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PRINCIPIOS DE QUMICA Introduccin a tericos

los conceptos ,./ < . ~

1, i

PAUL ANDER , Profesor Asocizdo de Qumica Universidad Seton Hall

ANTHONY J. SONNESSA Profesor Asociado de Qumica Universidad Seton Hall

L I M U S A ~ ~ , , ~ ~ u ~ L ~

EDITORIAL E x ' o

GRUPO N O R I E G A E D I T O R E S P U E R T O R I C O

Prbl ogo

En alios recientes, en general se reconoce que el curso inicial de qumica a 11ivel de licenciatura debe comprender un anlisis ms cuantitativo de esta ciencia. Existen dos razones fundamentales que apoyan este punto de vista. En primer lugar, la investigacin actual requiere una preparacin ms rigurosa en los aspectos cuantitativos de la qumica. En segundo lugar, los alumnos de hoy en da, que terminan la secundaria, manifiestan un gran entusiasmo por las ideas modernas de esta ciencia; han odo o ledo sobre numerosos temas interesantes relacionados con ella, por ejemplo, la teord del enlace, la qumica nuclear y la estructura de cidos nucleicos y protenas. Para mantener y ampliar este interis, se deben presentar algunos principios bsicos de varios tpicos modernos en el primer curso de nivel profesional.

Por sta y otras razones, los cursos de qumica se estn sometiendo a un proceso de revisin. El contenido de estos cursos se est modernizando con el fin de incluir algo de qumica analtica, inorgnica, orgnica y fisicoqumica. En cada uno de ellos se ha tratado de hacer ms nfasis en los principios que en los aspectos descriptivos. Basta una sola mirada a los libros de texto publicados recientemente en estos campos, para darse cuenta de esta tendencia evidente. El movimiento tendiente a presentar un material ms profundo en estos cursos, crea dos necesidades bsicas que se deben satisfacer cn el curso de introduccin. Primero, es esencial que el curso inicial prepare al estudiante para asimilar el material ms avanzado que se presenta en los niveles superiores, familiarizndolo con el lenguaje empleado y, segundo, este curso inicial debe incluir los temas que se omiten, o bien, que se tratan superficialmente en los cursos posteriores, a fin de disponer de ms tiempo para el material avanzado.

La naturaleza del trabajo efectuado actualmente en fsica, biologa e in- geniera, requiere la comprensin de los principios qumicos y el curso de primer afio de fsica tonlado por los estudiantes en estos campos, debe pro- porcionarles la base necesaria. Este libro se escribi para satisfacer las necesidades de este tipo de estudiantes, as como las de los que se dedican exclusivamente a la qumica. La mayor parte del material se present ya a un grupo selecto de estudiantes especializados en ciencias en la universidad Seton Hall, en u11 curso que ha resultado sumamente interesante, tanto para el instructor (P. A.) como para los estudiantes.

Se ha usado el sistema de investigacin siempre que ha sido posible: primero se presentan los hechos experimentales y, luego, se da una teora para explicarlos. Para que pueda entender perfectamente los hltimos captulos, el estudiante debe estar familiarizado con algunos trminos bsicos, tanto fisi-

[ 7 1

8 Prlogo

COS como matemticos. Por lo tanto, en el captulo 1 se hace una revisin de ellos como parte integrante del texto, en lugar de relegarlos a un Apndi- ce. El captulo 2 trata de los fundamentos experimentales de la teora cuntica. Se analiza la aplicacin de esta teora a la estructura atmica y se relaciona con las propiedades de los tomos y de las molculas. En el captulo 3, la teoria cuntica se ampla, para incluir el enlace de tomos en las molculas. El estudiante comienza a familiarizarse con las ideas cualitativas de las teoras de enlace o unin y con los resultados derivados de estas teoras. La qumica inorgnica y orgnica descriptivas no se estudian sistemticamen- te en este libro, debido a que los autores creen que esto se estudiar adecua- damente en los cursos ms avanzados. No obstante, se describen los principios que se aplican a la qumica. de los elementos, siempre que es posible, y es de esperarse que en los cursos posteriores se ample esta aplicacin.

En el captulo 4 se analiza con mayor profundidad la aplicacin de los principios a la formacin de compuestos inicos y a sus propiedades en el estado slido y en solucin. Es indudable que la comprensin de la disposicin de tomos e iones en el estado slido es de primordial importancia. La presentacin elemental de este material en la segunda parte del captulo, debe permitirle al estudiante comprender con mayor claridad la exposicin de material ms avanzado, dado en los cursos de fisicoqumica.

El captulo 5 est dedicado a las propiedades de los gases. Tambin en este caso, el mtodo consiste en empezar con los hechos experimentales y continuar con la explicacin de estos hechos, utilizando un modelo terico. La modificacin del modelo de un gas ideal, necesario para explicar las propiedades observadas en gases reales, ilustran al estudiante de recin ingreso la necesidad de revisar las teoras a la luz de los descubrimientos experimentales ms recientes.

Los aspectos empricos y tericos del equilibrio qumico se estudian por separado en las secciones I y I1 del captulo 8. El estudiante adquiere primero una base slida del equilibrio, mediante el anlisis emprico de muchos equilibrios, a fin de que obtenga una comprensin ms profunda de los aspectos tericos ms abstractos y difciles del tema. Esta separacin tambin es conveniente para los instructores o maestros que deseen omitir todo el aspecto terico debido a las limitaciones de tiempo.

Hoy en da, existe gran inters en las macromolculas biolgicas que, generalmente, se estudian en cursos elementales de bioqumica y biologa. De acuerdo con esto, en el captulo 10 se presenta una introduccin a la naturaleza de las macromolculas; tambin se dan los mecanismos para la formacin de polmeros que proporcionan al estudiante ejemplos sencillos y claros de los mecanismos de reaccin.

Aunque, por lo general, en los textos de fisicoqumica se incluye la qumica nuclear, rara vez se presenta en cursos de fisicoqumica realmente y los principios de esta disciplina rara vez se incluyen en los cursos profesionales. Pues- to que los principios de qumica nuclear pueden presentarse usando slo lgebra, esto puede formar parte de un curso de primer ao de licenciatura.

Los autores han tratado de ordenar el material de este libro en tal forma,

Prlogo 9

que se puedan omitir algunos tpicos, si el maestro as lo desea. Sin embargo, este material s.e incluye para el uso de los estudiantes que realmente se interesen por ellos. Esperamos que los alumnos encuentren los problemas lo suficientemente interesantes para resolverlos. Los autores tambin han procurado incluir algunos problemas que ilustren principios importantes que no estn perfectamente desarrollados en el texto, de manera que el alumno pueda deducirlos por s mismo.

Se requiere un mnimo de conocimientos de clculo slo para los captulos 8 (seccin II) , 9 y 10. Los dems captulos requieren nicanlente conocimientos de lgebra.

Los autores desean expresar su gratitud a todas las personas que les han ayudado en este proyecto, tanto directa como indirectamente. Agradecemos especialmente a los profesores Kenneth Wiberg, de la Universidad de Yale, y Jack Halpern, de la Universidad de Chicago, por los tiles comentarios que hicieron del manuscrito. Tambin le estamos agradecidos al profesor Eugene Yupchik, de la Universidad de Saint John, por la lectura de todo el manuscrito. Tambin nos sentimos agradecidos al profesor Charles Erickson, de Rutgers, la Universidad del Estado, por haber puesto a nuestra disposicin un conjunto de problemas para incluirlos en este libro. Queremos hacer patentes nuestro reconocimiento por el respaldo y el aliento que nos dieron durante la realizacin de este proyecto, varios de nuestros colegas de la Uni- versidad Seton Hall. Igualmente, expresamos nuestra gratitud a la sefiora Sally Kynor Johnson, cuya excelente transcripcin del manuscrito fue de gran ayuda, y a la seorita Lynn Ebbets, quien colabor en la mecanografa. Nuestra ms profunda y especial gratitud a nuestros antiguos maestros y estudiantes, quien han sido y siguen siendo un gran estmulo.

Agradeceremos cualquier crtica constructiva que puedan hacernos respecto a esta obra.

PAUL ANDER ANTHONY J. SONNESSA

South Orange, Nueva Iersey

Contenido

1 REVISIdN DE TlERMINOS MATEMTICOS Y FfSICOS

1-1 Ciencia 1-1.1 Observaciones y mediciones, 22 1-1.2 Precisibn de las mcdicioncs experirnentalcs, 24

1-2 Ecuaciones y grficas

1-2.1 Ecuaciones lineales, 26 1-2.2 Kelaciones de proporcionalidad inversa, 28 1-2.3 Ecuaciones cuadrticas, 29 1-2.4 Suma, 32 1-2.5 Exponentes y logaritmos, 34 1-2.6 Funciones exponenciales y logartmicas,38

21

21

26

1-3 Definiciones tomadas de mecnica y electricidad 40

1-3.1 Unidades de fuerza, 42 1-3.2 Trabajo y energa, 42 1-3.3 Conservacin y transfonnacibn de energa, 44 1-3.4 Movimiento circular; fuerzas centrfuga y centrpeta, 46 1-3.5 Fuerzas que actilan entre cuerpos cargados; Ley

de Coulomb, 47 1-3.6 El campo elctrico, 49 1-3.7 El potewial elctrico, 50 1-3.8 Movimiento de la carga, 57 1-3.9 Electronlagnetismo, 52 1-3.10 Fuerza que actha sobre una corriente en un campo

magnhtico, 53

2 ESTRUCTURA ATMICA

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6

-2-7 2-8

Descarga de electricidad en gases Determinacin de e / m para los rayos catdicos Determinacin de la carga en un electrn Conceptos de tomo y molcula Los istopos y el espectrgrafo de masa Pesos atmicos y moleculares Ecuaciones qumicas Pesos equivalentes

[ I ' 1

59

59 62 65 68 70 72 76 78

12 Contenido

2-9 Origen de la teora cuntica 2-10 Modelo del tomo de Bohr 2-1 1 Nmeros cunticos 2-12 Configuracin electrnica de los elementos 2-13 Propiedades peridicas de los elementos 2-14 Concepto de onda del electrn

3 ENLACE COVALENTE

3- 1 3-2

\-- 3-3

3-4 3-5 3-6 3-7 3-8

Valencia Nmero de oxidacin Tipos de enlaces qumicos Regla del octeto Frmulas de Lewis Enlaces mltiples de pares de electrones Compuestos con nmero impar de electrones Teora del enlace de valencia

3-8.1 Carcter direccional de los enlaces covalentes;

3-8.2 Ilibridacih relacionada con orbitales d; compuestos

3-8.3 Reglas de IIelferich, 148 3-8.4 'I'eora de l a repulsibn de pares de electrones de la

capa de Valencia de valencia dirigida, 149 3-8.5 Resonancia, 1 5 5 3-8.6 Orbitales deslocalizados, 157

orbitales hbridos, 1 3 3

complejos, 143

I

3-9 Teora orbital molecular

3-9.1 Fuerza del enlace, 167

3-10 Momentos dipolares .---- 3-11 Carcter de enlace covalente parcial y electro-

negatividad 3-12 El enlace de hidrgeno 3-13 Molculas con deficiencia de electrones 3-14 Compuestos de gases raros

4 PROPIEDADES DE LOS COMPUESTOS I6NICOS

SECCION I FORMACION DE IONES

81 88 98

100 103 116

123

123 124 12.5 128 129 130 130 130

1.59

169

174 181 183 184

189

190

Contenido 13

4-1 Formacin de un ion 190

4-1.1 Potencial de ionizacicin y afinidad electrnica, 198

4-2 Formacin de un enlace inico 203

SECCIBN I1 IONES EN SLIDOS 211

4-3 Formacin de un slido inico 211 4-4 La disposicin de los iones en los cristales 217

4-4.1 Planos reticulares, 221 4-4.2 Planos reticulares en cristales citbicos, 224

4-5 Difraccin de la radiacin electromagntica 227 4-5.1 Mtodos experimentales de difracc.ii6n con rayos X, 234 4-5.2 La estructura del cloruro de sodio mediante la

4-5.3 Nhnlero de Avogadro de las dimensiones difraccicin de rayos X, 238

reticulares, 240

4-6 Efecto del tamao inico en la geometra del cristal

4-7 Iones complejos 4-7.1 Factores que afectan la formacin de iones

4-7.2 Isomera en iones complejos, 257 4-7.3 Teora del campo del cristal, 266

complejos, 2 54

242 25 1

SECCIBN 111 IONES EN SOLUCION 275

4-8 Solubilidad de sales inicas 275 4-9 Unidades de concentracin 280

4-10 Las celdas electrolticas y las leyes de la

4-1 1 Conductividad de las soluciones electrolticas 29 1 electrlisis 286

4-11.1 Disociacibn de electrlitos fuertes y dCbiles, 302

4-12 Teoras de cidos y bases

4-12.1 Iitulacin de cidos y bases, 311

303

4-13 Fuerza electromotriz 313 4-13.1 Electrodo de calomel, 325 4-13.2 Celda de almacenamiento de plomo y celda seca, 326 4-1 3.3 Balanceo de reacciones de oxidacin-reduccin, 327

14 Contenido

4-1 3.4 Normalidad c11 las reacciones dc oxidaci6n- reduccin. 3 3 2

5 EL ESTADO GASEOSO 339

5-1 Estados fsicos de la materia 339 5-2 Medicin de la presin del gas; el barmetro

y el manmetro 341 5-3 Leyes de los gases 345

5-3.1 Lcy de Boyle, 345 5-3.2 Ley de Charles, 347 5-3.3 La ecuacin del estado, 3 5 1 5-3.4 Ley de Dalton sobre presiones parciales, 356

5-4 Teora cintica de los gases 358

5-4.1 Derivacin de la ecuacin de 1111 gas ideal, segn en la teora cintica, 359

5-5 La distribucin de las velocidades moleculares 365 5-6 Desviaciones del comportamiento del gas ideal 372

5-6.1 Causas de la desviacin de lo ideal; la ecnaci6n

5-6.2 Determinacin del peso molecular de los gases

5-6.3 La naturaleza de las fuerzas inter~nbleculares. 386

de van der Waals, 376

reales, 384

5-7 La trayectoria libre media de las molculas de gas 389 5-8 Capacidades trmicas de los gases y el principio

de la equiparticin de la energa 393

6 EL ESTADO LfQUlDO 407

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8

Comparacin general de slidos, lquidos y gases La licuefaccin de los gases y el estado crtico Presin de vapor Punto de ebullicin Punto de congelacin Sublimacin Viscosidad de los lquidos Tensin superficial

407 408 413 418 419 420 42 1 426

7 PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES 433

Contenido 1 5

7- 1 7-2

7-3

7-4

Introduccin 433 Presin de vapor de soluciones que contienen componentes voltiles 434

7-2.1 Soluciones ideales; Ley de Kaoult, 434 7-2.2 Soluciones no ideales, 436 7-2.3 Ley de Henry, 440

Punto de ebullicin de soluciones que contienen componentes voltiles 445

7-3.1 Soluciones ideales, 446 7-3.2 Soluciones no ideales, 452 7-3.3 Componentes inmiscibles, 45 5

Soluciones diluidas que contienen solutos no voltiles

7-4.1 Reduccin de la presin de vapor, 458 7-4.2 Elevacin del punto de ebullicin, 459 7-4.3 Keducci6n del punto de congelacin, 463 7-4.4 Presin osmtica, 467 7-4.5 Propiedades coligativas de soluciones de electrlitos, 471 7-4.6 La ley de distribucin de Nernst, 474

458

8 EQUILIBRIO QUfMICO 481

SECCL6N I DESARROLLO EMPfRICO Y APLICACIONES

8-1 Ley del equilibrio qumico 48 1 8-2 Constantes de equilibrio expresadas en

diferentes unidades 486 8-3 Variables que afectan las concentraciones

de equilibrio 489

8-3.1 Influencia del cambio de temperatura, 490 8-3.2 Influencia del cambio de concentracin, 492 8-3.3 Influencia del cambio de presin, 492

8 4 Soluciones acuosas de cidos y

8 5 La ionizacin del agua y la escala del pH 8-6 Soluciones tamponadas o Buffer 8-7 cidos y bases polifuncionales 8-8 Hidrlisis

bases dbiles

8-8.1 Sales de un cido dbil y una base fuerte, 507 8-8.2 Sales de un cido fuerte y una base dbil, 509

494 497 500 503 506

16 Contenido

8-8.3 Sales de un cido dbil y una base dbil, 510 8-8.4 Iones metlicos, 512 8-8.5 Sales de un cido dibsico, 513

8-9 Titulacin de cidos y bases 8-9.1 cidos fuertes y bases fuerte, 516 8-9.2 Acidos dbiles y bases fuertes, 517 9-9.3 Indicadores, 5 18

8-10 Equilibrio de iones complejos 8-11 Equilibrio entre iones en las fases S'

y lquida lit

8-11.1 Solrlhilidad y producto de solobilidad, 525 8-1 1.2 Efecto de un ion c o m h en la solubilidad de sales

ligeramente solubles, 527 8-11.3 Separacin de iones, 528 8-1 1.4 Efecto de la hidrlisis en la solubilidad de sales

ligeramente solubles, 531

8-12 Equilibrio en sistemas que contienen fases slidas y gaseosas

515

523

525

532

SECCIN TI PRINCIPIOS GENERALES - TERMODINMICA 539

8-13 La naturaleza de la termodinmica 539 8-13.1 Definicin de los trminos de la termodinmica, 542 8-13.2 Definicin de la temperatura, 544

8-14 La primera ley de la termodinmica 8-15 Entalpia 8-16 Capacidad trmica de los gases 8-17 Procesos adiabticos reversibles 8-18 Termoqumica

8-18.1 8-1 8.2 8-18.3 8-18.4

8-18.5 8-1 8.6 8-18.7 8-18.8

Estados normales, 564 Entalpia de las reacciones, 565 Ley de Iless, 566 Relacin entre los calores de reaccin a presin y volumen constantes, 571 Calor de l a solucin, 572 Entalpia de la formacin de iones en solucin, 574 Energas de enlace, 575 Dependencia de la capacidad trmica y de la cntalpia de la reaccin sobre la temperatura, 581

547 557 558 559 5 M

8-19 La segunda ley de la termodinmica 585

Contenido 17

8-19.1 Ciclo de Carnot, 586 8-19.2 Interpretacin molecular de la entropa, 595 8-19.3 Ejemplos de clculos de entropla, 597

8-20 Criterios de equilibrio 601

8-20.1 La funcin de trabajo y la energa libre de Gibbs, 603

8-21 Energa libre y la constante de equilibrio 607 8-22 Equilibrio entre fases; la ecuacin de Clapyron 61 1 8-23 La tercera ley de la termodinmica 614

9 LAS VELOCIDADES DE LAS REACCIONES QUfMICAS - CINJWICA QUfMICA

9-1 9-2

9-3

9 4

9-5 9-6 9-7 9-8 9-9

9-10

9-1 1

9-12

9-13

9-14

Introduccin Velocidad de reaccin

9-2.1 Orden de reaccin y la ley de velocidades, 626 9-2.2 Mtodos experimentales, 629

Reacciones de primer orden

9-3.1 Ejemplo de una reaccin de primer orden, 634

Reacciones de segundo orden

9-4.1 Ejemplo de una reaccin de segundo orden, 639

Reacciones de tercer orden Reacciones de orden cero La vida fraccionaria de una reaccin Mtodos para determinar el orden de reaccin La influencia de la temperatura en las velocidades de reaccin La teora de Arrhenius sobre las velocidades de reaccin; el complejo activado La teora de colisin de las velocidades de reaccin Teora del estado de transicin de las velocidades de reaccin Reacciones de descomposicin gaseosa unimolecular; aproximacin de estado estacionario Mecanismos de reaccin

663

623 624

630

636

640 642 643 645

651

656

660

665 668

18 Contenido

10 MACROMOLBCULAS 679

10.1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9

10.10 10-1 1 10-12

Clasificacin de las macromolculas Pesos moleculares promedio Reactividad de molculas grandes Polimerizacin de condensacin Polimerizacin por radicales libres Iniciacin inica de polimerizaciones de vinilo Configuracin de las macromolculas en solucin Viscosidad intrnseca Presidn osmtica de soluciones de polimeros Dispersin de la luz Resinas de intercambio inico Algunos polmeros que se encuentran en la naturaleza

680 689 692 692 697 702 705 707 709 710 710

713

11 PROPIEDADES DE METALES Y ALEACIONES 723

11-1 Introduccin 723 11-2 Disposicin de los tomos en los metales 724 11-3 Enlaces en metales 73(

11-3.1 Ieora del enlace de valencia del enlace metlico, 731 11-32 Mtodo orbital molecular para la teora de banda de

11-3.3 Teora de los electrones libres de metales, 742 slidos, 735

11-4 Aisladores y semiconductores 11-5 Aleaciones

11-5.1 Clasificacin d.: las alecciones, 757

11-6 Regla de la fase

75 751

76

11-6.1 Sistemas de un solo componente, 767 11-6.2 Sistemas de dos componentes, 770

12 PROPIEDADES Y TRANSFORMACIONES NUCLEARES 78

12-1 Introduccin 7t 12.2 Energa de unin de los ncleos; la energa

de las reacciones nucleares 71 12-3 Ncleos estables 7!

Contenido 19

124 Fuerzas entre nucleones 793 12-5 Ncleos inestables; ley de la desintegracin

radiactiva 794 12-6 Formas de desintegracin de ncleos inestables 799

12-6.1 DesintegraciOn por emisin de rayos gamma, 800 12-6.2 Desintegracin por emisin de rayos alfa, 801 12-6.3 Desintegracin por emisin de rayos beta, 802 12-6.4 Desintegracin por emisin de un positrn, 804 12-6.5 Captura K , 805

12-7 Transformaciones nucleares inducidas - 12-8 Fisin y fusin de los ncleos 12-9 Interadciones de radiaciones alfa, beta

y gamma con la mataria 12-10 Qumica de radiacin 12-11 Marcacin con istopos 12-12 Cronologa geolgica

Respuestas a los problemas impares

Valores de constantes importantes

Alfabeto griego

Tabla de logaritmos comunes

fndice

806 807

810 814 816 819

825

830

83 1

832

835

Revisin de trminos matemticos y fsicos

1

-1 CIENCIA

Desde los tiempos ms remotos, el hombre ha manifestado interb por el undo natural que lo rodea. Este inteds es comprensible, ya que las fuerzas ; la naturaleza afectan nuestras vidas en una forma muy directa: el relm- go, los terremotos, las mareas, la lluvia y la sequa, para citar slo unos antos ejemplos, pueden tener efectos drsticos en la vida humana. Debido su ignorancia sobre las causas de estos fenmenos naturales, el hombre imitivo los tema y estaba cqmpletnmente a su merced; la supersticin y la lgia, que tanto han retrasado cl avance de la civilizacin, fueron el resul- lo de estos temores. No fue sino hasta que el hombre comenz a estudiar cuidadosa y desapa- nadamente las causas de los fenmenos naturales, que pudo alcanzar un :do ms alto de cjvilizacin. Estos estudios le llevaron a acumular una n cantidad de datos que, finalmente, agrup en leyes y teoras cuantita- 3s, que a su vez lo condujeron a efectuar descubrimientos posteriores. Con 3s descubrimientos cientficos, la mente inventiva del hombre cre las quinas y los procesos industriales, cuyo desarrollo guarda proporcin directa L el grado de civilizacin alcanzado. C1 proceso de sistematizar hechos experimentales en teoras o leyes en las : se puedan basar predicciones de estudios y sucesos futuros, puede con. :rarse como la esencia o naturaleza de la ciencia. :1 gran caudal de conocimientos reunidos a lo largo de siglos de estudios erimentales, condujo a una divisin general de las ciencias en la que cada 10 se relaciona ntimamente con los dems. Una de las clasificaciona :stas divisiones podra ser la de las ciencias fsicas, biolgicas, de mmpor.

[ 2 1 1

22 Revisin de trminos matemticos y fsicos

tamiento y sociales. Todas ellas tienen por objeto aplicar el mttodo cientfico al estudio de sus respectivos campos y difieren slo en que enfocan la atencin sobre distintos aspectos de la ciencia. Sin embargo, u11 buen cientfico debe, en ltimo caso, estar al tanto de los descubrimientos importantes que se realicen en los campos ms afines al suyo propio. Esto es particular- mente aplicable a las ciencias fsicas, que incluyen la fsica, la qumica, la geologa, la astronoma y la meteorologa. Como la fsica, se ocupa del estudio fundamental de la materia y de la energa, todas las demis ciencias fsicas recurren a ella para encontrar las relaciones bsicas que ayuden a interpretar los fenmenos de sus campos correspondientes.

La qumica trata de los cambios que ocurren cuando los itomos y las molculas interactilan entre s y sufren una transformaci6n de una forma a otra. Estos cambios comprenden a Iitolnos y moldculas en movimiento, I/' se ha encontrado que las leyes de fsica relacionadas con las fuerzas entre cuerpos en movimiento son esenciales para hacer un estudio cuantitativo de los itomos y las molculas. La ciencia de las matemiticas, a su vez, es de gran importancia para todas las dems ciencias, ya que su aplicacibn al a d i s i s de resultados experimentales hace posible formular csos resultados de una manera cuantitativa y exacta.

1-1.1 Observaciones y mediciones

El primer paso en el estudio de los fedmenos naturales cs la observaci61 de dichos fenmenos. Estos hechos perceptibles constituyen nuestro micc contacto con el mundo fsico y son nuestros sentidos los que se encargan d comunicrnoslos. As pues, los datos experimentales que obtenemos consi: ten en sucesos observables y son buenos en la medida en que lo sean nuestro mtodos de deteccin. El hombre ha aprendido, por medio de la experienci: que sus propios sentidos estin limitados de muchos nod dos y ha inventad instrumentos ingeniosos que le ayudan en sus observaciones (el telescopio, I microscopio, la celda fotoelctrica, etcktcra). Sin embargo, no se establece 1111 distincin fundamental- entre las observaciones obtenidas por medio de in trumentos y las rccabadas mediante los sentidos exclusivamente, y que interposicin de un instrumento no afecta la realidad de la observacibn.

La meta final es obtener relaciones cuantitativas entre elementos obscrv bles. De esta manera, se sabe que cuando un cuerpo se desprende de la mar cae a tierra. Lo que tiene mayor importancia es conocer la relacin entre distancia que recorre y el tiempo de cada. Para que sea posible obtener es resultado es necesario aplicar el proceso de medicin a la observacin. La 11 dicin es la asignacin de un nimero que indica el tamaio o la magnitud lo observable.

L a seleccin de los elementos observables es puramente arbitraria y se tx en la experiencia y la utilidad. Los elementos observables fundamentales, 10s que pueden derivarse todos los dems, son la longitud, la masa v el tiem] Una vez que se ha seleccionado lo que se va a observar, deben asignarse rlnidades de medicin para 10s tres. En las ciencias fsicas, el sistema de L]

Ciencia 23

dades universalmente aceptado es el mtrico. En l, la longitud se expresa en centmetros (cm), la masa en gramos ( 9 ) y el tiempo en segundos (seg) . Por ello, al sistema mtrico se le cita a menudo como sistema centmetro- gramo-segundo o, ms brevemente, sistema de unidades cgs. Una de sus ventajas reside en las relaciones decimales que existen entre las unidades fundamentales y otras unidades de los mismos elementos observables. Estas relaciones se indican mediante prefijos en las unidades bsicas, esto es:

mega 1 .ooo,ooo ( 10" kilo 1 O00 ( 10" deci 1/10 ( 1 O-' ) centi 1/100 ( I O - 2 ) mili 1/1000 (10-3 j micro 1 1 .ooo,ooo (10-6)

As, un microgram0 es una millonsima de gramo, y un milisegundo es na milsima de segundo. Otro de los sistemas de medicin es el ingls, que tiene muchas desven-

ljas y no se utiliza en trabajos cientficos. Uno de sus mayores d fectos tdica en las difciles relaciones entre magnitudes de los mismos elementos bservables; por ejemplo, 1 libra = 16 onzas, 1 milla = 5280 pies y 1 ora = 60 minutos. Existen factores de conversin, de tal manera que no mstituyc un problema el pasar de un sistema a otro. En la tabla 1-1 se dan S factores de conversin.

ABLA 1-1 Valores aproximados de conversin Sistema ingls Sistema mhtrico

I lb avdp 453.6 g 1 cuarto 0.946 1

1 milla 1.609 km 1 seg 1 seg

1 P k 2.540 cm

La solucin de problemas cuantitativos se simplifica mucho cuando se uti- m las unidades de todas las cantidades que comprende la expresin. Por lo Ito, un problema debe resolverse siempre en funcin de la magnitud p las idades de todas las cantidades comprendidas.

CJEMPLO 1-1

,a densidad del agua a 20' C es 62.4 lb/pie3. Cuntos litros ocupan 500 g e agua a ZO'C? Puesto que el resultado que se desea es un volumen (litros), las unidades

e volumen deben aparecer en el numerador, como sigue:

24 Revisin de trminos nlaternticos y fisicos

1 pie3 1 Ib (12 ~ l g ) ~ ( 2 . 5 4 ~ m ) ~ 1z 62.4 lb 454 g (1 pie)3

volumen = 500 g x - x __ X X (1 P W

X---- lo cm3 = 0.5 1

1-1.2 Precisin de las mediciones experimentales

En toda ciencia experimcntal, cuando se repiten mediciones cuantitativas, se .encuentra que no siempre coinciden. Si se pesa cuatro veces un vaso de precipitados, podemos obtener las siguientes lecturas: 30.344 g, 20.343 g, 20.347 g y 20.341 g. Las diferentes lecturas se deben a errores experimentales, que pueden ser el resultado de la inexactitud del instrumento usado, algn cambio en las condiciones experimentales o la tcnica experimental que utiliza cada persona que pesa. Por 10 tanto, existen formas de presentar resultados experimentales, de tal manera que se indique la incertidumbre en dichos resultados.

Veamos primeramente una operacin repetida; por ejemplo, pesar un vaso de precipitados. Si usamos los cuatro valores que ya mencionamos, p I es el mejor resultado y cul su grado de incertidumbre? La dispersin de los valo. res experimentales determina la precisin del resultado, es decir, de lo bien que pueda reproducirse una observacin dada, en este caso el peso. El va lor que generalmente se considera tpico de una serie de operaciones repe tidas es la media aritmtica, esto es, el valor promedio. La media aritmktic; de los cuatro pesos es 20.344 g. Aunque este es el mejor valor, puede mu: bien no ser real. La precisin es el grado de coincidencia entre el valor rea y el valor promedio. Puesto que en la experimentacin siempre se encuen tran errores, no existen valores absolutos reales. En ciencia, los valores prc medio reales se obtienen de los resultados experimentales de varios investig dores competentes. Esta es la forma en que se llega al valor de la velocidas de la luz. Los valores reales de las pesas que se usan en balanzas analticas, S obtienen calibrndolos en funcin de los pesos verdaderos proporcionadc por la Oficina Nacional de Normas. Para lograr la precisin en la experime~ tacin, se deben utilizar instrumentos precisos y tcnicas exactas que, ca siempre, se obtienen por medio de la prctica.

La incertidumbre con respecto al mejor resultado de observaciones repe das, es lo que indica la precisin del resultado. Aunque existen varias form de calcular la precisin, slo nos ocuparemos de dos de ellas. Si se efectc nicamente unas cuantas mediciones, se tiene la incertidumbre sobre ligera concordancia o diferencia. Por lo tanto, se da a conocer la variacic de resultados, o sea el resultado mayor menos el menor. En el ejemplo de 1 pesadas que antes se mencionan, la variacin es 20.347 - 20.341 = 0.006 y el resultado se presenta como sigue: 20.344 -+ 0.006 g. Obviamente, e: variacin da los valores de peor precisin, ya que no se trata de un va promedio y no se toma en cuenta la anulacin de errores. Otra forma q se usa con frecuencia para indicar la precisin, es la desviacin media I promedio. Primero se obtiene la desviacin de cada resultado en func~ del valor promedio. En el caso del ejemplo que nos ocupa, estos valc

Ciencia 25

son, respectivamente: 0.000 g, 0.001 g, 0.003 g y 0.003 g. A continuacin, se saca el promedio de estos valores, que es 0.002 g. En consecuencia, el resultado se presenta como 20.344 ~t 0.002 g, que representa la cantidad en la que una sola determinacin promedio difiere del valor promedio y, por lo tanto, es una medida de la precisin de una sola determinacin. Observe que, puesto que se trata de un valor promedio, esfe valor de precisin es siempre menor que el valor de la variacin. Un mtodo para indicar la precisin, que no veremos aqu y que toma en cuenta la analacin de errores, es el de la desviacin estndar. Es conveniente hacer notar que una serie de mediciones puede ser sumamente precisa y muy inexacta. Esto se debe, casi siempre, a un error sistemtico en el instrumento que se usa o en el procedimiento experimental. Por ejemplo, una serie de pesadas puede ser muy precisa; pero muy inexacta, debido 2 que una de las pesas de la balanza que se emple no era exacta.

Como acabamos de mostrar, para registrar un resultado cuantitativo obte- nido en el laboratorio, se debe indicar su valor numrico, sus unidades y su precisin. La precisin de una sola medicin es el 'error en el valor numrico, que est limitado casi siempre por la sensibilidad del aparato de medicin. Se puede leer la bscula de una tienda con precisin de 50 g, cuando mucho, pero es posible leer la balanza analtica de laboratorio con una precisin de 0.0001 g. iCmo se indica la precisin de una sola determinacin? La mejor forma es limitarse a sealar l a incertidumbre con respecto a la medicin inmediatamente despus de su valor. Si se encuentra que un objeto pesa 53.22 g y la balanza puede pesar hasta con 0.02 g de precisin, entonces el peso se indica as: 53.22 -f 0.02 g. La medicin es buena hasta en 0.02 partes de 53.22, es decir, 2 partes de 5322 o, aproximadamente, 2 partes de 5300, que es alrededor del 0.04 yo. Por lo general, la magnitud del error queda implcita en la medicin registrada. Si alguien indica un peso de 53.22 g y nada ms, es casi seguro suponer que la medicin es precisa a k 1 unidad del ltimo lugar decimal. En consecuencia, 53.22 g tiene una precisin de & 0.01 g.

Ahora, se presenta el problema de cmo presentar correctamente e1 resultado de un clculo en el cual los valores que se usan tienen diferentes preci- siones. Por ejemplo, si efectuamos el siguiente chlculo

:I resultado se debe presentar aproximadamente con la precisin de la can- idad menos precisa que se us en el clculo. En el ejemplo citado, la canti- lad menos precisa es 98, que es correcta en una parte de 98. Por lo tanto, el esultado correcto debe indicar 61 (que es correcto en una parte de 61 ) y 10 60.5 (que es correcto en una parte de 605).

En operaciones de suma y resta, se debe conservar en el resultado cuando lucho el mismo nhmero de lugares decimales que tenga la cantidad del lculo con el menor nmero de lugares decimales. Al sumar 11 1.5, 36.65,

26 Revisin de trminos mutemticos y fsicos

1.001 y 15.1, obtendremos 169.3 y 110 164.251, \;a que cuando menos una de las cantidades que componell cl c;ilculo se da slo en di-cirnas.

1-2 ECUACIONES Y GRFICAS

Hasta ahora, nos liemos ocupado de la medicin de elenlentos observables o cantidades experimentales. La finalidad ( o la esperanza) del cientfico es tratar de relacionar los diferentes elementos observables en su experi- mento, CII la forma dc una ccllacihn matem6tica. La ecuacin es til, puesto que son IIICIIOS las variables quc c11 vcrdatl se deben medir; las otras se pueden calcular a partir de la ecuacibn.

Cuando una cantidad sc relaciona con otra por medio de alguna ecuacin matcmitica, se dice que una de las cantidades es funcin de la otra. As, si cl clcmento observable y est6 relacionado con el x, se dice que y es una fun- ciGn de x. Generalnlentc, esta relacibn se escribe, en notacin abreviada, conlo y = f (x ) (que se lee: y es una funcicin de x). Las variables de la ccuacibn se llalnan x y y. Cuando los valores de y dependen de los de x, es dccir, cuando los valores de y se determinan por medio de los de x puestos en la ccuaciOll, y se denomin, variable dependiente y x la variable indepen- diente. La t a r a que nos ocupa ahora es estudiar las diferentes formas quc pucdc adoptar la funci6n de x. f ( x 1, en a lgu~~as ecuaciones matemhticas inlportantcs en la qumica.

Una de las mejores maneras de llegar a l tipo de dependencia funcional que existe entre dos variables, es dibujar una grfica de las variables, en cjcs quc formcn ingulos rectos entre s. Los valores experimentales de 1111 ele- mento observable se marcan, digamos, en el eje horizontal (abscisa) v la variable asociada (casi siemprc la dependiente) se marca sobre el eje vertical (ortlcnada). Despus de vcr la forma de la cuna suave que se obtiene al conectar los puntos marcados dc este nlodo, se puede decidir la naturaleza de l a funcibn que relaciona las variables, cuando esta funcin tiene una form;l relativamente sencilla. A continuaci6n estudiarcnws algunas relaciones 0 f\1rlciollcs quc llos serir1 ttilcs CII trabajos futuros.

e11 d o ~ ~ d e 171 es la pendiellte clc la linea b su intercepcin con el eje y, es decir, es el ~ a l o ~ de y, cuando x = O. Como ejemplo de una relacin lineal veamos la Mrmula para l a collversin de grados centgrados ( C ) a grado: l~al1re~llwit ( OF). Las d o s esca1;ls sc clctcrlni11all Incdiantc los puntos de refe

Ecuaciones y grficas 27

00 O C Punto de

t 1

ebullicin del agua

100 divisiones de escala

0 *c Punto de fusin del hielo

Relacin de las divisiones de escala = m. =T 180 9 FIGURA 1-1. Puntos arbitrarios de rcfcrencia dc tcmperaturas, en las escalas Fahrenheit v centgrada.

rencia arbitrarios conlo las temperaturas de las mezclas en equilibrio de hielo y agua y de agua y vapor a 1 atrn de prcsin. En la figura 1-1 se muestran los 30s puntos de referencia con sus valores respectivos en anlbas escalas.

Si se representan estos puntos en u n a grfica, usando los valores de "F para 'a ordenada !* "C en la . abscisa, ,se puede trazar una lnea recta por estos )untos, como aparece en la figura 1-2. Si deseamos conocer el valor corres- )ondiente en grados centgrados a 60 grados Fahrenheit, lo ilnico que hay lue hacer es trazar una l nea paralela a la abscisa a partir de 60 grados Fahren- beit, sobre la ordenada de la curva. A esto le sigue un trazo desde el punto le la curv;1 paralelo a la ordenada hasta el punto de la abscisa que da el zsultado de 15.4"C. La pendiente de esta lnea, calculada en la forma que

ilustra en la figura 1-2, es 915 y la intcrcepcihn + 3 2 . E11 consecuencia, la upresi6n que relaciona "F con "C es

OF = 2.C + 32 (1 -2) sta ecuacin nos permite calcular el valor c11 grados Fahre11heit, o bier] en .ados centgrados, conociendo cualquiera de ellos.

28 Revisin de thminos matemticos y fsicos

EJEMPLO 1-2

Se encontr que la temperatura de un bao de agua es de 78F. Cul es la temperatura en ia escala centgrada?

La mejor forma de iniciar este problema es resolver la Ec. (1-2) para "C, lo cual nos da:

"C = $ ( O F - 32)

"C = $ (78 - 32) = 4 (46) = 25.6"C.

OF 280 -

Punto de ebullicin del agua

Punto de congelacin del agua

I I I I J -280 -200 -120 / 40 120 200 280 O C /c :

212-32 - 180 -9 100-0 100 - 5 - Pendiente =- -

-200 - -

-280 - FIGURA 1-2. Representacin grfica de "F = 9/5 "C + 32.

1-2.2 Relaciones de proporcionalidad inversa

La rclacin inversa de primera potencia est dada por la ecuacin

Esta ecuacin establece que y vara inversamente a la primera potencia de x es decir, conforme aumentan los valores de x, y disminuye, y al disminuir x, 1 aumcnta; k es una constante de proporcionalidad.

Un ejemplo de este tipo de funcin, en qumica, es la ley de Boyle, quc cstablece la relacin entre la presin P de un gas y su volumen V, a tempera

Ecwciones y grficas 29

tura constante. Cuando los valores de P se grafican en funcin de V, a temperatura constante, la grfica que se obtiene es una hiprbola semejante a la que se muestra en la figura 1-3. Desde el punto de vista matemtico, son permisibles tanto los valores positivos como los negativos de las variables, lo cual dara un segmento de la hiprbola en el tercer cuadrante. Sin embargo, puesto que las presiones y los volmenes negativos no tienen un significado fsico, lo nico que interesa es la porcin del primer cuadrante de la hiprbola. Observe que ambos extremos de la curva se acercan a los ejes de P y V, confarme la otra variable tiende al infinito ( 00 ). (Puesto que P = k/V, conforme V tiende a to, P tiende a cero; de igual manera, puesto que V = k /P , conforme P tiende a c o , V tiende a cero.) La descripcin de esta condicin sera que la curva tiende asintticamente a cero, conforme V 6 P tienden a a.

60 - PV=lOO

40 - Soluciones - fisicamente

reales 20 -

-60 -40 -20 I

20 40 60 V(I) -

- -20

fsicamente irreales

- . - -40 -

-60

1-2.3 Ecuacioneu cuadrticas

La ecuacin cuadrtica ms sencilla es aquella en que la variable x est levada a la segunda potencia y no se tiene ninguna otra potencia de x. or lo tanto,

I donde k es una constante. Esta funci6n da una parbola cuando se repre-

30 Revisicirr de terminos matenlaticos y fsicos

senta grficamente, con~o se muestra en la figura 1-+(a). Observe que, puesto que x est al cuadrado, tanto los valores positivos como los negativos de x dan valores positivos de y . Sc dice que la parbola que se obtiene mediante la ecuacin (1-4) es simtrica alrededor del eje. Si l a ecuacin tuviera la forma x = k'y', entonces, la parhboia sera simtrica alrededor del ejc x, como se indica en la figura 1-4(b).

Una fprma general de la ecuacin cuadrtica est dada por

ax2 + bx + c = O

en donde a, b y c son constantes. La soluci6n de esta ecuacin es:

Un ejemplo de esta ecuacin, que da la distancia S que recorre un cuerpo al

Y

(a) y=kx2

Y

(b) x=k'y2

FIGURA 1-4. Grfica de (a) y = kxz y (b) X = &y2.

Ecudciorzos y grdficas 31

EJEMPLO 1-3

Calcule el tiempo que requcrira u11 cucrpo para caer 10 pics con una -aceleracin de 32 pies/scg', si ticne una vclocidad desccndcntc inicial de 5 pies/seg.

Despus de reordenar la ecuacin ( 1-6), obtencmos

$at2 + vot - S = O La ecuacin (1-5) da

AI substituir los valores Y" -- 5 pies/seg, a = 32 pies/seg' y S = 10 pies, obtenemos:

- 5pie/seg_t d m g 2 + (2)(32pic/seg2)(10pz 32 pie2/seg'

t = -

- 5 pie/seg? d(25 + 640) piciseg: 32 pie/seg'

t =

t = - 5pie/segt 25.8pieIseg 32 pie/seg2

. __ .

Como podemos ver, esto nos da dos soluciones, -0.96 seg y +0.65 seg. La primera solucin no tiene un significado fsico, ya que no existen tiempos negativos, de manera que debe desecharse en favor de la segunda, que es la respuesta al problema.

Si fuera posible, los cientficos preferiran expresar sus resultados en forma leal, ya que las pendientes y los puntos de interseccin de lneas rectas son ciles de determinar grficamente. En muchos casos, una expresin cuadr- :a se puede transformar en ecuacin lineal. Veamos la energa potencial, P., de una masa, m, unida a un resorte sin peso, que est dada por

P.E. = 4kx2 1 2 3 5 6 1

32 Revisin de trminos nwfemticos y fsicos

FIGURA 1 - 5 . Desplazamiento de una masa unida a un resorte sin peso.

en donde k es una constante y x el desplazamiento del resorte desde X = O, como se muestra en la figura 1-5. Si la expresin anterior se divide por x, obtenemos

Si E.P./x se representa grficamente cn funcin de x, se obtiene una lnea recta cuya pendiente es M k y cuyo punto de interseccin es cero. Esto se ilustrar en un ejercicio al final del captulo.

1-2.4 Sumas

Un smbolo muy conveniente para indicar una suma de cantidades es e signo X. Dadas las cantidades b,, b,, b, . . b,, en donde los valores de 1 pueden ser nmeros o funciones de una variable, s i se desea sealar el procesc de sumar todos estos valores se puede escribir en la forma larga de la maner. usual :

Sin embargo, esta ms conveniente:

bl + bz

suma se puede indicar con una notacin taquigrfica

n


En esta notacin, i designa el valor especfico que b tendr en la serie, y los miembros de dicha serie los formar el valor asignado a i. El subndice y el exponente de X indican qu valores se deben dar a los lmites superior e inferior de i, respectivamente. Todos los valores sucesivos de i, entre estos dos lmites, se deben incluir, a fin de generar una serie completa. Algunas series no terminan en un valor finito de b, sino que continan hasta el infinito. Este hecho se denota haciendo al exponente igual a infinito; en tal caso, la serie se escribira como sigue:

Esta ltima se conoce como serie infinita. No es neccsario que la serie xincipie con i = 1; puede iniciarse con cualquier nmero que se desee. 1, continuacin se dan unos ejemplos:

EJEMPLO 14

Evale la suma 0 2

~ = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 2 7 0=2

EJEMPLO 1-5

Svale la suma L O

34 Revisibn de tdrminos matemticos y fsicos

n- 1 n-1

c 2 ( 2 1 + 1) = (41 + 2) = 2 + 6 + 10 + 14 + . . . =O L O

= 2 + 6 + 10 + 14 + . . . + 4n-2. Puesto que es una progresin aritmtica,

n- 1

1-2.5 Exponentes y logaritmos

Los exponentes se usan como abreviaturas para la multiplicacin repetik de un nmero por s mismo. Las cantidades 10' y lo3 son notaciones abre viadas de 10 X 10 y 10 X 10 x 10, respectivamente. Es evidente que

o bien, en una forma ms general,

Por otro lado, ( 102p significa ( 10) z( lo cual, de acuerdo co la ecuacin (1-9), es 10". De una manera general

Para abreviar la divisin repetida de un nmero se utiliza un exponen negativo. Las cantidades y son notaciones abreviadas de X fi y $b x & X & , respectivamente. Por supuesto,

Por lo tanto, al cambiar un nmero exponencial del numerador al der minador, o bien del denominador al numerador, lo nico que cambia es signo de exponente. De donde,

Las operaciones que se efectan con exponentes fraccionarios son las r mas que se usan cuando se trata de exponentes enteros. Por ejeml

Ecuuciones y grjcas 35

Por definicin, cualquier nmero elevado a la potencia de cero es uno, es decir, no = 1. Entonces, por lo que acabamos de ver, cualquier nmero positivo se puede expresar exacta o casi exactamente como un nmero que no sea uno, elevado a a!guna potencia. Por ejemplo, el nmero 31.6 se puede expresar C O ~ O ~ O ~ . ~ , ya que = ( 1 8 ) ( W 5 ) = 10 m= 10( 3.16) = 31.6.

El logaritmo es el exponente de un nmero, siendo el nmero mismo la base del logaritmo. Por ejemplo, en la ecuacin 5" = 25, 5 es la base, 2 es el exponente o logaritmo y 25 es el nmero resultante de la operacin. Esto se puede escribir tambin como log, 25 = 2, es decir, el logaritmo de 25 a la base 5 es 2. Cuando se usa la base 10, los logaritmos se denominan logaritmos comunes y se indican sencillamente como "log". De manera que

log 0.01 = log 10-2 = -2 log0.1 = log IO" = - 1 log 1 = log 10 = o log 10 = l o g 101 = 1 log l o o = log 102 = 2

Es conveniente recordar tres propiedades comunes de los logaritmos:

log ( X Y j = log x + log Y (1-12) log ( X / Y ) = log x - log Y (1-13)

log xa = a log x (1-14) Estas propiedades se siguen de la definicin de un logaritmo y de las

peraciones con exponentes. Encontremos ahora el log de 256, que se puede escribir como log 256.

'1 nmero 256 queda en algn punto comprendido entre 10' y lo3, de mde, el log 256 es 2 + una fraccin, ya que ( lo2) ( 10fracci6n) = 256. El mero 256 se puede escribir 2.56 X lo', lo cual da, usando la ecua- n (1-12),

log(2.56 X 102) = log 2.56 + 2 log 10 = log 2.56 + (2) (1) Los logs de los nmeros cero a diez se dan en una tabla logaritmica, en que encontramos que log 2.56 es 0.4082, ya que 10.4082 = 2.56. Por lo

nto, log 256 = 2 + 0.4082 = 2.4082. De manera que 102.4082 = 256. Resumiendo, para encontrar el log de un nmero: 1. Se escribe el nmero como potencia de 10, de manera que se exprese mo un nmero comprendido entre 1 y 10, multiplicado por 10, elevado un exponente entero. 2. Se busca el log del nmero entre 1 y 10 que se encontri, en el paso I que ser un nmero comprendido entre O y 1.


3. Se suma el resultado decimal que se encontr en el paso 2 y el exponente entero del paso 1.

Veamos ahora la forma de hallar un nmero cuando se conoce su log. Por ejemplo, encontremos el nmero cuyo log es "1.5730. A dicho nmero se le da el nombre de antilog de -1.5730. Puesto que el log es -1.5730, el nmero resultante, 10-1.57:10, est eatre 10" y 10". El log se podra expresar como la suma algehrsica (-2 + 0.42'70) y, por lo tanto, el nmero se puede escribir como 10(--L+0.427U) (lo--?) ( I O + " . 4 2 7 0 ) . El nmero 10.4ziu queda entre 1 y IO, y su valor, al buscarse en la tabla logaritmica, resulta ser 2.67. Entonces, el nmero ( IO--p) ( es 2.67 x 10".

Para encontrar el antilog de un nmero: 1. Se escribe el nmero como la suma algehraica de un decimal positivo

ms un entero, que puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el nmero es mayor o menor que 1, respectivm~ente.

2. Se busca el antilog del decimal y se expresa como un nmero comprendido entre 1 y 10.

3. El antilog del nilmero original es el nmero que sc encuentra en el paso 2 multiplicado por 10 elevado a un exponente, que es el entero que s t encontr en el paso 1. ___- EJEMPLO 1-6 Evale

(5670)2 x 0.367 201 x (0.00276)1/3

Sea (5670)2 x 0.367

201 x (0.00276)1'3 N =

Si usamos las ecuaciones (1-12), 1-13) y (I++),

log N = 2 log 5670 + log 0.367 - (log 201 + Q log 0.00276) b g N = 2 log(5.670 x 103) + log(3.67 X 10-1) - log(2.01 x 102) M M i__y"---i

3.7536 - 1 + 0.5647 2.3032 - ilog(2.76 x 10-3)

-3 + 6.4409

log N = 5.6217 Al sacar el antilog, tenemos que N = 419,000. ____


Se ha encontrado que el nmero e, comnmente usado en matemticas, tiene el valor 2.71828. , . (vea el problema 11 de este captulo). Como en 21 caso de n y \ / T e es un n6mero irracional. Se puede desarrollar un sis- rema de logaritmos que juega un papel importante en qumica, usando ? como base, en vez de 10. Estos logaritmos se denominan de base e 6, ms 'recuentemente, logaritmos naturales. En este libro, los logaritmos naturales ' los comunes se distinguirn como sigue:

logaritmo natural de y (base e) se escribe In y logaritmo comn de y (base 10) se escribe log y

I'or definicin, el logaritmo natural de un nmero N es el exponente de la cuacin

baseUoseritmo) = nmero

bien,

@ = N (1-15)

Al tomar los logaritmos naturales de ambos lados, obtenemos:

x l n e = I n N (1-16)

Puesto quc e' = e, In e = 1 y

x = l n N (1-17)

Jando x = O, N = 1, como sucede en el caso de los logaritmos comunes. En los logaritmos comunes se usa una definicin anloga:

10' = N

lien,

(1-18)

y = log N (1-19)

relacin entre log N y In N se puede encontrar en la siguiente forma: toman los logaritmos comunes de = N, lo cual nos da x log e = log N. hacemos esta ecuacin igual a la ecuacin (1-16), obtenemos:

l n N = - log N log e ( 1-20)

donde el logaritmo natural de cualquier nmero se puede obtener divi- ]do el logaritmo comn de ese nmero entre el log e. Sin embargo, e es

38 Revisin de tdrminos matemticos y fsicos

un nmero puro y log e se puede encontrar en las tablas de logaritmos comunes. En consecuencia, log e = log 2.71828 = 0.4343 y l/log e = 2.303. Si substituimos este valor de l/log e en la ecuacin (1-20), tenemos que

In N = 2.303 log N (1-21)

Las reglas para sacar los logaritn~os naturales de productos, cocientes y exponentes son exactamente las mismas que se utilizan en el sistema comn.

1-2.6 Funciones exponenciales y logaritmicas

Las funciones definidas por

y = @ Y y = e-" (1-22) se denominan funciones exponenciales. La grfica de estas funciones se ilustra en la figura 1-6. Observe que, para valores positivos crecientes de x, la curva de y = @ va en aumento indefinidamente, en direccio positiva. Con- forme x aumenta en direccin negativa, la funcin @ tiende, en forma asin- ttica al eje x (y = O).

Y Y

X

' X -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -4 I'IGURA 1-6. Grfica de y = e= y y = e-=.

Y 3r

FIGURA 1-7. Grfica de y = In x.

Ecuaciones y grfxas 39

Sin embargo, la funcin y = e-" aumenta-en la direccin positiva y para valores negativos crecientes de x, y se acerca asintticamente al eje x, conforme x tiende a infinito. Es importante hacer notar que tanto eZ como e-" son iguales a +1, cuando x = O, ya que cualquier nmero elevado a la potencia cero es 1.

Por definicin del logaritmo, la funcin y = b se puede expresar como x = In y. Observe que esta funcin logaritmica es la inversa de la funcin exponencial. En la figura 1-7 se muestra una grfica de la funcin logaritmica y = In x. All vemos que la curva nunca llega a x = O y que tampoco son posibles valores negativos de x. Esto se debe a las propiedades de los logaritmos en que In O y In (-x) no estn definidos.

Las expresiones ms generales para las ecuaciones exponenciales que se dan :n la Ec. ( 1-22) son:

y Aena Y y = Ae- (1-23)

:n donde A y B son constantes numricas. La constante A es la interseccin en a ordenada, es decir, el valor de y en que x = O, ya que y = AeBio) = A y = Ae-B(0) = A. La constante B indica lo pronunciado de la curva; mientras

nayor es su valor absoluto, ms aguda es la forma en que aumenta la curva :xponencial positiva y tanto ms pronunciada es la cada de la curva expo- lencial negativa.

EJEMPLO 1-7

Durante cierto perodo, el perxido de hidrgeno se descompone en agua y oxgeno. La concentracin del perxido de hidrgeno que se da a conti- nuacih, se determin experimentalmente a diversos intervalos.

Tiempo (seg) O 200 400 600 800 900 2000 Concentracin 23 19.3 16.2 13.6 11.4 10.5 1.5

Encuentre una expresin emprica que relacione la concentracin del perxido de hidrgeno como una funcin del tiempo.

La figura 1-8 es una grfica de la concentracin en funcin del tiempo, en donde se indica que la concentracin del perxido de hidrgeno, en cualquier tiempo dado, se puede encontrar mediante una expresin exponencial. Se ]leg6 a esta conclusin debido a que la forma de la curva es similar a la curva exponencial que se da en la figura 1-6. De ser as, la con- centraci6n en cualquier instante dado t , Ct se puede representar mediante:

C, = Ae-Bt en donde A y B son constantes empricas. Para evaluar A, se observa que a f = O, C, = Ae-(o),t =Z A. De manera que A = Ct=,,, lo cual nos da


O 4 8 12 16 20 t x (seg)

FIGURA 1-8. Grfica de la concentracin en funci6n del tiempo, de la descomposicin del perxido de hidrgeno.

Ahora, utilizando la propiedad de los logs,

In Ct = In Ct,o - Bt Y

Si la ecuacin exponencial representa efectivamente los datos, entonces la grfica del log Ct en funcin de t debe dar una lnea recta cuya pendiente sea igual a --B/2.303. Esta grfica aparece en la figura 1-9. El valor de B. que se calcul por medio de la pendiente, es 0.0391 seg-l. Puesto que sc obtuvo una lnea recta, la descomposicin del perxido de hidrgenc se puede representar mediante la ecuacin

Definiciones tomadas de mecnica y electricidad 41

Asimismo, debe hacerse notar que la fraccin de la concentracin original que queda en cualquier instante t, est dada por

Ct " - e-0.039t G o

1-3 DEFINICIONES TOMADAS DE MECANICA Y ELECTRICIJIAD

La mejor descripcin del movimiento de los cuerpos macroscpicos la contienen tres leyes sencillas, propuestas inicialmente por Isaac Newton (1642- 1727). Los postulados de estas leyes son los siguientes:

Ley I Un cuerpo en reposo se mantiene en reposo y un cuerpo en movimiento tiende a seguir en movimiento a una velocidad constante a lo largo de una lnea recta, a menos que una fuerza no equilibrada acte sobre ellos.

c a o

u Pendiente = -0.017 U a

M O A

I I I O 4 8 12 16

t x (seg)

FIGURA 1-9. Grfica del logaritmo de concentracin en funcin del tiempo, correspondiente a la descomposicicin del perxido de hidrgeno.

7 I1 Una fuerza no equilibrada que actila sobre un cuerpo, hace que &te se acelere en la direccin de la fuerza; esta aceleracin es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a ]a masa del cuerpo.

123587

42 Revisin de thl inos matemticos y fsicos

Ley 111 Si dos cuerpos ejercen fuerzas entre s, la fuerza del primero sobre el segundo (accin) es de igual magnitud y direccin opuesta que la fuerza que el segundo cuerpo ejerce sobre el primero (reaccin).

Es importante recordar que estas leyes se basan en una gran cantidad de datos experimentales que obtuvieron, principalmente, Galileo y Newton. Estas leyes son, entonces, el resultado de la experiencia.

La expresin matemtica de la segunda ley es:

F = ma (1 -24)

cn donde m es la masa del cuerpo y a su aceleracin debida a la fuerza no equilibrada F que acta sobre l. Observe que slo una fuerza no equilibrada puede producir un movimiento acelerado. Si las fuerzas que actan sobre el cuerpo estuvieran perfectamente equilibradas, no se registrara una aceleracin del cuerpo. De la misma manera, de acuerdo con la primera ley, si el cuerpo estuviera ya en movimiento debido a la aplicacin de fuerzas equilibradas, seguira movindose a una velocidad constante y no se acelerara; si estuviera originalmente en reposo, continuara en reposo.

1-3.1 Unidades de fuerza De acuerdo con la Ec. (1-24), las unidades de fuerza dependen de las

unidades que se empleen para expresar la masa y la aceleracin. Las que ms frecuentemente se usan en el trabajo cientfico son las unidades mtricas; el qumico utiliza el sistema cm-g-seg (cgs). En este sistema, la masa se expresa en g y la aceleracin en cm/segz. Esto hace que la fuerza sea

que se llama dina. As pues, la dina se define como la fuerza no equilibra da que, al actuar sobre una masa de 1 g, le da una aceleracin de 1 cm/seg:

1-3.2 Trabajo y energa El trabajo se define como el producto del desplazamiento producido p(

una fuerza que acta sobre un cuerpo y la componente de la fuerza paral a este desplazamiento. Analice el diagrama que aparece en la figura 1-1 en el que la fuerza aplicada F acta sobre el cuerpo m para producir el dr plazamiento d en la direccin x. Puesto que la fuerza. aplicada forma I ngulo 0 con la direccin x, la componente de la fuerza paralela a este dc plazamiento F,, se da por

Definiciones tomadas de meccinica y electricidad 43

Y

Trabajo =Fdd =Fd cos 8

FIGURA 1-10. Trabajo que realiza una fuerza F al actuar sobre un cuerpo m.

Entonces, por definicin, el trabajo se expresa matemticamente como

W = Fd X d = Fdcos6 ( 1-26)

Es importante observar que slo la componente de la fuerza que acta en la lireccin del desplazamiento contribuye al trabajo. As, la componente per- xndicular de la fuerza F, en la figura 1-10, que es igual a F sen @, no contri- >uye en nada al trabajo. De igual manera, si la fuerza se aplica slo en la lireccin del desplazamiento, entonces, cos O" x 1 y F = F,,.

La unidad del trabajo en el sistema cgs es la dina centmetro y se denomina rgio. Un erg es el trabajo que efecta una fuerza de una dina que se mueve 10 largo de una distancia de 1 cm. Si un agente es capaz de efectuar un trabajo, se dice que posee energa.

:S ms, podemos indicar que la cantidad de energa que posee un agente es ya1 a la cantidad de trabajo que puede desarrollar. En consecuencia, el tra- ajo y la energa se expresan en las mismas unidades y son esencialmente mismo tipo de cantidad. La energa se puede manifestar en muchas for-

.as: qumica, trmica, de masa (la energa liberada cuando la masa se con- erte en energa, como sucede en las reacciones nucleares). Las formas de lerga debidas al movimiento de un cuerpo, ya sean reales o posibles, denominan energa cintica y potencial, respectivamente.

La energa cintica es la capacidad que posee un cuerpo para efectuar un tbajo debido a su movimiento. La expresin de la energa cintica se puede tener de la siguiente consideracin. La fuerza necesaria para poner un erpo en movimiento, despus de estar en reposo, la da la segunda ley Newton. Si la distancia que recorre el cuerpo bajo el influjo de esta

:rza es d, el trabajo l o da la Ec. (1-26). Se puede demostrar que la di$ cia d se relaciona con la velocidad final y y la aceleracin a, mediante la ]acin


As, la energa cintica E.C. debida a estc movimiento es

(1-27)

La energa potencial es la capacidad que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo, en virtud de su posicin. Se puede obtener una expresin para la energa potencial, por medio de la fuerza aplicada al cuerpo, a fin de elevarlo a su nueva posicin. La fuerza, en este caso F,, es la que ejerce la gravedad y, de acuerdo con la segunda ley de Newton, se sigue quc

en donde g es la aceleracin debida a la gravedad. Hagamos que el cuerpo se eleve a una altura h; el trabajo que se efecta para elevar el cuerpo a esa altura contra la fuerza de gravedad es, entonces, el trabajo almacenado dentro del cuerpo o su energa potcncial, E.P., que se cxpresa como

(1-28)

En la ecuacin (1-27) podemos ver que cuando v = O, E.C. = O. Esta condicin sirve como referencia natural para la energa cintica cero. No obstante, como observamos en la ecuacin ( 1-28), no existe una energa potencial natural igual a cero, ya que no hay una altura natural cero. En consecuencia, no se puede hacer referencia a un potencial absoluto, sino que se deben considerar slo diferencias en energa potencial entre dos puntos, tomando uno de ellos corn3 referencia. En algunos casos (ver la seccin 1-3.7), se selec- ciona por acuerdo un cero de energa potencial. La seleccin de la energa potencial gravitacional como cero se hace cuando los cuerpos estn infinitamente separados.

1-3.3 Conservacin y transformacin de la energa Puesto que el trabajo y la energa son una misma cosa, es evidente quc

cuando el cuerpo efecta u11 trabajo, debe perder energa; la prdida de mer ga es exactamente igual a la cantidad de trabajo efectuado. Sin embargo, 1; energa que pierde el cuerpo que lleva a cabo el trabajo, la gana totalmentl el cuerpo sobre el cual se efectila dicho trabajo. En general, el resultad1 neto es que no se pierde nada de energa del universo como un todo. Com ejemplo, consideremos un cuerpo que se mueve a una velocidad de v1 cm/se! En consecuencia, su energa cinktica se da por mv,/2. Cuando este cuerp choca con otro, originalmente en reposo ( Y = O ) , y le imparte una veloc dad vp, en donde vz es menor que Y , , el primer cuerpo efecta un traba! sobre el segundo que es igual a mv2/2. Esta energa la pierde el prim1 cuerpo; pero la gana en su totalidad el segundo. Esto se puede ilustrar m diante el ejemplo que se ve en la figura 1-1 l .

Definiciones tomadas de mecdnicd y electricidud 45

Antes del choque Despus del choque

u=o E.C. =12.5 ergs E.C. =o E.C. =8 ergs E.C. =4.5 ergs

Energa total =12.5 ergs Energa total ~ 1 2 . 5 ergs FIGURA 1-11. Ilustracin de la ley dc conservaci6n de energa entre dos cuerpos que chocan.

Un cuerpo cuya masa es I g y que se desplaza en direccin positiva x, a la velocidad de 5 cm/seg, choca con otro cuerpo de igual masa que originalmente estaba en reposo. El resultado del choque es que los dos cuerpos se mueven en la direccin positiva x, habiendo impartido el primero al segundo una velocidad de 3 cm/seg. La energa original total del sistema, que se compone de los dos cuerpos, se obtiene mediante la ecuacin (1-27), como sigue :

Energa total antes del choque = 1 g x l g x (o$

2 +- = 12.5 ergs 2 ;onlo la velocidad del segundo cuerpo despuds del choque es de 3 cm/seg, u energa es de 4.5 ergs, y puesto que el primer cuerpo perdi esta energa Iurante el choque, el segundo debe tener una energa igual a 12.5 ergs - 4.5 rgs I 8.0 ergs. Si se conoce la energa cindtica del primer cuerpo, su veloci- ad despus del choque se puede obtener de la ecuacin (1-27), y es 4 cm/seg. kte anlisis se puede generalizar estableciendo que la suma de las energas nkticas de todos los cuerpos, antes del choque, debe ser igual a la suma de S energas cindticas de los mispos despuds del choque. Como segundo cjcmplo, consideremos u11 bloque de madera en la parte lperior de un plano inclinado. Se efectila un trabajo para elevar el bloque, crementando as su energa potencial. Cuando se deja que el bloque se :slice por el plano, parte de esta energa potencial se convierte en energa ltica de movimiento. Si no se pierde energa en la forma de energa de ccin, el aumento en la energa cintica ser precisamente igual a la reduc- in de la potencial. Si, por el contrario, parte de la energa potencial se usa ra contrarrestar la friccin, es decir, se efectila un trabajo en contra de una :rza de friccin, la energa cintica en l a parte inferior scr menor que en el o de ausencia de friccin, exactamente en la misma cantidad de trabajo : se desarrolla pard contrarrestar la fuerza de friccin. No obstante, esta :rga no se pierde, sino que aparece en forma de calor. Los dos ejemplos eriores ilustran una ley general, que se conoce como la de la conservacin la energa. Esta establece que la energa se puede transformar de una a L forma, pero nunca se crea ni se destru)-e. Por tanto, la cantidad total energa del universo se mantiene constante.

46 R,evisin de t&rminos matemticos y fsicos

1-3.4 Movimiento circular; fuerza centrfuga y centrpeta

De acuerdo con la primera ley del movimiento de Newton, un cuerpo librado a s mismo se desplaza en line3 recta. Para que un cuerpo se desplace en una trayectoria circular, debe actuar sobre l una fuerza no equilibrada, a fin de mantenerlo en dicha trayectoria. Como se ilustra en la figura 1-12, cuando se hace girar una piedra atada al extremo de una cuerda, aqulla tira hacia afuera de la cuerda, al mismo tiempo que esta ltima se tensa y tira de la piedra hacia adentro. As, cuando la piedra alcanza una velocidad angular constante, se descubre que actan sobre ella dos fuerzas. Una de esas fuerzas se debe a que la piedra tira radialmente hacia afuera de la cuerda.

de i a piedra hacia adentro)

FIGURA 1-12 Fuerzas que act6an sobre un cuerpo que se desplaza a lo largo de un trayectoria circular.

La segunda es igual y en sentido contrario (tercera ley de Newton) y E debe a que el cordn tira radialmente hacia el interior. La primera fuer2 se denomina centrfuga (la que acta hacia afuera sobre el cordn) y la S gunda se llama centrpeta (la que tira de la piedra hacia el interior). En todl los movimientos sobre curvas, las fuerzas centrfuga y centripeta son igual y opuestas. Sin embargo, aunque son iguales, no se pueden equilibrar ent s, ya que no actan sobre el mismo objeto. Puesto que una fuerza no eqr librada siempre produce aceleracin, la fuerza centrpeta que acta sobre I cuerpo en movimiento circular, lo acelera continuamente hacia el centro c crculo. En realidad, este movimiento hacia el interior, junto con el mo miento progresivo del cuerpo, es lo que hace que se mueva, describien un crculo. El hecho de que el cuerpo efecte una aceleracin, a pesar que se mueve con velocidad constante, se explica porque la velocidad cuerpo cambia su direccin de un punto a otro, en la trayectoria circu

Definiciones tomadus de mecnica y electricidad 47

como lo indican v1 y vp en la figura 1-12. Cuando se tiene en cuenta este cambio de direccin, encontramos que la aceleracin es

a=- U 2 r

( 1-29)

en donde v es la velocidad del cuerpo que se desplaza en un crculo cuyo radio es r. Entonces, la fuerza centrpeta est dada por la segunda ley de Newton, F = ma, como

F = - - mu2 r

( 1 -30)

1-3.5 Fuerzas que actan entre cuerpos cargados; Ley de Coulomb

Hasta aqu, hemos estudiado slo el movimiento de partculas y las herzas que se relacionan con cuerpos en movimiento. Ahora, debemos tomar en consideracin las fuerzas que actGan en el caso de partculas que tienen pargas elctricas. En los tiempos ms antiguos ya se saba que cuando una varilla de hule duro se frota con un trozo de piel y luego se acerca a otra Frotada en la misma forma, las dos vadlas se repelen. Ms aim, si dos varillas le vidrio se frotan con seda y se acercan una a la otra, se observa tambin ma fuerza que hace que las varillas se alejen una de otra. Por otro lado, i la varilla de vidrio y la de hule, tratadas como se ha dicho, se acercan, se lescubre que se atraen. Es evidente que aqu acta una nueva fuerza, que luede ser de repulsin, como en los dos primeros casos, o de atraccin, como n el tltimo y que se denomina fuerza electrosttica o coulmbica.

La propiedad de la varilla de hule que se frota con piel y la de cristal rotada con seda, que acabamos de mencionar, se denomina carga elctrica. :S ms, es evidente que existen dos clases de cargas, ya que el efecto de la arilla de hule en la otra del mismo material es diferente que el que se logra m la de vidrio. Estos dos tipos de carga se han designado arbitrariamente )mo positiva en el caso de la varilla de vidrio y negativa en el de hule. be tales experimentos se llega a la conclusin de que la ley fundamental que )bierna la accin de los cuerpos cargados es: las cargas iguales se repelen rtre s; las cargas contrarias se atraen entre s. Acabamos de ver que las cargas iguales se repelen y las contrarias se atraen ltre s; no obstante, nada se ha dicho todava de la magnitud de las fuerzas te dan origen a esa atraccin y repulsin. Los primeros estudios cuantita- 0s de estas fuerzas los realiz Charles Coulomb (1736l806). Coulomb encontr que las fuerzas de atraccin y repulsin eran directa- :nte proporcionales al producto de las cargas e inversamente proporcionales cuadrado de la distancia que las separaba. Se ha encontrado tambin que, el caso de un vaco, la fuerza es:

48 Revisin de trminos matemticos y fisicos

(1-31)

en donde q, y q2 son las cargas de los dos cuerpos y r la distancia entre ambas. Esta situacin se ilustra en la figura I - l3(a) . Coulomb hall tambin que, cuando entre los cuerpos cargados se pona un medio, como agua, vidrio, etc.,

Medio Vaco material

H2O

I I

la fuerza se reduca, y esta reducci6n dependa del material que se usar2 ,4s, el agua produce una mayor reduccin de la fuerza que el vidrio. Si S tiene en cuenta el efecto del medio, la fuerza se puede expresar ahora com

y, puesto que E > 1, Flnrd," < Fv~,co. Cuando E = 1, la ecuacin (1-32) reduce a la (1-31). Los valores aproximados de E correspondientes ai a

Definiciones tomadas de mectinica y electricidad 49

1 vidrio y el agua a 25C son, respectivamente, 1,6 y 80. La reduccin en la Jerza que se observa cuando un medio se coloca entre dos cuerpos cargados, 2 puede explicar con l a ayuda de la figura 1-1 3 (b) , en donde el medio es p a . E n el captulo 3 veremos que se puede considerar que las molculas e agua poseen una pequea separacin de cargas, lo cual hace que un ex- 'em0 de cada molcula sea ms positivo que el otro. Por tal motivo, la lolcula de agua se representa por medio del smbolo (- +) en la figu-

l - l 3 (b ) , Los dipolos, como se denominan, tienden a neutralizar parte de carga en las cercanas de los cuerpos cargados, lo cual da como resultado

la carga efectiva menor en los cuerpos. Ya que la fuerza es proporcional las cargas, el efecto neto de las molculas de agua es reducir la fuerza.

1 constante dielctrica es simplemente una medida de la capacidad del edio para reducir la carga de los cuerpos. Por tanto, se puede esperar le la fuerza entre las cargas en el H,O se reduzca en un factor de 1/80, I comparacin con la fuerza en el aire o el vaco. Se puede usar la ecua- 5n de Coulomb para definir la unidad de carga. En el sistema de unidades xtrostticas (ESU), la unidad esu de carga se define como la carga que, ando se coloca en el vaco ( E = 1) a 1 cm de distancia de una carga simi- ., experimenta una fuerza de repulsin de 1 dina.

1-3.6 El campo elctrico 4 la regin en en torno a un cuerpo cargado se le denomina campo elc- :o de fuerza, puesto que cualquier otra carga que se site en esa regin Ierimentar una fuerza de atraccin o repulsin. La intensidad de un npo elctrico en cualquier punto se define como la fuerza que se ejercera r e una carga positiva unitaria que se colocara en ese mismo punto. Enton- , en una ecuacin, si q', expresada en unidades esu de carga eltctrica, se oca en un campo elkctrico y actha sobre ella una fuerza de F dinas, la in- sidad E, en ese punto, est dada en dinas por carga unitaria por

E = F F ( 1-34)

esta expresin, q' representa una carga que se coloca en un punto de un ~ p o ya existente y E es la fuerza del campo en ese punto, antes de la intro- cin de 4'. Si pasamos el valor de F de la ecuacin (1-32) a la (1-34), :mos

(1-35)

de fuerza, q' es una carga londe q es la carga que establece el campo tiva de prueba colocada a r cm de distancia de q y q' es la carga qe rimenta el campo de fuerza debido a q.

I

50 Revisin de trminos matemticos y fisicos

1-3.7 El potencial elctrico

Se sabe que una carga en el espacio lleva asociada un campo de fuerz; que ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga que se coloque dentro dc ese campo elctrico. Partiendo de la definicin del trabajo, resulta eviden te que para provocar el movimiento de una carga dentro de dicho campo, e preciso que se lleve a cabo un trabajo sobre la carga. Del mismo modo qul en un campo gravitacional, donde el potencial de un cuerpo cambia cuandc se mueve de un nivel a otro, el movimiento de una carga de una posicin otra, en un campo elctrico, hace tambin cambiar su potencial elkctricc Observe que se debe tomar en consideracin la diferencia de potenciales entr dos puntos, puesto que no hay cero natural de energa potencial. As pue: la diferencia de potencial elctrico entre dos puntos se define como el trabaj realizado al desplazar una carga positiva de un punto a otro, dividido por es calga. Observe que la diferencia de potencial elctrico es trabajo por unida de carga, no s610 trabajo como en el caso gravitacional; sus unidades so ergs/esu de carga. De esta definicin podemos obtener la expresin par Vaa, la diferencia de potencial entre los puntos u y b de un campo elctricl como

en donde W es el trabajo que se efectila para cambiar la carga positiva q d punto u al b. En unidades prcticas, la diferencia de potencial se da en vol, siendo 1 volt = 1/300 esu volt.

Para designar un potencial absoluto a cualquier punto de un campo elr trosttico, se debe seleccionar un punto arbitrario de referencia. De acuerl con la ley de Coulomb (ecuacin 1-32), la fuerza que acta sobre una carga infinitamente separada de otra carga q, es cero. Por tanto, es razona1 asignar un potencial absoluto de cero a un punto que est infinitamer separado del campo elctrico de carga q. Entonces, el potencial W,. en punto r es, simplemente, el trabajo que se realiza para traer la carga 4 des el infinito hasta una distancia r de la carga q. Por medio del cllculo, puede demostrar que

V T = 4

que es el potencial en un punto a, a r cm de una carga q. La unidad elect] ttica del potencial es el erg/esu, denominada esu volt. Si se usa el v; de q que obtuvimos en la ecuacin (1-35) en la (1-37) se obtiene

E = - V r

Se puede obtener un campo elctrico uniforme con un condensador COI

Definiciones tornadas de mectinica y electricidad 51

:rite en dos placas paralelas cuya superficie sea mucho mayor que la distan- ia r que las separe. Como se ilustra en la figura 1-14, si se mantiene una

FIGURA 1-14. Condensador de placas paralelas.

nte constante de potencial entre las placas, por medio de una batera cuya sin, esto es, su potencial elctrico, sea V, entonces, la intensidad del tpo entre las placas est dada por la ecuacin (1-38).

-3.8 Movimiento de la carga

1 movimiento de la carga se denomina corriente elctrica y se define como mtidad de carga positiva que pasa por un punto dado en una unidad de PO

k - 4 t

(1-39)

Jando q se da en unidades esu de carga y t en segundos, la corriente se xa como esu de carga/seg. En unidades prcticas, si la carga se expresa :oulombs ( 1 coulomb = 3 x log esu), a i se le llama ampere. As, un :re es un coulomb de carga que pasa por un punto en un segundo. corriente es anloga al flujo del agua. Para que el agua pueda fluir, hacerlo a travs de una diferencia de potencial. En forma similar, en- amos que la carga se mueve slo bajo la influencia de una diferencia

i 2 3 5 6 7

52 Revisi6n de trminos mtemciticos y fsicos

de potencial elctrico, que se mantiene con un generador elctrico que cor vierte energa mecnica en elctrica o bien, con una batera que transform energa qumica en elctrica. En un captulo posterior se profundizar tod; via ms en el funcionamiento de las bateras. La diferencia de potencial qu puede mantener una fuente se denomina fuerza electromotriz (fem) de 1 fuente.

Experimentalmente se ha encontrado que en el caso de la conduccid metlica (flujo de electrones en un alambre), la corriente i es direct amen^ proporcional a la fem & que la produce. Esta relacin se conoce como ley de Ohm y est dada par

E = RI (1-4

La constante de proporcionalidad R se conoce como la resistencia del co ductor. Cuando E se da en volts e I en amperes, R se denomina ohm.

1-3.9 Electromagnetismo

Uno de los descubrimientos ms importantes en relacin con el condud de corriente, es que a ste lo rodea un campo magntico. Dicho campo que situado concntricamente alrededor del conductor. Esto se puede demost en la prctica mediante el procedimiento que se ilustra en la figura 1-

Entra corriente

1 Sale corriente

FIGURA 1-15. El campo magntico que rodea a un conductor que porta corriente

El alambre que conduce la corriente se hace pasar por un cartn, coml indica en la figura; luego, se colocan imanes permanentes sobre el car Cuando la corriente comienza a pasar se advierte que los imanes se alir inmediatamente en crculos concntricos en torno al conductor. Es m direccin en que se orienta el polo norte de estos imanes, depende de la d cin en que fluye la corriente. La direccin del campo magntico qu produce en esta forma, se toma por costumbre, como aquella que sealar polos norte de estos imanes. De esta manera, vemos por medio del diagl

Definiciones tomadas de mecnica y electricidad 5 3

le la direccin del campo magnktico se puede determinar mediante la lla- ada regla de la mano derecha. Esta regla establece que cuando los dedos ; la mano derecha se curvan como si fueran a asir el alambre y el pulgar leda paralelo al conductor, si el pulgar seala en la direccin del flujo de la rriente, los dedos apuntarn a las lneas del campo magntico. Es de vital importancia distinguir con claridad entre el campo elctrico E 21 magndtico B. El campo elctrico es el que producen todas las cargas, ya 1 que estn en reposo o en movimiento. Las lneas de fuerza sealan radial- :nte hacia el exterior, desde un punto de carga positiva, y al interior desde punto de carga negativa, como se indica en la figma 1-16(a). Sin embar-

, una carga en movimiento produce un campo magntico B y sus lneas de :rza forman crculos conci'ntricos que quedan en un plano perpendicular a direccin del movimiento. Esto se ilustra en la figura 1-16(b). Con la .la que ya dimos se puede conocer la direccin de estas lneas.

E E

33.10 Fuerza que acta sobre una corriente en un campo magntico

n 1820, AmyGre demostr empricamente que cuando un alambre que a corriente forma un ngulo recto con un campo magntico, existe una a de interaccin que es igual al producto de l a longitud del alambre, Irriente y la intensidad del campo magntico. La ley de Ampke, expre- como ecuacin, adquiere la forma de

F = IIB (1-41)

mde F es la fuerza sobre el alambre de longitud I, que porta una co- :e I y est en ngulo recto con el campo magntico de intensidad B . y de la fuerza de AmpQe se puede usar para definir la intensidad del o magntico. La unidad del campo se define como el campo en que Inductor de 1 cm de largo, que forma un ngulo recto con el campo y una corriente de 1 esu de carga por segundo, experimenta la fuerza

lina. No existe un nombre especial para esta unidad, simplemente se le

54 Revisin de trminos matemriticos y fsicos

cita como el esu del campo magntico. Puesto que los imanes ordinarios producen campos muy grandes, la nueva unidad, el oersted (Oe), se define como

1 Oe = esu de campo magntict 3 x 1010

Al expresar I como q/ t en la ecuacin ( 1-41), obtenemos

Ya que Z/t = v, la velocidad de la carga, obtenemos finalmente

F = qvB (1-4:

Esta expresin es muy til para analizar el movimiento de cargas en u campo magntico, como se ver en el captulo 2.

Las ecuaciones ( 1-41 ) y (1-42) dan la magnitud de F; pero en much; aplicaciones es importante conocer la direccin de la fuerza en relacin c(

B B

NOTA: J, B, y F son mutuamente perpendiculares FIGURA 1-17. Regla para determinar las direcciones relativas de I, B y F.

Definiciones tomadas de mecnica y electricidad 5 5

1s direcciones que se conocen de I y R . La direccin de la fuerza, como se a demostrado experimentalmente, forma ngulos rectos con las direccio- es de I y B. Como ya sabemos que I es perpendicular (forma ngulo recto) 3, se dice que las tres cantidades F, I y B son mutuamente perpendiculares, decir, la direccin de cada una de ellas forma ngulo recto con la direccin

e las otras dos. Hay una regla que nos permite determinar la direccin de na fuerza que acta sobre una corriente en un campo magntico. Si se sos- enen en forma perpendicular el pulgar, el ndice y el medio de la mano :recha, como se ilustra en la figura 1-17, y el pulgar y el ndice sealan en

direccin de I y B, entonces la direccin de la fuerza es la misma que ,ala el medio. Observe que, al invertir la direccin de l a corriente, se in- erte la direccin de la fuerza. (El estudiante debe demostrarse a s mismo le, al invertir la direccin de B en la figura 1-17(a), manteniendo igual la reccin de I, se invertir tamtln la direccin de F.) Esta explicacin se relaciona con el efecto de un campo magntico sobre rgas en movimiento que se ven obligadas a fluir por un alambre. Una situs- 5n importante, que se estudiar en el captulo 2, consiste en una carga )re q que se desplaza en un vaco, a travs de un campo magntico uni- rme. Veamos, por ahora, lo que le sucede a una carga de ese tipo. Como ilustra en la figura 1-18, una carga que se mueve a velocidad Y penetra en campo magntico uniforme, de intensidad E , producido por el imn.

direccin de Y se supone perpendicular a B. En el instante en que la carga netra en el campo magntico, una fuerza F acta sobre la carga; la direc-

F en 4-9

F

FIGURA 1-18. Trayectoria de una partcula cargada en un campo magnktico.

~

56 Revisin de trminos matemdticos y fsicos

cin y la magnitud de esta fuerza estn dadas por la regla antes citada y la ecuacin (1-42), respectivamente. En consecuencia, la fuerza acta perpen dicularmente al plano del papel, como se indica en la figura 1-18. Depen- diendo del signo de la carga q en la figura 1-18. La direccin de la fuerza de deflexin sobre la carga ser hacia el plano para una carga positiva, o hack el exterior en el caso de una carga negativa. Puesto que la carga no est; restringida por un alambre, el resultado neto es que la desva el campo mag ntico. La fuerza magntica acta en cada punto dentro del campo, cor la magnitud constante que da por la ecuacin (1-42). As, en cada punt( de la trayectoria, a travs del campo, una carga negativa sufre una desviacix hacia afuera ms pronunciada todava. Esta fuerza constante que,acta sobrl la carga negativa es centrpeta y hace que la carga negativa se mueva en e arco de un crculo, como se demostr en la seccin 1-3.4. Si hacemos qu m y r sean, respectivamente, la masa y el radio de la trayectoria circula de la carga, l a fuerza centrpeta F , nos la da la ecuacin (1-30). Como est fuerza tiene su origen en la magntica, ambas se pueden igualar. Entonce de las ecu2dones (1-30) y (1-42) podemos obtener

o bien

mu = qBr (1-4

La magnitud de la velocidad no la afecta el campo magntico, slo cambia ~ direccin. Por lo tanto, Y tiene una magnitud constante en este movimien circular.

Esta ecuacin se usar en el captulo 2, al estudiar la determinacin de relacin .entre el cambio y la masa q / m del electrn, y en el anlisis ( movimiento de partculas cargadas en un espectrgrafo de masa.

BIBLIOGRAFfA

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1950), Captulos 1-7 y 10-15.

McGraw-Hill, 1963).

PROBLEMAS

1. Encuentre el logaritmo comn y el natural de ( a ) 3000, ( b ) 0.529, ( c ) 7.56. 2. El volumen de una pipeta volumtrica se normaliza con un liquido de densidad c

cida. Si un lquido cuya densidad es 0.8357 g/ml se introduce en una pipet: 2 5 ml, a la marca, y se encuentra que dicho volumen pesa 21 .O1 52 g, &IIO presentarse este volumen?

Problems 57

3. Hasta que cifra decimal deben pesarse las muestras siguientes, con el fin de tener una precisin de, cuando menos, hasta 2 partes por milsima, s i sus pesos aproximados son 0.3 g, 3 g, 30 g y 300 g?

4. Se necesitan 4.28 aos para que la luz de la estrella mhs c

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