L8.DINAMICA EN IS-LM

April 22, 2023 Macro. Roque Fernández 1

L8.DINAMICA EN IS-LM

SE MODIFICA EL SUPUESTO DE AJUSTE INSTANTANEO TANTO EN EL MERCADO DE

BIENES Y SERVICIOS COMO EN MERCADO DE ACTIVOS.


Nota de Análisis Matemático. Referencias:Simon-Blume, “Mathematics for Economists”Giancarlo Gandolfo, “Economic Dynamics”

• La formula del interés compuesto:1

1

100

11

( )

:

( )

%,

( )

t

nt

n

M C

Si la tasa es anual pero la capitalización es n veces en el año

M Cn

Ejemplo de capitalización contínua con

nn

1 2 2 2.25……………………….100.000 2.7182682410.000.000 2.718281693

11lim( )n

ne

n


• Buscamos el límite de la siguiente secuencia:

1

1 11 1 1

1 11 1 1

( )

Hacemos el siguiente cambio de variables o,

( ) ( ) (( ) )

lim( ) lim(( ) ) ( lim( ) )

,

n

n m m

n m m

n m m

nn

m n m

n m mEntonces

n m mluego

11

1

( lim( ) )

,

lim( )

m

m

nt t

n

em

En general

en


Ecuación Diferencial Básica.

1

0 0 1

1

0 0 1

0

( ) .

( )

( )

,

( ) .

( )

( )

t

t

y t e

t y

t y

Ahora

y t e

t y

t y

1

t

y(t)

1

t

y(t)

10

log, :

ln ( ) ln t

Tomando y diferenciando

d dy t e

dt dt

dy yy y

y dt y

Para encontrar los valores de y(t) se necesita conocer tanto el valor de “λ” como el valor de “y(0)”, que en este ejemplo es: y(0)=1.


1 2

1 2

1

2

1

2

1 11 12

2 21 22

1 11 12

21 222

1 1

2

0

0

t t

t t

tt

t

y k e k e

y k e k e

y k k ey Ke

k ky e

Diferenciamos

ey K K

e

Sistema de dos ecuaciones diferenciales:

En forma matricial

o también

1

2

1

2

1 1

2 2

2

1 1

2

1 11 1

2 2

0

0

0 0

0 0

t

t

t

t

t t

t t

e

e

ahora

ey K K K

e

e ey K K K A K K y K

e e

,

* definiendo ;


1

2

1 1

2

1

2

0

0

0

0

1

:

Observar " "

:

.

t

t

Definiendo

eA K K y K

e

Expresamos el sistema lineal

y Ay

que la matriz A es similar a

y las matrices similares tienen las siguientes propiedades

Ig

1 2 1 2

2

3

.

. Determinante

:

*

ual función caracteristicas y eigenvalues

Igual Traza

Igual

Significa

trA DetA


11

2

1

1

1 1

1

MATRICES SIMILARES TIENEN LA MISMA FUNCION CARACTERISTICA

Y LAS MISMAS RAICES (O EIGENVALUES)

0 donde L

0

como

( )

Calculamos el determina

A KLK

A I KLK I

I KK

A I KLK KK

A I K L I K

1

1 1

nte característico

( )

1( ) , pero como

1( )

( )

Significa que igual función característica e iguales raices.

A I K L I K

A I K L I K KK

A I L I KK

A I L I


11 12 11 12

21 22 21 22

2 211 22 11 22 21 12

Definiendo los elementos de A como

y el determinante característico

que genera la siguiente función característica:

( ) ( ) ( ) 0

Para c

a a a aA

a a a a

a a a a a a trA A

2

2 2 2 22

2

1,2

alcular las raices sumamos y restamos 2

( ) 02 2 2 2

Luego,

2 2

trA

trA trA trA trAtrA A A

trA trAA


2

El caso de soluciones complejas se da cuando <02

porque la raiz de un número negativo nos induce a trabajar con numeros imaginarios.

Para simplificar el tema supongamos que el componente rea

trAA

1,2

1,2

l es cero de manera tal

que la trA=0, y el determinante es uno

1 1

.1

Aqui se aplica la ecuacion de Euler,

cos sin

Con la expresión anterior se pueden generar trayectorias osci

it

A i

i

e t i t

lantes.

Si la parte real en lugar de ser cero es positiva el sistema es inestable y la trayectoria

de las variables es oscilante y se aparta del punto de equilibrio.

Si la parte real es negativa el sistema es estable la trayectoria es oscilanante y converge al equilibrio.

Cuando la parte real es cero, la trayectoria es oscilante y el equilibrio es neutral pudiendo ser

una órbita alrededor del equilibrio.


' '' 2 ''' 3

'

DERIVACION DE LA ECUACION DE EULER

Una expansión en series de Taylor de una función f: R R alrededor de x=0, es

1 1 1 1(0) (0) (0) (0) ...... (0) ...

1! 2! 3! !

Primero, dado que (sin ) cos

n nf f x f x f x f xn

x x

'

3 5 7 9

2 4

, (cos ) sin ,sin 0 0 y cos 0 1,

la expansión en Taylor de la función sin(x) alrededor de x=0 es

1 1 1 1

3! 5! 7! 9!la expansión en Taylor de la función cos(x) alrededor de x=0 es

1 1 11

2! 4! 6!

x x

x x x x x

x x

6 8

2 30 0 0 0 0

2 3

1

8!

Segundo, la expansión en Taylor de e alrededor de x=0

. ............. ........1! 2! 3! !

1 ............. .........1! 2! 3! !

Si x es un número imaginario puro de

x

nx

nx

x x

x x x xe e e e e e

n

x x x xe

n

2 3

2 3 4

2 4 3 5

la forma x=bi

( ) ( ) ( )1 ............. .........

1! 2! 3! !

Como 1, , 1,......

(1 .....) ( .....)2! 4! 3! 5!

cos sin

nib

ib

ib

ib ib ib ibe

n

i i i i

b b b be i b

e b i b


SUPUESTOS DE AJUSTE EN IS-LM.

• EN EL MERCADO DE BIENES Y SERVICIOS SE SUPONE QUE SE AJUSTA SOLAMENTE EL PRODUCTO EN REPUESTA A UN EXCESO DE DEMANDA.

• EN EL MERCADO DE ACTIVOS SE SUPONE QUE LA TASA DE INTERES SE AJUSTA EN BASE A UN EXCESO DE DEMANDA POR DINERO.

• EL ANALISIS DINAMICO PERMITE DETERMINAR LA ESTABILIDAD DEL MODELO BAJOS SUPUESTOS RAZONABLES DE AJUSTE.

• TAMBIEN PERMITE INFERIR LOS SENDEROS POR LOS CUALES LAS VARIABLES DEL MODELO TRANSITAN DE UN EQUILIBRIO A OTRO EQUILIBRIO EN REPUESTA A IMPACTOS EXTERNOS O CAMBIOS DE POLITICA.


CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

• ESTE CRITERIO APLICA A SISTEMAS ORDINARIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES AUTONOMOS, LINEALES, Y HOMOGENEOS.

• EN SISTEMAS NO LINEALES SE TRABAJA CON APROXIMACIONES LINEALES . SE UTILIZA TAYLOR PARA LOGRAR UNA PARTE LINEAL DEL SISTEMA QUE ES OBJETO DEL ANALISIS PRINCIPAL, Y UN RESIDUO NO LINEAL DEL SISTEMA QUE SE ANALIZA OCACIONALMENTE.

• LA PRINCIPAL CONVENCIENCIA DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ FRENTE A OTROS METODOS ALTERNATIVOS PARA ANALIZAR PROBLEMAS DE ESTABILIDAD CONSISTE EN QUE NO ES NECESARIO COMPUTAR EIGENVALUES O LAS RAICES DE LA ECUACION CARACTERISTICA.

• EN UN SISTEMA DE 2X2 LA TRAZA DE LA MATRIZ DE DERIVADAS PARCIALES ES IGUAL A LA SUMA DE LAS RAICES, Y EL DETERMINANTE ES IGUAL AL PRODUCTO.

• TIENE UNA FACIL INTEGRACION CON DESCRIPCIONES QUE USAN DIAGRAMAS DE FASES.


EL MODELO DINAMICO

m)y).(l(i,idt

di

y)y)f(i,.(gydt

dy

β

α

SE EVALUA LA SIGUIENTE MATRIZ DE DERIVADAS PARCIALES:

di

id

dy

id

di

yd

dy

yd

A

PARA QUE EL SISTEMA SEA LOCALMENTE ESTABLE SE NECESITA QUE LA PARTE REAL DE LAS RAICES SEAN NEGATIVAS. ESTO OCURRE CUANDO LA TRAZA DE “A” ES NEGATIVA Y SU DETERMINANTE POSITIVO.


CONDICION DE TRAZA Y DETERMINANTE

i.f.y.li.l1).y.(fA

i.l1)y.(fTr(A)

i.ly.li

.f1)y.(fA

αββα

βα

ββ

αα

SI LA PROPENSION MARGINAL AL GASTO ES MENOR QUE UNO LA TRAZA DE A ES NEGATIVA Y EL DETERMINANTE DE A ES POSITIVO. EN EL CASO QUE LA PROPENSION MARGINAL A GASTAR SEA MAYOR QUE UNO SE NECESITAN CONDICIONES ADICIONALES PARA ASEGURAR LOS SIGNOS NECESARIOS EN LA TRAZA Y DETERMINANTE.


PROPENSION AL GASTO MENOR QUE UNO

0Tr(A)0,A

01)y.(f1yf

α

PARA ILUSTRAR CON DIAGRAMA DE FASES SE OBSERVAN LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL DE “A”.

i

y

IS

LM

X


PROPENSION AL GASTO MAYOR QUE UNO

SE REQUIERE DETERMINAR LAS CONDICIONES QUE ASEGUREN QUE LA TRAZA RESULTE NEGATIVA Y EL DETERMINANTE POSITIVO.

βα β α

αβ

(f 1)yTr(A) .(f 1) .l 0y i li

1A . (f 1).l l f 0y yi i

(f 1).l l f 0 (1 f )l l f 0y y y yi i i i

CON PROPENSION A GASTAR MAYOR QUE UNO LA IS ES POSITIVAMENTE INCLINADA, Y LA CONDICION DEL DETERMINANTE SIGNIFICA QUE LA IS CORTA A LM DESDE ARRIBA.

ilif

ifyli

)lyf(1

LMdydi

ISdydi

ilyl

if

)yf(1

LMdydi

ISdydi

ilyl

LMdydi

if

)yf(1

ISdydi

,

SI SE CUMPLE CONDICION DEL DETERMINANTE EL NUMERADOR ES MENOR QUE CERO.


DIAGRAMA CON IS CORTANDO POR ARRIBA

IS

LM

y

i

X

EL SENDERO DIBUJADO ES UNO DE LOS TANTOS POSIBLES. EL DIAGRAMA TAMBIEN ADMITE TRAYECTORIAS OSCILANTES


DIAGRAMA CON IS CORTANDO POR ABAJO

LM

ISi

y

CUANDO LA IS CORTA DESDE ABAJO LA CONDICION DEL DETERMINANTE NO SE CUMPLE Y SIGNIFICA QUE UNA DE LAS RAICES ES POSITIVA Y LA OTRA ES NEGATIVA. EN EL CASO MUY ESPECIAL EN QUE SALIENDO DEL EQUILIBRIO LA CONDICION INICIAL ANULE LA RAIZ POSITIVA (PROBABILIDAD CERO) ES POSIBLE DEFINIR UNA TRAYECTORIA HACIA EL PUNTO DE EQUILIBRIO QUE SE DENOMINA “SADDLE PATH” Y EL EQUILIBRIO SE DENOMINA “SADDLE POINT”.


SINTESIS

• CON AJUSTE GRADUAL EN EL MERCADO DE BIENES Y SERVICIOS COMO EN EL MERCADO DE ACTIVOS SE PUEDEN CONJETURAR POSIBLES SENDEROS O TRAYECTORIAS QUE ILUSTRAN ASPECTOS DE DINAMICA MACROECONOMICA.

• EL DIAGRAMA DE FASE AYUDA A ILUSTRAR EN TERMINOS GENERALES LOS ASPECTOS DINAMICOS.

• LAS TRAYECTORIAS NO NECESARIAMENTE TIENEN UNICIDAD, ES DECIR, PUEDE HABER MAS DE UNA TRAYECTORIA HACIA EL EQUILIBRIO.

• EN UN SISTEMA INESTABLE CON UNA RAIZ POSITIVA Y UNA NEGATIVA SE DA LA POSIBILIDAD DE LOGRAR UN PUNTO DE EQUILIBRIO (SADDLE POINT).

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