L4 Dinamica de Sistemas y Del Solido Rigido

1

Lección 4: Dinámica de los sistemas de partículas y del sólido rígido

1.-Introducción.

2.- Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas.

3.- Momento angular de un sistema de partículas.

4.- Momento angular de un sólido rígido. Momento de inercia.

5.- Ecuaciones del movimiento.

6.- Energía cinética.

7.- Energía propia, energía interna y energía total.

8.- Colisiones.

Bibliografía:Bibliografía:..-- AlonsoAlonso--FinnFinn (1995), capítulos 13 y 14.(1995), capítulos 13 y 14..- Tipler (1992), vol I, capítulos 7, 8 y 9.

.- Burbano-Burbano-García (1993), capítulos X y XI.

.- Sears-Zemansky-Young (1998), capítulos 8, 9 y 10.

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Transparencias Fundamentos de Física. I.T. Diseño Industrial

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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 1.- Introducción

1.1.-- Introducción.Introducción.

Clasificación de los sistemas de partículas

Sistemasde

partículas

• Discretos

• Continuos

Deformables

Rígidos ⇒ (no varía distancia entre partículas)

Deformables ⇒ (se deforman cuando actúa una fuerza)

Rígidos

X Y

Z

O

mi

mj

m1m2

irr

jrr

X Y

Z

O

Sistema discreto Sistema continuo

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3

L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 2.- Movimiento del CM de un sistema de partículas

.- Centro de Masa (CM)

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto cuya posición viene dada por

y cuyas componentes cartesianas son:

∑==

n

1iimM donde

M

rm

mm

rmrmr

n

1iii

21

2211CM

∑=

++++= =

r

L

Lrr

r

M

xmx

n

1iii

CM

∑= =

M

ymy

n

1iii

CM

∑= =

M

zmz

n

1iii

CM

∑= =

.- Posición del CM para diferentes distribuciones

Placa triangularPunto de intersección de las tres medianas

Polígono regular, placa circular, cilindro y esferaCentro geométrico de la figura

Pirámide y conoA un cuarto de la base en la línea que une el vértice con el centro de la base

Figuras con simetría axialEn algún punto del eje de simetría

Figuras con centro de simetríaEn el centro de simetría

2.2.-- Movimiento del CM de un sistema de partículas.Movimiento del CM de un sistema de partículas.

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4

.- Velocidad del CM

.- Aceleración del CM

.- Momento lineal del sistema

“El CM de un sistema aislado se mueve con velocidad constante con respecto a cualquier sistema de referencia inercial”

M

vm

mm

vmvmv

n

1iii

21

2211CM

∑=

++++= =

r

L

Lrr

r

M

am

mm

amama

n

1iii

21

2211CM

∑=

++++= =

r

L

Lrr

r

CM

n

1iii vMvmp

rrr =∑==

m1 m2

Trayectoria del CM

CMvr

CMvr

1vr

1v′r

2vr

2v′r

L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 2.- Movimiento del CM de un sistema de partículas© M

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.- Sistema Laboratorio (SL) y Sistema Centro de Masa (SCM)

Sistema Laboratorio (SL)

sistema de referencia inercial

Sistema Centro de Masa (SCM)

sistema de referencia “no” inercial

Relación entre las magnitudes cinemáticas de una partícula del sistema respecto a ambos sistemas de referencia

O

X

Y

Z

O’

X’

Y’

Z’

SCM

SL

CMirr

ir ′r

CMrr

CMii rrrrrr +′= CMii vvv

rrr +′= CMii aaarrr +′= 0pp

n

1ii

rrr =∑ ′=′=


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.- Fuerzas externas y fuerzas internas

Medio

Sm1

m21F

r2F

r

12fr 21f

r

S

21 Fy Frr

Fuerzas externas ( ): interacción de las partículas del sistema con el medio. Son las

únicas que pueden alterar el estado de movimiento del sistema

“Si la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas es nula, el momento lineal del sistema se conserva” (Teorema de conservación del momento lineal)

2112 Fy Frr

Fuerzas internas ( ): interacción entre las partículas del sistema. Son fuerzas de

acción y reacción y por tanto su resultante es nula

( )CM

CMext aMdtvMd

dtpd

Fr

rrr===

0fffn

1i

n

1jij2112

rrrr=∑ ∑⇒−=

= =


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CM

Pr

Trayectoria del CM

CM

Trayectoria del CM de la Tierra

CM

Trayectoria del CM de la bomba

El CM de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema y estuviera sujeto a la fuerza externa resultante aplicada sobre las partículas


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O

X

Y

Z

X’

Y’Z’

SL

CMrr

intLr

orbLr

L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 3.- Momento angular de un sistema de partículas

3.3.-- Momento angular de un sistema de partículas.Momento angular de un sistema de partículas.

.- Momento angular

.- Momento de las fuerzas externas

“Si el momento resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas es nulo, el momento angular del sistema se conserva” (Ley de

conservación del momento angular)

intLr

orbLr

Donde:

Momento angular interno

Momento angular orbital

∑ ×=∑===

n

1iiii

n

1ioio vmrLL

rrrr

∑ ×===

n

1i

extii

oexto Fr

dt

LdM

rrr

r

CMCMintorbinto vMrLLLLrrrrrr

×+=+=

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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 4.- Momento angular de un sólido rígido.Momento de inercia

4.4.-- Momento angular de un sólido rígido. Momento de InerciaMomento angular de un sólido rígido. Momento de Inercia

.- Movimiento general de un sólido rígido

Traslación Rotación Movimiento general

El movimiento del sólido puede estudiarse como la composición de un movimiento de traslación y un movimiento de rotación.

Traslación: todos los puntos del sólido describen trayectorias paralelas, su velocidad y aceleración es la misma y por tanto se pueden representar por las del CM.

Rotación: los puntos describen trayectorias circulares concéntricas con el eje de rotación. Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad y aceleración angulares.

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.- Momento angular de una placa delgada en rotación

⇒ω=×= iiiiiiioi RmRvmrL rrr

Momento angular del elemento Ai

ω

∑=∑ ω=∑=++=

===

rrrL

rrr n

1i

2ii

n

1i

2ii

n

1ioi2o1oo RmRmLLLL

Momento angular de toda la placa

∑==

n

1i

2iio RmI

Momento de inercia de la placa con respecto al eje perpendicular a ella que pasa por el punto O

ω= rroo IL Momento angular de la placa con respecto al punto O

¡Es una ecuación vectorial!

Z

Z’

O Riiv

r

ωr

oLr

Ai

M

IK o= Radio de giro

ω= rr 2iioi RmL

L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 4.- Momento angular de un sólido rígido.Momento de inercia© M

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.- Momento angular de un sólido rígido de forma arbitraria

Momento angular del elemento Ai

Z’

O

Ri

ivr

ωr

oiLr

irr

Z

Ai

Es un vector perpendicular al plano formado por y iv

rirr

El momento angular resultante tendrá una dirección distinta a la de la velocidad angular pero lo que se cumplirá siempre para la componente del momento angular en el eje de rotación es que:

ω= zoz IL¡Ecuación escalar!

Es válida para cualquier sólido

Para cualquier cuerpo existen al menos tres direcciones perpendiculares para las que el momento angular es paralelo al eje de rotación. Estos son los tres ejes principales de inercia y sus

correspondientes momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia

iiioi vmrLrrr

×=


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Xo

Yo

Zo

Xo

Yo

Zo

Xo

Yo

Zo.- Ejes principales de inercia

Si el eje de rotación es uneje principal de inercia

Si el eje de rotación no es un eje principal de inerciaω=

rroo IL ω= zoz IL

.- Teorema de Steiner .- Teorema de los ejes perpendiculares

2CMe MdII +=

YXZ III +=

X

Z

O Y

Z’

dX

Z

OY

X’ CMY’d

xCMyCM


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Cilindro

R

L

RL

2o MR

21

I =

( )22o LR3M

121

I +=

a b

c ( )22o baM

121

I +=

Paralelepípedo

ab

ab

( )22o baM

121

I +=

2o Mb

121

I =

Placa rectangular

Varilla delgada

L 2o ML

121

I =

Disco

R

R

2o MR

21

I =

2o MR

41

I =

R

Esfera

2o MR

52

I =R 2

o MRI =

Anillo


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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 5.- Ecuaciones del movimiento

5.5.-- Ecuaciones del movimientoEcuaciones del movimiento

.- Traslación Todas las partículas del sólido tienen trayectorias paralelas y la misma velocidad

y aceleración, igual a las de su CM.

Dinámica de traslación

.- Rotación Todas las partículas del sólido giran en torno al mismo eje y tienen la misma

velocidad y aceleración angulares.

Dinámica de rotaciónωr

CMvr

α= rro

exto IM

CMext aMF

rr=

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.- Rodadura El sólido rueda sin deslizar sobre la superficie.

CM CM

P

Pϕ

R

S CM

SCM

Si existe fuerza de rozamiento ésta es estática (no realiza trabajo)

RsCM ϕ= RvCM ω= Ra CM α=

.- Condiciones de equilibrio

Traslación

Rotación

.- Estática (además de las anteriores)

Traslación Rotación

constantev0a0F CMCMext =⇒=⇒= rrrrr

constante00M exto =ω⇒=α⇒= rrrrr

0vCM

rr = 0CM

rr=ω

L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 5.- Ecuaciones del movimiento© M

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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 6.- Energía cinética

6.6.-- Energía cinéticaEnergía cinética

.- Teorema de Köening

.- Energía cinética de un sólido rígido

.- Teorema del trabajo y la energía cinética

∑=

=++=n

1i

2ii

222

211 vm

21

vm21

vm21

Ec L

EcWWW extint ∆=+=““La La variación de la energía cinéticavariación de la energía cinética de un sistema de de un sistema de

partículas es igual al partículas es igual al trabajo realizadotrabajo realizado sobre el sistema sobre el sistema por por las fuerzas externas y por las fuerzas internaslas fuerzas externas y por las fuerzas internas””

int2CMintorb EcMv

21

EcEcEc +=+=

Energía cinética de un sistema de partículas

2o

2CMrottras I

21

Mv21

EcEcEc ω+=+=

La Ec de un sistema de partículas es la suma de la Ec orbital (del CM) y la Ec interna (respecto al CM)

Donde:

Ectras es la energía cinética de traslaciónEcrot es la energía cinética de rotación

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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 7.- Energía propia, energía interna y energía total

7.7.-- Energía propia, energía interna y energía totalEnergía propia, energía interna y energía total

.- Energía propia

Sí las fuerzas internas son conservativas ⇒ existe una energía potencial interna , Epint , que depende de la posición relativa entre las part ículas y por tanto es independiente del sistema de

referencia. El trabajo realizado por las fuerzas internas será:

intint EpW ∆−=

intEpEcU +=Se define la energía propia de un sistema de partículas como:

.- Conservación de la energía

Sí las fuerzas internas son conservativas: intextintext EpWWWEc ∆−=+=∆

( ) ⇒+∆=∆+∆= intintext EpEcEpEcW UWext ∆=

La energía propia de un sistema de partículas aislado permanece constante con respecto a un observador inercial. ¡¡ Principio de validez general !!

Sí el sistema está aislado: cteU0U0Wext =⇒=∆⇒=

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.- Energía interna

Energía potencial interna :


Energía cinética interna:

Energía interna:

⇒++=+= int2CMintint EpMv

21

EcEpEcU

También se puede expresar la energía propia como:

Y el trabajo de las fuerzas externas como:

⇒∆+

∆+∆=∆+∆= int

2CMintintext EpMv

21

EcEpEcW

intextCMext UWconstantev0F Sí ∆=⇒=⇒=• rrr

∆=⇒=• 2

CMextint Mv21

WconstanteU Sí

2CMint Mv

21

UU +=

∆+∆= 2

CMintext Mv21

UW

∑=ij pares

ijint EpEp ∑=∑===

n

1i

2ii

n

1iiint 'vm

21

'EcEc

intintint EpEcU +=

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.- Energía total


Sí las y las son conservativas :extFr intf

r

constanteEpU0EpUEpUUW

EpWextextext

ext

extext =+⇒=∆+∆⇒∆−=∆⇒

∆=∆−=

extEpUE += Energía total

Sí las fuerzas externas e internas que realizan trabajo sobre un sistema de partículas son conservativas, la energía total del sistema se conserva

En un sólido rígido, la distancia relativa entre las partículas no varía y por tanto su energía potencial interna es constante , luego

⇒∆+∆+∆=∆+∆=∆ extintext EpEpEcEpUE

La energía total del sólido rígido se conserva sí las fuerzas externas que realizan trabajo son conservativas

extEpEcE ∆+∆=∆

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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 8.- Colisiones

8.8.-- ColisionesColisiones

Colisión: interacción mutua entre partículas que intercambian momento y energía

Durante la colisión:

( ) despuésantesext pp0FI

rrrrr=⇒=

Es decir, el momento lineal justo antes de la colisión es igual al momento lineal justo después de la colisión. Esto no quiere decir que se conserve el momento lineal

( ) ( )despuésintantesintext EpEcEpEc0W +=+⇒=

Es decir, la energía propia justo antes de la colisión es igual a la energía propia justo después de la colisión. Esto no quiere decir que la energía propia sea constante

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L4:Dinámica de los sistemas de partícula y del sólido rígido 8.- Colisiones

Coeficiente de restitución

Colisiones elásticas (Q=0 ; ρ=1)

Reacción de la colisión intEpEcQ ∆−=∆=

( )( )antes21

después12

vv

vv

−

−=ρ

( ) ( )después21antes21 EcEcEcEc +=+

Colisiones inelásticas (Q≠0 ; ρ ≠ 1)

Colisiones totalmente inelásticas (ρ=0)( ) ( ) después21antes21 vmmpp

rrr +=+

Para el caso de dos partículas:( ) ( )después21antes21 pppp

rrrr +=+

( ) ( )después1221antes1221 EpEcEcEpEcEc ++=++

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