La confusión de la tortuga

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Turtle Confusion - Versin en EspaolVersin: 1.0

Fecha: 7 de Octubre de 2012

Copyright: Creative Commons BY-SA

sta es una traduccin al Espaol del libro Turtle Confusion de Barry Newellrealizada por Melina Luca Coronel y revisada y editada por Manuel Kaufmann. Porfavor si encuentras algn error en ella, contctate con nosotros.

Nos gustara agradecer a varias personas que colaboraron de alguna u otra manera paraque esta traduccin sea posible. En primer lugar, a Barry Newell por haber escrito unexcelente libro como ste y autorizar la traduccin del mismo. Tambin a ManuelQuiones, quien dise la tapa del libro. Danilo Hein y Carlos Glcklich quienes nosdieron una mano con la traduccin del poema de la figura 29, como as tambin aLeonardo De Luca que nos ayud con algunas sugerencias sobre la traduccin.Finalmente, y no por eso menos importante, a Roberto Alsina por su magnfico trabajo

en el software utilizado para crear la versin PDF de este libro llamado rst2pdfy aGonzalo Odiard por estimular este proyecto.

Muchas gracias a todos los que colaboraron! Estamos muy contentos con este proyecto.
http://rst2pdf.ralsina.com.ar/mailto:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es


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PREFACIOEsta encantadora publicacin es el resultado del trabajo inspirado y dedicado del Dr.Barry Newell. Debido a que ofrece problemas desafiantes y estimulantes -tales como, lamanera de resolver las figuras, el significado de los acertijos, las pistas escondidas queayudan a confirmar teoras y la matemtica subyacente e incrustada- requerir de unpoco de paciencia y de mucho tiempo para discutir, compartir y pensar. Los estudiantes,

padres y maestros pueden disfrutar del entusiasmo de trabajar juntos y de resolverproblemas de manera muy similar a la que empleamos en la vida cotidiana.

Los lectores que deseen leer ms sobre las ideas detrs de este libro deberan leerLasTortugas Hablan Matemticas tambin publicado por el Centro de DesarrolloCurricular.

Brent Corish

Director


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CONTENIDO

Figura 1

Figura 2

Figura 3 Figura 4 Figura 5

Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10

Figura 11Figura 12 Figura 13 Figura 14 Figura 15

Figura 16 Figura 17Figura 18 Figura 19 Figura 20

Figura 21 Figura 22 Figura 23 Figura 24

Figura 25





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PRLOGODurante los ltimos cinco aos el Tortugo y yo nos hemos convertido en firmes amigos.Hemos tenido nuestras diferencias de opiniones, por supuesto; l con su dedicacin a lainvestigacin en las matemticas y ciencias y yo con una visin educativa de las mismasmaterias. Pero, dentro de todo, hemos aprendido mucho el uno del otro y nos hemosdivertido en el proceso.

Un tiempito atrs, mientras repasaba las notas que haba escrito en esos aos, no pudeevitar sentir que nuestras mas agitadas discusiones podran tener valor para unaaudiencia mas amplia. Estaba nuestro debate sobre Las Trampas de la Tortuga Terrible,estaba La Gran Discusin Circular, y muchas otras que eran igualmente memorables.Pero una discusin en particular me llam la atencin por ser sumamente apropiada paraprobar mi hiptesis; en ansias de un nombre mejor lo habamos llamadoLa Confusinde la Tortuga.

Mis notas iniciales son algo vagas pero, que yo recuerde, habamos estado hablando delas deficiencias de la educacin de las matemticas. La tortuga haba sostenido que la

mayor dificultad era que las matemticas no eran enseadas en un contexto que fuesesignificativo para los alumnos Los alumnos no podan encontrar el sentido en temasmatemticos aislados y seguramente no valoraran algo que pareca no tener ningn usoprctico Los alumnos necesitaban ver las matemticas como una herramienta que losayudara a resolver problemas interesantes.

Luego dije que estaba todo muy bien con hablar de encontrarse con las matemticas enun contexto personalmente significativo, pero si l hubiera tratado de introducir ideasmatemticas de esa manera Cmo podra un maestro trabajador encontrar el tiempopara idear problemas que se relacionaran con las vidas de los alumnos?

El Tortugo pareca divertido y me pregunt si me haba olvidado de mis experienciasulicas con Logo. l dijo que Logo en realidad era un buen ejemplo porqueproporcionaba tanto el acceso a ideas matemticas interesantes como excelentes razonespara aprender esas ideas. Afirmaba que los problemas significativos eran no sloaquellos que se relacionaban con la vida cotidiana Podan ser problemas quederivaban su atractivo de su esttica o de su valor de entretenimiento Los problemaspueden ser divertidos y an presentar un desafo genuino a los estudiantes.

Yo debo haberme visto escptico porque, sin ningna indicacin de mi parte, l siguidirectamente diciendo que no tendra que ser difcil producir una serie de problemas quecumplieran con sus criterios Problemas que fuesen divertidos, que involucraran

matemticas que valgan la pena, y que desafiaran a los estudiantes Maestros y padresen consecuencia.

Recuerdo que despus dije, Tonteras, no creo que puedas hacerlo!

El tortugo sonri ampliamente y dijo, Bien, EBN, slo tendrs que esperar y vers!

Lo v muy poco por los prximos tres meses; se enfrasc en la biblioteca por horas yhoras y, si yo llegaba a encontrarme en los alrededores, l cerraba su cuaderno,solamente me miraba y soltaba una risita.

Pero permtanme ahora ocuparme de la narrativa a pleno; mis notas son bastante

detalladas cuando se trata de eventos subsiguientes


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INTRODUCCINYo estaba trabajando en el estudio cuando el Tortugo entr ajetreado y golpe unmanuscrito sobre el escritorio.

Listo! dijo, con satisfaccin obvia. Terminado!

Ya era hora tambin, dije, quizs la vida vuelva a ser normal ahora.

No vas a mirarlo ni siquiera? dijo el Tortugo, se vea un poco ofendido.

Oh, supongo que s, dije, tratando de alcanzar el manuscrito y bostezando, Necesitoun pequeo descanso, un corte.

Me alegro de ser til, dijo el Tortugo sobre su hombro, Debera mantenerteocupado por unos buenos cinco minutos. Llmame si necesitas otro corteProbablemente te corte una pierna!

Luego de aproximadamente una hora fui a la cocina con el manuscrito en la mano. ElTortugo levant la mirada, expectante, y dijo, Y?

Y, qu? dije, sacando un sandwich de la pila que l haba armado.

Qu piensas? dijo.

Me gusta, dije, realmente disfrut leerlo Pero no es lo que esperaba. Pens queestabas escribiendo algo sobre Logo y las matemticas y la resolucin de problemas.Veo algunas figuras que se pueden dibujar usando Logo, pero no veo mucho de resolverproblemas o de matemticas. Qu ests tratando de hacer?

Es una larga historia, empez el Tortugo,

Tengo un rato mas de tiempo, dije, mirando mi reloj, Me la puedes contar en pocaspalabras?

Puedo hacerlo slo en pocas palabras.

Trata, dije, dndole un mordisco a mi sandwich.

Bien, dijo el Tortugo, se vea incmodo. Est todo ah Logo, y las matemticas yla resolucin de problemas est todo ah Incluso si no es obvio.

A - ha dije, dndole otro mordisco al sandwich.

Vlo de esta manera, dijo el Tortugo. Hay figuras Las formas geomtricasTienes que encontrar una secuencia de comandos en Logo que har que la tortuga en lapantalla dibuje cada forma Necesitas pensar matemticamente para hacerlo. Y hayacertijos Historias y poemas con pistas escondidas en ellos Las pistas sonmayormente sobre las conexiones entre las figuras. Eso tambin es matemtico.

Conexiones? dije. Quieres decir que todas las figuras estn relacionadas entre s?

S, dijo el Tortugo, mientras volva su entusiasmo.

Ah-ha, dije, dejando mi sandwich. Entonces el cuadernillo es una serie de figuras yacertijos relacionados, y necesitas usar buenos mtodos de resolucin de problemas y

pensamiento matemtico para descubrir de qu se trata todo?Exacto! Puedes considerar el cuadernillo entero como un gran problema.

Lo mir al Tortugo por un momento: Querras parafrasear eso?


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En serio, EBN, sabes lo que quiero decir, dijo.

Perdn, s s qu quieres decir, dije. Ahora Tengo otra pregunta. Algunas de estascosas parecen ligeramente desafiantes en una primera lectura Para quin lo hasescrito?

Para alumnos de secundaria, maestros y padres. Hay caminos fciles en el cuadernillo,por ejemplo, puedes empezar por las formas mas simples de Logo y los acertijos ms

fciles, pero tambin hay acertijos que representarn un reto para los adultos.Porqu querras hacer eso? dije. Porqu tener un rango tan amplio de dificultad?

Bueno, dijo el Tortugo, Yo creo que es importante para los maestros y los padres quese involucren profundamente en el proceso de resolucin de problemas ellos mismos. Sieso ocurriera, entonces debe haber acertijos que desafen genuinamente a los adultos.

Pero cmo pueden los alumnos manejar eso?, dije. Seguramente no puedanprogresar mucho con problemas que son difciles para los adultos.

Deberas estar sorprendido, dijo el Tortugo, con brillo en sus ojos. La mayora de losalumnos sern capaces de resistir con sus maestros y padres Si se les da laoportunidad. Es por eso que el cuadernillo est diseado para que nadie sepa lasrespuestas Es especialmente importante que los maestros y padres no estn seguros delas soluciones de los acertijos.

Estaba a punto de preguntarte sobre eso, dije, hojeando el manuscrito, Dnde estnlas soluciones?

El Tortugo se di un golpecito en la frente.

Cun bueno es eso? dije, Cmo va a saber la gente cuando lo hicieron bien?

Tienen que tomar el enfoque cientfico, dijo el Tortugo. Tienen que construir sus

propias teoras y luego probarlas. Tienen que buscar la consistencia en sus respuestas alas diferentes figuras y acertijos. Tienen que trabajar juntos y discutir sus ideas. Enpocos casos quizs nunca se aseguren de que van por el camino correcto. Tal como en lavida real.

Esto es serio! dije, frunciendo el ceo. Ser mejor que me cuentes con mas detalles.

El Tortugo y yo estbamos afuera al lado del estanque en el jardn. Estbamosrecostados en las cmodas reposeras con un bowl en una mesita ubicada entre nosotros

dos. El Tortugo se inclin y llen su copa con lo que llam ponche tradicional decelebracin.

Bien, Dnde quieres que empiece? dijo, ponindose cmodo en su reposera.

Desde el principio, dije. Empieza por decirme qu hay en el cuadernillo.

Bien, dijo el Tortugo despus de una pequea pausa. Primero, hay una serie decuarenta figuras Logo.

Exactamente qu es una figura Logo?

Bien, yo dibujo una forma, o un patrn, y luego te digo, Aqu tienes, EBN, haz que la

tortuga dibuje esta figura, pero no te digo qu comandos Logo usar.Entonces, una figura Logo es una especie de forma o patrn y su solucin es una seriede comandos Logo que hacen que la tortuga dibuje lo que le pido?


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S, dijo el Tortugo.

Me parece bien, dije. Pero siempre habr mas de una serie de comandos paraproducir cada figura. Cmo sabes cundo tienes la respuesta correcta?

Cualquier serie de comandos que haga a la tortuga trazar la figura es una respuestacorrecta, dijo el Tortugo. No existe tal cosa como la respuesta correcta. Algunasrespuestas son mas simples que otras, y podras discutir que las soluciones mas simples

son las mejores, pero cualquier serie de comandos que funcione es aceptable.Contina, dije.

Segundo, dijo el Tortugo, hay una serie de cuarenta acertijos Las historias y lospoemas.

No logro entender completamente la conexin entre los acertijos y las figuras, dije.Seguramente no necesitas resolver los acertijos para poder resolver las figuras.

No, no necesitas resolver los acertijos primero, dijo el Tortugo. brindan pistas eindicios para ayudarte a pensar sobre las soluciones para las figuras, sobre las relacionesentre las figuras y sobre los principios matemticos subyacentes. Tambin, representanpor s mismos un desafo Apelan a una gran variedad de material; por ejemplo, hayideas de geografa, historia, mitologa, fsica, qumica, lengua, literatura y, por supuestomatemticas y Logo.

Porqu tienes acertijos que involucran cosas fuera de Logo y las matemticas? dije.

Esa es otra larga historia Pero la idea principal es plantear una situacinproblemtica que sea como en la vida real. Los problemas reales involucran muchosfactores, y sus soluciones son usualmente para nada obvias Quera que el cuadernillosea as.

En otras palabras, quieres que la gente se acostumbre a la idea de que hay mtodos pararesolver problemas que no implican el uso de las matemticas.

Exacto! dijo el Tortugo; se levant y agarr mi copa para llenarla.

Gracias, dije, mientras me alcanzaba la copa. Una cosa todava me preocupaCmo sabes que el nivel de dificultad es el adecuado? Cuando leo el manuscrito, me dala impresin de que las figuras Logo pueden ser demasiado fciles para cualquiera queest lo suficientemente avanzado para resolver los acertijos.

S. Esa es una buena pregunta, dijo el Tortugo. Se volvi a sentar y se qued mirandofijo a travs del jardn. Despus de un rato dijo: Bueno, las figuras Logo no se supone

que sean demasiado difciles; necesitan ser accesibles para principiantes. Pero, inclusoms importante, se intenta que las figuras sean resueltos como un todo Las figurasestn relacionados de varias maneras, y un intento de entender esas relaciones, y dediscutirlas, revelar mucho de las matemticas subyacentes. Esta propiedad de lasfiguras Logo, sus relaciones, no est tan bien definida y no es tan fcil.

Estas diciendo que la misma actividad de escribir los comandos Logo no esimportante?

No! dijo el Tortugo. Ni por un segundo! Para un principiante, el problema deescribir los comandos Logo ser desafo suficiente Y es un desafo que vale la pena;

se necesita mucho pensamiento matemtico y experimentacin antes de escribir unaserie de comandos Logo viable.

Es razonable, dije, supongo que el hecho de estar trabajando con la tortuga enpantalla significa que puedes ver fcilmente cundo tu respuesta es correcta o


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incorrecta.

S, dijo el Tortugo, eso es muy importante Logo rara vez da buen feedback.

Pero, qu pasa con los acertijos? Todava no veo cmo puedes saber si tus respuestas alos acertijos son aproximadamente correctas siquiera, dije arrugando una ceja.

Al comparar notas, al discutir, al asegurarse que las soluciones propuestas para losacertijos coinciden con las propiedades de las figuras Logo. Incluso, hay algunas otras

pistas en cada acertijo, las cuales permiten verificaciones.Ah-ha! Entonces hay informacin escondida dentro de los acertijos que puedes usarpara probar tus respuestas?

S. En la mayora de los casos ser obvio cuando ests en el camino correcto. Cuandopropones una nueva solucin, tu visin del problema cambia y, si tu nuevo punto devista est bien, otras pistas aparecern frente tuyo.

Suena como conejos que salen de una galera, dije.

S, dijo el Tortugo con una sonrisa. Magia.

Bien, dije, levantndome y comenzando a guardar mi reposera, suena bastante bien.Y qu hay de los recursos? No todos tendrn una computadora disponible.

S, dijo el Tortugo, eso es verdad. Pero puedes usar el cuadernillo sin unacomputadora; por ejemplo, puedes anotar los comandos Logo, y luego tener un amigocon quien jugar a la tortuga y seguir tus instrucciones O puedes mapear losmovimientos en papel.

Pero seguramente es mejor usar una computadora, dije. Esa es la forma ms fcil deaveriguar si tu solucin funciona.

Es cierto Pero resolver las figuras Logo no es la nica actividad en el cuadernillo,entonces puedes desarrollar una clase fcilmente con una o dos computadoras. Porsupuesto, s necesitas otros recursos Para resolver los acertijos necesitas un buendiccionario, un atlas, una enciclopedia y una modesta biblioteca de literatura clsica.

El Tortugo levant el bowl vaco de ponche y empez a cruzar el csped. Luego sedetuvo y se di vuelta. Porqu no revisas el cuadernillo tu mismo? dijo, Valoraratus comentarios.

Bien, dije, juntando las copas, quizs lo haga Pero te importara probarlo en unade mis clases primero? Me gustara ver todo esto en accin antes de decidir.

Me alegro de ayudar, dijo el Tortugo, entrando a la casa.


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FIGURA 1

Me sentar en algn lugar en la parte de atrs, le dije al Tortugo mientras entrbamosen el aula. Puso sus libros sobre el escritorio, se acomod los anteojos en el puente de sunarz e inspeccion la habitacin.

Empecemos, dijo, en un tono formal. Llamaremos a este puzzle Cuadrado Uno.Pueden pensar que dibujar un cuadrado es simple, pero asegrense de realmente sabercmo funcionan los comandos. Tambin, incluso si pueden hacer que la tortuga dibujeun cuadrado, existe la posibilidad de que les queden algunos puntos inconclusos alpensar en cuadrados.

Pero Qu es lo que hay que saber? dijo Myrtle en la primera fila, un cuadrado es uncuadrado que es cuadrado que es un cuadrado.

La clase se ri con alegra y el Tortugo solt una risita. Empez a relajarse.

Bien, dijo, si no entienden lo que quiero decir, entonces traten de hacer un par deejercicios. Vean si pueden decirle a un compaero qu es un cuadrado O decirle a latortuga que dibuje cuadrados de diferentes tamaos, y luego piensen qu partes de loscomandos tuvieron que cambiar y cules no.

Todos comenzaron a tipear comandos en sus teclados y los cuadrados verdes empezarona aparecer en las pantallas de las computadoras. El Tortugo se puso a escribir en elpizarrn, en letra clara y redonda:

Una pequea alumna llamada Myrtle haba,Que trat de conversar con el Tortugo,

Luego dijo, 'Chicos,Las escalas caen de sus ojos,Cuando sacan el obstculo de la homologa

Listo, dijo, sacndose la tiza de las manos, eso puede ayudarles a averiguar de lo queestoy hablando.

Silencio Todos empezaron a mirar fijo al pizarrn; algunos se miraron entre ellos.

Probablemente piensen que tienen a un chiflado aqu, pens.


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FIGURA 2

Dej mi taza de caf y mir al Tortugo. Tu desempeo me pareci bien el otro da Ylos chicos parecan disfrutar el poema espantoso. Hice una pausa esperando un efecto.Bien, de todas maneras, me has convencido A pesar de mis dudas probar esosproblemas.

Te tomo la palabra! dijo el Tortugo, saltando de su silla sonriente.

Dnde empiezo? pregunt.

Con el segundo puzzle en el cuadernillo, dijo el Tortugo. Si puedes resolver el Puzzle1 entonces no tendras que tener problemas con ste. Para agregarle una dificultad, tratade dibujar el rectngulo con el comando REPETIR.

Sin preocupaciones, dije, dirigindome al estudio.

Espera un minuto, me llam el Tortugo, nececitas toda la historia. Cuando hayasresuelto el puzzle deberas pensar en qu es diferente un rectngulo de un cuadradoyen qu es igual.

Eso es todo? Puedo irme ahora? pregunt dulcemente.

El Tortugo me di una hoja de papel. Lee este acertijo, dijo.

Una mariposa flotaba delicadamente y se pos en una rama cerca de una orugahambrienta. La mariposa, viendo bajo su probscide a la oruga, dijo, Hazte aun lado, ordinaria bestia.

La oruga mir hacia arriba mientras masticaba y dijo, con la boca llena,Debes pensar que eres especial, mi seora, pero piensa en tus orgenes.Tambin, pido que recuerdes mi versatilidad; Tu puedes (se escucha unERUCTO) perdn Realizar el Gran Cambio?

Mir hacia arriba y me encontr con la mirada del Tortugo. Todos tienen acertijos?dije. l asinti con la cabeza.


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FIGURA 3

El Tortugo abro su cuadernillo en el tercer puzzle y lo mir por un rato.

Quizs, dijo, ayudara si consideraras a sta figura como un rectngulo al que le hanarrancado una esquina.

Cmo puede eso ayudar? dije, mientras me acomodaba en frente de la computadora.

Bien, por lo menos te permitira saber a qu me refera cuando dije Cul esquina tieneun mordisco arrancado?, o si dijera Vean si pueden dibujar esta figura con el mordiscoarrancado de otra esquina, o si dijera Pueden dibujar esta figura con un mordiscorectangular, o un mordisco cuadrado, o ms de un mordisco, o..

Entiendo el punto, dije. Pongmonos a trabajar en eso.

En serio, EBN, eres difcil a veces; realmente necesitamos considerar todas lasposibilidades. El Tortugo reasumi su compostura y mir el puzzle otra vez.

Sabes, dijo, Algunos de estos puzzles pueden ser resueltos de manera muy ordenada,y otros no.

Oh? dije. Qu quieres decir con ordenada?

Bien, puedes a veces encontrar una manera muy simple de escribir los comandos. Aveces hay un patrn en los comandos, a veces puedes encontrar una manera para usarmenos comandos Depende del puzzle. A veces, no hay una solucin ordenada, peropuedes aprender algo mientras la buscas.

Entiendo el punto, dije.

Por cierto, casi lo olvido, dijo el Tortugo. Cmo se llaman las huellas que deja latortuga Logo?

Pens la cuestin por un momento. No lo s, dije, Cmo se llaman?

El patrn de patas ordenadas.


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FIGURA 4

El pequeo tringulo indica la esquina en la que latortuga debera empezar y terminar cuando la C huecaest dibujada. Asegrate de que la tortuga estapuntando en la misma direccin al principio y al final.

Esta es mi famosa Figura de la C Hueca, dijo el Tortugo con orgullo evidente,Usualmente hago que la clase lo complete de tres maneras diferentes. Incluso les

especifico qu comandos pueden usar.Contina, dije.

Primero, dijo el Tortugo, con un dedo en alto, Les pido que reproduzcan la formausando cualquier comando que quieran Eso los ayuda a incorporar las propiedades dela figura en sus cabezas.

Tiene sentido, dije.

Segundo, levant otro dedo, Les pido que dibujen la forma usando slo los comandosADELANTE y DERECHA Por supuesto que pueden ingresar cualquier nmero que

quieran con estos dos comandos.YTercero? dije, levantando un dedo.

Tercero, les pido que dibujen la figura usando slo tres comandos ADELANTE,ATRS y DERECHA 90. En ste caso, deben usar 90, y slo 90 con el comandoDERECHA.

Muy ingenioso, dije. Pero Cul es el punto?

Bien, dijo el Tortugo, tener que usar series limitadas de comandos le ayuda a la gentea descubrir cosas nuevas acerca de Logo y las matemticas Maneras diferentes de usarlos comandos Intntalo t mismo. Oh, y piensa en sto cuando hayas resuelto la

figura. Me entreg la hoja con el acertijo.

Dijo el Senador Miramas, "Me siento ambivalente,He llegado a pensar que todos los partidos son equivalentes,Incluso aquellos a los extremos de la poltica persuasin,Tienden a crear el mismo Estado de la Nacin."

Quin es el Senador Miramas? dije.

Un viejo amigo, dijo el Tortugo, con un tinte de reverencia en su voz, Alguien aquien admiro.


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FIGURA 5

El Tortugo mir el cuadernillo abierto sobre el escritorio del estudio. Cmo vasprogresando? pregunt.

Difcilmente lo llamara progreso, dije, sin levantar la mirada.

Puedo ayudar? pregunt. Pareca responder muy bien a las admisiones de derrota.Cul es el problema?

Bien, dije, Calcul una serie de comandos para dibujar la cruz, pero no eran muysatisfactorios; muchos comandos Hileras enteras de comandos.

No hay nada de malo en eso, dijo el Tortugo, Es una solucin perfectamenteaceptable.

S, eso supongo, dije, s funcion. Pero estuve pensando en lo que dijiste el otroda Ya sabes, acerca de buscar soluciones simples. No puedo encontrar ninguna.

Djame hacer dos comentarios, dijo el Tortugo. Sonaba verdaderamente paternal.Primero, no tienes que encontrar soluciones ordenadas; cualquier comando quefuncione es un resultado til. Segundo, si realmente quieres encontrar una solucinsimple, considera el siguiente acertijo:

Qu tiene esta figura en comn con:Una barca, pero no una goleta?Un bife con verduras, pero no una lata de arvejas?

Las Cuatro Estaciones, pero noSubmarino Amarillo?Un nudo marinero, pero no un turbante?"

El Tortugo hizo una pausa para respirar y luego di un paso atrs alarmado.

Porqu me ests mirando as? dijo.

No creo que quieras saber, dije.


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FIGURA 6

Supongo que existe una manera muy simple de resolver esta figura, dije, desde laprofundidad de mi silln.

S, dijo el Tortugo, desde la profundidad de su silln, Quieres una pista?

Has tenido ideas peores, dije.

El Tortugo pens por un rato, y luego dijo, Cmo es sto?

Alguna vez has pensado en la forma en que una pizza,Mientras te enriedas en cada porcin sabrosa,Se come como a los pasteles y dulces,Las comemos desde el centro hacia los bordes?

Los dulces son Pizza? No creo que hayas inventado poemas peores, dije,arrugando la narz.

La buenas rimas son difciles de encontrar, dijo el Tortugo en su defensa. De todosmodos, eso debera ayudarte a encontrar una solucin simple para esta figura. Una vezque lo hayas hecho, deberas ver si puedes escribir un procedimiento que le diga a latortuga cmo dibujar tus formas bsicas.

Oh, no, dije, Basta de complejidad! Qu es un procedimiento?

Es muy fcil, dijo el Tortugo, levantndose con dificultad de su silln para alcanzarmeuna copia de Teaching with Logo por Molly y Dan Watt. Lee esto.

Caramba, gracias, dije.


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FIGURA 7

El Tortugo, en una de sus peridicas fases detectivescas, estaba releyendoLas Aventurasde Sherlock Holmes. Yo estaba comenzando con la Figura 7, pero tena la mente enblanco.

Luego de un rato dije: Qu tal un acertijo para ayudarme a resolver esta figura?

El Tortugo dej su libro sobre la mesa y consider mi pedido por un momento. No.dijo. ste es demasiado fcil. Especialmente luego de que resolviste la Figura 6 tanelegantemente.

Bien, esa fue la figura que me convenci de que vale la pena tener los acertijos Nopuedo decir lo mismo de la poesa, o como sea que lo llames, que usas paraexpresarlos.

Te dir lo que har, dijo el Tortugo, ignorando mi cumplido, Te dar una pista parauna figura mas difcil que est relacionada con sta.

Qu es una pista? dije.

Una pista es un acertijo que tiene un solo nmero como solucin; el nmero representauna secuencia numrica de otra figura en el cuadernillo. En algunos casos la figura conla que lo relaciona ser una figura ms difcil, en otros casos, ms fcil.

Est bastante claro, dije aprensivamente.

El Tortugo hizo una pausa un momento. Cmo es sto? dijo.

"Si se explotan dispositivos de uranio suficientes ,Nuestro planeta se volver de alguna manera apasionante,Terminaremos teniendo hierbas y condimentos brillantes,Y huesos que dan un brillo resplandeciente."

Yo estaba desconcertado.

Elemental, mi querido EBN, dijo el Tortugo levantando su libro.


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FIGURA 8

El Tortugo me dijo el otro da, Sabes, EBN, creo que sta figura nos demostrar que esdifcil de resolver elegantemente. No tendras que tener problemas para tirar un montnde comandos y dibujar la figura, pero no estoy seguro de que podrs encontrar laSolucin Super Ordenada.

Realmente pareces hacer mucho nfasis en cuanto a soluciones ordenadas, dije,Son realmente tan importantes?

Siempre lo pens, dijo el Tortugo, rascndose la cabeza. Depende un poco de dondeestas Si ests luchando por entender cmo decirle a la tortuga que dibuje algo,entonces no tendras que preocuparte por las soluciones elegantes, pero si has llegado ala etapa en que puedes controlar a la tortuga con cierta facilidad, entonces el siguiente

desafo es hacerlo con estilo. Realmente creo que puedes mejorar mucho tu comprensintratando de hacer la misma cosa de una manera ms simple, diferente.

Fue un buen discurso. Me sent y pens en eso por un rato.

El Tortugo sigui, Si quieres encontrar una solucin ms simple, entonces tienes quepensar en la figura de la manera correcta. Tienes que tratar y verla con otros ojos.

Por supuesto, dije, Es obvio.

Quizs, dijo el Tortugo, con una pequea sonrisa, Pero puedes hacerlo?

Bueno,.., empec, Em, ..

Vlo de sta manera, dijo el Tortugo, su sonrisa fu ms tolerante, Te va mejorpensando en una llama en el llano, que contemplando el cuarteto de Cclopes de labarbera.

Grandioso, dije.


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FIGURA 9

Antes de que comiences con sta figura, dijo el Tortugo con algo de urgencia,Debera advertirte sobre una inconveniencia de muchos libros introductorios de Logo.

A-ha, gru, bostezando.

No. sto es serio, dijo el Tortugo.

Estoy temblando de ansiedad, dije, rascndome la espalda en el marco de la puerta.

El Tortugo arrug la boca un poco, pero continu: Muchos libros le dicen al lectorcmo dibujar un tringulo. Ahora bien, algunas cosas se aprenden mejor con algo deorientacin, y algunas otras las puedes descubrir por t mismo Por lejos la mejorforma de aprender cmo dibujar un tringulo es hacerlo por t mismo. Le da una chanceal aprendizaje por descubrimiento.

OK, dije, Djamelo a m!

El Tortugo se di vuelta para salir del estudio. En la puerta se detuvo y gir. Podras,dijo, aprender algo valioso en el proceso de decirle a la tortuga cmo dibujar, y sobregeometra, pensando en el siguiente poema:

Los insectos estn todos muertos, te sientes como Lister,Tienes una figura para Clio, una mas para cada sister,Y luego te enteras, desde un centinela de Planilandia,Que t y la Tortuga tienen visiones complementarias."

Me quej. Por favor, vete, dije.


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FIGURA 10

El Tortugo entr a la cocina con el cuadernillo en la mano. Sabes EBN, dijo conentusiasmo, las siguientes tres figuras, 10, 11 y 12, cuentan parte de una historia muyinteresante. La historia escondida es ms importante que los propios acertijos de muchasmaneras.

A contar a otro lado, dije mientras rompa otro huevo en la sartn.

Bien, dijo el Tortugo. Creo que deberas jugar un poco con la historia. T sabes, otrachance de aprendizaje por descubrimiento.

Oh, no! dije, no ms aprendizaje por descubrimiento.

A veces es un buen enfoque, dijo el Tortugo firmemente, y ste es uno de esos. No tedar pistas para las figuras. Estoy seguro de que puedes resolverlos por t mismo a staaltura, pero te dar pistas para la historia escondida. Es una historia de geometra.

Est bien, lo intentar, dije. Debo admitir que me gust el asunto del tringulo. Unavez que super el shock inicial. Empiezo a ver que soy bastante bueno con ste asuntode la tortuga y la geometra.

Bien, dijo el Tortugo mientras se sentaba a demoler su desayuno habitual de seishuevos. Mir el plato por un momento y luego dijo, En realidad, hay seis figuras queson parte de la historia escondida. Aqu va una pista para ayudarte a encontrar dos ms:

'No te hagas el vivo,' dijo el Tortugo, 'es muy temprano,An tienes que resolver de manera cclica esta figura,Que relaciona otras dos figuras a la figura del pentgono,Tal como el nen, que por flor e hidrgeno est integrado .'

Suena a mucho aire caliente para m, dije, ponindole un poco ms de salsa a mishuevos.


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FIGURA 11

Me recost en mi silla giratoria y dije, Qu queras decir cuando dijiste que haba unahistoria escondida en stas figuras?

El Tortugo baj el libro que estaba leyendo y pens por un momento.

Bien, dijo, las figuras 10, 11 y 12, y otras tres, estn relacionadas de una maneraespecial. Hay ideas geomtricas que se aplican de la misma manera en todas ellas. Unavez que sepas las ideas generales, podrs ver cada una de las seis figuras como un casoespecial. Y podrs resolver un gran nmero de problemas geomtricos usando lasmismas ideas generales.

S, realmente es emocionante, dije. No tengo problemas dndole instrucciones a latortuga para que dibuje la Figura 11, pero an no tengo ninguna idea de la historiaescondida.

El Tortugo me mir especulativamente, con las cejas levantadas, y luego dijo, Lee elacertijo.

Abr el cuadernillo en la Figura 11 y le:

Para resolver las figuras en el baile debes guiar a nuestra tortuga ,Si hablas Logo piruetas har y brincar,Pero recuerda, mientras trabajas y buscas las ideas oscuras,Que sus tropezones son todos atractivos para una Farancia abacura.

Mir al Tortugo y suspir. se es un buen consejo, dije.


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FIGURA 12

El Tortugo y yo estbamos en el laboratorio cuando l levant la vista y dijo, Porcierto, Cmo vas con las figuras Logo?

Nada mal, dije, Estoy en la Figura 12.

Ah, s, dijo el Tortugo sonriendo, es la tercera de la figuras que estn relacionadas.Por lo menos, es la tercera de las que te dije que estn relacionadas. Cuando resuelvas lamanera de decirle a la tortuga que dibuje un octgono, quizs quieras volver a pensar enla historia escondida.

No estoy progresando mucho. A veces parece como si me fuese a tomar siglos entendertoda sta cuestin, dije.

S. Supongo que sera mejor que te diera una pista para la sexta figura, dijo el Tortugomientras tomaba la lupa y se inclinaba para examinar una pila de polvo negro que haba

puesto en un crisol. Hizo una pausa y luego dijo: Haras bien en recordar, si quieresestar seguro de ganarte el pan, que siempre debes ser objetivo y pestarle atencin a loshechos observables.

Eso es todo? pregunt.

El Tortugo levant la lupa y me mir de manera monstruosa. S, dijo.


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FIGURA 13

El Tortugo y yo estbamos sentados en la cantina de la escuela. Luego de un rato dije,Este es mi da de mala suerte. Estoy en la Figura 13.

El Tortugo masticaba su sandwich de alfalfa. Cul es el problema?

Hasta ahora todas las figuras tenan lneas rectas. Para dibujar un crculo tengo queresolver cmo decirle a a tortuga que dibuje lneas curvas.

As es, dijo el Tortugo.

Bueno, no s cmo, dije en un tono exasperado. Ese da el Tortugo no estaba siendode particular ayuda.

Has tratado de Jugar a la Tortuga? dijo el Tortugo.

Qu? Y correr el riesgo de terminar como t? dije.

Fue el turno del Tortugo de lucir exasperado. Eso era innecesario, dijopronunciadamente. Quise decir que podras pretender ser t la tortuga; caminar encrculo y notar qu es lo que tienes que hacer.

Lo siento, dije. Supongo que me estoy tomando todo sto muy seriamente.

El Tortugo conitnu masticando su sandwich. De repente dijo. Acabo de tener unpensamiento profundo.

Cuntame, dije.

Bueno, se me ocurri que hay ms segundos que horas en un da.

Mir alrededor para asegurarme que no nos estuvieran escuchando. Tu perspicaciaparece no tener lmites, dije. Siempre eres tan profundo?

Invariablemente, dijo el Tortugo.


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FIGURA 14

Bocadillo de medianoche! llam el Tortugo, y me levant de la computadora para ir ala cocina.

Bien, la Figura 14 realmente es facilsima, dije mientras le untaba manteca a unatostada.

El Tortugo puso un plato de arenques en la mesa y se sent enfrente mo. Sabas quehay tres formas diferentes de resolver esa figura? dijo, tratando de alcanzar un arenque.

Oh, no, dije, Justo cuando crea que lo tena dominado.

Consltalo con la almohada, dijo alcanzando otro arenque.

El Tortugo entr a los tropezones en mi habitacin y se sent de repente en el extremode mi cama. Por Dios! dijo, agarrndose el estmago.

Qu pasa? Logr despertarme y encend las luces para ver la hora. 2 a.m.!

Tengo el ms increblemente fuerte dolor de panza.

Arenques. Cuntos arenques comiste en tu bocadillo de medianoche?

Uno, dijo el Tortugo experimentando. Yo slo lo mir.Dos, dijo el Tortugo. Lo segu mirando.

Tres, dijo el Tortugo.

Y el restoYo cont por lo menos siete, me d vuelta tapndome hasta la cabeza conla frazada.

No, dijo el Tortugo firmemente. Tres. Las reglas de Boole.

Pero yo ya estaba dormido.


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FIGURA 15

El Tortugo tir sus guantes de jardinera en el banco y mir los dibujos que yo estabagarabateando en un cuaderno. Sabes, EBN, dijo, Esa figura es la favorita de lasbrujas. Se llama pentculo o pentagrama.

Oh, dije.

Sabas que est estrechamente relacionada con otra figura que ya has dibujado?

No, dije.

Vas a averiguar cul es la otra figura?

Qu necesito? Brujera?

No, pensar doble, dijo el Tortugo soltando una risita. Hablando en serio, ste acertijopuede ayudar.

Puede que no! refunfu bajo mi aliento.

El Tortugo respir hondo y recit:

"El pentculo es til para hacer hechizos y dems,Por el camino del jardn de tu mente te guiar,Alimentar a la tortuga con algn brebaje de bruja quizs querrsLos arenques y la salsa de tomate a cuidar de ella te ayudarn."

Hizo una pausa. Alguna pregunta?

S. Cmo se hacen los muecos de vud? dije. Y dnde estn los alfileres?


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FIGURA 16

Cmo va todo? dijo el Tortugo mientras entraba al estudio.

OK, dije, Estoy tratando de anotar todas mis soluciones como procedimientosahora Seguramente ahorra un montn de tiempo.

S, dijo el Tortugo. Veamos Figura 16 Encontraste que hay una manera muybuena para describirle patrones como ste a la tortuga?

No estoy seguro, dije, Te refieres a una solucin ordenada?

La verdad, no Pero, s, dijo el Tortugo amablemente.

Yo me debo haber visto afligido. El Tortugo se march.

Arriba los panecillos! llam desde el hall a la maana siguiente, y el Tortugo aparecien su bata de bao para desayunar conmigo.

Justo estaba leyendo en el diario, dijo, que investigadores mdicos dicen que esmejor comer cada comida bocado por bocado, en lugar de tratar de ingerir todo de unasola vez. Se estir, tom un panecillo, tap su boca con l, y se lo trag de golpe.

Yo me qued mirndolo asombrado. Se vea indudablemente peculiar, con los ojosllorosos y un hilo de manteca derretida que le caa del mentn.

Probablemente estn en lo cierto, dije.


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FIGURA 17

El Tortugo estaba ocupado poniendo azulejos nuevos en el bao. Me acerqu a la tardecon un t para l.

Dime, dijo, mientras le serva el t, No notas que estamos haciendo actividadessimilares sta tarde?

S, dije, los dos estamos tomando t y comiendo panecillos.

No, eso no, dijo seriamente (indicando que estaba perdiendo mi toque), Quiero decir

que los dos estamos creando patrones.

Oh, s, eso tambin, dije.

El Tortugo me mir brevemente pero con ojos penetrantes. No poda detectar otra cosams que vehemencia. Sin embargo, cambi de tema.

Creo que la parte ms difcil de poner los azulejos es insertar las partecitas al final decada fila, dijo, dndole una mirada crtica a su obra.

Coincido, dije, realmente debes pensar cuidadosamente en las formas, y en cmocalzan, y en Hice una pausa Haba cambiado de tema? Lo mir brevemente pero

con ojos penetrantes, no pude detectar otra cosa ms que vehemencia. Sin embargo,cambi de tema.

Toma otro panecillo, le dije, ofrecindole el plato.

Gracias, dijo, eligiendo uno delicadamente y dndole un pequeo mordisco.

Sabes, dijo, mirndome de reojo, Se me acaba de ocurrir que el nmero de mordiscosque me toma comer un panecillo depende inversamente del tamao de la boca.

Yo le d un gran mordisco al panecillo. Delicioso, dije, cambiando de tema.


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FIGURA 18

El Tortugo mir la pantalla, donde l estaba atareado dibujando un patrn, y dijo, Bien,pareces haber avanzado mucho en slo unas pocas semanas.

S, dije, No estaba convencido al principio, pero empiezo a divertirme. Podermanejar bien a la tortuga ayuda.

Eso es esencial, dijo el Tortugo, una tortuga fuera de control es mas un estorbo queuna ayuda.

Lo mir seriamente por un tiempo. Tuvo la decencia de sonrojarse.

Mir otra vez la pantalla y dijo, Quieres una pista para otra figura a la que estrelacionada?

S, dije, Pero dime Porqu crees que vale la pena dar pistas que llevan a otrasfiguras?

Es todo parte del juego, dijo. Algunas veces resolvers la figura primero, y eso teayudar con el acertijo; otras veces resolvers el acertijo primero, y eso te ayudar con lafigura. Creo que los acertijos hacen que cualquiera que trate de resolver las figurastambin piense en otras ideas conectadas.

A veces parece un poco Veo, veo, dije. Pero supongo que no es slo un juego deadivinanzas.

No, no lo es. El Tortugo busc en su bolsillo un pedacito de papel todo arrugado,respir hondo y recit:

"Tweedsmuir era un amigo muy alegre,A sus amigos temblar de la risa haca,'Por Dios,Cmo tiemblan,' deca

Para ser ms suave tomar medidas'."


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FIGURA 19

Tir otra lea en el fuego y por un rato nos quedamos mirando las llamas bailar. ElTortugo sigui leyendo su libro (estaba haciendo un esfuerzo conjunto para leer algunosclsicos Su ltimo lema fue un captulo por da, las telaraas quita) y yo segupensando en la figura de Logo que trataba de resolver.

Te molestara si interrumpo tu lectura por un momento? dije luego de unos minutos.

El Tortugo levant la vista y pens que yo capt algn destello de gratitud en sus ojos -

quizs lo imagin.Para nada, dijo. En qu puedo ayudarte?

Actualmente estoy trabajando en la Figura 19, dije no me molestara una pista haciaotra figura relacionada.

Humm, dijo el Tortugo, Te das cuenta que las reglas del juego me impiden decirte sila figura a la que est relacionada es ms fcil o ms difcil? O siquiera si el acertijo eso no una pista completamente falsa?

S, dije, Escpelo!

Pens por un momento y despus garabate algunas lneas en un papel. Me pas el papela m y lo le:

Finn y compaa, de los miedos de Jim se burlaban,Prcticamente hasta hacerlo llorar no paraban,El pobre tipo deca,Estar muerto deseara!Cuando esas palabras de bruja en sus odos escuchaba.

Bien? dijo el Tortugo.

Supongo que no me puedo quejar, dije, Yo me la busqu!


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FIGURA 20

Deberas tratar de llegar a alguna conclusin general sobre los patrones cuandotermines con sta figura, dijo el Tortugo. Dej de lado su clsico encuadernado encuero y se fue a tostar panecillos al fuego. Yo trataba de escribir un procedimientoviable para la figura 20.

Ah, dije.

stas figuras estn diseadas para construir tu entendimiento sobre patrones Lospatrones son la base de las matemticas, de la ciencia, incluso de la vida

El Universo, y todo, dije.Bien. S. Algo as.

Douglas Adams te hubiera amado, dije.

Quin? dijo el Tortugo.

Cambiemos de tema, dije, Qu tal un acertijo que me d una pista de tus profundospensamientos?

El Tortugo se recost en su silla y acerc los dedos de sus pies al fuego. A veces, dijo,No estoy seguro de si entiendes lo que te digo.

Me ests subestimando, dije.

Necesitas pies giles, dijo el Tortugo, preparando la tarea, Necesitas reconocer que elargumento puede darse vuelta en ste punto, o en aqul, o en ninguno, o que

El resultado es generalmente el mismo, dije, Una Confusin de Tortuga.


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FIGURA 21

Vamos a caminar al lago, dije. El Tortugo baj su paleta y bosquej.

Una idea excelente, dijo, Necesito un descanso. Slo dame un minuto para limpiarmis pinceles.

Diez minutos despus estbamos caminando por el caminito que lleva al lago. ElTortugo olisqueaba el aire con placer. Uno no se d cuenta de cunto vapor de pinturaaspira cuando trabajas adentro, dijo.

Ahora que tengo tu atencin, dije. Te molestara darme una pista hacia alguna figura

relacionada con la 21?Para nada, dijo. Ah, s. Pistas Para m simbolizan la profunda conexin entre ellenguaje y las matemticas El acertijo es un juego de palabras, pero la solucin es unnmero

Vapor de pintura? pregunt.

Qu? Dnde estaba? dijo el Tortugo. Oh, s, una pista Bien, Qu tal sto?:

El preparado de Joe Kesselring no era tarta,Pero la mezcla, de todos atrajo las miradas,

La magia, es verdad,Vino de mezclar una pista,Con alas de una mosca neurptera."

Vapores de pintura, dije.


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FIGURA 22

He estado por preguntarte algo, le dije al Tortugo cuando entr al estudio. Porquhay tantas figuras en el cuadernillo?

Porqu tantos? dijo el Tortugo. Porque quise darle una oportunidad a todos dedescubrir cosas sobre las matemticas de los patrones Y eso requiere de muchasfiguras.

Pero muchas de ellas se parecen mucho, dije.

Ah! Ese es exactamente el punto! Has comenzado a hacer descubrimientos!

Qu quieres decir?

Bueno, has visto los patrones y has notado que algunos de ellos se parecen. Pero nopudiste hacerlo sin que hubieran unas figuras que se parecieran, verdad? Ahora,djame preguntarte algo Algunos patrones se parecen, pero son exactamente

iguales?

No, dije, Tienen algunas caractersticas en comn, pero tambin hay diferencias.

Exacto! dijo el Tortugo. No es verdad que no podras encontrar el significado deigual si no tuvieras figuras del mismo tipo y figuras de diferentes tipos?

Entiendo lo que quieres decir, dije, Entonces necesitas unas cuantas figuras paramostrar varios patrones de diferentes tipos, especialmente cuando cada tipo debe sermostrado ms de una vez.

Correct! dijo el Tortugo. Oh, mientras t piensas en sas cuestiones, quera darte

una pista para una figura que est relacionada con la Figura 22.El Tortugo me di una hoja de papel:

Conoc a Liz un da en Noviembre pasado,Su silueta no he olvidado,Sus medidas tienden a crecer,De la cabeza a los pies,A la clase de las pirmides se ha integrado.Canciones con ritmo a Liz le encanta cantar,

Sorprendentemente limpio es su articular,Pero de una cuarta es su rango,Su timbre es algo extrao,Y de sus pies las notas parecen sonar.


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FIGURA 23

El Tortugo y yo estbamos sentados al lado del estanque. De vez en cuando el Tortugotiraba una piedra al agua. Mirbamos los patrones que las ondas formaban.

Sabes, dijo el Tortugo, Esos patrones me hacen acordar a algunos de los problemasde Logo que has estado resolviendo.

Pens que no necesitabas que te hagan acordar, dije. En realidad, me hacen acordarque tengo que conseguir aspirinas la prxima vez que vaya de compras.

Eso es extraordinario, dijo el Tortugo, Porqu te hicieron acordar a las aspirinas?

Seguro que hay peces con dolores de cabeza en ese estanque, dije.

El Tortugo se ri entre dientes, y luego dijo, Mientras pasas por stas ltimas figurasPiensas detenerte a pensar en las soluciones, y en lo que has aprendido sobre describirpatrones?

S, dije, aunque a veces pienso que tus pistas son bastante enigmticas.

Entiendo lo que quieres decir, dijo el Tortugo, pero estoy tratando de encontrar elbalance entre dar demasiada ayuda, y por ende no dar lugar al descubrimiento, y no darsuficiente ayuda.

Oh, creo que lo has logrado en general, dije, quiero decir, no dar suficiente ayuda.

El Tortugo se acost en la manta de picnic, con las manos detrs de su cabeza, mirandohacia arriba entre las hojas. Luego de un rato, se sent.

Porqu? dijo, mirndome por arriba del marco de sus anteojos. No puedes encajar

una estaca cuadrada en un agujero redondo?

Porque las esquinas quedan afuera, dije.

Pero seguramente si la estaca es suficientemente chica, encajar.

Entiendo! dije, entusiasmndome, Y una estaca redonda no encajar si es demasiadogrande!.

Oh, Formaciones de mosaicos! Empiezo a hablar como una tortuga!

Un estudiante aceptable, dijo el Tortugo.


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FIGURA 24

El Tortugo estaba sentado en el sof trabajando en el patchwork de un enormeacolchado. Lo observ por un rato.

No pude pegar un ojo anoche, dije, Me qued pensando en cmo los patrones puedenser iguales y sin embargo diferentes.

Felicitaciones, hijo, dijo el Tortugo comunicativamente, Tienes entre manos un

problema de investigacin genuino.Qu quieres decir? dije dbilmente.

Bien, pareces haber llegado al punto donde quieres saber cmo agrupar los patrones.En otras palabras, quieres clasificarlos - tratas de entender cmo las formas dentro de lospatrones estn organizadas. ste es el tipo de problema que ha llevado a todo tipo depersonas a la distraccin a travs de los tiempos. Persevera y conseguirs desarrollar unapercepcin real de las matemticas de patrones.

O una mala dosis de lesiones por esfuerzo de repeticin mental. dije con realperspicacia.

El Tortugo sigui trabajando.

A veces! dije de repente, El bosque no deja ver el rbol!

Qu? dijo el Tortugo, clavndose la aguja en el dedo, Maldita sea!

Perdn, dije, Slo estaba practicando mi percepcin de tortuga.

Parece ms un caso terminal de visin borrosa, para m, dijo el tortugo, chupndose eldedo.


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FIGURA 25

El Tortugo miraba por encima de mi hombro mientras yo seguia luchando en la Figura25. Prob unos comandos al azar, y l miraba sin decir nada; aunque s estaba un pocoinquieto Bien, en realidad Estaba bastante nervioso para alguien que cree en elaprendizaje explotatorio.

Quieres que te lo traduzca? dijo despus de un rato.

No, gracias, dije, Quiero hacerlo solo. Adems, entiendo completamente tu lenguajeextremadamente simple.

El Tortugo se di vuelta, un poco abruptamente me pareci, y camin hacia la puerta.Dnde vas? le pregunt.

A unirme al Movimiento de Rehabilitacin de Tortugas Desplazadas, dijo sobre suhombro.

Vuelve aqu, dije con firmeza, Lo lamento si te ofend.

El Tortugo se detuvo y volvi lentamente. Est bien, dijo.

Supongo que estoy susceptible porque estoy confundido, dije, Una cosa es resolverlas figuras y otra cosa es pensar en la organizacin de los patrones.

Quieres que te ayude? dijo el Tortugo.

S, dije, siempre y cuando tus honorarios sean razonables.

Bien, piensa en la Figura 25 y la Figura 8, dijo el Tortugo, Cmo son iguales, cmodiferentes?

Eso es ayuda? dije.

S, dijo el Tortugo, Eso es ayuda. Tmala o djala. Sin cargo!


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FIGURA 26

Dime algo ms de los acertijos, le dije al Tortugo mientras flotbamos en la piscina ennuestras colchonetas.

Qu quieres decir? dijo el Tortugo, Quieres que te d las soluciones?

No, por supuesto que no, dije. Quiero decir, dime el tipo de informacin que seesconde en los acertijos.

Bien, dijo el Tortugo, chapoteando su colchoneta ms cerca mo, Hay bsicamentetres tipos de acertijos - el primer tipo te d ideas sobre cmo resolver las figuras, el

segundo tipo te d pistas sobre las propiedades de los patrones y el tercer tipo te dpistas para otras figuras que estn relacionadas con la que ests resolviendo.

Qu quieres decir con relacionadas?

Significa que algunas disposiciones de comandos Logo aparecern en las soluciones delas dos figuras, dijo el Tortugo.

Me parece bien, dije. Me diras siempre qu tipo de informacin est escondida enel acertijo?

Te he sealado pistas hasta ahora, dijo el Tortugo contemplativamente, pero podra

cambiar eso Es ms voy a cambiarlo; no te voy a dar tal informacin de ahora enms.

Narices! dije con sentimiento, Deb haberme quedado callado.

Siempre recomendable en una piscina, dijo el Tortugo, soltando una risa.

Aqu tienes tu siguiente acertijo:

Dijo Bill Constante en su ronda,'Es un placer el crimen interpretar,Siempre y cuando puedas entender,

Que las ideas que crecen,Como motivo y mtodo competir deben.'...

Criminal, dije.


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FIGURA 27

El Tortugo tarareaba una meloda, mientras se sentaba a medir la distancia entre Aden yDhubri en un gran globo terrqueo Yo estaba trabajando con las Figuras de Logo,clasificndolas en grupos con propiedades similares, y mis balbuceos se estabanvolviendo gradualmente ms fuertes.

El mundo es maravilloso, dijoe l Tortugo, dndole al globo un pequeo giro, tienelugares tan interesantes.

Esas dos figuras son casi idnticas, y sin embargo son diferentes, dije.

Comunidades diferentes con culturas diferentes y diferentes puntos de vistaQuizs si lo veo desde otro punto de vista, quizs si contara el nmero de pedacitospuntiagudos

Pero todos con el lazo comn de la humanidad.

Otra idea sera ver qu tienen las figuras en comn

Pero Necesito un tema para mi prximo viaje Quizs Carnavales Famosos delMundo S! Eso sera excelente!

sto es terrible! No s porqu me preocupo con Logo! Me rindo!

El Tortugo se di vuelta y me dijo, con un brillo en sus ojos, En serio, EBN, labsqueda de las soluciones para stas figuras debera estar impulsada por algo como elamor.

Ms como el odio, dije secamente.

Aaah, s, dijo el Tortugo. Amor. Eso es. Amor con A mayscula A como enAzucena.

Se di vuelta hacia el globo y me dej vindole su caparazn.


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FIGURA 28

Sabes, EBN, dijo el Tortugo, pareces estar pasando por alto que todas la figurasdesde la Figura 16 a la 40 tienen por lo menos una propiedad en comn.

Que a todas las dibujaste t?

Dos propiedades en comn.

Que todas son difciles de resolver?

Tres propiedades en comn.

Que todas vienen con acertijos?Cuatro propiedades en comn.

Que todas

EBN! Sabes que me refiero a una propiedad geomtrica en comn.

Justo lo que estaba por decir cuando me interrumpiste, dije inocentemente, perogracias por la pista.

El Tortugo me tir una mirada fulminante; luego, sin una palabra, me alcanz una hojade papel y se fu ofendido.

Mir el papel:

Thalia disfruta de un buen ataque de risa,Y la poesa est primera en su lista,Pero dale una actuacin en una adivinanza,Y a ninguna perder de vista.

Gracias por las pistas adicionales, le dije mirando hacia el hall.


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FIGURA 29

Estbamos sentados en frente del fuego del living. El Tortugo estaba leyendo su buenaliteratura otra vez, y yo estaba escribiendo poemas Bueno, estaba escribiendo. Luegode un rato levant la mirada y dije:

Ahem sta es mi ms reciente creacin

Me dijeron que el hombre aprendi a contarMirando sus dedos,Lo hizo la gente tiempo atrs

Su legado logra perdurarPero si yo hubiese creado las reglas para contarCreo que sera divertido,Hacer que los nmeros sean como digo;Uno Dos Tres Cuatro Pulgar.

Y bien? Qu te parece?

El Tortugo dej reverentemente su libro encuadernado en cuero sobre su regazo y memir a travs de la sala.

Luego levant su libro otra vez. sto fu escrito ms de ciento cincuenta aos atrs,dijo. Tenlo en cuenta.

Respir hondo y ley en voz alta: 1

"La mente del poeta no has de irritarCon tu saber superficial:La mente del poeta no has de irritar;Pues a comprenderla no puedes llegar.Limpia y brillante siempre debe ser,Como un ro cristalino flur;

Limpia como la brisa, como la luz brillar."Me sent en silencio y lo tuve en cuenta.


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FIGURA 30

El Tortugo y yo habamos tenido una cena temprana y estbamos en el jardnacomodndonos para observar la noche. Haba una pequea y muy delgada masa denubes cirrus en el sur, pero aparte de eso, el cielo estaba despejado. El ltimo dbilresplandor del crepsculo se esfumaba en el oeste, y las estrellas eran rgidos puntosfros de luz.

Parece que la vista va a ser buena sta noche, dije.

Ciertamente, dijo el Tortugo, no parece haber casi nada de centelleo.

S Y podemos ubicar bien a los planetas. Debramos lograr una buena vista deSaturno sta noche Una buena vista y de los anillos en un aspecto excelente.

Por un rato simplemente nos quedamos mirando el cielo mientras la noche se haca msprofunda. Luego, el Tortugo retir el protector de roco de su pequeo reflector.

Qu piensas de la Ley de Bode? pregunt, mientras ajustaba los crculos, Estuveleyendo algo sobre eso hoy.

Bastante inestable. No funciona para Neptuno y Plutn, y el ndice tiene que estarmanipuado por Mercurio. Igualemente, es una correlacin interesante.

No tienes tambin que asumir que los asteroides representan los vestigios del quintoplaneta?

S. Bueno, eso no es exagerar las cosas. De hecho, probablemente puedas darla vuelta yusar la ley para predecir que debe haber habido un planeta a esa distancia del sol.

Suena como el producto de una imaginacin frtil, para m, dijo el Tortugo, dirigiendoel telescopio hacia Saturno.

Debera estar justo en tu rbita, dije, entrando a buscar una campera ms abrigada.


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FIGURA 31

Era un da hermoso. Los rayos del sol brillaban en el mar calmo y las olas acariciaban laarena. El Tortugo y yo pasebamos despacio a lo largo de la playa, levantando conchas yotros tesoros.

Siempre me impresionan los patrones que ocurren en la naturaleza, dijo el Tortugo,examinando la intrincada trama de rugosidades en una pequea concha, nos hacedarnos cuenta que todas esas figuras de Logo tienen alguna conexin con el mundoreal.

Un pez muerto, dije, empujando los restos con el dedo del pie. Se levant un aromainteresante, y el Tortguo se adelant apurado con una expresin un tanto rgida en lacara.

Ms tarde, de vuelta en la cabaa, estbamos trabajando en una figura de Logo que mehaba dado problemas. Haba hecho bosquejos de posibles soluciones, y haba pedidoayuda al Tortugo con alguna de sus usuales pistas. l pens por un rato pero no medijo nada; finalmente se inclin y tom una concha de Nautilusque que estaba en elescritorio.

Hermosa, dijo el Tortugo, girando la concha lentamente en sus manos, NautilusPompilius Nos deja a las tortugas dadas por muertas dadas por muertas.

Le hace muy bien a mi corazn escucharte asesinar la lrica, dije, pero pens queestbamos hablando de sta figura. Ya no me ests ayudando?

Lo estoy, dijo el Tortugo, Lo estoy.

No lo veo, dije, abollando la hoja de garabatos y tirndola en el cesto de basura. Meestoy cansando de las pistas Siempre pistas.

El Tortugo se acerc, levant el bollo de papel, y lo solt dentro del cesto. Prueba unpoco de pensamiento literal, hijo mo. S Un poco de pensamiento literal ser lasolucin.


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FIGURA 32

Aqu tengo una pista para tu siguiente figura, dijo el Tortugo, mientras entrabatrotando al estudio.

Oh, no! dije, viendo el libro de cuero en su mano, No los clsicos otra vez!

Porqu no? dijo el Tortugo, sentndose en mi silla ms cmoda. Una interminablefuente de sabidura. Abri el libro en una pgina que tena marcada y ley en voz alta:

Primo, secundo, tertio, es un buen juego; como lo es el viejo refrn, el tercerolo compensa todo: el trple, es una buena medida; o las campanas de SaintBennet, seor, uno, dos, tres, le hagan acordar.

Qu se supone que debo hacer con eso? Tiene todo el olor de ser una pista falsa.

El Tortugo golpete la mesa unas cuantas veces con su sealador de cuero.

Haz lo que quieras, dijo, mojndose los labios.


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FIGURA 33

Son el silbato del cartero, y el Tortugo sali apurado para ver qu traa. Volvi con unapila de cartas considerable, y por un rato rein el silencio, salvo por los sonidos derajaduras de papel y ocasionales crujidos.

Dios mo, dijo el Tortugo, con una hoja celeste de papel en la mano, escucha sto

Si lceras infecciosas tienes,A tu hija no contagies.

Qutale a dos ratoncitos la piel,Y en agua remjales."

Quin diablos te envi eso? pregunt.

Viejo Annimo, dijo el Tortugo, dando vuelta el papel y mirando en vano el otro lado.

Bien, yo tambin tengo uno, dije, inclinndome y entregndole una hoja similar depapel celeste. En ella haba una pequea matrz de nmeros y letras:

3 V

8 X

14 B

15 H

Luego de un rato el Tortugo me mir con ojos de estar acercndose al pnico. Ahoraestamos los dos en problemas, dijo.


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FIGURA 34

Cuando volv de mi clase de Snscrito, el Tortugo estaba instalado en la cocinarevolviendo un menjunje repugnante que haba metido en nuestro bowl de ponche.

Qu es esa asquerosidad? pregunt amablemente, mientras me sacaba el abrigo y locolgaba detrs de la puerta.

Me sent con nimos de celebrar despus de haber resuelto ese acertijo annimo. Estoypreparando una variante de nuestro bowl tradicional de ponche, dijo el Tortugo,mientras sumerga una copa en el lquido y tomaba contemplativamente.

Se ve como desinfectante para ovejas, para m, dije amablemente y alcanzando lacopa. Cmo crees que tomaremos todo eso antes de que fermente? Tom un traguitocauteloso No estaba tan mal, en realidad.

Todo estar bien, dijo, Tenemos la bendicin de Soma.


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FIGURA 35

Sabes, le dije al Tortugo, Me acabo de dar cuenta de que no puedo resolver stafigura sin tener alguna idea de los patrones bsicos que estn debajo Si uso doscomandos para dibujar cada pequea lnea de segmento, la lista de comandos serenorme.

Esto llama a la celebracin, querido mo, dijo el Tortugo con verdadero placer, Hasllegado a un nuevo plano de entendimiento Yo mismo no podra haberlo dichomejor. Sali trotando a buscar lo que quedaba del ponche.

Cielos, gracias, dije cuando volvi. Es un verdadero elogio, viniendo de tespecialmente.

El Tortugo me mir de reojo por un momento, pero decidi dejarlo pasar.

Bien, dijo, metiendo la copa en el ponche, Qu tienes que hacer ahora?

Supongo que necesito disear algn tipo de sub-patrn que pueda servir para dibujar elpatrn grande

S, dijo el Tortugo, Quieres una pista?

Eso sera realmente reconfortante, dije, tomando.

El Tortugo pens por un momento (siempre pareca pensar por un momento, pero estoyseguro de que tena los acertijos preparados de antemano) y luego, respir hondo, yrecit:

"Si tienes una embarcacin en condiciones de navegar,Y quieres algo en comn con la diversin,A las Islas Oxley, y a Cabo Wessel debes viajar,Ofrecen libertad para en el Sol jugar."

Porqu ser que tengo una sensacin que me hunde? dije.


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FIGURA 36

Encontr al Tortugo en el estudio. Luca decididamente preocupado, no la desenfadadapersona usual.

Qu pasa? dije Pero, incluso mientras hablaba, not la hoja de papel celeste sobreel escritorio al lado de un sobre abierto. Oh, no! Otra de esas notas annimas, no?

Me temo que s, dijo el Tortugo sin levantar la mirada, Slo que sta no es annima.Me pas la hoja de papel suspirando.

Saludos de Mdulo Ocho y su gente,Ac ya nos comimos a Serpiente Serpentosa y a su esposa,Este acertijo para t tuvimos en mente,Comienza con la lnea uno para que no te cueste.

Quin es Mdulo Ocho? Pregunt.

El Tortugo me mir cansado, Un pulpo Un viejo conocido mo. l y dos amigosinseparables formaron un grupo de resolucin de figuras unos aos atrs Pero, notienen fineza no tienen respeto por la verdadera percepcin.

Le sonre, y luego volv a mirar la nota:JXUDU NJJME AUOIT EDJTU FUDTE DCUNBYZC LMNEY SXYJY HXMIHGYFUF YOWUF YOWUX YHXLI HNBYMY WIHXE YSXYJ YHXMI HUNBIOMUHX IZWUY MULME CHMGY HTEEMA XHVXT GLHYM AXPHKEWMXX FTQAO QMZEA RFTQI ADXP

Cundo empezamos? Pregunt. No esper una respuesta; al Tortugo le gusta estarprimero en el negocio de resolucin de figuras.


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FIGURA 37

Entr al laboratorio y el Tortugo pareca sorprendido. Qu pasa? dijo, su cara sevolvi un poco menos verde.

Lo tengo! grit, Lo tengo! Lo tengo!

Qu es lo que tienes? dijo el Tortugo, Ests enfermo?

No, dije, calmndome un poco, De repente comprend algunas de las cosas que mehas estado indicando.

Oh, dijo el Tortugo, hundindose en una silla. Gradualmente fue recuperando su colornormal. Luego de un rato dijo: No me hagas eso. Acabo de gastar la reserva de un aode adrenalina.

Lo siento, dije.

OK Estoy contento, dijo el Tortugo. Cuntame sobre tu reflexin.Bien, dije, un poco apagado, se me ocurri que usar procedimientos y buscarsoluciones ordenadas, y tratar de entender la organizacin de patrones son todosdiferentes aspectos de la misma cosa.

El Tortugo salt repentinamente de su silla y se dirigi hacia m. Yo d un paso atrsalarmado, el miedo se amontonaba en mi garganta y la palabra hidrofobia se me cruzpor la cabeza. El Tortugo se desliz y fren adelante mo y grit, Lo tienes!

Oh, dije despues de un rato. Luego empec a rer. Me sirve, dije, Tratar demantener mi entusiasmo bajo control en el futuro.

En ese caso, dije Qu tal una pista o dos sobre la Figura 37?

El Tortugo ni lo dud; debe haber sido toda esa adrenalina:

"Andrmeda se levanta, quintaescencia destilada,Cassiopeia y Cefeo rechazadas,En el Grupo de Messier ha tomado armas,Perseo, su amor, yace abandonada."

Las tortugas pueden sufrir de hidrofobia? Pregunt.


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FIGURA 38

Sabes EBN, dijo el Tortugo, Debera mencionar otra razn por la cual los acertijosson importantes.

Quieres decir aparte de hacernos perder la concentracin? dije.

No puedes hablar en serio por unos minutos? dijo el Tortugo en tono agrio.

Perdn, dije, reprimiendo una sonrisa. Contina, por favor.

Bien, dijo el Tortugo, Las figuras de Logo le ofrecen a la gente una oportunidad parausar el razonamiento matemtico para resolver problemas interesantes, pero el desafono termina una vez que conseguiste dibujar la figura. La bsqueda de principiosgenerales, para la organizacin y las relaciones subyacentes, debera ayudarle a la gentea desarrollar una comprensin ms profunda de las matemticas involucradas, y deberaayudarlos tambin a desarrollar mejores habilidades de resolucin de problemas.

Entonces Qu tiene que ver eso con los acertijos?

Bien, dijo el Tortugo, aparte de dar pistas y guiar, los acertijos requieren un estilo deresolucin que se acerca mucho al que se necesita para investigaciones cientficas ymatemticas. Entonces pensar en las soluciones para los acertijos puede ayudarle a lagente a desarrollar un enfoque de investigacin. Y esa es tambin la mejor forma deabordar las figuras de Logo.

Qu quieres decir con que el estilo para resolver problemas se acerca al que se usa eninvestigacin?

Quiero decir que un problema de investigacin no es claro y concreto, dijo el Tortugo.Uno no puede estar seguro de estar en el camino correcto, o siquiera si hay un caminocorrecto. Generalmente es necesario probar un nmero de pistas prometedoras antes deencontrar la mejor.

Y generalmente las respuestas no se pueden corregir, dije tomando el hilo.

Exacto! dijo el Tortugo. La parte de atrs del Libro de la Vida no trae lasrespuestas.

Pero las soluciones para los diferentes acertijos deben ser consistentes unas con otras, ycon las soluciones para las figuras, entonces debe haber un nivel de verificacinincorporado en todo el cuadernillo, dije.

Tal como en la vida real, dijo el Tortugo. Por ejemplo, piensa en el siguiente acertijo:

No es West Point, pero ms hmedo.No es Worcester, pero ms occidental.No es Wabuk, pero con muros."

Tal como en la vida real, dije.


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FIGURA 39

Yo estaba trabajando en el estudio cuando entr el Tortugo con una sonrisa enigmticaen la cara. Sin decir una palabra me di una pequea hoja de papel celeste. Haba ungrupo de letras escrito.

YHWH

Y estaba firmada, Del Que Vino Del Otro Lado Del Ro.

YHWH? Es de Mdulo Ocho? Pregunt.No, dijo el Tortugo, es mo.

Tuyo! Qu es todo esto de venir del otro lado del ro?

Oh, slo estaba en el ro en el comedor Good Old Dave buscando unas papas fritas ypescado, dijo, Lo escrib mientras esperaba.

Te debe haber dado mucho trabajo escribirlo, dije. El Tortugo sonri.

El aroma a papas fritas y pescado se filtraba desde el hall hasta el estudio.

Comamos, dije, dejando el papel en el escritorio y abriendo el camino hacia la cocina.


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FIGURA 40

El Tortugo asom la cabeza por la puerta del estudio y dijo, Cmo va eso?

Nada bien, dije. sta ltima figura me est dando toda clase de problemas.

El Tortugo mir a la pantalla, luego a mis anotaciones, y luego sacudi la cabeza.Pens que habas desarrollado un buen enfoque para buscar sub-patrones.

Mi buen enfoque parece haberme abandonado, dije.

Mira, dijo el Tortugo, Lo que realmente cuenta es aferrarse a l cuando el pasar sepone difcil.

Es fcil decirlo, dije, Pero no fcil de hacer.

Mira, dijo el Tortugo otra vez, sta figura est relacionada con otras dos ms en elcuadernillo Seguramente puedes consolarte en el hecho de que hay una pista para unade stas dos figuras en el acertijo que est abajo.

Es realmente reconfortante, dije, Gracias.

Por nada, dijo el Tortugo.

No le contara a nadie en el mundo, dije susurrando.

Bien, dijo el Tortugo, La ltima Adivinanza.

S Realmente estoy bastante triste de que no haya ms.

Oh! el Tortugo se sorprendi. Ya resolviste sta figura?

No, dije.

Entonces no est todo terminado todava, dijo el Tortugo.


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PRXIMOS PASOSEl Tortugo y yo estbamos afuera al lado del estanque estudiando y adentrndonos atomar otro bowl de ponche de celebracin. Haba un excelente queso y pan italiano en lamesa.

Luego de un rato me recost en mi silla, me estir, y dije. Bien Se siente muy bienhaber terminado tu cuadernillo. Vali la pena.

Me alegro de que te sientas as, dijo el Tortugo, levantando la vista de sus anotacionesy sonriendo.

En realidad, estaba por preguntarte si podas contarme un poco ms sobre lasconexiones entre las figuras de Logo y las matemticas No estaba seguro de estaraprendiendo ideas matemticas.

Me encantara, dijo el Tortugo, pero tendras que leer primero mi documento dedebateLas Tortugas Hablan Matemticas Eso te har empezar con el pie derecho.

Buena idea, dije. Ese es el que public el Centro de Desarrollo Curricular, Canberra,

Australia (1988)?S, dijo el Tortugo.

Mientras estamos en eso Podras tambin recomendarme uno o dos libros para quelea Sobre Logo y el tipo de problemas que estuvimos resolviendo. Sugerencias?

El Tortugo tom un sorbito de su copa y pens un momento: S, podra, ahora que haspasado por las figuras

Estas diciendo que no podra haber entendido ningn otro libro sin haber ledo eltuyo?

No! Por supuesto que no! dijo el Tortugo. Slo pienso que la mayora de los librosintroductorios de Logo dicen demasiado sobre problemas que puedes resolver t mismo.Pero, una vez que has tratado la clase de problemas que estn en mi cuadernillo, luegohay muchos buenos libros de los que puedes sacar provecho.

Nombra alguno, dije.

Bien, seguramente disfrutarasMindstorms. Te dar una buena perspectiva de lasposibilidades que ofrece Logo, y tambin te ayudar a entender la manera en que lasmatemticas estn incorporadas en mi cuadernillo. Casualmente, tengo una copiaaqu. Busc en su maletn, sac un libro de bolsillo bastante manoseado, y me lo pas.

Gracias, dije, sacando mi cuaderno, Veamos Seymour Papert The HarvesterPress, 1980.

S, dijo el Tortugo, con nostalgia, 1980 fue un excelente ao para las tortugas.Tambin hay unos libros muy buenos publicados por Addison-Wesley En particular,deberas ver los primeros dos libros de David Thornburg,Discovering Apple Logo(1983) yExploring Logo Without a Computer(1984) Y s que te gustar el estilo dellibro de Molly y Dan Watt, Teaching with Logo (1986) S, puedes confiar en lastortugas de Addison-Wesley.

Puedes recomendarme un libro que me ayude a aprender ms sobre caractersticas msavanzadas de Logo? T sabes, recursividad y listas y

Seguro, dijo el Tortugo, rascndose la cabeza, El libro de Hal Ableson Logo for theApple II(Byte/Mgraw-hill; 1982) sigue siendo uno de los mejores, y Donald Martin,Stephen Prata, y Marijane Paulsen han escrito un muy buen libro de referencia que se


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llamaApple Logo Programming Primer(SAMS; 1984), y hay

Espera! dije, Ms despacio! Estoy teniendo el sndrome del calambre del escritor!

libros para avanzados de David Thornburg muy interesantes,Beyond TurtleGraphics (Addison/Wesley; 1986), y Brain Harvey, Computer Science Logo Style (MITPress; 1985) Y si quieres continuar investigando las posibilidades de Logo y lasmatemticas, justo hasta la Relatividad General, entonces obtendrs mucho del libro

Turtle Geometry de Hal Ableson y Andy diSessa (MIT Press; 1980).Gracias, dije, todava escribiendo rpido, Eso me mantendr ocupado por untiempo.

S, dijo el Tortugo, Eso te mantendr lejos de mi vista.

Lo mir un rato largo mientras guardaba mi cuaderno: Seguramente no quieres decireso.

Por supuesto que no, dijo el Tortugo, con un toque carioso en su voz. Hablarcontigo me hace darme cuenta de cunto he avanzado.

Me niego a acercarme a la carnada, dije, tirando unas migas de pan en el estanque.


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CMO USAR EL CUADERNILLOste cuadernillo ha sido diseado para que sea compartido. sto es, intenta apoyar elproceso colaborativo de resolucin de problemas en el cual los problemas se tratanentre dos, o ms, personas trabajando en conjunto y compartiendo ideas y perspectivas.

Si estas trabajando con el material de forma individual, entonces, claramente, eres librede proceder de la manera que mejor prefieras. Si, sin embargo, eres parte de un grupode resolucin de problemas, entonces, hay un nmero de limitaciones que deberastratar de observar para que la experiencia sea lo ms valiosa posible para todos losmiembros del grupo. sto es particularmente cierto si eres el lder del grupo.

Los lderes pueden ser los maestros, padres o personas ms jvenes. Generalmente,personas de diferentes rangos de edades estarn involucrados en los grupos; porejemplo, padres e hijos, adolescentes y sus hermanos menores, los maestros y losalumnos. Es de fundamental importancia, en stos casos, que los miembros del grupoque son mayores y ms experimentados estn atentos a las necesidades de los miembrosms jvenes.

Considero que el lder de un grupo de resolucin de problemas tiene responsabilidadesclaramente definidas. Como lder del grupo debes tratar de:

(a) Asegurarles a los miembros del grupo un tiempo amplio.

Necesitan tiempo para familiariarse con el cuadernillo antes de embarcarse en la seriainiciativa de resolver las figuras y los acertijos. Si es posible, cada miembro de la clase,o grupo, debe tener su propia copia. Se los debe incentivar a que lleven el cuadernillo asus casas y a que lo lean a su antojo; que piensen en las figuras en su tiempo libre; que

discutan los acertijos con sus padres.Necesitan tiempo para pensar en cada problema con el que se encuentran. Necesitantiempo para formular ideas sobre los posibles significados. Necesitan tiempo para probarsus ideas. Necesitan tiempo para discutir sus ideas con sus pares y lderes. Necesitantiempo para considerar las ideas de los dems.

(b) Permitirles a los miembros del grupo experimentar algo de confusin.

Se intenta que el material en ste cuadernillo sea de alguna manera confuso a primera

vista. En la vida real, no podemos evitar sentirnos confundidos de vez en cuando. stesentimiento de confusin nos indica que nuestro entendimiento de una situacin enparticular es inadecuada En otras palabras, la confusin representa una oportunidadpara aprender.

Los adultos deberan reconocer el peligro que existe en proteger a los jvenes de lossentimientos de confusin. La vida no nos ofrece sus problemas en una secuencia depaquetitos cuidadosamente graduada, cada una de los cuales se puede resolver por elalumno promedio en una hora de clase. Se lo debemos a nuestros alumnos, a laposibilidad de sentirse confundidos a veces; a permitirles aprender de lidiar con, y hastabeneficiarse de, la confusin; a permitirles desarrollar respuestas, en lugar de entrar en

pnico, frente a situaciones en las que pueden sentirse inicialmente sobrepasados.


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(c) Mantener las sesiones de resolucin de problemas de manera relajada.

La asimilacin de ideas nuevas lleva tiempo; aunque una figura haya sido resuelta,puede haber un beneficio en mirar a la solucin otra vez unos das despus Se puedeencontrar un enfoque mejor (ms simple)? Es importante permitir que los problemas sedesparramen y den vueltas en las cabezas de las personas. Bajo ninguna circunstanciadebes exigir a la clase completar una figura por sesin. Mantn un enfoque sinpreocupaciones Trata de balancear la seriedad con la diversin.

(d) Permitir a los miembros del grupo avanzar con las figuras y acertijos en elorden que quieran.

La secuencia de las figuras Logo es, en general, una secuencia de dificultad creciente.Hay alguna ventaja, si eres principiante, en trabajar con las figuras en orden. Pero elorden no es particularmente importante - el material est diseado para serreestructurado por cada lector. Si es posible, organiza las sesiones grupales de maneraque los individuos puedan reordenar el material como crean que es apropiado para ellos.

Es una buena idea intentar hacer todas las figuras y acertijos eventualmente - haymuchas conexiones internas en varias partes del cuadernillo. sto tambin significa quedebes mantener el cuadernillo intacto Si lo separas, se destruirn algunas de lasconexiones y pistas.

(e) Asegurarte de que todos los miembros del grupo sepan cmo usar lacomputadora, si es que usan una, y que sepan suficiente Logo como para empezar.

Como quise producir el cuadernillo para que pueda ser usado con cualquier

implementacin de Logo, no he includo detalles especficos de la mquina. Por lo tanto,no he tocado el tema del lenguaje Logo, o los procedimientos para usar la computadora.

stas omisiones no deberan ser una limitacin Hay muchos libros que cubren stostemas (vase, por ejemplo, la pequea bibliografa mencionada en la ltima seccin), yhay un perfeccionamiento constante y creciente entre los maestros, alumnos y padres.Adems, las figuras Logo que se presentan pueden ser dibujadas con un pequeosubgrupo de comandos Logo. En Turtle Art 2 son:

ADELANTE ATRS DERECHA IZQUIERDA

SUBIR PLUMA BAJAR PLUMA REPETIR

El comando que se necesita para crear procedimientos es

ACCIN

Adems del comando

LIMPIAR


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(f) Asegurarte que los siguientes recursos adicionales estn disponibles para losmiembros del grupo:

UN BUEN DICCIONARIO

UN ATLAS

UNA BUENA ENCICLOPEDIA

UNA MODESTA BIBLIOTECA DE LITERATURA CLSICA

los acertijos estn diseados para que el proceso de resolverlos se transforme en unproyecto comunitario. Se debe incentivar a los miembros del grupo a compartir susrecursos.

Asumo que los maestros de reas fuera de las matemticas y la informtica sern vistoscomo recursos, y sern invitados a participar en las actividades de resolucin deproblemas; en algunos casos, sus conocimientos y habilidades pueden ser necesarios.

(g) Evitar imponer tus soluciones.

Uno puede llevar a los otros miembros del grupo a aplicar tus soluciones sin quererSiempre que presidas una discusin, o ayudes cuando hay dificultades, tus respuestasestarn condicionadas por tus teoras sobre las soluciones de las figuras y lossignificados de los acertijos. Siempre recuerda que tus teoras pueden estarequivocadas!

(h) Abordar las actividades con la mente abierta.

He escrito ste cuadernillo no slo para estudiantes, sino tambin para maestros y

padres. Espero que los maestros y padres vean en l una oportunidad para enriquecer supropio aprendizaje. Creo firmemente que las mejores clases, y los mejores hogares, sonaqullos en los que los nios y los adultos aprenden juntos.

Asegrate de poder admitir no saber las respuestas - entonces sers libre de participar enlos procesos grupales. Sobre todo - disfruta la aventura!


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AGRADECIMIENTOSEl enfoque de resolucin de problemas presentado en ste cuadernillo ha ido creciendodurante varios aos. Durante ese tiempo he absorvido ideas de muchas fuentes - deinvestigaciones literarias y monografas de vairas reas, de mis colegas cientficos yeducacionales, de los padres, maestros y nios con los que he trabajado.

LeMindstorms, de Seymour Papert, all por 1983. Sus ideas, y las de otros miembrosde la comunidad de Logo, continan entusiasmndome y desafindome. Algunas de lasconexiones el el trabajo de Papert se mencionan en el documento de debate LasTortugas Hablan Matemticas, publicado por el Centro de Desarrollo Curricular,Canberra, Australia (1988).

Mis primeras aventuras con Logo fueron apoyadas por el director, el cuerpo de docentesy alumnos de la Escuela Primaria Miles Franklin, en Evatt, Territorio de la CapitalAustraliana (TCA). En particular, John Langford y sus alumnos, fueron una fuente anmayor de inspiracin.

Los consultores de rea de la Seccin de Autoridades Curriculares de las Escuelas en

TCA han provedo de apoyo y estmulo que no tiene precio. He pasado muchas horas endiscusiones y talleres con Tricia Berman, Beth Lee, Leslie OBrien, Dawn Spencer,Michael Thomson and Ian Webb. Michael Thomson y yo hemos compartido la dicha ylas frustraciones de desarrollar, y presentar, cursos de capacitacin para el ColegioWoden TAFE (Technical and Further Education) y para las Autoridades Escolares deTCA. Beth Lee ha sido una gua sabia y emptica.

Clem Annice, Brian Gray and Max Kemp de la Escuela de Educacin, Colegio deEducacin Superior de Canberra, han contribuido a mi creciente comprensin sobrecmo aprenden las personas y cun efectivos pueden ser los padres como maestros.

Los maestros que han participado en nuestros talleres se han convertido en buenosamigos. Me han mantenido en el angosto camino de la practicidad, pero tambin hantenido el coraje de probar nuevos enfoques en el ula. A travs de los cursos de Logo enTAFE, el grupo de Logfilos, y los talleres en el Centro de Educacin OConnell, hanayudado a construir muchas de las ideas aqu incorporadas.

La Autoridades Escolares de TCA Han proporcionado los medios financieros pararealizar mucho de nuestro trabajo. En particular, John Hamilton, Principal FuncionarioEjecutivo de la Seccin Curricular, ha provedo de constante apoyo. Hizo posible laconduccin de cuatro talleres intensivos de capacitacin, llamadosEnseando

Matemticas con Logo, en el Centro de Educacin OConnell en 1986. Su paciencia esadmirable; la flexibilidad de sus plazos fueron esenciales.

Finalmente, agradezco a mi familia por su apoyo. En particular a Dawn por loscomentarios crticos y por no tomarme demasiado seriamente, y a Jenny por suentusiasmo y por rer cuando yo esperaba que lo hiciera.


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EL AUTOREl Doctor Barry Newell es un astrnomo con participacin activa en la educacin de lasmatemticas y de las ciencias. Est comprometido con la tarea de trabajar con maestrosy padres para mejorar las experiencias de los nios con la ciencia y las matemticas.Tiene amplia experiencia con las computadoras en educacin y ha dirigido muchostalleres de capacitacin. El Doctor Newell est casado y tiene seis hijos.


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LA TRADUCTORAMelina Luca Coronel es Profesora de Ingls, especializada en Fontica y FonologaInglesas. Actualmente dicta clases de Fontica y Fonologa en la UniversidadAutnoma de Entre Ros, Argentina, en el Profesorado en Ingls. Considera que educares una tarea importante y enriquecedora. Guiada por los principios humanistas, acepta eldesafo con alegra y compromiso, tratando no slo de compartir siempre su

conocimiento, sino de aprender de sus colegas y alumnos. Es madre de una hija yestudiante eterna.

1N. de la T.: Aunque se busc una traduccin publicada del poema

de Alfred Lord Tennyson, The Poets Mind, la misma no fueencontrada. Por tal motivo, se procedi a traducir, tratando demantener la esttica, mtrica y rima del poema respetuosamente,pues forma parte de la literatura universal y lejos queremos estarrealizar un trabajo irrespetuoso. Se hace informe de ste hechoen sta nota.

2N. de la T.: Se decidi traducir los comandos de LSCI Apple Logo

a comandos de Turtle Art (una actividad de la plataformaeducativa Sugar), ya que la implementacin de LSCI AppleLogo que se menciona en el original est en desuso. Para que elgrupo de comandos sea consistente con los que existen en TurtleArt, los comandos TO (PARA), END (FIN) y EDIT (EDITAR),fueron reemplazados por ACCIN.

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La confusión de la tortuga