicio, pero también termina en él, por loque cada vez que llega a un vértice debe salir también de ese mismo vérticehacia otro vértice. Por tanto, cada línea que llega a un vértice tiene una pareja:la línea que sale de dicho vértice. Así pues, en cada vértice deben encontrarseun número par de líneas. Se puede probar que esta condición también essu�ciente: si a cada vértice llega un número par de aristas, entonces podemosdibujar tal �gura de un sólo trazo que termina donde empezó.

De acuerdo con esto, el problema del paseo por Königsberg no tiene so-lución; lo hace imposible cada uno de los vértices del croquis. En el vérticedel extremo izquierdo se encuentran 5 aristas y en los tres vértices restantesse cruzan, en cada uno de ellos, otras tres aristas; y todos estos números sonimpares.

El primer sobre, en cambio, sí se puede dibujar de un sólo trazo si no exi-gimos la condición de que el lápiz termine en el punto de partida porquetanto en los vértices de la parte superior, como en el vértice central, se cruzan4 aristas y éste es un número par; sólo los vértices de la parte inferior podríanfastidiarnos, pues en ellos sólo se cruzan tres aristas. Por tanto, si permitimosque el trazo empiece en uno de estos vértices y termine en el otro, podremosdibujar el sobre con un único trazo:

El segundo sobre es un caso perdido; tiene más de dos vértices problemáticos:a excepción de los vértices superior y central –donde se cruzan dos y cuatroaristas respectivamente–, en los otros vértices se cruzan siempre 3 aristas.

Este es el juego que dio origen a la Topología, pero no debes pensar quese quedó en esta etapa tan lúdica; en la actualidad, es una rama muy seriade la ciencia con múltiples aplicaciones. Por ejemplo, la Física moderna sevale de la Topología para describir circuitos eléctricos y la Química Orgánicala emplea para estudiar sus modelos moleculares. Por lo general, apareceránargumentos topológicos siempre que queramos hacernos una idea de cierta

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el aprendiz de brujo

estructura independientemente de sus dimensiones.Merece la pena re�exionar por un minuto en que tipo de nociones geo-

métricas echamos por la borda en Topología. Tales conceptos son los de con-gruencia y semejanza. La congruencia y la semejanza de triángulos juegan unimportantísimo papel en Geometría, pues un polígono arbitrario siemprepuede dividirse en triángulos; basta dibujar todas las diagonales desde uno desus vértices

e incluso podemos pensar que un círculo es, en cierto sentido, una �guraaproximadamente triangular (volveremos sobre esto más adelante) si dibuja-mos una cantidad su�cientemente densa de radios

de modo que cada parte del arco parezca casi recta (sé que este “casi” evoca enti un recuerdo escolar desagradable; te prometo que aclararé su signi�cadode forma precisa más adelante).

Dos triángulos son congruentes si se puede colocar uno encima de otrocubriendo exactamente al que queda por debajo. Por ejemplo, los siguientesdos triángulos son congruentes:

Podemos asegurarnos de que así es recortándolos del papel y girándolos hastacolocarlos en la misma posición. Si lo haces, observarás que los 6 elementos(esto e, los 3 lados y los 3 ángulos) se superponen. Pero para que que estoocurra, basta con que sean idénticos ciertos pares de elementos. Basta, por

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variaciones sobre un tema fundamental

ejemplo, con que coincidan respectivamente dos lados y el ángulo que formanen un triángulo con dos de los lados del otro triángulo y al ángulo que forman.

Porque si todo lo que sé es que los datos dibujados con trazo grueso soniguales, al colocar los ángulos iguales uno encima del otro, los puntos �nalesde los lados adyacentes también se superponen y el tercer lado del triánguloune estos dos puntos, por lo que no hay otra opción: el tercer lado y los dosángulos que éste forma también coinciden.

Dos triángulos se dicen semejantes si su forma es igual pero no necesaria-mente su tamaño; uno puede ser una reducida del otro.

Podemos imaginar esta situación pensando que hemos tomado una fotogra-fía de un triángulo grande y que hemos reducido luego la imagen así obte-nida. Está claro que podemos escoger arbitrariamente la longitud de uno delos lados del triángulo pequeño; de hecho, podemos suponer que nuestramáquina puede hacer fotos tan pequeñas como deseemos y, sobre todo, queno distorsiona; es decir, que reduce los otros dos lados en la misma medida.En la imagen pequeña los lados mantienen la misma inclinación, por lo quela amplitud de los ángulos no se ve en absoluto alterada. Vemos, por tanto,que los lados de dos triángulos semejantes están igualmente agrandados oempequeñecidos (expresaremos tal hecho diciendo que son proporcionales)y que sus ángulos son iguales.

Es por ello que para que dos triángulos sean semejantes, basta con que ten-gan dos ángulos iguales. En efecto, porque si queremos dibujar un triángulosemejante a un triángulo dado

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el aprendiz de brujo

consideramos cualquier lado del nuevo triángulo, el inferior, el más largo oel más pequeño

dibujamos los ángulos inferiores del nuevo triángulo

y ya no queda nada a nuestra elección, basta prolongar los brazos de estosángulos para cerrar el triángulo

obteniendo así un triángulo semejante al original. Por tanto, la semejanza detriángulos depende en realidad de la coincidencia de dos ángulos.

En Geometría nos encontramos a menudo con �guras congruentes y se-mejantes. En el trapecio isósceles que aparece a continuación, los triángulosblancos son congruentes y los rayados semejantes:

Ahora bien, en el marco de la Topología carece de todo sentido hablarde congruencia o semejanza; si estiramos, comprimimos y deformamos una�gura, su forma y tamaño sufrirán importantes modi�caciones; las líneasrectas pueden convertirse en curvas y podrían incluso salirse del plano en elque originalmente vivían.

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variaciones sobre un tema fundamental

Resulta entonces especialmente curioso que sea la Topología la disciplinaadecuada para decidir cuántos cuerpos regulares existen, pues la “regularidad”de los sólidos está directamente relacionada con la congruencia y, por tanto,con la medición. Se dice que un sólido convexo es regular si todas sus carasson �guras planas congruentes entre sí con lados y ángulos iguales cortándoseademás el mismo número de caras en cada vértice.

La Topología aborda este problema �jándose exclusivamente en ciertas pro-piedades de los sólidos regulares como, por ejemplo, en que cada cara estádelimitada por el mismo número de lados o que en cada vértice se cortan elmismo número de aristas. Estas propiedades no tienen nada que ver con eltamaño o con la forma. De este modo, empleando herramientas puramentetopológicas, se puede demostrar que sólo es posible construir cinco sólidoscumpliendo las propiedades anteriormente indicadas. Para probar que hayexactamente cinco sólidos regulares empleamos la Geometría. Tres de ellosestán delimitados por triángulos, el cubo por cuadrados y las caras del restan-te son pentágonos.

Este es un descubrimiento bastante sorprendente, ya que en el plano no hayninguna razón que evite la existencia de polígonos regulares con tantos ladoscomo queramos; la sucesión de polígonos regulares de la página 43 continuainde�nidamente. Así pues, no debemos trasladar al espacio tridimensionalaquello que pensemos en el plano sin una re�exión previa. En el espacio

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el aprendiz de brujo

suceden muchas cosas diferentes.Una vez más, merece la pena re�exionar sobre esto: esperábamos encon-

trarnos con nuevos fenómenos en el espacio, pues en él el movimiento esmucho más libre que en el plano, por lo que creímos que existiría allí másvariedad que en el pano y por ende, más sólidos regulares. Y ahí está la clave:el hecho de tener más opciones se traduce en condiciones más difíciles decumplir porque también tendríamos más condiciones entre las que escoger.A diferencia de lo que ocurre en los vértices de una �gura plana –donde sólopueden cortarse dos lados–, en el vértice de un sólido tridimensional puedencortarse un número arbitrario de aristas y también de caras. Podríamos tener30 aristas cortándose en un vértice, 3 aristas en otro, una cara podría ser untriángulo, otra é un polígono de 30 lados, por lo que es una restricción muysevera privar a un sólido de todas estas posibilidades, exigiéndole un númeroigual de aristas en cada vértice y caras iguales y regulares. Sólo cinco sólidospueden hacer frente a esas restricciones.

Hasta la Topología me vino a la mente pensando en como suma 1+2+3+· · ·+ n hábilmente. Esto prueba que las Matemáticas son un todo orgánico:dondequiera que toquemos, los vínculos y relaciones entre sus distintas ramasse nos agolpan en la cabeza.

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6 . Pasamos por todas las posibilidades

Es muy probable que al profesor no le preocupen las distintas formas deemparejar a sus alumnos; resolverá la situación teniendo en cuenta las

amistades y hostilidades presentes en el aula. Pero el pequeño investigador,que todavía mantiene intacta su curiosidad, quiere probar todas las posibili-dades. En una de mis clases, estábamos discutiendo a propósito de una mul-tiplicación por 357 que tan bien podemos empezar por las centenas comopor las unidades y un alumno interrumpió súbitamente preguntando si nopodríamos empezar por las decenas. Cuando le respondí que por supuestoque puedes, pero que debería ser especialmente cuidadoso a la hora de escribirlos productos parciales, quisieron saber de cuántas formas posibles podemosefectuar tal multiplicación. Me vi pues obligada a desviarme un poco haciala Combinatoria, porque esa es la rama de las Matemáticas que estudia elnúmero de posibles ordenamientos.

Apenas hay niños a quienes no les guste saber, por ejemplo, cuántas bande-ras distintas podemos hacer con 3 colores. Por supuesto, con un único colortan sólo puede haber una única bandera:

y sólo podemos añadir una banda de otro color de dos formas distintas (sideseamos emplear cada color una única vez): encima o abajo.

¿Cómo añadir un tercer color a estos dos? Pues bien: encima, en medio oabajo. Partiendo de la bandera de la izquierda, podemos construir tres nuevasbanderas:

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el aprendiz de brujo

y, por supuesto, con la bandera de la derecha podemos hacer exactamente lomismo:

por lo que podemos hacer un total de 2× 3 = 6 banderas con tres colores.Sabiendo esto, procedemos con cuatro colores del mismo modo: el cuartocolor puede ser colocado encima del primer color, entre el primero y el segun-do, entre el segundo y el tercero o debajo del tercero; y esto lo podemos hacercon cualquiera de las banderas de tres colores que ya hemos obtenido. Deeste modo, de cada bandera de tres colores, podemos hacer cuatro banderasde cuatro colores. Por ejemplo, a partir de la primera bandera de tres coloresobtenemos

por lo que partiendo de 2× 3 = 6 banderas de tres colores, podemos cons-truir 2× 3× 4 = 6× 4 = 24 banderas de cuatro colores. Podemos añadira 1 como factor, pues no provocará ningún tipo de cambio. Observamosentonces la siguiente agradable regularidad:

el número de banderas con un color es 1el número de banderas con dos colores es 1× 2 = 2el número de banderas con tres colores es 1× 2× 3 = 6el número de banderas con cuatro colores es 1× 2× 3× 4 = 24

Evidentemente, este sigue siendo el caso cuando no trabajamos con banderas ycolores. Por ejemplo, podemos servir sopa a5niños de1×2×3×4×5 = 120formas distintas o que cualesquiera seis “elementos” pueden ser ordenadoso “permutados” de 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 formas distintas. En laexpresión

1× 2× 3× 3× 4× 5× 6estamos transmitiendo el siguiente mensaje: multiplica los números desde el1hasta el 6, pero no más! Habitualmente, esto se expresa escribiendo el últimofactor y añadiendo luego un signo de admiración, por lo que la notación corta

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pasamos por todas las posibilidades

para el producto anterior es6!

Dado que estamos trabajando con “factores”, leeremos “seis factorial” cuandoveamos tal expresión y, por ejemplo,

1! = 1, 2! = 1× 2, 3! = 1× 2× 3 = 6, y así sucesivamente.El valor del factorial depende, por supuesto, de hasta donde lleguemos multi-plicando, por lo que nos encontramos de nuevo, ante una función. Hagamossu curva febril rápidamente: representemos en una línea horizontal el númerohasta el cual multiplicamos y hacia arriba el factorial correspondiente (juntoa él aparece la curva febril de las potencias de 2).

Inicialmente, la curva febril del factorial permanece por debajo de la curvade las potencias (fíjate, por ejemplo, en el trozo entre 1 y 2), pero luego seeleva repentinamente por encima de ésta y se dispara hacia arriba rápidamen-te. Esto no sólo es cierto para las potencias de 2; el factorial siempre acabacreciendo más abruptamente que la curva febril de cualquier potencia. Es lonatural, pues no importa cuan grande sea la base, supongamos por ejemploque es 100, porque al elevarla a una potencia multiplicamos siempre por esemismo 100, mientras que cuando calculamos el factorial, los 99 primerosfactores son menores que 100, pero a partir del centésimo son todos mayores

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el aprendiz de brujo

que 100, ya que multiplicaremos por 100, 101, 102, 103, . . . por lo que,más tarde o más temprano, los factoriales acabarán por tomar la delantera.

Calculamos el número de banderas con dos, tres y cuatro colores de formagradual a partir del número de banderas con un único color; llegamos así a lahermosa sucesión con productos dada por:

1× 2, 1× 2× 3, 1× 2× 3× 4, . . .

Otros problemas de Combinatoria nos conducen a resultados igual de bellos.Por ejemplo, ya sabemos de cuantas formas podemos emparejar cierto núme-ro de elementos; hemos demostrado que entre 8 elementos podemos escogerun total de

8× 7

2pares distintos; de manera similar, entre 15 elementos, tendremos

15× 14

2pares distintos y así sucesivamente. ¿No podría construirse gradualmente apartir de esto el número total de ternas, cuartetos o quintetos que puedenseleccionarse de entre cierto número elementos dados?

Consideremos de nuevo uno de los pares formados a partir de los elemen-tos del conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; por ejemplo:

1 2

y veamos de cuántas formas distintas podemos añadir un tercer elemento adicho par. Ahora el orden no importa, tan sólo nos preocupa si un elementoha sido o no seleccionado (estamos, por ejemplo, ante el problema de nombrarun comité de3miembros entre un grupo de8personas; lo único que importaes quien entra en el comité). Por tanto, al par 1 2 podemos añadir cualquierade los 6 elementos restantes y obtenemos así las seis ternas que se indican acontinuación:

1 2 31 2 41 2 51 2 61 2 71 2 8

(por favor, ignora momentáneamente el subrayado).

48

pasamos por todas las posibilidades

Del mismo modo, podemos ampliar cualquier par a una terna de seis for-mas distintas; por ejemplo, para el par 2 5 tenemos:

2 5 12 5 32 5 42 5 62 5 72 5 8

o, ordenados en orden creciente,

1 2 52 3 52 4 52 5 62 5 72 5 8

por lo que a primera vista parece que, partiendo de 8 elementos, podemosformar 6 veces más ternas que pares. Pero entre estas hay ternas idénticas;por ejemplo, la terna 1 2 5 puede construirse partiendo de 1 2 pero tam-bién partiendo de 2 5 (fíjate, aparece subrayado en las dos listas anteriores)y además, también podría venir de añadir 2 como tercer elemento al par 1 5.Claramente, obtenemos cada terna tres veces: una vez a partir de cada unode los tres pares que quedan cuando eliminamos uno de sus elementos. Porejemplo, si excluimos uno de los elementos de 2 3 5, nos queda uno de lossiguientes pares:

2 3 2 5 3 5y la terna 2 3 5 se obtiene: a partir del primer par añadiendo un 5, del segun-do añadiendo un 3 y del tercero añadiendo un 2. Por tanto, obtendremos elnúmero de posibles ternas que puedo escoger entre 8 elementos multiplican-do el número de posibles pares por 6 y dividiendo luego el resultado entre 3.Ya habíamos probado que el número de posibles pares es igual a (8× 7)/2;podemos multiplicarlo por 6 y dejar la división entre 2 para el �nal

8× 7× 6

2quedando todavía pendiente la división entre 3. Pero dividir primero entre 2y después entre3 es lo mismo que dividir entre2×3 (por ejemplo,12÷2 = 6y 6÷3 = 2 mientras que si dividimos 12 entre 2×3 también obtenemos 2).Así pues, añadiendo un irrelevante factor 1 en el denominador por razonesmeramente estéticas, entre 8 elementos podemos escoger

8× 7× 6

1× 2× 3ternas distintas. Del mismo modo, entre 12 elementos hay

49

el aprendiz de brujo

12× 11× 10

1× 2× 3ternas distintas y entre 100 elementos

100× 99× 98

1× 2× 3.

Una vez conocido el número de ternas, podemos pasar los cuartetos. Seannuevamente 8 elementos; en tal caso, partiendo de un terna podemos cons-truir 5 cuartetos distintos añadiendo uno de los elementos restantes. Porejemplo, partiendo de la terna

1 2 3

podemos construir los siguientes cuartetos:1 2 3 41 2 3 51 2 3 61 2 3 71 2 3 8

De acuerdo con esto, obtendríamos cinco veces más cuartetos que ternas;pero, en realidad, obtenemos cada terna cuatro veces. Por ejemplo, el cuarteto

1 2 3 4

puede obtenerse a partir de1 2 3 añadiendo 4

a partir de 1 2 4 añadiendo 3a partir de 1 3 4 añadiendo 2

y a partir de 2 3 4 añadiendo 1

por lo que debemos dividir entre 4. El número de posibles ternas era8× 7× 6

1× 2× 3y esto debe multiplicarse por 5 y dividirse después entre 4. Por tanto, el nú-mero de posibles cuartetos es

8× 7× 6× 5

1× 2× 3× 4.

Ya puedes observar la regularidad que emerge. El número de posibles gruposde 7 elementos entre un conjunto formado por 10 es

50

pasamos por todas las posibilidades

10× 9× 8× 7× 6× 5× 4

1× 2× 3× 4× 5× 6× 7Este también es un resultado bello y regular: cuando escogemos grupos de 7en un conjunto de 10 elementos, tenemos siete factores en el numerador yotros siete factores en el denominador; pero mientras que los del denomina-dor avanzan desde 1, los del numerador retroceden desde 10.

Así, por ejemplo, el número de elementos individuales que podemos esco-ger en un conjunto de 5 elementos es 5 ÷ 1 = 5, lo cual ya era evidente yel número de ternas que poden escoger en un conjunto de tres elementos esigual a

3× 2× 1

1× 2× 3=

6

6= 1

hecho evidente también ya que si tenemos tres bolas sólo podemos escogertres de una única manera: la evidente. Hay también una única manera deretirar nuestra mano sin escoger ninguna bola y es independiente del númerode bolas que haya en la bolsa. Conviene entonces que el número de posiblescombinaciones de cero elementos sea 1.

Por tanto, el número de combinaciones puede expresarse en la siguientetabla: escoger

0 1 2 3 4

de 1 11

1= 1 − − −

de 2 12

1= 2

2×11×2

= 1 − −

de 3 13

1= 3

3×21×2

= 33×2×11×2×3

= 1 −

de 4 14

1= 4

4×31×2

= 64×3×21×2×3

= 44×3×2×11×2×3×4

= 1

Podemos organizar estos resultados del siguiente modo: si añadimos otro1 en la posición más alta, representando así el hecho de que sólo hay unamanera de retirar la mano sin escoger nada de una bolsa vacía, esto es, queel número de cero combinaciones entre cero elementos puede considerarsecomo 1, obtenemos la siguiente �gura:

51

el aprendiz de brujo

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·que recibe el nombre de Triángulo de Pascal. Tiene muchas propiedadesinteresantes. Es natural que sea simétrico, es decir, que su mitad izquierdacoincida con su mitad derecha porque viene a ser lo mismo extraer una bolade una bolsa con 3 bolas que dejar 2 bolas en tal bolsa. Análogamente, for-mando pares entre los 5 elementos de un conjunto, construimos ternas conlos elementos restantes, por lo que para cinco elementos, el número de parescoincide con el número de ternas. Y son justamente estos los números queocupan posiciones simétricas en el Triángulo de Pascal.

Otra propiedad del Triángulo de Pascal nos proporciona una regla extrema-damente simple para construir sus sucesivas �las. No escribí el 2 de la tercera�la entre los dos 1’s de la primera �la sin ningún motivo; lo hice así porque1+ 1 = 2. Lo mismo ocurre con el 3 de la cuarta �la situado entre el 1 y el 2,pues 1+2 = 3 y así con el resto. Esto continua siendo así inde�nidamente ydado que 1+ 4 = 5 y 4+ 6 = 10, la siguiente �la del Triángulo de Pascal es

1 5 10 10 5 1

y procediendo de nuevo coma antes, la siguiente �la es1 6 15 20 15 6 1

y así sucesivamente. La demostración es relativamente simple, pero nos con-formaremos con hacer una simple veri�cación. El primer 15 aparece en laposición que indica el número de parejas que podemos formar partiendo deun conjunto de 6 elementos. Tal número es

6× 5

1× 2=

30

2que coincide, efectivamente, con 15.

Se deduce de esto que la suma de los términos de una �la es igual al doblede la suma de los términos de la �la anterior. Escribamos, por ejemplo, la �lasiguiente a la última que hemos calculado. Procedemos para ello del siguientemodo:

52

pasamos por todas las posibilidades

1 1 + 6 6 + 15 15 + 20 20 + 15 15 + 6 6 + 1 1

y vemos entonces que aparecen por duplicado los términos de la �la1 6 15 20 15 6 1

Esto, a su vez, ilumina otra propiedad: al sumar los términos de una �la,obtenemos las sucesivas potencias de 2. Dado que esto es lo que ocurre alprincipio (ignoremos por ahora el primer 1): 1 + 1 = 2 = 21, 1 + 2+ 1 =4 = 22, no tenemos que ir más lejos. Si esto es cierto para una �la, dichapropiedad será “heredada” por la siguiente �la, pues ya vimos que la suma delos términos de cada �la es el doble de la suma de los términos de la �la anteriory si duplicamos una potencia de 2, obtenemos un producto 2× 2× · · · × 2con un 2 más entre sus factores, obteniendo así la siguiente potencia de 2.

Este modo de prueba, que se fundamenta enteramente en la construcciónde la sucesión de los números naturales se llama “inducción matemática”.La sucesión de los números naturales empieza en 1 y contando de uno enuno, podemos alcanzar cualquiera de sus miembros. La idea de la inducciónmatemática consiste simplemente en que si algo que se “hereda” es cierto alprincipio de la sucesión, entonces también es cierto para todos los números na-turales. Esto nos proporciona un método para probar que cierta propiedad escierta para todos los números naturales, algo que en principio sería imposiblede realizar con nuestros cerebros �nitos. Sólo necesitamos probar dos cosas,y ambas son concebibles por nuestros cerebros �nitos: que el enunciado escierto para 1 y que es de naturaleza “hereditaria”.

Ésta es la lección más importante: en matemáticas, se puede entender elin�nito por medios �nitos.

Si te gusta jugar con las multiplicaciones, es posible que hayas reconocidolas primeras �las del Triángulo de Pascal. Si calculamos las potencias sucesivasde 11, observamos que:

111 = 11 = 1 1

112 = 11× 1111121 = 1 2 1

113 = 121× 111211331 = 1 3 3 1

53

el aprendiz de brujo

114 = 1331× 11133114641 = 1 4 6 4 1

luego las cifras de los resultados nos dan el Triángulo de Pascal. Si te has �jadoen las multiplicaciones, tendrás claro el motivo de esta coincidencia: cuandosumamos los productos parciales, efectuamos exactamente las mismas sumasque cuando obteníamos nuevas �las del Triángulo de Pascal (en el caso de115 se fastidia todo porque la suma de los productos parciales ya es una sumacon llevadas:

115 = 14 641× 1114 641161 051

mientras que la �la correspondiente del Triángulo de Pascal es 1 5 10 105 1).

11 es, en realidad, 10 + 1

121 = 100 + 20 + 1 = 1× 102 + 2× 101 + 1

1 331 = 1 000 + 3 00 + 30 + 1= 1× 103 + 3× 102 + 3× 101 + 1

y así sucesivamente. Por tanto, los números del Triángulo de Pascal apare-cen como coe�cientes de las potencias decrecientes de 10 en el desarrollo enpotencias de 10 + 1. El segundo sumando de 10 + 1 es 1, y toda potenciade 1 es igual a 1 (pues 1 × 1 = 1), por lo que parece que las potencias deeste segundo sumando no in�uirán en la expresión.No obstante, podemoscolarlas del siguiente modo:

113 = 1331 = 1 000 + 300 + 30 + 1= 1×103 + 3×102×1 + 3×101×12 + 1×13.

Observamos que mientras las potencias del primer sumando disminuyen,las potencias del segundo sumando se incrementan. La importancia de estoradica en el hecho de que podemos generalizar esta expresión para obtener laexpansión de potencias de otras sumas de dos sumandos. Por ejemplo,

73 = (5 + 2)3 = 1×53 + 3×52×2 + 3×5×22 + 1×23

A la vista de todo lo que ya hemos comentado, no sería difícil probar estoen el caso general, pero nos conformaremos con una mera comprobaciónnumérica:

54

pasamos por todas las posibilidades

1× 53 = 5× 5× 5 = 25× 5 = 125

3× 52 × 2 = 3× 5× 5× 2 = 15× 10 = 150

3× 5× 22 = 3× 5× 2× 2 = 3× 10× 2 = 60

1× 22 = 2× 2× 2 = 4× 2 = 8343

y efectivamente, 73 = 7× 7× 7 = 49× 7 = 343.Este descubrimiento es muy útil: en lugar de calcular la potencia de un

número, a menudo es más conveniente dividir la base en dos sumandos cu-yas potencias son fáciles de calcular de calcular. Por ejemplo, hay quienesdetestan multiplicar por 7, pero cuando calculamos la forma expandida de(5+2)3, aparecen con multiplicaciones muy sencillas; más exactamente, sólomultiplicamos por 5 o por 2 (factores que intentamos agrupar después pa-ra que aparezcan tantas multiplicaciones por 10 como sean posibles, ya quemultiplicar por 10 es un juego de niños).

Un sinónimo de “dos sumandos” es binomio, por lo que la expansión an-terior se llama Teorema Binomial y los números del Triángulo de Pascal sonlos coe�cientes binomiales. La segunda potencia (o cuadrado) es, sin dudaalguna, la más empleada. La segunda �la del Triángulo de Pascal es

1 2 1

De acuerdo con lo anterior, si queremos calcular (5 + 3)2, esos son os coe�-cientes por los que tendremos que multiplicar. Las potencias de 5 decrecerándesde 2 y las potencias de 5 crecerán hasta 2, obteniendo entonces la siguienteexpansión

(5 + 3)2 = 1× 52 + 2× 5× 3 + 1× 32

que omitiendo los innecesarios 1’s queda como(5 + 3)2 = 52 + 2× 5× 3 + 32

Llegamos así a la famosa regla (que quizás te trae algún mal recuerdo) quedice: para calcular el cuadrado de una suma de dos términos hay que sumar “elcuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el segundoal cuadrado”.

Por supuesto, podemos ver esto de una forma mucho más elemental; porejemplo, de forma geométrica. Sabemos que el área de un rectángulo es elproducto de dos de sus lados adyacentes; así que, recíprocamente, si tenemosun producto, podemos representarlo como el área de un rectángulo cuyos

55

el aprendiz de brujo

lados adyacentes sean los factores correspondientes. Veamos, por ejemplo, larepresentación del producto 3× 5

y aquí la del producto 52 = 5× 5

que es, evidentemente, un cuadrado. Motivo éste por el que la potencia 2recibe también el nombre de cuadrado.

Representemos ahora la expresión (5 + 3)2

con este dibujo hemos perdido de vista a los miembros de la suma; podemoshacer que cobren vida nuevamente marcando la siguiente fragmentación:

56

pasamos por todas las posibilidades

Observando cada una de las piezas, vemos que el área del cuadrado grandees 52, mientras que el área del cuadrado pequeño es 32. Además de éstos,también tenemos que contar con dos rectángulos, teniendo cada uno de ellos5× 3 unidades de área. Por tanto,

(5 + 3)2 = 52 + 2× 5× 3 + 32

Esto es tan claro como �guras de los libros de texto hindúes. Los indiosson gentes de pocas palabras; se limitan a enunciar el teorema: una suma dedos términos se “eleva al cuadrado” de tal y cual manera. Luego escriben “ver”y dibujan una �gura que lo explica todo:

Y el que tiene ojos para ver, ve.

57

7 . Coloreando la sucesión infinita

Los hindúes han sido excelentes matemáticos desde la antigüedad y tie-nen habilidades especiales en esta ciencia. Escuché la siguiente anécdota

sobre uno de sus cientí�cos: uno de sus colegas europeos le preguntó joco-samente si el número de la matrícula del taxi en que viajaban, 1729, era unnúmero despreciable u ominoso; él respondió con naturalidad pasmosa: “¡ohno! al contrario, el número 1729 es muy interesante. Es el primer númeroque se puede expresar de dos formas distintas como suma de dos cubos, pues103 + 93 y 123 + 13 suman ambos 1729”.

Los números de cuatro cifras son para los hindúes, como amigos íntimosde quienes conocen todas sus particularidades. En nuestro caso, tratamos losnúmeros pequeños de tal modo en la escuela primaria; a los ojos de un niñopequeño, 2 no es uno más de esos números grises, sino una individualidadque ha aprendido a reconocer por muchos de sus aspectos: es el primer nú-mero par, es 1+ 1, es la mitad de 4 y muchas más cosas. Aunque coloreemosnuestros números hasta el 10 o hasta números tan grandes como hacen loshindúes, éstos sólo serán un ín�mo fragmento de la in�nitud de los númerosnaturales, que continúan avanzando de manera gris y apocada.

Sabemos que hay números pares; en efecto, cada dos números, obtenemosun número par:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .

del mismo modo, cada tres, obtenemos un número divisible entre 3:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .

y saltando de cuatro en cuatro, números divisibles entre 4:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .

y así sucesivamente. Éstas sólo son olas, más pequeñas o más grandes, que,una vez iniciadas, continúan rodando constantemente de modo inde�nido.¿No ocurre entonces nada inesperado? ¿No hay ningún capricho individualque rompa y agite semejante aburrimiento?

Afortunadamente, sí lo hay: es la distribución rebelde y caprichosa de losnúmeros primos. Recuerda el signi�cado de la divisibilidad:

todos los divisores de 10 son 1, 2, 5, 10;todos los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12;pero todos los divisores de 11 son 1, 11.

58

coloreando la sucesión infinita

Todos los números son divisibles entre 1 y sí mismos; pero hay números queno son divisibles entre ningún otro factor, como ocurre, por ejemplo, con el11. Éstos números son los números primos.

En relación con esto, 1 tiene un comportamiento muy peculiar: sólo tieneun único divisor, 1, y coincide además con sí mismo, por lo que non sueleconsiderarse a 1 como número primo. Por tanto, de acuerdo con esto, el me-nor número primo es el 2, que también es el único número par que es primo,pues todo número par es divisible entre 2 y sólo podría ser un número primosi su divisor es él mismo.

Los números primos deben su importancia al hecho de que los númerosrestantes pueden construirse a partir de éstos como juntando ladrillos o blo-ques. Es por esto que nos referimos a los otros números con el nombre denúmeros compuestos. Más precisamente, podemos reformular lo que acaba-mos de decir, indicando que todo todo número compuesto puede ser escritocomo producto de números primos.

Intentemos, por ejemplo, escribir 60 como un producto:60 = 6× 10.

Pero, 6 y 10 también pueden dividirse en factores:6 = 2× 3 y 10 = 2× 5;

y escribiendo esto mismo en lugar de 6 y 10:60 = 2× 3× 2× 5,

donde todos los factores son números primos.Podríamos haber abordado esto de otra manera, pues ya sabemos que 60

se puede escribir de muchas otras formas como producto de dos números. Sipartimos de que

60 = 4× 15,donde 4 = 2× 2 y 15 = 3× 5, entonces

60 = 2× 2× 3× 5

y si empezamos por la factorización60 = 2× 30,

entonces30 = 5× 6 y 6 = 2× 3, por lo que 30 = 5× 2× 3;

o 30 = 2× 15 y 15 = 3× 5, por lo que 30 = 2× 3× 5;

o 30 = 3× 10 y 10 = 2× 5, por lo que 30 = 3× 2× 5.

59

el aprendiz de brujo

Observamos por tanto que 30 se descompone en cualquier caso como unproducto de los números primos 2, 3 y 5. Escribiendo este producto en lugarde 30, obtenemos que

60 = 2× 2× 3× 5.

Sea cual sea el camino que tomemos, 60 siempre será factorizado en los mis-mos números primos, lo único que puede variar es el orden en el que éstosaparecen. Ordenando los factores y escribiendo los productos con factoresiguales como potencia, llegamos a que

60 = 22 × 3× 5.

Es igual de fácil descomponer un número cualquiera en sus factores pri-mos (y se puede demostrar que obtendremos una única descomposición).Si nos atrancamos al principio y no sabemos por donde empezar, convienerecordar que el divisor más pequeño de un número (ignorando a 1) es unnúmero primo. En efecto, pues si dicho divisor fuese un número compuesto,tendría un divisor más pequeño que también dividiría al número originalsin dejar ningún resto. Por tanto, buscando siempre el divisor más pequeño,encontraremos los factores primos de cualquier número dado. Por ejemplo,

90 = 2× 45

= 2× 3× 15

= 2× 3× 3× 5.

Tal descomposición de un número arroja luz sobre la estructura de dichonúmero. Por ejemplo, podemos deducir de inmediato que los divisores de 90(además del clásico y previsible 1) son los siguientes:

primos: 2, 3 y 5;producto de dos números primos:

2× 3 = 6, 2× 5 = 10, 3× 3 = 9, 3× 5 = 15;

producto de tres números primos:2× 3× 3 = 18, 2× 3× 5 = 30, 3× 3× 5 = 45;

producto de cuatro números primos:2× 3× 3× 5 = 90.

Así pues, merece la pena echar un vistazo más de cerca a los componentesbásicos de los números. Intentemos escribir los números primos uno por uno.Ya sabemos que el número primo más pequeño es el 2 y que, a partir de ahí,tenemos que omitir los números pares, pues son divisibles entre 2. Vemos

60

coloreando la sucesión infinita

después que 3, 5 y 7 son números primos y sentimos así la tentación de que9 también sea un número primo, pero esto no es cierto porque 9 es divisibleentre 3. Podríamos pensar que los números primos se van diluyendo, peroesto tampoco es cierto porque 11 y 13 son nuevamente números primos.Tengo que pedirte que hagas un esfuerzo: intenta enumerar tú mismo todoslos número primos hasta, como mínimo,50. Para que compruebes si lo hicistebien, escribiré dicha lista a continuación; pero sólo se perciben los caprichosde la sucesión por uno mismo, tropezando y cometiendo errores una y otravez. La lista de números primos comienza así:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . . .

Los antiguos griegos nos dejaron una ingeniosa idea que nos permite ob-tener esta lista de forma mecánica y evitando cualquier tipo de error: es laconocida como Criba de Eratóstenes. Comenzamos anotando todos los nú-meros del 2 al 50; el primer número de la lista tiene que ser, necesariamente,un número primo ya que todos sus divisores serían menores que él y, por serél el primero, no hay ningún número antes. Veamos cuál es ese número: es el2. Saltando de dos en dos, nos encontraremos con los múltiplos de dos y así,a excepción del propio 2, ninguno de estos números será un número primo.Así pues, empezando desde ahí, tachamos todos los múltiplos de 2:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,

46, 47, 48, 49, 50

El primer número que permanece intacto después de 2 tiene que ser, necesa-riamente, un número de primo, ya que sólo podría ser múltiplo de alguno losnúmeros anteriores y antes de él solo hay un número cuyos múltiplos acaba-mos de tachar. Veamos cuál es ese número: es el 3. Saltando ahora de tres entres, obtendremos los múltiplos de tres (no pasa nada por tachar un númerovarias veces):

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,

46, 47, 48, 49, 50

61

el aprendiz de brujo

Continuando del mismo modo, queda intacto el 5, por lo que borramostodos sus múltiplos. Tachamos desde el 5 en adelante saltando de cinco encinco; procedemos luego con el 7 de forma análoga:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,

46, 47, 48, 49, 50

Ya podemos parar, pues el primer número que ha quedado intacto es el 11,que multiplicado por un número mayor que 7 se pasa de 50 y los múltiplosde 11más pequeños ya fueron tachados anteriormente. Escribamos entonceslos números que han quedado:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . . .

obtenemos así la lista de los primos menores que 50 que ya habíamos escritoanteriormente.

Es posible construir una máquina que ejecute todas estas instrucciones yque nos indique así los números primos hasta cierto punto. Sin embargo, estono altera el hecho de que los números primos aparecen sucesivamente de unamanera que se escapa totalmente a la predicción, sin importar en absolutocuán lejos avancemos.

Se puede probar que nos encontraremos con grandes espacios entre nú-meros primos consecutivos si avanzamos lo su�ciente en la sucesión de losnúmeros naturales. Por ejemplo, los resultados de las siguientes operacionesproducirán una laguna de, como mínimo, 6 unidades; esto es, seis númerosconsecutivos que no son primos:

2× 3× 4× 5× 6× 7 + 2 2× 3× 4× 5× 6× 7 + 3

2× 3× 4× 5× 6× 7 + 4 2× 3× 4× 5× 6× 7 + 5

2× 3× 4× 5× 6× 7 + 6 2× 3× 4× 5× 6× 7 + 7

Es evidente que estos números son números consecutivos porque cada unode ellos se diferencia del anterior en una unidad. Además, ninguno es primo,pues 2× 3× 4× 5× 6× 7 es divisible entre cada uno de sus factores, porlo que el primer número es divisible entre 2, el segundo entre 3, el terceroentre 4, el cuarto entre 5, el quinto entre 6 y el sexto entre 7. Efectuando elproducto, obtenemos que

2× 3× 4× 5× 6× 7 = 5040,

62

coloreando la sucesión infinita

por lo que seis números consecutivos no primos son, por ejemplo:5042, 5043, 5044, 5045, 5046, 5047.

Estos números son bastante grandes y nos vimos obligados a recorrer un largotrecho de la sucesión de números naturales para encontrar una laguna de seistérminos sin números primos. Por supuesto, es posible que exista un huecocomo este mucho antes, pero si no somos reacios a las grandes caminatas,encontraremos una laguna de 100 términos de la misma manera sumandoahora al producto de todos los números enteros entre 2 e 101

2× 3× 4× 5× · · · × 100× 101

primero 2, luego 3, después 4 y �nalmente 101. Aplicando este argumento,podemos encontrar lagunas sin números primos tan grandes como deseemos.

Por otra parte, conforme vayamos avanzando en la sucesión de númerosnaturales, nos encontraremos una y otra vez con números impares consecuti-vos que son números primos. Este es el caso, por ejemplo, al principio de lasucesión, de 11 y 13 o de 29 y 31. Los matemáticos sospechan que podremosencontrar números primos “gemelos” independientemente de lo lejos quevayamos en la sucesión de los números naturales, incluso mucho más allá dela parte ya examinada; pero, a día de hoy, esto aún no ha sido probado demanera tan general.

Pero, ¿hay números primos tan grandes como deseemos? ¿no se limitanéstos a aparecer al principio de la sucesión de los números naturales? Podemosresponder a estas cuestiones de forma nítida y clara. De hecho, conocemos larespuesta desde hace más de dos mil años: fue Euclides quien dio una eleganteprueba de la in�nitud de los números primos.

Podemos entender este hecho exactamente de la misma manera que enten-demos la in�nitud de la sucesión de los números naturales. Si alguien diceque los números primos terminan aquí o allá, no podrá llegar muy lejos conesa a�rmación porque podremos demostrarle que hay números primos másallá de donde él dice.

Basta demostrar esto en un caso particular, pues en todos los demás casosocurre lo mismo. Todo lo que tenemos que recordar es que cada dos númerosencontramos uno divisible entre 2, cada tres uno divisible entre 3 y así sucesi-vamente, por lo que el consecutivo a un número divisible entre 2 no puedeser divisible entre 2, el consecutivo a un número divisible entre 3 no puedeser divisible entre 3 y así sucesivamente. Si alguien dijera que los números

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el aprendiz de brujo

primos son:2, 3, 5 y 7

y que terminan ahí, podremos refutarlo de inmediato. Basta construir el si-guiente número:

2× 3× 5× 7 + 1,de modo que 2× 3× 5× 7 es divisible entre 2, entre 3, entre 5 y entre 7, porlo que el número siguiente a éste, que es el 2×3×5×7+1, no puede ser di-visible entre ninguno de estos números. Pero debería ser divisible entre algúnnúmero primo porque como número que es, admite una descomposiciónen factores primos y, si fuese un número primo, será divisible por sí mismo.Quien a�rmó tal cosa estaba equivocado: debe haber números primos másallá del 7. Y, de la misma forma, más allá de cualquier número primo.

Calculemos el número en cuestión:2× 3× 5× 7 + 1 = 211.

Después de unos cuantos experimentos, nos convenceremos de que este nú-mero no es divisible entre ningún otro número, excepto entre 1 y él mismo;es decir, que es un número primo. Y es el número primo mayor que 7 cuyaexistencia estipulé. Por supuesto, esto no signi�ca que sea el primer númeroprimo después del 7; si así fuese, la sucesión de los números primos tendríaun patrón claro y regular.

Más precisamente, lo que asegura nuestro método es que para encontrarun número primo mayor que 7, no es necesario ir más allá de 2×3×5×7+1.Y de la misma forma, que para encontrar un número primo mayor que 11,no es necesario ir más allá de 2× 3× 5× 7× 11+1. Sin embargo, estas sondistancias bastante grandes, ¿no es posible encontrar números primos máscercanos?

Mucha gente ha abordado este problema. Mencionaré sólo un eleganteresultado: el matemático ruso Chebyshov demostró que del 2 en adelante,siempre hay un número primo entre cualquier número y su doble. Por ejem-plo:

entre 2 y 4 tenemos el 3entre 3 y 6 tenemos el 5,entre 4 y 8 tenemos el 5 y el 7,

y entre 5 y 10 sólo tenemos el 7;

y aunque no parece haber ningún tipo de regularidad en esto, no deja por

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coloreando la sucesión infinita

ello de ser cierto por mucho que avancemos en la sucesión de los númerosnaturales. Es más, en realidad, podemos encontrar tantos números primoscomo deseemos entre un número y su doble siempre y cuando caminemoslo su�cientemente lejos en la sucesión de los números naturales.

Así que conocemos una especie de regularidad para la caprichosa sucesiónde los números primos: no pueden separarse unos de otros de manera com-pletamente arbitraria.

Y a pesar de todo, existe en cierto sentido una “regla de los números pri-mos”. Dicha regla va en el mismo sentido del “casi” por el que se puede con-siderar que un círculo está formado por muchos triángulos delgados (queprometí aclarar más adelante).

Hasta el 2 (incluyéndolo a él mismo), hay un número primo: el propio 2.Hasta el 3 hay dos primos: 2 y 3. Hasta el 4 hay nuevamente dos, hasta el 5hay tres –pues se añade el 5 a la lista–, hasta el 6 se mantienen esos mismostres; hasta el 7 ya tenemos cuatro: 2, 3, 5 y 7. Hasta el 8, 9 y 10 siguen esosmismos cuatro. Por tanto, el número de números primos es:

hasta 2 hasta 3 hasta 4 hasta 5 hasta 61 2 2 3 3

hasta 7 hasta 8 hasta 9 hasta 104 4 4 4

Esta sucesión salta cada vez que llegamos a un nuevo número primo y estoocurre a intervalos muy irregulares. Sin embargo, mediante una regla de cálcu-lo perfectamente de�nida, podemos construir una sucesión1 de modo que,cuanto más avanzamos en ella, más se parecerán sus términos a los correspon-dientes términos de nuestra sucesión, por lo que los números de estas dossucesiones serán “casi” iguales para términos su�cientemente avanzados. Lasituación es idéntica a la que se da cuando las subdivisiones curvadas de uncírculo, tan difíciles de tratar, se hacen cada vez más parecidas a triángulos,

1Para aquellos que todavía recuerdan los logaritmos, indico a continuación comosería tal sucesión

2

log 2,

3

log 3,

4

log 4,

5

log 5, . . .

Es poco probable que recuerdes este tipo de logaritmo: es el conocido como logaritmonatural. Hablaremos de él más adelante.

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el aprendiz de brujo

pues continuando durante mucho tiempo, la división puede considerarse“casi” idéntica a la proporcionada por los triángulos inscritos:

Ni siquiera es concebible una regla exacta para la sucesión de los números pri-mos, pero conviene saber que este comportamiento “casi” regular sí tiene unsigni�cado exacto: mantengo mi promesa, volveré sobre esto más adelante.

Ni siquiera podría intentar esbozar aquí la demostración del Teorema delos números primos; los mejores matemáticos se lo han pasado unos a otrosdurante mucho tiempo, perfeccionándolo aquí y allá, hasta que tomó su for-ma actual. La investigación sigue avanzando en este campo y se ha intenta-do estimar cada vez con mayor precisión el error que se comete al sustituirlos términos de nuestra sucesión irregular por los de la sucesión construidasiguiendo la regla perfectamente de�nida de los logaritmos. Aquí no es lautilidad lo que anima y justi�ca la investigación, ni tampoco la conveniencia,sino la mera belleza y di�cultad de la cuestión. Este es un tipo de belleza com-pletamente distinto de la belleza y armonía de la Combinatoria; se trata dela estética propia de la ausencia de regularidad. Es una noble tarea intentarforzar lo irregular a reglas regulares y especí�cas.

El hecho de que exista un Teorema de los números primos signi�ca que,aunque los números primos se distribuyen de forma irregular entre los distin-tos fragmentos de la sucesión de números naturales que podemos considerar,sí están sujetos a cierto tipo de orden si los consideramos en su totalidad in�-nita. Recuerdo una comparación que leí en algún sitio sobre el problema dellibre albedrío: si miramos de cerca un enjambre de abejas, nos parecerá quevuelan de aquí para allá y en todas direcciones de forma un tanto caótica; y sinembargo, la totalidad del enjambre se mueve en una dirección perfectamentedeterminada y hacia un objetivo especí�co.

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8 . “He pensado un número”

Regresemos de nuevo a las matemáticas prácticas. Ya sabemos comocalcular el volumen de un cubo, pero muy menudo es necesario calcu-

lar el volumen de un cuerpo irregular y en este caso, no podemos calculardicho volumen midiendo directamente. Podemos proceder del siguiente mo-do: supongamos que nuestro cuerpo está hecho de corcho. Podemos pesarloy tallar después, en ese mismo material, un cubo de 1 centímetro cúbico (estoes, un cubo cuyo volumen es 1 centímetro cúbico) al que también pesamos.El número de veces que el peso del cubo va en el peso del cuerpo irregular encuestión será el volumen de nuestro sólido en centímetros cúbicas.

No podemos determinar directamente el volumen del cuerpo, pero sí pode-mos determinar otra magnitud con la que el volumen mantiene una estrecha yconocida relación: el peso do sólido. Y es partiendo del peso como deducimosel volumen desconocido.

Esta situación es muy común en Matemáticas; aunque cierta cantidad re-querida es desconocida, sí conocemos su relación con otras cantidades y par-tiendo de dichas relaciones somos capaces de averiguar el valor de la cantidaddesconocida.

Bien, dejemos que lo descubras por ti mismo: he pensado un número, lesumé 5 y obtuve 7; ¿cuál fue el número en el que pensé? Todos sabrán deinmediato que fue el 2.

Compliquémoslo un poco más: he pensado un número, lo he multiplicadopor 5, luego lo he dividido entre 2, le he sumado 3 y resultó ser igual a 18.¿Cuál es el número en el que había pensado? Este acertijo no suele plantearsepor escrito, pero oralmente, quien intenta descifrar el número tiende a olvidarfácilmente la ristra de operaciones involucradas, por lo que es mejor anotarlas cuentas a medida que se van indicando.

Dado que desconocemos cuál es dicho número, llamémosle x. Si el poetaMihály Babits puede escribir:

Minden folyót vár a Styx.Óh megoldó biztos x!

entenderás que sugiera escribir x en lugar del número desconocido a todoaquel que pretenda descifrar dicho número. Apuntará entonces la siguiente

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el aprendiz de brujo

sucesión de operaciones: el número original es x, que multiplicado por 5

se convierte en 5x, al dividirlo entre 2 se hace igual a5x

2y sumándole 3 se

convierte en5x

2+ 3 y sabemos que esto es igual a 18. En otras palabras:

5x

2+ 3 = 18,

por lo que el número originalmente pensado satisface dicha “ecuación” y espartiendo de ella como obtendremos su valor.

Hay personas que tienen tan buen sentido de los números que son capacesde adivinar el valor de x con sólo mirar para la ecuación. Si no es tu caso,retrocede un paso: si algo se ha convertido en 18 después de sumarle 3, eso esporque antes era igual 15:

5x

2= 15.

A partir de esta ecuación, ya es más fácil adivinar quien erax. Si todavía no erescapaz, puedes retroceder un paso más: si obtenemos 15 cuando dividimosalgo entre 2, es porque justo antes de dividirlo era igual a 30:

5x = 30

y ahora ya todo el mundo sabe que si multiplicas un número por 5 y obtienes30, entonces ese número sólo puede ser el 6.

El desmantelamiento gradual que acabamos de hacer puede realizarse concualquier otra ecuación. Cuando pasamos de

5x

2+ 3 = 18 a

5x

2= 15,

el 3 que se sumábamos a la izquierda del signo = desaparece y restamos 3al número de la derecha. Es a esto a lo que nos referimos cuando decimosque un término que aparece sumando puede pasarse al otro lado da ecuaciónrestando. Y cuando pasamos de

5x

2= 15 a 5x = 30,

el 2 que aparecía dividiendo a la izquierda desaparece y multiplicamos por2 el número de la derecha. Esto se expresa diciendo que podemos pasar undivisor al otro lado de la ecuación multiplicando. En general, podemos mover

68

“he pensado un número”

algo de un lado de la ecuación a otro haciendo lo contrario.Incluso al enfrentarnos a una ecuación complicada, a poco que lo pense-

mos, nos daremos cuenta inmediatamente de que el problema sigue siendoesencialmente el mismo: adivinar el valor de un número que alguien ha pensa-do. Supongamos, por ejemplo, que el problema se formula ahora como sigue:“un padre tiene 48 años y su hijo 23. ¿En cuántos años tendrá el padre el doblede la edad de su hijo?” Habrá por supuesto quienes sepan responder ensegui-da y sin necesidad de ecuación alguna. Aquellos que sean un poco más lentospueden pensarlo de la siguiente manera: los rápidos ya conocen el resultado,ya saben cual es el número correcto; pero para nosotros este número siguesiendo x, por lo que será después de x años cuando el padre tendrá el doblede años que su hijo. ¿Cómo comprobarán aquellos que ya tienen la respuestaque su resultado es el correcto? Pues, simplemente, verán cuál es la edad tantodel padre como del hijo una vez pasados x años y comprobarán si es efecti-vamente cierto que el padre tiene el doble de años que el hijo. Después de xaños, la edad del padre será 48 + x años y la del hijo 23 + x años. Por lo queel descifrador experto ha pensado un número, lo ha sumado tanto a 48 comoa 23 y dice que el resultado de la primera suma es el doble de la segunda:

48 + x = 2× (23 + x).

Es a partir de esta ecuación que debemos averiguar quien es x. La multipli-cación por 2 de la derecha puede efectuarse multiplicando ambos términospor 2:

48 + x = 46 + 2x.La x que aparece sumando a la izquierda se puede pasar a la derecha restandoy, del mismo modo, el 46 de la derecha también se puede pasar a la izquierdarestando para juntar así todas las x en el mismo lado de la ecuación

48− 16 = 2x− x,48− 46 = 2 y es evidente que si a 2x le restamos x, obtenemos x; luego

2 = x,

por lo que el número pensado fue el 2. En dos años el padre tendrá el doblede la edad de su hijo. En efecto, pues el padre tendrá 50 años y el hijo 25.

Compliquémoslo todavía un poco más. “He pensado dos números a lavez; su suma es igual a 10, ¿cuáles son estos dos números?”

Podemos escribir lo que nos dicen del siguiente modo: sean x e y los dosnúmeros (si desconocemos el nombre de pila y el apellido de alguien, pode-

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mos llamarlex y), por lo que la persona que ha formulado el problema a�rmaque

x+ y = 10.Es muy fácil encontrar dos de estos números. Por ejemplo, 1 y 9 ya valen. ¡Pe-ro 2 y 8 o 4 y 6 también! e incluso hay más soluciones. Es evidente que conestos datos todavía es imposible determinar cuales fueron los dos números es-cogidos. Si realmente queremos averiguarlo, debemos decir: ‘¡queremos saberalgo más sobre esos dos números!”. Bueno, añado entonces que la diferenciaentre esos dos números es igual a 2:

y − x = 2.

Ahora es fácil darse cuenta de que esto sólo sucede para uno de los paresanteriores. Los números cuya suma es 10 y que se diferencian en 2 unidadesson el 4 y el 6.

Por tanto, para adivinar dos incógnitas, necesitamos de dos ecuaciones,esto es, de un sistema de ecuaciones. Si no estuviese claro a partir de estas dosecuaciones cuáles son los números en cuestión, podemos emplear algunostrucos para hacerlos todavía más evidentes.

Por ejemplo, si hubiera alguien que aún no se ha dado cuenta de que la so-lución del sistema de ecuaciones anterior es 4 y 6, podría intentar lo siguiente:pasar el término que aparece restando a la izquierda del signo= de la segundaecuación a la derecha sumando y entonces y quedaría aislado como

y = x+ 2.

De esto se deduce que vemos el segundo número pensado es2unidades mayorque el primer número. Por tanto, podríamos reformular el problema de formamás simple: “he pensado un número, le sumé un número que es dos unidadesmayor y el resultado que obtuve fue 10; ¿cuál fue el número que pensé?”.Podemos escribir esto como

x+ (x+ 2) = 10

y en esta ecuación ya sólo hay una incógnita. Podemos averiguar quién es estaincógnita, pues ya conocemos algunos trucos sobre como hacerlo. Y una vezconocida x, poco debe preocuparnos quién es y, pues ya sabemos que es dosunidades más que x.

Ahí va otro ejemplo: “he pensado dos números; al primero le sumé eldoble del segundo y obtuve 11 y al doble del primero le sumé cuatro vecesel segundo obteniendo entonces 22 como resultado ¿cuáles son los númerosque he pensado?”.

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“he pensado un número”

El problema puede resumirse del siguiente modo:x+ 2y = 11

2x+ 4y = 22

Si tienes buen ojo, te habrás dado cuenta de inmediato de que se están mo-fando de nosotros. Probemos con algún intento: 1 y 5 satisfacen la primeraecuación, ya que

1 + 2× 5 = 11y estos números también satisfacen la segunda ecuación porque

2× 1 + 4× 5 = 22.

Por tanto, uno podría pensar que ya hemos encontrado los números que bus-cábamos, pero no es así. Echemos otra ojeada. Los números 3 y 4 satisfacenla primera ecuación, pues

3 + 2× 4 = 11

y también la segunda, porque2× 3 + 4× 4 = 22.

Parece entonces que todo par de números satisfaciendo la primera ecuaciónsatisface simultáneamente la segunda, por lo que esta segunda condición noaporta nada a la hora de escoger cuál es el par de números correcto.

Es natural que así sea. Independientemente de quienes sean x e y, 2x siem-pre es el doble de x y 4y siempre es el doble de 2y, por lo que está claro quela suma 2x+ 4y siempre será el doble de x+ 2y y si x+ 2y = 11 entonces2x + 4y sólo puede ser igual a 22. Según esto, la segunda ecuación no dicenada nuevo sobre los números pensados: dice exactamente lo mismo que laprimera, pero de forma más complicada.

Sería aún más injusto si nos proponen encontrar los valores dex e y a partirdel sistema de ecuaciones

x+ 2y = 112x+ 4y = 23

Podemos rompernos la cabeza hasta el día del juicio �nal, pero no existendos números que satisfagan ambas condiciones. Ya vimos que, independien-temente de quienes sean x e y, 2x+ 4y siempre es el doble de x+ 2y, porlo que si x+ 2y = 11, entonces 2x+ 4y tiene que ser necesariamente 22 yde ninguna manera 23. La segunda condición contradice a la primera.

Resumiendo: podemos averiguar el valor de dos incógnitas a partir de dos

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el aprendiz de brujo

ecuaciones siempre y cuando las dos ecuaciones no digan lo mismo y no secontradigan.

Y ahora, ¿cómo podríamos lidiar con un problema como el que sigue? "Hepensado un número, lo elevé al cuadrado, le sumé 8 veces el número que habíapensado y obtuve 9 como resultado". Escribiendo tenemos que:

x2 + 8x = 9.

Aquí sólo hay una incógnita, pero la nueva complicación consiste en queaparecen potencias: es una ecuación “cuadrática”.

Evitemos empezar con una ecuación cuadrática tan complicada. La mássimple es:

x2 = 16.Todos vemos de un simple vistazo que el número pensado es el 4 porque 4 esel número cuyo cuadrado es 16.

La siguiente es igual de fácil:(x+ 3)2 = 16,

pues el número cuyo cuadrado es 16 es nuevamente 4, por lo quex+ 3 = 4

y entonces es evidente que x = 1.En la última ecuación aparece (x+ 3)2; recordemos cómo se eleva al cua-

drado una suma de dos sumandos. Al cuadrado del primer término (aquí x2)hay que sumarle el doble del producto de los dos términos (aquí2×3x = 6x)y el cuadrado del segundo término (aquí 32 = 9). Y entonces, nuestra ecua-ción en forma expandida es

x2 + 6x+ 9 = 16,

por lo que si nos la hubieran presentado de esta forma, no tendríamos niidea de cómo abordarla. Es necesario, entonces, practicar la identi�cación delcuadrado de la suma de dos sumandos en forma expandida. Si, por ejemplo,nos dan la ecuación

x2 + 8x+ 16 = 25,deberíamos observar que 8x = 2 × 4x y que 16 es el cuadrado del 4 queaparece en ese producto, por lo que

x2 + 8x+ 16 = x2 + 2× 4x+ 42 = (x+ 4)2

y se trata entonces de la ecuación(x+ 4)2 = 25,

que ya podemos resolver como antes.

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“he pensado un número”

Por supuesto, pasar el 16 que aparece sumando a la izquierda del signo = ala derecha restando no cambia en nada la ecuación que estamos examinando.Y dado que 25− 16 = 9, nos queda la ecuación

x2 + 8x = 9,

que es la ecuación del principio. Incluso en esta forma, deberíamos ser capacesde ver que el lado izquierdo puede completarse para formar el cuadrado deuna suma de dos sumandos, pues

x2 + 8x = x2 + 2× 4x

y el termo que faltaría para tener (x + 4)2 es 42 = 16. Se sumamos el mis-mo número en ambos lados de la ecuación, la igualdad se mantiene; así que,sumando 16 en ambos lados:

x2 + 8x+ 16 = 9 + 16x2 + 8x+ 16 = 25

y ahora ya podemos lidiar con dicha ecuación.Esta completación para obtener el cuadrado de una suma de dos sumandos

siempre es posible. Si el términos cuadrático no fuese x2 sino, por ejemplo,3x2 como en la siguiente ecuación

3x2 + 24x = 27,

entonces podemos dividir los dos miembros de la ecuación entre 3, ya quesi ambos miembros son iguales, sus tercios también serán iguales. Un terciode 3x2 es x2, la tercera parte de 24x es 8x y un tercio de 27 es 9, por lo quellegamos a la ecuación

x2 + 8x = 9,que ya sabemos como resolver. Si los números no fuesen todos divisiblesentre 3, o si el coe�ciente de x fuese negativo, aparecerían fracciones y restaspor el medio, pero no quiero incordiarte con estas cosas todavía, aunque norepresentan ningún tipo de di�cultad añadida.

Así pues, en cada caso, completando cuadrados de la forma adecuada, ob-tendremos el cuadrado de una suma de dos sumandos y de esta forma, nohabrá ecuación cuadrática que se nos resista.

Esta manera de razonar es característica del pensamiento matemático: suce-de a menudo que el matemático no se lanza directamente a la tarea requerida,sino que la moldea y amasa hasta convertirla en un problema que ya ha resuel-to en el pasado. Tal modo de proceder es ridiculizado y motivo de burla enel siguiente chiste bien conocido entre los círculos matemáticos. “Frente a ti

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el aprendiz de brujo

hay un hornillo de gas, un grifo, una cazuela y un mechero; quieres hervir unpoco de agua; ¿que harías?” La respuesta suele escucharse con cierto gradode temor e incerteza “enciendo el gas, echo un poco de agua en la cazuela yla pongo al fuego”. Muy bien, pero ahora modi�camos ligeramente la tarea:todo está igual que antes, la única diferencia es que ya hay agua en la cazue-la. “¿Qué harías ahora?” Ahora el experto ya habla con con�anza y segurode sí mismo, dice: “¡pues enciendo el hornillo y coloco la olla al fuego!” Esentonces cuando debes que abofetearlo con arrogancia, “¡así es como actúa elfísico! El matemático vacía la olla y dice: he reducido el problema a la situaciónanterior”.

En cualquier caso, este argumento o modo de proceder es la esencia de laresolución de las ecuaciones cuadráticas y no la fórmula que se deduce a apartir de ella y que los niños memorizan tan e�cazmente que incluso seríancapaces de recitarla en sueños décadas más tarde.

Surge ahora otra di�cultad: supongamos que ya hemos completado loscuadrados en el lado de la izquierda, pero no encontramos ningún númerocuyo cuadrado sea igual al número de la derecha. Sea, por ejemplo,

(x+ 3)2 = 2

Si he pensado realmente un número natural a quien represento por x, en-tonces esto no podría suceder; pero sí puede darse este caso si hablamos deecuaciones más serias y avanzadas. Aparece aquí el problema de la invertiruna potencia: buscamos un número cuyo cuadrado sea 2. A esto se le llamaextraer la raíz da cuadrada y, como operación inversa que es, hablaremos deella en capítulos venideros (en los que también hablaremos de cuántas solu-ciones admite una ecuación cuadrática; de momento, nos conformamos conencontrar una) pero te adelanto ya ahora que por supuesto que podremosresolver dicha ecuación.

Aquellos que no se basan en la fórmula, pero comprenden la línea argu-mental de lo anterior, pueden resolver fácilmente algunas ecuaciones de ordensuperior particulares. Consideremos, por ejemplo,

(x+ 1)3 = 27;

dado que 27 = 3× 3× 3 = 33, concluimos que 3 es el número cuyo cuboes igual a 27. Por tanto, x+ 1 = 3 y entonces x = 2.

Podríamos expandir (x + 1)3 empleando el Teorema del binomio, queya conocemos; a partir de tal forma expandida, podemos ver que es lo que se

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“he pensado un número”

obtiene al elevar al cubo una suma de dos sumandos, pero la completacióna un cubo perfecto no siempre es posible en una ecuación cúbica. No obs-tante, existen procedimientos generales que nos permiten resolver cualquierecuación cúbica e incluso también cualquier ecuación de cuarto grado. Enestas fórmulas generales, además de las cuatro operaciones básicas, tambiéntendremos que extraer raíces cuadradas, cúbicas y cuartas; es decir, necesita-remos encontrar números cuyo cuadrado, cubo o cuarta potencia sea igual acierto número dado, como por ejemplo, a 2.

La rama de las Matemáticas que se ocupa del estudio de las ecuaciones sellama Álgebra. En la escuela secundaria suelen llamarle Álgebra a todas lasramas de las Matemáticas que no pertenecen a la Geometría. Pero lo ciertoes que aparecen ecuaciones en todas las ramas de las Matemáticas (tambiénen la geometría), por lo que los estudiantes de secundaria tienden a pensarque las Matemáticas consisten, simplemente, en el estudio de las ecuacionesy que el objeto de estudio o investigación de las Matemáticas superiores son,simplemente, ecuaciones más complicadas.

Hubo una época en la que los matemáticos centraron su interés en lasecuaciones y en el Álgebra; se pensaba entonces que el desarrollo de las mate-máticas, una vez resueltas las ecuaciones de tercer y cuarto grado, consistiríaen idear métodos ingeniosos y generales para la resolución de ecuaciones degrado superior, como por ejemplo, de quinto o sexto grado. Podemos ima-ginarnos entonces la consternación generalizada que debió producir el des-cubrimiento, por parte de Abel, de las condiciones que debe satisfacer unaecuación (de cualquier grado) para ser resoluble mediante las cuatro operacio-nes básicas y la extracción de raíces: se encontró con que sólo las ecuacionesde primero, segundo, tercer y cuarto grado satisfacen esas condiciones. Estáfuera de toda duda que podamos resolver, por ejemplo, ecuaciones de quintogrado mediante dichas operaciones. Parecía que los algebristas debían soltarsu pluma y rendirse.

Es aquí cuando llegamos a uno de los pasajes más románticos de la historiade las Matemáticas. Pues fue entonces cuando un joven francés de unos veinteaños, Galois, se batió a duelo por motivos amorosos dejándose la vida en esemismo duelo. La víspera de su muerte, escribió una carta a un amigo, en laque, como testamento, anotó sus pensamientos e ideas dando así un nuevoimpulso al Álgebra justo cuando esta había perdido su razón de ser.

75

el aprendiz de brujo

A pesar de que no existe ningún procedimiento general para resolver ecua-ciones de quinto grado, sí podemos resolver algunas ecuaciones particulares.Por ejemplo, las ecuaciones

x5 = 32 y (x+ 1)5 = 32

pueden resolverse muy fácilmente, pues 2× 2× 2× 2× 2 = 32 = 25, porlo que la solución de la primera ecuación es

x = 2

y para la segunda basta tener en cuenta quesi x+ 1 = 2, entonces x = 1.

Pero hay otras ecuaciones que también podemos resolver. Por poner unejemplo, una solución de

x5 + 2x4 + x = 0

es x = 0 pues todo múltiplo de 0 y toda potencia de 0 es 0, luego 05 + 2×04 + 0 es, efectivamente, igual a 0.

Esto fue lo que proporcionó una nueva vía de ataque para el Álgebra: aunsabiendo que no podemos soñar con un procedimiento general, sigue siendoun problema bien interesante decidir cuáles son las ecuaciones particularesde grado superior que sí pueden resolverse mediante nuestras operaciones.

El testamento de Galois proporciona un método para atacar dicho proble-ma.

Tal método resultó ser extremadamente fructífero; es gracias a él que co-menzó un nuevo �orecimiento del Álgebra, que brota ahora incluso con másfuerza que en el pasado. Allí donde sean heridas las Matemáticas, surgirá lue-go la regeneración con fuerza y vigor renovado. Este nuevo brote, hoy ya unarama, de las Matemáticas conserva la memoria de Galois en su mismo nombre:es la Teoría de Galois.

Me gustaría llamar la atención del lector sobre algo importante. Fue en elÁlgebra donde nos encontramos por primera vez con el siguiente fenómeno:las Matemáticas son capaces de probar su propia incapacidad en un área de-terminada del conocimiento con sus propias herramientas. Volveremos sobreesto más adelante.

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PARTE II

La función creativa de la forma

9 . Números con dirección

En los capítulos anteriores he acumulado numerosas deudas y promesasen relación con la inversión de las operaciones ya conocidas. Ya es hora

de enfrentarnos a las operaciones inversas.La resta parece la más inofensiva. ¿De qué se trata realmente? La suma

se puede invertir de la siguiente manera: conocemos el valor de la suma dedos términos, supongamos que es igual a 10, y que uno esos términos esigual a 6, ¿cuál es el valor del otro término? Evidentemente, 4, que es lo quequeda después de extraer de 10 el término conocido. ¿Dónde está entoncesla di�cultad?

La di�cultad comienza en el hecho de que, en realidad, tuve que pararmea pensar un poco antes de escoger a 10 y 6 para el ejemplo que acabo decomentarte. En el caso de la suma, podría haber escogido dos números de lasucesión de números los naturales con los ojos vendados; no habría ningúnproblema para sumarlos en cualquier orden. Pero, ¿qué hubiera ocurrido sien el ejemplo anterior dijese: la suma de dos términos es igual 6 y uno deesos términos es igual a 10? ¿cuánto valdría entonces el otro término? Talenunciado es evidentemente falaz, pues la suma total no puede ser menor queninguno de sus sumandos. Por tanto, debemos ser cuidados y asegurarnos deque el minuendo sea mayor que el sustraendo.

¿Eso es todo? Pensarás que entonces no mereció la pena posponer hastatan tarde una operación tan simple. A nadie se le ocurriría restar más de loque originalmente tiene y las restas sensatas no presentan ningún tipo dedi�cultad.

Todo esto es cierto y correcto, pero lo cierto es que en la práctica nos en-contraremos a diario con situaciones en las que nos vemos forzados a restarleun número mayor a otro más pequeño.

77

la función creativa de la forma

Recordemos aquel problema en el que tuvimos que averiguar en cuántosaños el padre tendría el doble de años que el hijo y hagámonos ahora esa mismapregunta pero con un padre de 52 años y un hijo de 27 años. El razonamientoes el mismo que antes: tal coincidencia se dará dentro de x años, cuandoambos tengan x años más. El padre tendrá para entonces 52 + x años y elhijo 27 + x, por lo que

52 + x = 2× (27 + x).

Procedemos ahora como ya hicimos anteriormente. Efectuamos las multipli-caciones de segundo miembro

52 + x = 54 + 2x

y juntamos a la derecha del signo de igualdad todas las incógnitas; es decir,pasamos el x de la izquierda a la derecha restando y pasamos también el 54de la izquierda para la derecha restando, llegando así a

52− 54 = 2x− xy quitándole una x a 2x, tan sólo queda una x, por lo que

52− 54 = x

y es aquí donde quedamos atrancados. El resultado de la resta imposible 52−54 sería el valor del número que buscamos.

A esto bien podemos responder: si el número desconocido sólo puede serel resultado de una resta imposible, debemos buscar entonces el error en elenunciado del problema, pues este padre nunca tendrá el doble de la edad desu hijo.

Echemos un vistazo a las edades mencionadas en este problema: 52 años y27 años. Cualquier persona mínimamente familiarizada con los números sedará cuenta de inmediato que hace dos años, padre e hijo tenían, respectiva-mente, 50 y 25 años, por lo que ya han pasado dos años desde que el padretuvo el doble de edad que su hijo.

Así pues, parece que el problema debería ser reformulado: ¿hace cuántosaños que el padre tenía el doble de la edad que el hijo?

De este modo, deberíamos evitar cualquier problema con la ecuación. Hacex años todos éramos x años más jóvenes, por lo que el padre tendría 52− xaños y el hijo 27− x años y a�rmamos sobre estas edades que

52− x = 2× (27− x)A la derecha multiplicamos la diferencia que allí aparece por 2 (si tuviésemos

78

números con dirección

que efectuar el producto 2× 99, lo más sencillo sería empezar multiplicando2 por 100 en vez de por 99 y restar después 2 unidades a 200, pues estaríamosconsiderando a 99 como la diferencia entre 100 y 1, por lo que el doble deesta diferencia es la diferencia entre 2× 100 y 2× 1)

52− x = 54− 2x.

Juntemos todas las incógnitas en el miembro de la izquierda; para ello, pasa-mos el 2x que aparece restando para la izquierda sumando:

2x+ 52− x = 54.

Ahora, el 52 que aparece sumando en el primer miembro lo pasamos a laderecha restando:

2x− x = 54− 52y efectuando las operaciones pertinentes, concluimos �nalmente que

x = 2,

como ya sabíamos de inicio.Todo esto está muy bien; siempre podremos proceder de tal modo, pero se-

guir las huellas de un camino ya recorrido hasta chocar contra una pared paradar luego la vuelta, replantear el problema y comenzar de nuevo es bastantelatoso y aburrido. Y, en verdad, ya teníamos la solución a nuestro alcance.Volvamos pues a donde antes nos detuvimos; a la expresión

52− 54,

que resuelve por sí misma toda di�cultad: “¡te digo que la diferencia es 2!Además, debes contar estos años en la dirección opuesta, no hacia adelanteo hacia el futuro, sino hacia el pasado. ¿Por qué te empeñas en no quererentenderme?”

Así es como se propone dar signi�cado y sentido a la resta 52− 54: consi-derar tanto la diferencia entre 54 y 52, pero también que ésta debe ser tenidaen cuenta con cierta dirección opuesta a la habitual hasta el momento. Comoesta dirección apunta hacia atrás en el tiempo, hacia el pasado, indica quedebeos restar 2 años a las edades actuales y esto suele marcarse mediante elsigno de la resta, por lo que acostumbramos escribir:

52− 54 = −2.De acuerdo con esto, deberíamos marcar los números usuales con un signo“+”, pues si el resultado de la ecuación dijese que la situación en cuestiónocurrirá una vez pasados dos años, tendríamos entonces que sumar 2 años a

79

la función creativa de la forma

las edades actuales. Efectivamente, si deseamos enfatizar tal hecho, podemosañadir el signo “+”.

La necesidad de atribuir cierta dirección a una cantidad no es algo inusual.Si en un día de frío invierno decimos que la temperatura exterior es de 4grados, no estaremos dando una información muy exhaustiva. Es necesarioindicar si se trata de 4 grados por encima o por debajo de cero, para una per-sona sensible al frío se trata de una gran diferencia.

Por el mismo motivo, es impreciso hablar del siglo III sin aclarar si nos referi-mos al siglo III a.C. o al siglo III d.C. o de 15° de longitud sin indicar si estamos15° al este o al oeste del meridiano base de la Tierra. El contable también tienemucho cuidado a la hora de anotar una nueva entrada de 1 000 �orines a laderecha o a la izquierda de la línea central de su libro de cuentas, porque ala mayoría de la gente no le resulta indiferente que sus ahorros aumentan odisminuyan en 1 000 �orines.

En todos este casos, las cantidades bidireccionales pueden marcarse con“+” o “−” y recibir un nombre distinto para aclarar su dirección: los númeroscon signo “+” son los números positivos y los números con signo “−” sonlos números negativos. Siempre se puede pensar a un número negativo comoel resultados de una resta en la que el sustraendo es mayor que el minuendo.

Por ejemplo, si la temperatura en la calle es de 5° C por encima de 0°C ydesciende 8° C, esto signi�ca que la temperatura ha descendido y podemosconsiderarlo por tanto como una resta; debemos restar 8 a 5 y no hay nadaque lo impida; basta ir, simplemente, más allá de 0°C. La temperatura serápues de 3°C bajo cero, es decir, de−3°C.

5− 8 = −3.Una resta como esa siempre nos llevará más allá del cero en la dirección

opuesta de la habitual. Por tanto, si queremos representar los números condirección en una línea recta, tenemos que dibujar a los números positivosavanzando en una dirección (generalmente hacia la derecha) y a los númerosnegativos avanzando en dirección opuesta

Esta misma recta numérica puede entenderse como un ejemplo más a lahora de ilustrar el concepto de cantidades o números con dirección: sólotenemos que imaginarla como una carretera secundaria con un cartel como

80

números con dirección

este en el punto cero

Hay casos en los que sólo nos interesa el valor “absoluto” de los númerosy no su dirección; como por ejemplo, cunado sólo tenemos curiosidad porconocer la distancia entre dos puntos. La longitud de una serpiente, de porejemplo 3 metros, no necesita de ningún signo, pues nadie en su sano juicioentenderá tal distancia como 3 metros de cabeza a cola y otros 3 metros decola a cabeza, sumando un total 6 metros.

Era previsible que más tarde más temprano los opuestos aparecerían enMatemáticas, pues pensar en opuestos algo típico del ser humano: verdad ymentira, luces y sombras, tesis e antítesis.

Pero las mentes más �nas no sólo perciben los opuestos más evidentes. Latransición entre la luz y la sombra es in�nitamente gradual y desde un puntode partida, podemos tomar más de dos direcciones: desde el Puente de lasCadenas de Budapest salen carreteras secundarias en todas las direcciones dela rosa de los vientos.

Por tanto, no debemos completar a semirrecta que representaba a los nú-meros naturales únicamente con otra semirrecta en dirección opuesta, sinocon toda la multitud de avenidas que pasan por el punto 0:

Esto non es únicamente una idea abstracta: las cantidades con direcciones

81

la función creativa de la forma

arbitrarias, también llamadas “vectores”, juegan un importante papel en laFísica. El movimiento puede producirse en cualquier dirección y una fuer-za también puede actuar en cualquier dirección. Además, las operacionescon estas cantidades dirigidas tienen un sentido y signi�cado perfectamentede�nidos: a veces actúan dos o más fuerzas al mismo tiempo y nos interesaconocer su efecto combinado. Por ejemplo, todo remero sabe que si quierecruzar el río, no llegará al punto de la otra orilla que ve justo en frente, sinoalgo más abajo, pues no sólo actúa su propia fuerza muscular; la corrientetambién hace fuerza.

En agua estancada el bote seguiría la línea de puntos; mientras que un botesin remos sería arrastrado siguiendo la línea más gruesa durante el tiempoque tarda en cruzar el río. En realidad, el bote avanza por la línea que va des-cribiendo bajo a in�uencia de estas dos fuerzas y por tanto, alcanza la otraorilla como si hubiera tomado estos dos caminos por separado, primero unoy después el otro:

o en orden opuesto

Sea cual sea el orden, el bote siempre llegará al mismo lugar. Por tanto, elorden de los sumandos es indiferente en esta suma.

Este tipo de suma también puede considerarse como un conteo sucesivo.Contamos primero las unidades de la “componente” del vector en dirección↑ y contamos luego en dirección← con las unidades del otro vector, obte-niendo así el vector que nos ha llevado hasta allí directamente. Esta es la suma,o, como suele decirse en este caso, la resultante.

Es una suma un tanto extraña. Por ejemplo, la suma de

y es igual a

82

números con dirección

y si la medimos con precisión, veremos que consta exactamente de 5unidades,por lo que obtenemos así el siguiente resultado aparentemente absurdo:

3 + 4 = 5.

Pero aquí no debemos expresarnos nunca de forma tan vaga; debemosindicar que dirección tiene nuestro 3, que dirección tiene nuestro 4 y cual esla dirección del 5 resultante. Así, ya no será tan extraño obtener una sumamenor que 3 + 4 = 7, pues la suma de los efectos de dos fuerzas opuestaspuede llegar incluso a anularse. Se cuenta que ocho caballos tiraban de uncarro muy pesado en la aldea de Rátót y que el carro no se movía hasta quealguien se percató de que cuatro caballos tiraban en un sentido y los otroscuatro en el sentido opuesto.

Dejemos de lado los números dirigidos en cualquier dirección y contenté-monos solamente con dos direcciones opuestas.

Ya tenemos instrucciones sobre cómo sumar números positivos y negativosen la recta numérica. Por ejemplo, si queremos sumar 8 y−5, comenzandodesde 0, contamos primero 8 unidades hacia la derecha:

y después 5 hacia la izquierda

llegando así a 3, por lo que la suma de +8 y−5 es igual a +3. No olvidemos–pensando ya en cosas que aparecerán más adelante– que

8 + (−5) = 3 = 8− 5,

por lo que para sumar un número negativo, basta efectuar una simple resta.La resta también es muy fácil de entender en la recta numérica; consiste en

invertir el procedimiento anterior. Veamos, por ejemplo, como restar−3 a 2.Esto signi�ca que nos encontramos ante una suma de dos términos en la queuno de esos términos es igual a−3 y resultado �nal es igual a 2; desconocemosel otro término. En el caso de la suma empezamos del siguiente modo: nosdesplazamos 3 unidades hacia la izquierda desde cero

83

la función creativa de la forma

y nos preguntamos ahora: ¿qué tenemos que hacer para llegar a +2? Puesdebemos avanzar desde−3 hacia la derecha hasta llegar a +2,

por lo que la diferencia entre 2 y−3 es igual +5. Curiosamente, obtenemoslo mismo que si hubiésemos sumado. Siempre ocurre así; en lugar de restar,siempre podemos restar pero un número de signo opuesto.

Podríamos pensar que como ya sabemos sumar, la multiplicación no de-bería presentarnos ninguna di�cultad, pues tomar−2 tres veces no signi�camás que efectuar la siguiente suma:

(−2) + (−2) + (−2)y si desde−2 contamos otros2hacia la izquierda y después otros2, llegaremos�nalmente a−6, por lo que

(+3)× (−2) = −6Pero, ¿y si suponemos que el multiplicador es un número negativo? Pode-

mos sumar un número dos, tres o cuatro veces, una tras otra, pero no tieneningún sentido sumarlo−2 veces. Ahora que ya tenemos algo de experien-cia, no diremos tan alegremente: si no tiene sentido, no lo hagas; admitamosque no podemos multiplicar por números negativos. Después de todo, hemosintroducido los números negativos para no tener que atacar un mismo proble-ma de dos formas distintas y poder actuar así al unísono y de forma uniformeen todos los casos. Ocurre exactamente lo mismo con la multiplicación; siestamos peleándonos con un problema que puede resolverse multiplicandonúmeros positivos, es un inconveniente decir: si los factores son positivos,multiplicamos; si no es así, hacemos otra cosa. Observemos qué es lo que ha-cemos en ese caso y llamémosle a eso multiplicación por números negativos.Tenemos derecho a ello, pues si algo todavía no tiene un signi�cado, tenemosla libertad de dárselo.

Un ejemplo será más claro que tanta palabrería. Si alguien camina a unritmo constante de 3 kilómetros por hora, ¿qué distancia habrá recorridodespués de 2 horas? La respuesta a esta pregunta se obtiene, claramente, me-diante una multiplicación: si camina 3 kilómetros en una hora, en dos horascaminará 2 × 3 = 6 kilómetros. Por tanto, multiplicando la velocidad delcaminante por la duración de la caminata, obtendré la respuesta.

84

números con dirección

Ahora, planteemos el problema de modo que tanto la longitud de la ca-minata, el tiempo y la velocidad sean cantidades con cierta dirección. Hayun punto en el camino –al que llamaré “aquí”– desde el cual considerarépositivo caminar a su derecha y negativo caminar a su izquierda. Si nuestrocaminante se mueve hacia la derecha a una velocidad de 3 kilómetros porhora, diré que su velocidad es de +3 kilómetros por hora; mientras que si lohace hacia la izquierda, diré que su velocidad es de−3 kilómetros por hora.Finalmente, escojo un instante de tiempo al que llamaré “ahora” y considerocomo positivo a todo momento posterior y como negativo a todo momentoanterior. El punto de partida de la caminata será etiquetado siempre como“ahora el caminante está aquí”:

Limitémonos a los casos críticos:I.- Alguien camina a un ritmo de +3 kilómetros por hora. Ahora está

aquí. ¿Dónde estaba hace dos horas? La respuesta podría entenderse como elresultado de la multiplicación:

(−2)× (+3).

Pensemos un poco: el caminante tiene una velocidad positiva, por lo quecamina hacia la derecha. Ahora está aquí, signi�ca que acaba de llegar hastaaquí (debes señalar el punto singular de la �gura, esto es, el lugar donde hemoscolocado el letrero), por lo que hace dos horas debía estar en algún punto a laizquierda de este punto y a la distancia que se recorre en dos horas, es decir, auna distancia de2×3 = 6 kilómetros. El punto−6 está situado6 kilómetrosa la izquierda del letrero, por tanto

(−2)× (+3) = −6.De acuerdo con esto, cuando multiplicamos un número positivo por un

número negativo, obtenemos un número negativo.II.- Supongamos ahora que el ritmo de nuestro caminante es de−3 kiló-

metros por hora y que ahora está aquí. ¿Dónde estaba hace dos horas? Larespuesta podría entenderse como el resultado de la multiplicación:

(−2)× (−3).

85

la función creativa de la forma

La velocidad negativa signi�ca que el caminante se dirige hacia la izquierda;acaba de llegar aquí ahora (señala de nuevo el punto del letrero en la �gura).Esto sólo es posible si durante las dos horas anteriores ha estado caminando ala derecha del letrero y, nuevamente, habiendo recorrido hasta este momento6 Kilómetros. El punto +6 está situado a 6 millas a la derecha del letrero, porlo que

(−2)× (−3) = +6.De acuerdo con esto, el producto de dos números negativos es un número

positivo.Esto es como una doble negación: “no es cierto que non estuviese aten-

diendo” signi�ca que sí que estaba atendiendo.Teniendo en cuenta la regla de los signos para la multiplicación, podemos

deducir inmediatamente que la regla de los signos para la división es similar.Por ejemplo,

(+6)÷ (−3)signi�ca buscar un número que al ser multiplicado por−3 sea igual a +6:éste es, obviamente,−2. La regla de los signos para las potencias también esmuy fácil:

(−2)4 = (−2)× (−2)︸ ︸× (−2)× (−2)︸ ︸ = (+4)× (+4)

= +16 y

(−2)5 = (−2)× (−2)︸ ︸× (−2)× (−2)︸ ︸×(−2)= (+4)× (+4)× (−2) = (+16)× (−2) = −32

En general, los factores negativos dan lugar a un resultado positivo cuandolos agrupamos en pares, por lo que para saber el signo del resultado �nal, bastacomprobar si queda algún factor solitario. Así pues, cualquier potencia conexponente par de un número negativo es un número positivo, mientras quecualquier potencia impar de un número negativo siempre será otro númeronegativo.

Hemos generalizado la multiplicación para el caso de factores negativosempleando un único ejemplo, por lo que es razonable preguntarnos si acasoun ejemplo distinto no podría conducirnos a otras reglas totalmente distin-tas. La única garantía de la que disponemos consiste en que nuestra nuevaregla de multiplicación es coherente con las reglas de la multiplicación entrenúmeros naturales y, por lo tanto, no entraremos nunca en con�icto con las

86

números con dirección

Matemáticas anteriores. Por ejemplo, aquí también es cierto que los facto-res son intercambiables. En efecto, pues hemos visto (y podríamos haberlodeducido del ejemplo del caminante) que

(−2) + (−2) + (−2) = −6,o equivalentemente,

(+3)× (−2) = −6;mientras que, del ejemplo del caminante, sabemos que

(−2)× 3 = −6.Por tanto,

(+3)× (−2) = (−2)× (+3).Debemos ser cuidadosos con este tipo de cuestiones. Siempre que intro-

ducimos nuevos números o nuevas operaciones, lo hacemos con el objetivode uniformizar procedimientos; por tanto, es fundamental asegurarse de quecumplen las reglas antiguas. Non queremos tener que separar nuestras opera-ciones en diferentes tipos según aparezcan o no los nuevos números o nuevasoperaciones. Este respeto por los conceptos previos a la hora de generalizar yhacer nuevas extensiones se denomina “principio de permanencia”.

La sucesión de los números naturales fue una creación espontánea. Fuela ruptura de dicha estructura, que había funcionado notablemente bienen el pasado, la que nos llevó de forma consciente a la creación de nuevosnúmeros. Es la forma de dicha estructura quien nos ayuda en este proceso decreación. El esbozo o esquema general de los nuevos números viene quedade�nido mediante leyes derivadas de los números antiguos, leyes que jamásrechazaremos y de las cuales no queremos alejarnos demasiado. Todo esto nosproporciona una guía para dicha creación consciente: los nuevos númerosdeben ser moldeados pensando que han de encajar bien con la estructura yade�nida por los números antiguos. Tal y como dice Goethe, dado que laspalabras dan forma al pensamiento:

. . . porque allí donde faltan las ideas,aparece a tiempo una palabra. . .

87

10 . Densidad sin límite

Para el siguiente problema ni tan siquiera necesitamos de una ecuación;cualquier niño se enfrenta a diario con divisiones imposibles de efectuar

entre números naturales. Dos niños tienen que compartir una manzana; yasaben que ninguno se la comerá entera. Cortarán la manzana por la mitad,uno crta y el otro escoge,

12 manzana

y mientras tanto, ignorándolo por completo, habrán extendido el conceptode número.

Hasta este momento, hemos considerado siempre a una unidad como al-go indivisible. Pero ahora acabamos de introducir la mitad de dicha unidadcomo una unidad nueva y más pequeña. Una vez que hemos dado este pa-so tan arriesgado, ya no hay nada que nos impida dividir la unidad en 3, 4,5,. . . o cualquier número de partes y emplear luego estas unidades más peque-ñas para contar. Por ejemplo: dos mitades, tres mitades, cuatro mitades,. . .osimbólicamente

2

2,3

2,4

2, . . .

Esta notación no contradice en absoluto el hecho de haber denotado pre-viamente a la división mediante una raya de fracción porque si tuviésemosque dividir, por ejemplo, 2 en 3 partes iguales –pensemos en tres niños repar-tiendo dos pasteles–, la forma más inteligente de proceder consiste en dividirambos pasteles en tres partes iguales y que cada uno se zampe dos tercios, estoes 2

3 , de pastel.

El número debajo de la raya indica el tamaño de la unidad, es el denomina-dor. El número encima de la raya cuenta cuántas de dichas unidades hemostomado, es el numerador.

88

densidad sin límite

De este modo, aparecen muchos más números en nuestra recta numéricaoriginal. En efecto, pues podemos añadir nuevas rectas numéricas consideran-do unidades cada vez más y más pequeñas. Muestro a continuación algunasde esas rectas numéricas:

Entre todos los números que aparecen en las diferentes rectas numéricas,algunos son iguales. Veamos cuales son aquellos que aparecen exactamenteuno debajo de otro. Aparecen entre éstos, por ejemplo,

1

2=

2

4=

3

6=

6

12o

2

3=

4

6=

8

12y a partir de ellos averiguamos cuáles son las diferencias super�ciales que,en realidad, no alteran en absoluto el valor de una fracción. Por ejemplo, lafracción 4

6 tiene exactamente el mismo valor que la fracción 23 , de aparien-

cia mucho más simple; “simpli�camos” 46 como 2

3 . Podemos efectuar dichasimpli�cación dividiendo numerador y denominador entre 2; en efecto, pues4÷ 2 = 2, 6÷ 2 = 3 y entonces 4

6 = 23 . Proceder de tal modo es lo natural.

Re�exionemos por un instante, los tercios son dos veces más grandes que lossextos, por lo que si cogemos la mitad de piezas que son el doble de grandes,tomamos en realidad exactamente la misma cantidad.

Observamos también que 33 es, en realidad, un número entero: la unidad.

Por otro lado, 4/3 es una unidad más 1/3 de unidad, lo que se escribe deforma abreviada como 1 1

3 . Estas no son fracciones propiamente dichas, puessu valor no es una parte de la unidad; es por ello que estas fracciones recibenel nombre de fracciones impropias.

89

la función creativa de la forma

Es evidente que en una misma recta podemos sumar y restar fácilmente.Por ejemplo, desde 3

4 llegamos hasta 54 contando otros dos cuartos, por lo

que3

4+

2

4=

5

4.

Para multiplicar por un número entero procedemos de modo similar

2× 5

12=

5

12+

5

12

y contando cinco doceavos más desde 512 llegamos a 10

12 .Sumar dos números que han sido contados empleando unidades de dife-

rente tamaño es un poco más complicado. Consideremos, por ejemplo,2

3+

3

4.

Optamos entonces por la siguiente vía: buscamos primero una línea en la quehaya un número igual a 2

3 y otro igual a 34 (basta re�exionar un instante para

convencernos de que siempre existirá dicha recta). En este caso nos vale larecta de los doceavos, pues

8

12=

2

3y

9

12=

3

4y ahora ya podemos efectuar la suma en esa misma recta con facilidad:

8

12+

9

12=

17

12.

90

densidad sin límite

De manera similar, también tenemos que saltar a otra línea si queremosdividir 1. Asegúrate midiendo que la mitad de 1

2 es 14 y que un cuarto de 2

3es igual a 2

12 . No obstante, es lo natural, pues un denominador cuatro vecesmás grande signi�ca que hemos dividido algo en el cuádruple de trozos opiezas, tomando luego el mismo número de piezas nuevas y más pequeñasque tomábamos antes de piezas más grandes. De este modo, lo que obtenemosahora es una cuarta parte de lo que teníamos antes. Por ejemplo, si se trata depasteles:

Vemos entonces que al aplicar cualquiera de las operaciones fundamenta-les a las fracciones, obtenemos nuevamente y como resultado otra fracción,que bien puede ser una fracción propia o una fracción impropia. Por tanto,a la hora de efectuar operaciones con fracciones, tenemos que emplear losdistintos teclados de nuestro órgano.

Nuevamente, aparece una di�cultad si queremos multiplicar por una frac-ción. El enunciado “suma algo repetidamente media vez o cierta proporciónde veces” no tiene sentido. Un pequeño alumno me dijo en cierta ocasión:“si uno por tres es igual tres: , entonces 1

2 por tres debería ser igual a mediotres: ” y es evidente que hay algo de verdad en esto. No obstante, el lenguajecotidiano viene en nuestra ayuda. “La estatura de Peti es 2

3 la de su hermano”signi�ca que la altura de Peti es dos tercios de la altura de su hermano. Tomar23 de algo signi�ca no cogerlo todo, sino sólo dos tercios del total y ése es el ver-dadero signi�cado de la multiplicación en, por ejemplo, la siguiente situación:si 1 kg de uvas cuesta 5 �orines, entonces 4 kg de uvas costarán 4× 5 = 20�orines, por lo que obtuve el precio total multiplicando el precio de 1 kg porel número de kilos que he comprado. Modi�quemos ahora ligeramente elescenario: si 1 kg de uvas cuesta 5 �orines, ¿cuántos �orines costarán tres cuar-

1 Esto me recuerda a las transiciones electrónicas: los saltos que dan los electronesentre distintos niveles de energía al ser sometidos a radiación. Es posible que esta com-paración con la teoría atómica sea valiosa para algún lector.

91

la función creativa de la forma

tos de un kilo de uvas? El resultado que obtengamos debería coincidir con elvalor del producto

3

4× 5.

El precio de tres cuartos de kilo es, evidentemente, 3 veces el precio deun cuarto de kilo. El precio de un cuarto de kilo será una cuarta parte de 5�orines (esto es, 1 �orín y 25 �leres). Tengo que comprar tres veces ésto (porlo que pagaré 3 �orines y 75 �leres), de modo que 3

4 ×5 signi�ca, en realidad,que tomamos tres cuartas partes de 5. Y, por supuesto, puedo obtener el valorcorrespondiente dividiendo entre 4 y multiplicando por 3.

Un argumento similar nos permite concluir que para dividir entre 34 , de-

bemos multiplicar por 4 y dividir entre 3. Por lo tanto, estas operaciones dannuevamente como resultado otra fracción que estará en una u otra línea. Ade-más, se puede probar fácilmente que con esta generalización del concepto demultiplicación, todas las reglas de cálculo anteriores permanecen intactas. Nodebería sorprendernos en absoluto que el resultado del producto sea menorque el número multiplicado, pues multiplicar un número por 2

3 signi�ca to-mar dos terceras partes de él y eso será, evidentemente, menor que el propionúmero.

Es muy fácil multiplicar 20 por 14 ; tan sólo tienes que coger un cuarto

de 20, que es 5. Y es igual de fácil multiplicar por 12 , 1

10 y 15 ; basta tomar,

respectivamente, la mitad, la tercera y la quinta parte de 20. Es por esto quemerece la pena dividir una fracción en “fracciones elementales”.

Por ejemplo,5

12=

4

12+

1

12

92

densidad sin límite

y observado las rectas numéricas vemos que 412 es lo mismo que 1

3 , por lo que5

12=

1

3+

1

12,

y que 112 es un cuarto de 1

3 (compruébalo tú mismo en la �gura). De acuerdocon esto, tenemos que,

84× 5

12= 84×

(1

3+

1

12

)y esta multiplicación puede computarse tomando un tercio de84, que es iguala 28, y sumándole luego un cuarto de esto último, es decir 7, obteniendo así�nalmente 28 + 7, que es igual a 35. En particular, esto es especialmenteútil para los ingleses, quienes todavía conservan reliquias de todo tipo desistemas numéricos en sus múltiples unidades de medida. Por ejemplo en sumoneda, el chelín británico, que se dividía en 12 peniques, motivo por el quelas multiplicaciones por doceavos eran –y todavía son– muy frecuentes enGran Bretaña.

Hemos visto que todas nuestras operaciones elementales también se pue-den realizar entre fracciones. Veamos otro ejemplo: un estudiante está resol-viendo ejercicios de aritmética; soluciona el ejercicio más sencillo en un terciode hora (es decir, en 20 minutos), mientras que para el más difícil necesita enmedia hora. En promedio, ¿cuánto tarda en resolver cada ejercicio?

Para resolver el ejercicio más difícil y el más fácil emplea, en total,1

3+

1

2horas.

Si ambos ejercicios fuesen de la misma di�cultad, el estudiante emplearía lamitad de dicho tiempo en resolver cada uno de los dos ejercicios. Y ése será,muy probablemente, el tiempo que necesitará para resolver un ejercicio dedi�cultad intermedia. Calculemos exactamente cuánto es ese tiempo: en lalínea de los sextos encontramos números iguales a 1

3 y 12 respectivamente. En

efecto, pues2

6=

1

3y

3

6=

1

2,

por lo que la suma de 13 y 1

2 es igual a2

6+

3

6=

5

6.

93

la función creativa de la forma

La mitad de esto (compruébalo tu mismo en la �gura) es el siguiente númerode la línea de los doceavos:

5

12,

por lo que para resolver un ejercicio de di�cultad media, el estudiante emplea-ría 5

12 de hora (25 minutos) y esto es, por supuesto, más tiempo que el quenecesita para solucionar uno de los ejercicios más fáciles y menos tiempo queel que emplearía en resolver el ejercicio más duro.

El promedio de dos números cualesquiera se calcula tomando la mitad desu suma. De esta forma, siempre obtenemos un número cuyo valor se encuen-tra entre los dos valores inicialmente dados. Esto es a lo que los matemáticosllaman la media aritmética de (o promedio entre) dos números.

Este ejemplo, aparentemente inocente y simple, revela perspectivas vertigi-nosas a poco que re�exionemos.

En primer lugar, juntemos todas nuestras líneas numéricas en una únicalínea. No hay ninguna razón que nos impida representar cada fracción en unamisma línea. Inicialmente era más claro emplear una línea distinta para cadafracción de unidad, pues empleando una única línea numérica, las fraccionescuyo valor es el mismo coincidirían en un mismo punto. A continuación,escribiré cada fracción en tal y como apareció por primera vez:

Esto ya se hace muy denso, pero pesemos que tan sólo hemos juntado unaspocas líneas; los quintos, los séptimos, los treceavos, los centavos y muchosotros aún no aparecen en esta línea en absoluto. Tratemos de identi�car nues-tro camino entre tanto número.

En primer lugar, observamos que los números enteros sí están presentes;pues éstos pueden considerarse como aquellas fracciones cuyo denominadores 1. Por ejemplo, si pensamos en el signi�cado de la división, concluimos que31 es, en realidad, igual 3, pues ése es el valor que obtenemos al dividir 3 entre1. Los números enteros y las fracciones forman colectivamente los númerosracionales, denominación que ya presagia la posibilidad de construir númerosque de manera menos racional.

Excluyendo al cero (que puede entenderse como 02 , 0

3 , 04 , etcétera), ¿cuál

será la fracción más pequeña? Es evidente que 112 no es la fracción más pe-

94

densidad sin límite

queña, pues 113 todavía es más pequeña. Si compartimos un pastel con una

persona a mayores, las porciones serán más pequeñas. Ocurre exactamentelo mismo con cualquier fracción que consideremos candidata a ser la máspequeña: 1

101 es menor que 1100 y 1

1001 es menor que 11000 . Por tanto, entre

los números racionales no sólo no existe el más grande, sino que tampocoexiste el más pequeño.

Así pues, no podemos empezar a enumerar los números racionales. Co-mencemos entonces con una fracción pequeña arbitraria, como por ejemplo112 , y conformémonos con enumerar todos los números racionales a partirde ahí. ¿Cuál es la fracción que viene inmediatamente después? El 1

6 , que essiguiente número que aparece en nuestra línea numérica, no puede ser, puesel promedio de 1

12 y 16 es una fracción que está entre ambas fracciones. Pero

para cualquier otro número a la derecha de 112 podría calcular la media arit-

mética entre 112 y ese número, y tendría de nuevo una fracción más próxima

a 112 que el número inicialmente escogido. No existe entonces el sucesor in-

mediato de 112 . Por tanto, concluimos que tampoco es posible enumerar los

números racionales de 112 en adelante. En general, escogidos dos números ra-

cionales cualesquiera, por muy cercanos que estén en nuestra línea numérica,estos números jamás serán vecinos inmediatos, siempre habrá otros númeroracional entre ellos. Es a esto a lo que nos referimos cuando decimos que elconjunto de los números racionales es “denso en todas partes”.

Nos encontramos aquí con una nueva imagen del in�nito: además del cre-cimiento ilimitado de los números naturales y de los números primos, tam-bién tenemos una densidad ilimitada o in�nita. No existe ningún númerotan grande como para que no exista, en la sucesión de los números naturaleso en la de los números primos, un número todavía mayor. Este es el signi�-cado exacto de lo que los matemáticos expresan al decir que estas sucesionestienden a In�nito. Tampoco existe una distancia tan pequeña como para quea menos de esa distancia de 1

12 no haya ningún número racional. Esto seexpresa diciendo que 1

12 es un punto de condensación del conjunto de losnúmeros racionales. Por supuesto, esto no sólo es cierto para 1

12 , sino quetodos los números racionales son puntos de condensación.

Sin embargo, a pesar de todo, sí es posible enumerar los números racionalesen una única sucesión, aunque obviamente no de menor a mayor.

Ya vimos que pueden ordenarse o enumerarse empleando una cantidad

95

la función creativa de la forma

in�nita de sucesiones cuando empleábamos una línea distinta para cada frac-ción de unidad. En aras de la uniformidad, a continuación escribiremos losnúmeros naturales en forma fraccionaria:

1

1,2

1,3

1,4

1,5

1, . . .

1

2,2

2,3

2,4

2,5

2, . . .

1

3,2

3,3

3,4

3,5

3, . . .

1

4,2

4,3

4,4

4,5

4, . . .

1

5,2

5,3

5,4

5,5

5, . . .

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

����

�������

����������

������������

Pero ahora se trata de ordenarlos en una única sucesión. Esto se puede hacerescribiendo los números, uno tras otro, siguiendo las líneas oblicuas que hedibujado en la lista anterior. De esta manera, más tarde o más temprano,llegará el turno de cada fracción:

1

1︸︸, 2

1,1

2︸ ︸, 3

1,2

2,1

3︸ ︸, 4

1,3

2,2

3,1

4︸ ︸, 5

1,4

2,3

3,2

4,1

5︸ ︸, . . .y tendremos así grupos cada vez más largos pero �nitos, por lo que obtenemosuna sucesión bien de�nida que cualquier persona podría seguir escribiendo siha entendido la regla de enumeración. En verdad, ni siquiera necesitaría mirarpara las líneas oblicuas de la �gura anterior. Bastaría con que se percatase deque la suma del numerador y el denominador de la única fracción del primergrupo vale 2, la suma del numerador y el denominador de las dos fraccionesdel segundo grupo 3, 4 para las tres fracciones del tercer grupo, 5 para lascuatro el cuarto grupo y así sucesivamente. Teniendo esto en cuenta,

7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6,

por lo que el siguiente grupo sería6

1,5

2,4

3,3

4,2

5,1

6

96

densidad sin límite

y ahora cualquiera puede continuar con este proceso mecánicamente. Engeneral, se considera que una sucesión in�nita está completamente de�nidasi una vez reconocido su patrón, cualquiera puede escribir los términos de lamisma hasta la posición que desee.

Es evidente que en nuestra sucesión habrá términos con el mismo valor;ya mencionamos esto cunado hablamos de las distintas líneas numéricas. Siqueremos escribir cada número racional una única vez, debemos añadir ala regla de construcción que las fracciones que puedan simpli�carse seránomitidas. Por ejemplo, en la parte de la sucesión que ya hemos escrito, habríadejar fuera a 2

2 , 42 , 3

3 y 24 . Entre estos, 2

2 y 33 tienen el mismo valor que 1

1 , 42

tiene el mismo que 21 y 2

4 coincide con 12 . Así pues, en este caso, la sucesión

de números racionales empezaría de la siguiente manera:1

1,2

1,1

2,3

1,1

3,4

1,3

2,2

3,1

4,5

1,1

5, . . .

y puede continuarse de manera mecánica. En efecto, pues soy capaz de decircuál es el primer, segundo, tercer,. . . término de la sucesión. La sucesión puedeser numerada; esto es, “numerable” o “contable”, vocablos técnicos ambosligeramente engañosos.

Este simple hecho arroja luz sobre un fenómeno sorprendente: a pesar deque los números racionales (es decir, todas las fracciones) son densos en todaspartes, hay –en cierto sentido– tantos números racionales como númerosenteros. ¿Cómo podemos comparar dos in�nidades entre sí? Bien, pues hayun método muy sencillo. Si en una clase de danza quiero saber si hay tantosniños como niñas, no necesito contarlos por separado; basta con pedirle a loschicos que vayan con sus parejas. Si no queda ningún niño queda sin pareja yno hay ´´patitos feos”, entonces ya sé que hay exactamente el mismo númerode niños que de niñas. Este modo de contar o comparar se puede transferiral caso de conjuntos in�nitos; si podemos emparejar los elementos de dosconjuntos in�nitos de modo que ningún elemento de un conjunto quede sinemparejar con algún elemento del otro conjunto, diremos entonces que esosconjuntos son igual de numerosos.

Ahora bien, la sucesión de números racionales que acabamos de escribirse puede emparejar con la sucesión de los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .

Emparejamos el 1 con 11 , el 2 con 2

1 , el 3 con 12 y así sucesivamente; por ejem-

97

la función creativa de la forma

plo, 10 se emparejará con el décimo término de nuestra sucesión, esto es, con51 . Si queremos saber con qué número se emparejará el 100, solo tenemos queescribir –siguiendo el procedimiento anteriormente comentado– los cien pri-meros términos de nuestra sucesión; el último número que escribamos serála pareja de 100. Es evidente que cualquiera pude continuar realizando esteemparejamiento hasta la posición que desee y por tanto, es imposible escogerun número –ya sea de la sucesión de los números racionales o de la sucesiónde los números naturales– que se quede sin pareja. En este sentido, el con-junto de números naturales es tan numeroso como el conjunto de númerosracionales y esto es así aunque podemos imaginarnos a los números naturalescomo uvas pasas esparcidas en el denso pastel que forma el conjunto de losnúmeros racionales, pareciendo así una aparente e insigni�cante minoría.

Esto pone de relieve un fenómeno de gran importancia: debemos trataral In�nito con mucha cautela. Hay quienes entienden como un principiológico de validez universal aquello de que la parte es más pequeña que eltodo. Pues acabamos de ver un contraejemplo: los números naturales consti-tuyen una parte insigni�cante del conjunto de los números racionales y, sinembargo, son tan numerosos como los números racionales. Muchos de losprincipios lógicos genéricos, como el comentado anteriormente, fueron abs-traídos por el ser humano a partir de una gran variedad de experiencias, perotoda esas experiencias conciernen a lo �nito. Emplear principios derivadosde experiencias �nitas para revestir el In�nito ha provocado históricamentegrandes confusiones, pues el In�nito se libera rápidamente de esos ropajestan inapropiados.

Que el ser humano todavía esté muy enojado con la posibilidad de que laparte pueda llegar a ser igual al todo se debe –muy probablemente– a queno es sólo la experiencia quien mantiene los principios lógicos, sino tambiénciertas fuerzas del subconsciente. Los fundamentos del orden moral mundialson puestos en entredicho si la parte puede competir con el todo. Tal vez seapor esto que parte del gozo de la fruta prohibida podría aventurarse fuera delmundo de estrictas leyes hacia la libertad del In�nito.

98

11 . Captamos el infinito de nuevo

Regresemos por un momento desde el In�nito al mundo tangible yobservemos de nuevo que en las manos con las que intentamos entender

este mundo tenemos diez dedos. ¿Podrán incluirse las fracciones en el sistemadecimal?

Recordemos cómo funcionaba este sistema: a la izquierda de las unidadesestaba la posición de las decenas, que son unidades diez veces más grandesy a su izquierda, estaba la posición de las centenas, que son de nuevo diezveces más grandes que las decenas y así sucesivamente. Esta idea sugiere quecontinuemos con esta disposición pero también hacia la derecha: en la pri-mera posición escribiremos las décimas, en la segunda las décimas de décima–esto es, las centésimas–, en la tercera las milésimas y así sucesivamente. Perotenemos que separar estas nuevas unidades de las anteriores de algún modo,porque aunque yo pretenda que en

1 2

el 1 signi�que una unidad y el 2 dos décimas, todo el mundo interpretaríaesto como un doce. Es por ello que empleamos el punto decimal:

1.2

y no se debe olvidar nunca que esto no es más que una simple abreviatura de

1 +2

10.

Del mismo modo,

32.456 = 32 +4

10+

5

100+

6

1000y es así como obtenemos las fracciones decimales.

Las fracciones cuyos denominadores son 10, 100, 1000 o cualquier otraunidad del sistema decimal se pueden escribir en forma decimal. Por ejemplo,

23

100=

20

100+

3

100,

pudiendo además simpli�car la fracción 20100 dividiendo numerador y deno-

minador entre 10, obteniendo así que23

100=

2

10+

3

100

99

la función creativa de la forma

y dado que no hay números enteros, concluimos �nalmente que23

100= 0.23

Pero, ¿se puede escribir toda fracción como número decimal?El método más sencillo para convertir una fracción en número decimal

consiste, simplemente, en efectuar la división indicada por la propia fracción.6

5= 6÷ 5 = 1 con resto 1.

El 1 del resto substituye por décimas, convirtiéndose así en 10 décimas ydividiendo nuevamente entre 5 obtenemos 2 décimas, por lo que debemosapuntar un 2 después del punto decimal:

6÷ 5 = 1.2 de modo que6

5= 1.2.

10

De manera similar,7

25=7÷ 25 = 0.2 con resto 20 décimas,7020

que pueden pensarse como 200 centésimas que al ser divididas entre 25 serán8 centésimas por lo que

7÷ 25 = 0.28 de modo que7

25= 0.28.

Pero muy a menudo nos atascamos en los casos más simples:4

9=4÷ 9 = 0.44 . . .

40404

esta división no termina nunca. Podemos continuar todo el tiempo que que-ramos, pero siempre quedará 4 como resto. Por tanto, 4

9 no puede escribirsecomo un número decimal.

¡Pero qué conveniente es operar con decimales! Sólo por dar un ejemplo:multiplicar un número decimal por 10 no es más que un juego de niños. Porejemplo, para calcular

45.365× 10,

100

captamos el infinito de nuevo

basta recordar que 4 decenas por 10 son 4 centenas, 5 unidades por 10 son5 decenas, 3 décimas por 10 son 3 unidades y así sucesivamente. Vemos in-mediatamente que para efectuar la multiplicación basta, simplemente, conmover el punto decimal una posición hacia la derecha:

453.65

ya que así se han desplazado todos los valores valores posicionales un lugarhacia la izquierda y las decenas, por ejemplo, se han convertido en centenas.Si multiplicamos el resultado de nuevo por 10:

4536.5,

obtenemos cien veces el número original (las 5 unidades, por ejemplo, se hanconvertido ahora en 5 centenas) y teniendo en cuenta esto, es inmediato quepara multiplicar por 100, basta desplazar el punto decimal dos posicioneshacia la derecha. También se puede ver que dividir entre 10 consiste, simple-mente, en desplazar la coma decimal una posición hacia la izquierda. Esto esmuy fácil y sencillo. ¡Pero qué bueno sería poder escribir todas fracción comoun número decimal!

Veamos de nuevo dónde nos quedamos atascados anteriormente:4

9=4÷ 9 = 0.44 . . .

40404

Aquí el resto siempre es 4, que se convierte en 40 al pasar a una unidad diezveces más pequeña y 40 entre 9 coge nuevamente a 4. Aunque esta divisiónnunca termina, sí tenemos la respuesta a mano: el 4 se repite inde�nidamente.

Una persona práctica dirá ante esto: aunque la división terminase en ladécima posición, tampoco emplearía todas esas cifras. En realidad, tan sólome interesan los decilitros (y un decilitro equivale a una décima parte de unlitro), o los centímetros (y un centímetro es una centésima de metro), o quizáslos gramos (y un gramo es una milésima de kilo). Carece de interés y sentidoconsiderar la insigni�cante cantidad que queda a partir de las milésimas. Todolo que necesito de ese número decimal in�nito es:

0.4

o 0.44

o bien 0.444

101

la función creativa de la forma

y con eso me basta y me sobra para realizar cualquier cálculo con 49 como si

fuese un verdadero número decimal �nito.Puede que los físicos necesitan muchas más cifras, porque sus medicio-

nes deben ser muy precisas; pero también existe el conocido como margen deerror. Un físico que se dispone a repetir cierto experimento estima con antela-ción la magnitud de las variaciones debidas a las inexactitudes e imprecisionesde nuestros propios sentidos y de los instrumentos de medición, por lo que yasabe que en sus cálculos no merece la pena incluir las cifras decimales más alláde ese punto. Se puede suponer que los instrumentos serán perfeccionados,reduciendo así su margen de error, pero siempre persistirá cierto error. Asípues, siempre será posible detenernos en alguna posición de la

0.4444444444 . . .

sucesión de cifras decimales, aunque sea posiblemente en un término muydistante o avanzado. Nada importa que no conozcamos de antemano hastadónde hemos de llegar, pues una vez conocida la expansión decimal de 4

9 másallá de cualquier límite, siempre podremos llegar sin ningún problema hastala posición requerida. En este caso, por muy lejos que vayamos, aparecerásiempre el dichoso 4.

Entonces, ¿es posible convertir toda fracción en un número decimal al me-nos en este sentido? O planteando la pregunta de otro modo, aun admitiendoque la división nunca termine, ¿se suceden las cifras del resultado según al-guna regla �ja que nos permite hacernos una idea general de la expansióndecimal al completo?

Es fácil ver que la respuesta es a�rmativa. Toda expansión de este tipo sehace “intermitente”; esto es, más tarde o más temprano, aparecerá un grupode números que se repetirá constantemente. Examinemos, por ejemplo, lafracción 21

22 .Si dividimos entre 22 el resto siempre es menor que 22, por lo que si la

división nunca termina, cada resto será uno de los siguientes números:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21

Supongamos que tenemos una cómoda con 21 cajones numerados del 1 al21. Si mientras realizamos la división sale, por ejemplo, un 7 como resto, po-nemos una bola en el cajón numerado con el 7. Si continuamos dividendopacientemente, al completar 22 divisiones, habremos metido 22 bolas en 21

102

captamos el infinito de nuevo

cajones, por lo que habrá al menos un cajón con dos bolas. Es decir, despuésde –como mucho– 21 pasos, se repite uno de los restos. Si tenemos suerte,dicha repetición aparecerá mucho antes de ese valor límite, pero una vez quese ha repetido uno de los restos, todas las cuentas se repetirán a partir de ahí.Veamos esto en nuestro ejemplo:

21

22=21÷ 22 = 0.954

21012010012

Para! 12 ya salió antes como resto. Es aquí donde empieza la recurrencia:21

22=21÷ 22 = 0.954

210120100120100120100

de modo que, con la excepción de un 9 “irregular” inicial, el par de cifras 54se repite inde�nidamente.

Recíprocamente, si nos dan un número decimal periódico, es posible ave-riguar de qué fracción proviene. Comencemos con 0.9545454... y suponga-mos que desconocemos la fracción de la que proviene este número decimal.Dado que no la conocemos, le llamaremos x:

x = 0.954545454 . . .

Si multiplicamos por 1 000, es decir, si movemos el punto decimal tres po-siciones hacia la derecha, la parte entera del resultado estará formada por eltrozo de la expansión decimal del número original que va desde el principiohasta el �nal del primer período,

1 000x = 954.54545454 . . .

Y si multiplicamos por 10, la parte entera estará formada por la parte irregularque aparecía en la expansión del número original antes de que comenzase a

103

la función creativa de la forma

repetirse el periodo:10x = 9.54545454 . . .

Si restamos este último valor del primero, nos queda por un lodo que hayque restarle 10x a 1 000x, obteniendo así 990x, y por otro lado, dado quela parte a la derecha del punto decimal consiste para ambos números en larepetición inde�nida del par de cifras 54, la parte decimal de estos números esidéntica. Así pues, al efectuar la resta correspondiente, se cancelarán y puestoque la diferencia entre 954 y 9 es 945, concluimos �nalmente que

990x = 945.

Pasando ahora el 990 dividiendo a la derecha, tenemos que

x =945

990,

fracción que puede simpli�carse dividiendo numerador y denominador entre45:

945÷ 45 = 21 y 990÷ 45 = 22,45 90

por lo que

x =21

22lo cual coincide, evidentemente, con lo que ya sabíamos desde el principio.

Mientras tanto, sin embargo, hemos dado un paso descuidado: no presta-mos la atención debida al In�nito. Nos imaginamos a 0.9545454 . . . no sólohasta cierto grado de precisión, sino que escribimos su expansión decimal in-�nita, pero luego lo multiplicamos como si fuese un número �nito más. ¿Escorrecto suponer desde el principio que 0.9545454 . . . tiene algún tipo designi�cado �nito?

Consideremos esta cuestión con un ejemplo más simple, pues es igual deproblemático saber si

1.111111 . . . ,donde los unos se repiten inde�nidamente, tiene algún signi�cado �nito. Escurioso que, en general, la mayoría de la gente no se asusta con un númerodecimal in�nito como el anterior, pero sí se horroriza ante una suma in�nitacomo esta:

1 +1

10+

1

100+

1

1000+

1

10000+ · · · ad infinitum

104

captamos el infinito de nuevo

aunque sólo sea una forma distinta de escribir exactamente lo mismo. En reali-dad, no me sorprende en absoluto que miren horrorizados a esta suma, perosí me sorprende –y mucho– que acepten con total naturalidad lo primero.La sucesión

1,1

10,

1

100,

1

1000,

1

10000, . . .

puede considerarse perfectamente de�nida, pues cualquiera podría continuarescribiendo términos hasta donde desee. Sin embargo, asumir que podemossumar todos los términos de esta sucesión in�nita –por muy conocida queésta sea– es, en verdad, una idea audaz. ¿Qué podemos entender por tal suma?

Un conocido matemático húngaro empleó el siguiente ejemplo para com-prender el concepto de suma in�nita cuando todavía era un joven estudiante:

Había un tipo de chocolate que los fabricantes pretendían popularizar;para ello, colocaban un cupón en el envoltorio de papel plateado y prome-tían un tableta de chocolate gratis a quien entregase 10 de esos cupones.Si tenemos una de esas tabletas de chocolate, ¿cuánto vale realmente?

Es evidente que vale más que una tableta de chocolate, pues contiene uncupón con el que puedes conseguir 1

10 de tableta de chocolate (ya que puedesobtener una tableta entera con 10 cupones). Pero con este 1

10 de tableta tieneasociado a su vez la décima parte de un cupón, y si con un cupón obtenemos110 de tableta de chocolate, con 1

10 de un cupón obtenemos un décimo deeso, esto es, 1

100 de tableta de chocolate. A este 1100 de tableta de chocolate va

asociado nuevamente 1100 del cupón con el que obtenemos una décima parte

de tableta de chocolate, y una décima parte de 1100 es un 1

1000 de tableta dechocolate y así inde�nidamente. Este proceso nunca se detendrá, por lo quemi única tableta de chocolate junto con su cupón vale, en realidad, por

1 +1

10+

1

100+

1

1000+

1

10000+ · · · tabletas de chocolate.

Por otro lado, podemos demostrar que el valor de una tableta de chocolatejunto con su cupón es igual al de 1 1

9 de tableta de chocolate.El 1 anterior es, por supuesto, el valor de la tableta de chocolate real, por lo

que basta probar que el cupón que le acompaña vale 19 de tableta de chocola-

te. Para ello, probaremos que 9 cupones valen lo mismo que una tableta dechocolate y entonces será evidente que un cupón vale 1

9 de tableta. Suponga-mos que tengo 9 cupones, voy a la tienda y digo: “por favor, ¿puede darme

105

la función creativa de la forma

una tableta de chocolate? Quisiera comerla aquí y ahora. Lo pagaré después,al terminar”. Como el chocolate, saco el cupón que lo acompaña y ya tengo10 cupones con los que puedo pagar. Me he comido el chocolate y no mequeda ningún cupón. Por tanto, el valor exacto de 9 cupones es igual al deuna tableta de chocolate y así, el valor de un cupón es igual al de una novenaparte de tableta de chocolate. Es decir, una tableta de chocolate junto consu correspondiente cupón vale 1 1

9 tabletas de chocolate y entonces el valorpreciso de la suma in�nita

1 +1

10+

1

100+

1

1000+

1

10000+ · · ·

es igual a 1 19 , perfectamente palpable e incluso comestible.

Así es como puedo formular este resultado: si algo es aproximadamenteigual a 1 en una primera aproximación grosera, a 1 + 1

10 en una segundaaproximación ligeramente mejor, a 1 + 1

10 + 1100 en una tercera aproxima-

ción todavía mejor pero aún inexacta y así inde�nidamente, entonces ese algoes exactamente igual a 1 1

9 ; insisto, no aproximadamente, sino con precisióntotal.1

Así es como puedo estar a la altura de las promesas de capítulos anteriores:de modo similar a lo que acabamos de mostrar, también podemos dotar detotal precisión aquello que decíamos sobre aproximar el área del círculo me-diante �guras poligonales y el teorema sobre la distribución de los númerosprimos. Por supuesto, es necesario que confíes en en mi palabra de honor,pues no puedo entrar todos los detalles o entretenerme con extensas pruebas.

En Álgebra, por ejemplo, determinamos un número del siguiente modo:sea x el número tal que si lo divides entre 2, lo multiplicas por 3 y le sumas 5,obtienes 11; es decir, sea x denota al número que satisface la ecuación

x

2× 3 + 5 = 11.

Pero acabamos de ver otro método para de�nir un número. La rama de lasmatemáticas que da un número empleando aproximaciones sucesivas, peroaun así con precisión total, es el Análisis.

Empecemos ahora con el número 1 19 . La unidad puede dividirse en 9 no-

venos, de modo que

1 Aclararé en el próximo capítulo qué entendemos por un “valor aproximado”.

106

captamos el infinito de nuevo

11

9=

9

9+

1

9=

10

9=10÷ 9 = 1.1111111 . . . ,

101010101

donde el signi�cado de la igualdad entre 1 19 y esa expansión in�nitamente

larga acaba de obtener el signi�cado exacto.En Matemáticas, tal igualdad es expresada diciendo que la sucesión de “su-

mas parciales”

1, 1.1 = 1 +1

10, 1.11 = 1 +

1

10+

1

100, . . .

“tiende hacia el límite” 1 19 o diciendo también que la serie

1 +1

10+

1

100+ · · ·

es convergente y su suma es 1 19 .

Hemos introducido aquí un nuevo concepto de suma. Debe examinar-se si cumple con las antiguas reglas de cálculo. No me detendré a examinareste asunto en detalle; me limitaré a responder a la cuestión: ni tan siquieradebemos planteárnoslo. El In�nito se escapa también aquí a nuestras viejasreglas. Es más, se ha desarrollado toda un teoría para estudiar cuáles son lassucesiones cuyos términos se pueden colocar o agrupar de cualquier formasin que esto les afecte en absoluto. La suma in�nita de la que hemos habladoantes es de ese tipo:

1 +1

10+

1

100+ · · ·

Pero intentemos sumar, por ejemplo,1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·

Si cambiamos el orden en el que efectuamos las operaciones y agrupamos lostérminos en pares

1− 1︸ ︸+1− 1︸ ︸+1− 1︸ ︸+ · · ·0 0 0

obtendremos una suma formada únicamente de ceros y, por muchos cerosque sumemos, el resultado �nal siempre será cero. Así pues, el resultado de

107

la función creativa de la forma

la suma in�nita sería cero. Non obstante, si agrupamos los términos de estamanera

1−1 + 1︸ ︸−1 + 1︸ ︸−1 + 1︸ ︸− · · ·0 0 0

obtenemos entonces la serie1 + 0 + 0 + 0 + · · ·

cuya suma es, evidentemente, igual 1. Por tanto, en general, no debemos es-perar que sea lícito realizar las sumas en cualquier orden.

Sin embargo, otras propiedades sí sobreviven. Por ejemplo, para multiplicaruna serie in�nita por un número, basta multiplicar término a término.

Sigamos jugando con el resultado anterior. Si a

1.111111 . . . = 11

9le restamos 1, obtenemos

0.111111 . . . =1

9y multiplicando por 9, obtenemos que

0.999999 . . . =9

9= 1.

Dividiendo entre 10 (es decir, desplazando el punto decimal una posiciónhacia la izquierda e imaginando tal punto decimal a la derecha del 1 seguidade ceros) obtenemos que

0.099999 . . . = 0.1

y dividiendo de nuevo entre 10,0.0099999 . . . = 0.01

y así sucesivamente. Concluimos pues que los números decimales �nitos 1,0.1, 0.01, . . . también se pueden escribir de forma in�nita –basta escribirdespués de los correspondientes ceros una in�nidad de nueves– deducimos deesto que todo número decimal se puede escribir de dos formas distintas. Sea,por ejemplo, 0.2 el número decimal en cuestión. Podemos escribirlo como

0.2000000 . . .

pues sumar0 centésimas,0milésimas,0diezmilésimas, etcétera no altera nadaen absoluto, pero también como

0.199999 . . .

108

captamos el infinito de nuevo

ya que la décima –esto es, 0.1– que restamos a 0.2 es exactamente lo mismoque 0.099999 . . . , valor que sumamos luego para compensar dicha resta (sepuede demostrar que esta es la única ambigüedad posible a la hora de escribirla expansión en cifras decimales de una fracción).

Cada sumando de la serie

1 +1

10+

1

100+

1

1000+ . . .

es una décima parte del anterior; esto es, se obtiene del anterior multiplicán-dolo por 1

10 . Deberías recordar ahora las progresiones aritméticas: son lassucesiones de números en las que la diferencia entre dos términos consecu-tivos es constante. Las sucesiones en las que el cociente entre dos términosconsecutivos permanece constante se llaman progresiones geométricas.

No debemos engreírnos y creer que podremos sumar cualquier serie in�-nita. Consideremos ahora, por ejemplo, la siguiente progresión geométrica

1 + 10 + 100 + 100 + · · ·en la que el cociente entre dos términos consecutivos siempre vale 10. Esevidente que las sumas parciales se hacen tan grandes como deseemos (porejemplo, desde la cuarta suma parcial en adelante, cada una de ellas será mayorque 1 000), luego esta serie tiende claramente a in�nito. Es más, la serie geo-métrica en la que cada término va seguido de ese mismo término multiplicadopor 1, también tiende a in�nito, pues en la serie

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·cada suma parcial es mayor que 1 000 de la milésima en adelante, mayor que1 000 000 de la millonésima en adelante y así sucesivamente.

Si a cada término le sigue ese mismo término por multiplicado por −1,dado que 1× (−1) = −1, (−1)× (−1) = +1, (+1)× (−1) = −1 y asísucesivamente, la serie correspondiente viene dada por

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·y ya sabemos cuán espantosas es esta serie. Sus sumas parciales son:

1,

1− 1 = 0,

1− 1 + 1 = 0 + 1,

1− 1 + 1− 1 = 0 + 0 = 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

109

la función creativa de la forma

Vemos entonces que el valor de las sumas parciales va alternando entre 0 y 1.

Saltan constantemente entre 0 y 1 (o empleando una palabra más precisa,“oscilan”), por lo que no se acercan a ningún número. Si el cociente entre dostérminos consecutivos es un número negativo cuyo valor absoluto es mayorque 1, los saltos serán cada vez mayores. En tal caso, el esquema correspon-diente sería algo como esto:

De entre todas las series que hemos mencionado, sólo podemos sumar una:

1 +1

10+

1

100+

1

1 000+ · · ·

Ciertamente, este hecho está directamente relacionado con que los sumandosson cada vez más pequeños y de hacen además, siempre y cuando avancemoslo su�ciente, tan pequeños como deseemos. Con la precisión del ejemplode la tableta de chocolate, los sumandos tienden a cero. (Se puede probarque si algo es aproximadamente igual a 1

10 en una primera aproximacióngrosera, a 1

100 en una segunda aproximación más precisa, a 11000 en una tercera

aproximación todavía más precisa y así sucesivamente, entonces tal cosa sólopuede ser exactamente igual a cero. No siempre formularé esto de maneratan extensa, sino que sólo me referiré a la precisión del “ejemplo de la tabletade chocolate”.) Por tanto, parece coherente decir que si tenemos que sumaruna cantidad in�nita de términos que se hacen cada vez más pequeños einsigni�cantes, los últimos sumandos in�uirán cada vez menos en el resultado�nal, por lo que las sumas parciales serán cada vez más representativas del valordel monto total.

Pero esto aún está muy lejos de ser su�ciente para poder sumar los in�nitostérminos de una sucesión.

110

captamos el infinito de nuevo

Por ejemplo, la sucesión

1,1

2,1

3,1

4,1

5, . . .

también converge (o tiende) a 0, aunque lo hace más lentamente que la ante-rior. En la primera sucesión, cada término a partir del cuarto es menor que

11 000 , pero en esta sucesión tal cota sólo es cierta desde milésimo término enadelante. Las sumas parciales de la sucesión tienden a in�nito.

1 +1

2+

1

3+

1

4︸ ︸+ 1

5+

1

6+

1

7+

1

8︸ ︸++

1

9+

1

10+

1

11+

1

12+

1

13+

1

14+

1

15+

1

16︸ ︸+ · · ·Para convencernos de esto último, procedemos del siguiente modo: ya sa-

bemos que el valor de una fracción disminuye cuando se aumenta el deno-minador (si cortamos un bizcocho en más rebanadas, las rebanadas seránmás pequeñas). En consecuencia, las sumas parciales se harán más pequeñassi sustituimos 1

3 por 14 , 1

5 , 16 , 1

7 por 18 , 1

9 , 110 , 1

11 , 112 , 1

13 , 114 , 1

15 por 116 y

así sucesivamente. En general, siempre que lleguemos a un término en cuyodenominador aparezca una potencia de 2 (4 = 22, 8 = 23, 16 = 24) susti-tuiremos los términos anteriores por ese mismo término. Procediendo de talmodo, las sumas parciales de esa nueva sucesión será menores que las sumasparciales originales:

1 +1

2+

1

4+

1

4︸ ︸+ 1

8+

1

8+

1

8+

1

8︸ ︸++

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16︸ ︸+ · · ·He aquí el valor de la suma de cada grupo:

1

4+

1

4=

2

4simpli�cando =

1

21

8+

1

8+

1

8+

1

8=

4

8=

1

21

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16+

1

16=

8

16=

1

2

111

la función creativa de la forma

Constatamos así que cada grupo suma 12 y dado que 2 000 × 1

2 es igual a1 000, 2 000 000 × 1

2 es igual a 1.000.000, etcétera, las sumas parciales deesta serie serán mayores que cualquier número dado si son su�cientementelargas. ¡Imagínate entonces lo qué ocurre con la serie original!

Por tanto, para que una serie in�nita sea sumable, no basta simplementecon que los términos tiendan a 0; deben acercarse a 0 con cierto ritmo yvelocidad.

112

12 . La línea está llena

Las expansiones decimales de las fracciones resultan sorprendentementeregulares: o bien son un número decimal �nito, o bien un número deci-

mal periódico. Mientras tanto, nos acostumbramos a la idea de tratar a unaexpansión in�nita como un número perfectamente de�nido. Por ejemplo,comenzando con 1.111111 . . . acabamos concluyendo que esto era exacta-mente igual a 1 1

9 . Es casi imposible evitar la siguiente cuestión: podemosimaginarnos una expansión decimal in�nita no periódica, ¿coincidirá conalgún número?

De hecho, podemos construir una expansión decimal cuyas cifras sean tanregulares como para que cualquiera pueda seguir escribiéndolas hasta dondedesee, pero sin que aparezca ningún grupo de cifras recurrente. Un ejemplode esto es

0, 101001000100001000001 . . .La regla es muy simple: después de cada 1 aparece cada vez un 0 más. Portanto, no se trata de una expansión decimal periódica o intermitente, ya que,en ese caso, tarde o temprano, los unos que aparecen entre los ceros deberíanaparecer a intervalos regulares. Así pues, esto no es la expansión de ningunafracción: sus sumas parciales no convergen a ningún número racional.

Mostraré, sin embargo, que esas sumas parciales convergen a una especiede brecha o hueco en el conjunto de los números racionales. Esto pondrá derelieve que, a pesar de la densidad in�nita de los números racionales, existenciertas lagunas entre ellos.

Si nos detenemos en las décimas, estaremos despreciando muchas cifras,por lo que las siguientes expansiones truncadas serán mayores que

0.1

Sin embargo, cualquiera de esas expansiones decimales será menor que0.2,

pues tal y como ya comentamos en el capítulo anterior, sólo cuando el 1 delas décimas va seguido de in�nitos nueves

0, 199999999 . . .

es igual a 0.2. En consecuencia, toda expansión decimal truncada posteriortomarán valores entre 0.1 y 0.2; es decir, su imagen cae en el segmento de la

113

la función creativa de la forma

línea numérica que aparece dibujado con trazo más grueso:

Como primera aproximación puede considerarse cualquier punto de esteintervalo.

Del mismo modo, si nos detenemos en las milésimas, las expansiones deci-males truncadas futuras quedarán atrapadas entre

0.101 y 0.102.

Esto sólo se puede mostrar en la �gura anterior de forma aproximada, puesdichos puntos están demasiado cerca (se diferencian en una milésima). Lospuntos de este nuevo intervalo nos proporcionan una aproximación muchomejor que la anterior; conviene observar que este nuevo intervalo está comple-tamente contenido en el primer intervalo. Continuando con este argumento,las expansiones decimales truncadas se van encajonando en intervalos cadavez más estrechos:

entre 0.101001 y 0.101002

entre 0.1010010001 y 0.1010010002

entre · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Si estos intervalos no se redujesen tan rápidamente, el esquema correspon-diente sería algo como esto:

Las longitudes de estos intervalos son, respectivamente,0.1

0.001

0.000001

0.0000000001

Es decir: una décima, una milésima, una millonésima y así sucesivamente.Estas longitudes convergen, por supuesto, a cero (y lo hacen con una velocidadtan terrorí�ca que es imposible dibujarlas o incluso nombrarlas con palabras).

114

la línea está llena

Así pues, las expansiones decimales truncadas se van encajando conformeaumenta su longitud en intervalos que se estrechan inde�nidamente.

Este “encajamiento” es como el de los cubos de juguete que apilan los ni-ños pequeño. O como el divertido paquete debajo de cuya envoltura exterioraparece una nueva envoltura que rompemos con más entusiasmo que la pri-mera para encontrarnos con más papel de regalo. El paquete inicial se hace asícada vez más pequeño, pero siempre llegamos al �nal y acabamos encontrán-donos con algo en el interior de todas las capas de envoltorio, aunque quizássólo sea una minúscula bolita de papel. No obstante, no puedes divertirteinde�nidamente con un paquete como este; más tarde o más temprano, eljuego siempre termina. Para nosotros, el juego continua inde�nidamente.

El segundo intervalo está completamente contenido en el primero, el ter-cero en el primero y en el segundo, el cuarto en los tres anteriores y así suce-sivamente. Nuestra intuición nos dice que aun reduciendo estos intervalosencajados inde�nidamente, el minúsculo punto en el que acabarán por con-vertirse debe ser parte común a todos ellos. Y puedo probar que no puedehaber más de un punto en la parte común a todos ellos. Supongamos que heencontrado un punto común y que alguien a�rma haber encontrado un pun-to diferente del mío pero que también cae en todos los intervalos encajados.Por supuesto, su punto no debería estar muy lejos del mío; en la siguiente�gura dibujará ambos puntos a una distancia bastante grande en aras de laclaridad, pero el argumento aplica igualmente para cualquier distancia pormuy pequeña que ésta sea.

Nada importa cuan cerca estén dichos puntos, si son diferentes, hay ciertadistancia entre ambos; supongamos que 2 milésimas. Tomemos la mitad deesta distancia, es decir, 1 milésima. La longitud de los intervalos encajadostiende a cero; por tanto, más tarde o más temprano, todo intervalo tendrá unalongitud menores que 1 milésima y mi punto caerá en uno de esos interva-los y aun coincidiendo con el extremo izquierdo de un intervalo de longitudinferior a 1 milésima, el extremo derecho de dicho intervalo jamás podrá ex-tenderse hasta un punto situado a 2 milésimas de distancia:

115

la función creativa de la forma

Por tanto, el punto que nos habían dado como contraejemplo queda fuerade este intervalo y, en general, de cualquier intervalo encajado en éste. Ya nohay ninguna dudad: es imposible que ese punto esté en todos los intervalos.

Todos nuestros intervalos tienen, por tanto, un único punto en comúny así, dado que sea cual sea el intervalo que escojamos, las expansiones deci-males truncadas de 0, 1010010001 . . . estarán todas en dicho intervalo sison lo su�cientemente largas, los puntos correspondientes a dichas expansio-nes decimales �nitas se acercan cada vez más al punto en cuestión; es decir,convergen a tal punto.

Descubrimos así un punto de nuestra línea de números al que, hasta aho-ra, no le correspondía ningún número. No importa cuán densamente cu-bran la línea las fracciones, ninguna de ellas coincide con ese punto. Las ex-pansiones decimales de las fracciones son �nitas o periódicas y en nuestro0.101001000100001 . . . no hay ningún tipo de repetición periódica o in-termitencia. Y, sin embargo, se trata de un punto perfectamente de�nido quese encuentra a cierta distancia de 0; pero si intentamos de medir esa distancia,fracasaremos si intentamos hacerlo empleando unidades enteras o fraccionesde ellas. Así pues, hasta el momento, esta distancia ni siquiera tiene una me-dida. Para compensar esta de�ciencia, diremos que la medida de tal distanciaes el número “irracional”

0.101001000100001000001 . . .

e introducimos un nuevo número, anónimo hasta el momento, pero perfec-tamente de�nido y de quien los valores racionales

0.1, 0.101, 0.101001, . . .

son cada vez mejores aproximaciones. Esto no es más útil, tanto para laspersonas ordinarias como para los físicos, que el desarrollo decimal 4

9 =0.444444 . . . . Podemos alcanzar cualquier grado de precisión mediante apro-ximaciones racionales, pues conocemos patrón que siguen las cifras de suexpansión decimal.

También se puede demostrar que cualquier desarrollo decimal in�nito yno periódico, dado mediante cierta regla, sea cual sea, se corresponde con cier-to punto de la línea numérica situado a una distancia perfectamente de�nidade 0. Consideraremos todos los desarrollos decimales in�nitos de este tipo co-mo medidas de las distancias correspondientes y nos referiremos a ello comonúmeros irracionales.

116

la línea está llena

De la misma manera podemos mostrar que un punto de�nido correspondea cualquier decimal in�nito que no es periódico, pero está dado por algunaregla, es decir, tal punto está en la recta numérica a una distancia bien de�nidade 0. Consideraremos todos los desarrollos decimales in�nitos de este tipocomo medidas de las distancias correspondientes y los llamaremos númerosirracionales.

Estos argumentos podrían parecerte muy abstractos, pero tuve una alum-na, Éva, que se percató por sí misma de la existencia de distancias cuya lon-gitud no puede expresarse empleando unidades enteras o fracciones de éstas.Tuvo que pensar en este divertido rompecabezas: en cada esquina de un es-tanque de peces cuadrado hay un árbol:

Quieren aumentar el tamaño del estanque al doble con la condición de queel nuevo estanque también sea un cuadrado y evitando talar los árboles. Évadescubrió que la solución consiste en hacer lo siguiente:

El cuadrado grande es el doble de grande que el cuadrado pequeño, porquesi dibujamos las diagonales del cuadrado pequeño

117

la función creativa de la forma

y doblamos los cuatro triángulos así obtenidos hacia afuera,

obtenemos entonces el cuadrado más grande y es evidente que el área añadidaal cuadrado pequeño es exactamente la misma que su área original.

Pero Éva no estaba satisfecha con eso. Ahora también tenía curiosidad porsaber cuál sería la longitud de los lados del nuevo estanque si la longitud delos lados del estanque antiguo fuese, por ejemplo, de 1 kilómetro. En tal caso,el área del estanque antiguo sería igual a 1 × 1 = 1 kilómetro cuadrado; elárea del nuevo estanque es el doble, es decir, 2 kilómetros cuadrados, por loque la cuestión se reduce a buscar un número que elevado al cuadrado seaigual 2.

Es así como llegamos a la inversión de la exponenciación, esto es, la extrac-ción de raíces. El problema consiste en calcular

√2, que es el número –si es

que existe– cuyo cuadrado es igual 2.Así que Éva empezó a probar: si el lado del cuadrado pequeño medía 1 kiló-

metro, el lado del cuadrado grande mediría más que eso. Pero no podría medirmás de 2 kilómetros, porque entonces tendría un área mayor que 2× 2 = 4kilómetros cuadrados. Por tanto, tal lado debe medir entre 1 y 2 kilómetros.

A continuación, Éva intento añadir algunas décimas a 1. Mientras lo in-tentaba, se percató de que

1.42 = 1.4× 1.4 = 1.96 y 1.52 = 1.5× 1.5 = 2.25

1.96 es menor, pero 2.25 es mayor que el área del estanque nuevo, que esigual a 2 kilómetros cuadrados. Por tanto, el lado del estanque grande debemedir entre

1.4 y 1.5Luego dividió ese intervalo en centésimas y, como antes, se percató ahora deque la longitud del lado debe estar entre

1.41 y 1.42

kilómetros. Continuando con este proceso durante algún tiempo, Éva se fueconvenciendo de que nunca encontraría un número cuyo cuadrado sea exac-

118

la línea está llena

tamente igual 2. “¡Pero tiene que existir tal número! Aquí está bien claro, esla longitud del lado de este cuadrado. ¡Lo he dibujado yo misma!” decía Éva.

La intuición de Éva era correcta: no existe ningún número racional cuyocuadrado sea igual a 2. Éva ya había demostrado la ausencia de tal númeroentre los enteros, pues probó que el número buscado está entre 1 y 2, y no haymás números enteros entre 1 y 2. Sin embargo, todavía faltan por examinarlas fracciones que toman valores entre 1 y 2.

Simpli�quemos primero estas fracciones hasta que ya no puedan simpli�-carse más. En tal caso, su denominador nunca será un 1, ya que, por ejemplo,31 es el número entero 3 y no hay ningún número entero entre 1 y 2. Y tam-bién es cierto que su cuadrado no será simpli�cable porque, por ejemplo,(

15

14

)2

=15× 15

14× 14

y 1514 no se puede simpli�car ya que

15 = 3× 5 y 14 = 2× 7,

y entonces 15 y 14 no tienen factores primos comunes y tampoco adquierenfactores primos comunes al multiplicarse por sí mismos:(

3× 5

3× 5

)2

=3× 5× 3× 5

2× 7× 2× 7,

luego no es posible ningún tipo de simpli�cación. Pero una fracción no sim-pli�cable cuyo denominador sea distinto de 1 jamás será igual a 2.

Sin embargo, las pruebas de Éva indican el comienzo de los encajonamien-tos sucesivos y, simultáneamente, nos proporcionan las primeras cifras de laexpansión decimal de

√2. El desarrollo decimal de cualquier número entre 1

y 2 empieza así:1. . . .

Cualquier número con esta apariencia puede ser considerado como una pri-mera aproximación de

√2.

Si a mayores sabemos que ese número se encuentra entre 1.4 y 1.5, suexpansión decimal continuará de la siguiente manera:

1.4 . . .

y cualquier número con esta apariencia ya nos proporciona una mejor aproxi-mación. Dado que el número que buscamos se encuentra entre 1.41 y 1.42,

119

la función creativa de la forma

su expansión decimal continuará así:1.41 . . .

Ahora, dividiríamos el intervalo de extremos 1.41 y 1.42 en milésimas y mi-raríamos cuál es el número de entre

1.410, 1.411, 1.412, 1.413, 1.414, 1.415, 1.416,

1.417, 1.418, 1.419

cuyo cuadrado es menor que 2 pero tal que el cuadrado del número siguien-te ya es mayor que 2. Estos dos números nos darán un nuevo intervalo, delongitud una milésima, en el que colocar a

√2, y al mismo tiempo, habremos

encontrado la cifra que ocupa la posición de las milésimas en el desarrollodecimal de

√2.

También existe un método mecánico para determinar las cifras del desa-rrollo decimal de

√2, pero la idea clave se hace evidente mediante el encajo-

namiento en intervalos cada vez más pequeñas que acabamos de explicar.Este método se puede continuar inde�nidamente y nos proporciona, en ca-

da nueva iteración, una mejor aproximación. Sabemos que no terminaremosnunca y que no aparecerá ningún tipo de periodicidad o recurrencia, pues

√2

no es un número racional. Sin embargo, al mismo tiempo, es completamentepreciso y palpable cual es este número dado mediante aproximaciones racio-nales cada vez más precisas: es la longitud del lado del estanque duplicado.

El famoso Teorema de Pitágoras también puede ayudarnos a comprenderla irracionalidad de

√2. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan

ambos una unidad y coloca, sobre cada uno de sus tres lados, un cuadrado:

Si trazamos una de las diagonales de cada uno de los dos cuadrados pequeñosy las dos diagonales del cuadrado grande, obtenemos que todos los triángulos(hay ocho en total) son congruentes:

120

la línea está llena

encontrándose cuatro de éstos en los dos cuadrados pequeños y los otroscuatro en el cuadrado más grande. Por tanto, el área de los dos cuadradospequeños juntos es igual al área del cuadrado grande, y dado que calculamosel área de un cuadrado elevando al cuadrado uno de sus lados, deducimosque: la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de lahipotenusa (esto no sólo es cierto para este triángulo en particular, sino paratodo triángulo rectángulo, pero la demostración en el caso general es un pocomás complicada). La suma de los cuadrados de los dos catetos es:

12 + 12 = 1 + 1 = 2

y este 2 es el mismo que el cuadrado de la hipotenusa; es decir, la hipotenusamide

√2 unidades de longitud.

Se puede demostrar que entre números irracionales es posible realizar dis-tintas operaciones si las aplicamos sobre los valores aproximados y como estosvalores aproximados son números racionales, mantienen intactas las antiguasreglas de cálculo. Por tanto, ahora estamos ante una situación en la que elin�nito sí respeta las antiguas reglas.

Ahora podemos volver a la cuestión –dejada antes en suspenso– sobre sisiempre podemos expresar la longitud de la arista de un cubo o la longituddel lado de un rectángulo en centímetros. La respuesta es que no siemprees posible, en el sentido de que hay distancias que no se pueden medir conprecisión empleando fracciones de centímetro. Porque si, por ejemplo, 1

20 decentímetro cubre cierta distancia 31 veces, entonces tal distancia es igual aun 31

20 de centímetro. Sin embargo, acabamos de ver que si cada cateto de untriángulo rectángulo mide 1 centímetro, entonces la longitud de la hipote-nusa no puede expresarse en términos de esta unidad como ningún númeroracional (cabe destacar que no podemos hacerlo en términos de esta unidad,

121

la función creativa de la forma

porque tal y como corresponde a una longitud perfectamente de�nida, po-dríamos elegir a

√2 como unidad y entonces, en términos de esta unidad, es

evidente que sí podría expresarse).A pesar de estas di�cultades, con ayuda de los valores racionales aproxima-

dos, se puede probar con “precisión de chocolate” que los resultados sobreáreas y volúmenes siguen siendo válidos.

También tengo una deuda en relación con las ecuaciones cuadráticas. Tu-vimos algunas di�cultades con la siguiente ecuación:

(x+ 3)2 = 2.

Ahora ya podemos resolverla. Dado que ya presentamos los números negati-vos y teniendo en cuenta que el cuadrado de un número positivo o negativoes positivo, tanto +

√2 como−

√2 son números cuyo cuadrado es igual a 2.

Por tanto,x+ 3 = +

√2 o x+ 3 = −

√2

y pasando el 3 restando a la derecha, obtenemos dos resultados:

x = +√2− 3 o x = −

√2− 3.

Pero los números negativos introducen una nueva complicación: no sabe-mos que hacer con la ecuación

x2 = −9,ya que +3 y−3 al cuadrado son +9 y no conocemos ningún número cuyocuadrado sea igual−9. Volveré sobre esta cuestión más adelante.

Introdujimos los números irracionales porque encontramos brechas o es-pacios vacíos en la línea numérica; esto es, puntos a los que hasta aquel mo-mento no les correspondía ningún número. Los números racionales juntocon los números irracionales irracionales (que son los conocidos como nú-meros reales; más adelante hablaremos de otros números cuya existencia sealeja de la realidad) llenan por completo la línea numérica. En efecto, pues siescogemos un punto arbitrario de la línea numérica, éste estará –tal y cómomostró Éva para

√2– entre cierto par de números enteros, décimas, centési-

mas, milésimas, etcétera. Estos pares de números irán indicando, una tras otra,las cifras del desarrollo decimal del número asociado al punto escogido. Si eldesarrollo decimal es �nito (es decir, si el punto coincide con alguna décima,centésima, milésima,. . . ) o empieza a repetirse periódicamente, entonces elnúmero correspondiente al punto escogido es racional, si no, es irracional.

122

la línea está llena

Para encajonar el punto correspondiente al número 1 19 , que aparece en el

ejemplo del chocolate, empezaríamos observando que está entre 1 y 2, lue-go entre 1.1 y 1.2, luego entre 1.11 y 1.12, luego entre 1.111 y 1.112 y asísucesivamente. Por tanto, los números

1, 1.1, 1.11, 1.111, . . .

caerán, uno tras otro, en estos intervalos cada vez más pequeños (cayendojusto en el extremo izquierdo de cada intervalo). Es esto lo que está detrásdel hecho de que estos números sean cada vez mejores aproximaciones de 1 1

9 ,pues se acercan tanto como deseemos a ese número. Y, por supuesto, propor-cionan una expansión decimal periódica, pues 1 1

9 es un número racional.¿Hay muchos números irracionales? Aunque hasta ahora solo nos hemos

encontrado con ellos accidentalmente, parece que debería haber muchos,pues que un desarrollo decimal sea periódico o �nito parece una casualidado incluso algo realmente extraordinario. Pero ya fuimos engañados por unsentimiento similar cuando nos pareció evidente que habría más númerosracionales que naturales y resultó, sin embargo, que los números racionalespueden enumerarse en una sucesión, pudiendo emparejarse así con los nú-meros naturales: el primero con el 1, el segundo con el 2 y así sucesivamente.¿Qué dice este método de emparejamiento sobre los números irracionales?

Por el momento, examinemos el conjunto formado por números racionalese irracionales, esto es, el conjunto de los números reales, e imaginémonos atodos ellos como sus desarrollos decimales. De entre éstos, limitémonos alos números que caen entre 0 y 1, es decir, a los números cuya expansióndecimal comienza con un 0 a la izquierda de la coma decimal, así no habráque preocuparse en absoluto por partes enteras. Sostengo que este pequeñosegmento de números reales es más numeroso que el conjunto de los númerosnaturales, es decir, que no podremos enumerarlos en una sucesión sin obviara ninguno.

Supongamos que alguien dice que no estoy en lo cierto, que él conoceun contraejemplo. Es decir, que a�rma haber enumerado los números reales(que tienen a 0 por parte entera) en una sucesión sin prescindir de ninguno deellos. Esta persona escribe la sucesión indicándonos unos cuantos términosiniciales que nos permiten observar cierto patrón de modo que cualquierapodría continuar escribiendo términos de la sucesión hasta donde desee; esmás, cada número irracional individual sólo puede especi�carse de este modo,

123

la función creativa de la forma

pues su desarrollo decimal es in�nito. Supongamos que la sucesión comienzadel siguiente modo:

el primer número es: 0.1el segundo número es: 0.202020 . . .el tercer número es: 0.3113111311113 . . .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·y se supone que continúa de acuerdo con cierto patrón de modo que, mástarde o más temprano, todo número real entre 0 y 1 aparece en la sucesión.

Sea cual sea esa regla, construiré un número real con parte entera 0 que,con total seguridad, no aparece en la sucesión.

En primer lugar, completo los desarrollos decimales �nitos añadiendo ino-fensivos ceros. De este modo:

el primer número: 0.10000000000000000 . . .el segundo número: 0.20202020202020202 . . .el tercer número: 0.31131113111131111 . . .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Ahora ya puedo empezar. El desarrollo decimal de mi número comienza así:

0. . . .

¿Qué cifra debo escribir en la posición de las décimas? Miro la sucesión yme �jo en la cifra de las décimas del primer término. Escribiré algo distinto;eso sí, evitando siempre el 0 y el 9. Por decir algo, dado que la cifra de lasdécimas del primer término es un 1, yo escribo un 2 en la posición de lasdécimas de mi número (aunque, en realidad, podría haber escogido entre 3,4, 5, 6 , 7 u 8). Si en la posición de las décimas del primer término apareciesecualquier cifra distinta de 1, entonces escogería a 1 como décima para minúmero. Por tanto, hasta ahora, el desarrollo decimal de mi número es algodel estilo

0.2 . . .Completo la posición de las centésimas mirando para las centésimas del segun-do término de la sucesión del contraejemplo y escribo de nuevo algo distinto.Me limitaré a trabajar con el 1 y con el 2. Dado que la cifra de las centésimasdel segundo término de la sucesión es un 0, que es distinto de 1, escribo un1 en las centésimas de mi número (si hubiese un 1, escribiría un 2). Así pues,el desarrollo decimal de nuestro número continúa así:

0.21 . . .

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la línea está llena

Podemos continuar así inde�nidamente: escribo un 2 en la posición de lasmilésimas porque el tercer número de la sucesión tiene 1 milésima. Por tanto,el desarrollo decimal hasta las milésimas de mi número será:

0.212 . . .

y cualquier persona puede de continuar colocando unos o doses hasta la posi-ción que desee: si los números del contraejemplo se suceden de acuerdo concierto patrón conocido, nunca me quedaré estancada en la construcción demi número. Y obtengo así, un desarrollo decimal in�nito con parte enteranula y que, ciertamente, se ha quedado fuera de la sucesión que nos indicadapues mi número se diferencia del primer término de la sucesión en, cuandomenos, la cifra de las décimas; del segundo término en, cuando menos, lacifra de las centésimas; del tercer término en, cuando menos, la cifra de lasmilésimas y así sucesivamente. Por tanto, mi número se diferencia de cadauno de los términos de la sucesión en, al menos, una cifra. Y no es posible quedi�era solamente en la forma y no en el valor, pues esa ambigüedad sólo se daentre desarrollos decimales que tienen una cola in�nita de ceros o nueves yen el desarrollo decimal de mi número sólo aparecen unos y doses.

Concluimos por tanto que cualquiera que intente emparejar a los númerosreales con los números naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .

dejará siempre algún número real en el tintero. El conjunto de los númerosreales es mucho más numeroso que el de los números naturales. Y si no nosrestringimos a los números reales con parte entera nula, el conjunto aún serámás abundante.

En lo anterior, hemos considerado a los números racionales e irracionalestodos juntos. Pero sabemos que los números racionales son numerables (ocontables), es decir, que se pueden contar y escribir en una sucesión. Si sepudiesen enumerar los números irracionales en una sucesión, entonces seríamuy fácil juntar ambas sucesiones en una única sucesión: bastaría ir alter-nando números de cada una de las sucesiones (por ejemplo, podemos unirla sucesión de los números enteros positivos y la sucesión de los númerosenteros negativos

1, 2, 3, 4, 5, . . .

−1, −2, −3, −4, −5, . . .

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la función creativa de la forma

en una única sucesión escribiendo1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5, . . . ).

y una sucesión combinada de números racionales e irracionales contendríaa todos los números reales, pero acabamos de probar que es imposible laexistencia de una sucesión como esa. Por tanto, el conjunto de los númerosirracionales no puede enumerarse, por separado, en una sucesión y se deducede esto que el conjunto de los números irracionales no puede contarse (noes contable o numerable), por lo que es un conjunto mucho más numerosoque el de los números racionales.

Así que no sólo se trataba de llenar unos huecos en el conjunto de los núme-ros racionales. Los números irracionales se extienden a lo largo de toda la líneanumérica; y los números racionales, a pesar de su densidad y omnipresenciaen la línea, no son más que uvas pasas esparcidas en ella. Esto me recuerdaal éter, del que se suponía que llenaba completamente todo el espacio de laatmósfera de la Tierra, mientras que las aparentemente ubicuas moléculas deaire �otaban en él dispersas.

126

Después de usar

Si alguien quiere volver, por ejemplo, a la integral, solo encontrará en elÍndice un título como “Muchas cosas pequeñas son muy útiles”. Así queindicaré a continuación los conceptos matemáticos que se encuentran encada capítulo (¡No dejes que te asusten!).

PARTE I

1 Sumas, multiplicaciones y potencias.2 El volumen de un cubo. Representación grá�ca de funciones.3 Sistemas de números. Reglas de divisibilidad.4 Progresiones aritméticas. Áreas de rectángulos y triángulos.5 Diagonales de polígonos convexos. Emparejamientos. La fórmula. Pos-

data: Topología, congruencia y similitud, sólidos regulares.6 Combinatoria. Inducción matemática. Cuadrado de una suma de dos

sumandos.7 Factorización en números primos. Distribución de los números pri-

mos. Ley de los números primos.8 Ecuaciones. La imposibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado;

Teoría de Galois.

PARTE II

9 Números negativos. Vectores. El principio de permanencia.10 Operaciones con fracciones. Media aritmética. Conjuntos densos en

todas partes. El cardinal de los números racionales.11 Transformación de fracciones en números decimales y viceversa. El

principio del encajamiento. Series in�nitas.12 Números irracionales. Teorema de Pitágoras. El cardinal de los núme-

ros reales.

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después de usar

13 Tablas de logaritmos. Generalización del concepto de potencia. Curvassuaves. Hipérbolas. Cero como divisor.

14 El concepto de función. Geometría analítica. Postada: (a) funcionescirculares (senos y cosenos), aproximación de funciones periódicas; (b)Geometría proyectiva, invariantes.

15 La recta en el in�nito. Números complejos. Relación entre las funcio-nes circulares y la función exponencial. El Teorema fundamental delÁlgebra. Expansión de una función en series de potencias.

16 La dirección de la tangente. El coe�ciente diferencial. Máximos y mí-nimos.

17 Integrales de�nidas e inde�nidas. Cálculo de áreas.

PARTE III

18 La cuadratura del círculo. Números trascendentes. Los axiomas de Eu-clides. Geometría de Bolyai’s. Distintas geometrías. Posdata: la cuartadimensión.

19 Teoría de grupos. Teoría de conjuntos. Antinomias. Intuicionismo.20 Lógica simbólica.21 Teoría de demostración. Metamatemáticas. Demostración de la con-

sistencia de la Teoría de números. Hipótesis del continuo. Posdata: laaxiomatización del Análisis matemático.

22 Problemas indecidibles y problemas indecidibles empleando ciertosmedios dados. La cuestión de lo indecidible.

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