LA DERIVADADEFINICIÓN

La definición más común hace referencia a que la derivada es el límite del cociente entre el incremento de una función y el de la variable cuando este último tiende a cero.

Definición geométrica de la derivada 

La definición geométrica de la derivada está relacionada directamente con la pendiente de una recta tangente a una curva que generalmente es de la forma  . Para deducir de una forma gráfica el concepto de derivada calculemos la pendiente de la recta tangente a la curva,   en el punto Q (2, 4) como se puede observar en la gráfica:

 

Ahora se calculan pendientes de rectas que se aproximen a la recta tangente en el punto Q (2, 4), para esto se toman puntos P, en la curva  , que estén cerca del punto Q, y se calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos Q y P, que se muestra en el siguiente cuadro:

De acuerdo a los datos obtenidos se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva y = x2, en el punto Q(2, 4) posiblemente está entre 4.99 y 4.01.

Para hallar, el valor exacto de la pendiente se toma el punto P con abscisa muy cerca de 2:

, generalmente representa una cantidad muy pequeña y puede ser positiva o negativa, de esta forma, 2 +   estará muy próxima a 2. Al calcular la pendiente de la recta que pasa por Q y P: 

Cuando   se aproxime a cero o dicho de otra forma, cuando el punto P se aproxime al punto Q, entonces la pendiente de la recta que pasa por Q y P, que es igual a que 4 +  se aproxime a 4.

Resumiendo, se tiene que la recta tangente a la curva y = x2 en el punto Q(2, 4) es igual a:

El procedimiento anterior se puede resumir en el siguiente enunciado:

Si y = f(x), es una curva y Q[a,f(a)] es un punto sobre esta curva, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva   y = f(x)   en el punto [ a, f(a) ] es igual a:

Y se llama derivada de f en x = a.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función se puede representar también como y se lee derivada de y con respecto a x.

 

 

 

 

 

Otras derivadas de gran importancia son:

 

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

Derivada de una suma

Si se tiene dos funciones f y g derivables las dos en x, la función suma es derivable también en x, y se verifica la suma como:

 

 

Derivada de un producto

Si f y g son dos funciones derivables en x, entonces la función producto es derivable también en x, y se verifica el producto como:

De la misma manera se tiene que si  , donde m pertenece a los enteros positivos, entonces se verifica la derivada de una potencia:

 

 

 

Derivada de un múltiplo constante

Si f es una función que se puede derivar y c un número que pertenece al conjunto de los números reales, se comprueba que:

 

Derivada de un cociente

La derivada de un cociente se expresa como: 

Donde f es una función y c un número perteneciente al dominio de la función de tal manera que:

Cuando se trata de dos funciones f y g también derivable en x = c, con g(c) diferente de 0, entonces se tiene que la función cociente   f / g es derivable en    x = c, y la ecuación se comprueba para derivar un cociente de funciones en:

 

 

No necesariamente todos los cocientes planteados se resuelven a través de la fórmula general. También se pueden desarrollar como productos de una constante por una función de x, y se aplicaría la regla vista anteriormente para la derivada de un múltiplo constante que para el caso sería más práctica.

 

 

 

Derivada de las principales funciones trigonométricas

 

Las derivadas de las funciones trigonométricas vienen dadas por:

 

Para demostrar cada una de las derivadas anteriores, se parte de la regla general de la derivada:

 

Las demás derivadas trigonométricas las aplicaremos en la medida en que desarrollemos varios ejemplos.

 

Teniendo como base los anteriores ejemplos, demostrar las derivadas trigonométricas para la Ctg, Sec y Csc respectivamente.

 

Resumiendo todas las propiedades generales de la derivación, se tiene:

 

Derivadas de las funciones trigonométricas:

 

REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena se enuncia si se tiene una función y = f(u) derivable de u, y u = g(x), es decir, derivable de x, entonces se puede afirmar que y = f[ g(x) ] siendo función derivable de x, con:

 

 

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA

Derivar implícitamente es considerar uno de los términos (y) de una igualdad como función del otro término (x), para que después de tener la ecuación resultante se despeje el valor de dy / dx.

Para realizar dicho procedimiento se recomienda utilizar los siguientes pasos:

 

 

 

 

3.7 PROPIEDAD GENERAL DE LAS POTENCIAS

Ampliemos un poco el concepto de la derivada de una potencia que está enunciada por las fórmulas:

Ahora veámosla como un caso particular de la regla de la cadena y para caso se tiene que si  , donde se cumpla que u sea una función derivable de x y n es un número racional, se tiene que:

 

 

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Una derivada de orden superior es aquella derivada que resulta de formar una nueva función a partir de una primera derivada, es decir, si se tiene una función f que es derivable, se puede formar una nueva función que se denota por f´ y se lee primera derivada de f, y así sucesivamente se pueden ir formando derivadas a partir de la anterior y se nombran segunda, tercera derivada de f, etc.

 

Derivada de funciones con exponente fraccionario

 

 

Observa que lo primero que está planteado es un producto, luego:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.9 RAZONES RELACIONADAS

Las razones relacionadas son las variaciones que se producen en dos o más variables en la unidad de tiempo. Son aplicables a los problemas básicos vistos en física, como son los de caída libre, movimiento rectilíneo, etc. También los estudiados en el área de geometría como que tienen que ver con las figuras geométricas y sus medidas de longitud, capacidad o volumen.

 

 

Un objeto se deja caer sobre una piscina con el agua en reposo, al caer produce ondas circulares. El radio (r) de la onda exterior crece al ritmo constante de 2 m por segundo. Cuando el radio es de 6 m.

¿Con qué período está creciendo el área total de la zona donde se están creando las ondas?

 

 

El desarrollo del ejemplo anterior se puede resumir en los siguientes pasos:

 

Se asignan símbolos a las variables dadas y a las variables por determinar.

Escribir la ecuación que involucra todas las variables, es decir, las dadas y las por determinar.

Utilizando la regla de la cadena se derivan implícitamente los dos miembros de la ecuación respecto del tiempo t.

En la ecuación resultante, se sustituyen todos los valores de las variables conocidas con sus razones de cambio.

 

 

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos son los mayores o menores valores que alcanza una función en un intervalo dado. También reciben el nombre de valores extremos de la función.

 

 

En la figura se observa que la función        , está definida en el intervalo cerrado [-1, 2], entonces se puede afirmar que:

 

 

De los anteriores conceptos, se desprende el teorema del valor extremo que se refiere a que si f es continua en el intervalo cerrado, entonces la función tiene máximo y mínimo en el intervalo. En la gráfica de una función, un máximo se pude perder en el momento que el intervalo cambie. Es decir, si en lugar de que el intervalo sea cerrado es abierto.

Veamos la siguiente gráfica:

De la gráfica se pueden definir los conceptos de extremos relativos:

 

Si existe un intervalo abierto en el que f(c) tiene un máximo, entonces f(c) se llama máximo relativo de la función.

Si existe un intervalo abierto en el que ¦(c) tiene un mínimo, entonces f(c) se llama mínimo        relativo de la función.

Los extremos relativos solo se presentan en los números críticos.

 

En una función definida en cualquier número real c, se pueden reconocer puntos críticos de la función cuando f(c) = 0, o si la función no está definida en c. Expresado de otra manera se tiene que si la función tiene un extremo relativo en el punto x = c, entonces c será un número crítico de la función.

Resumiendo los valores obtenidos, se tiene:

 

 

El procedimiento que se ha seguido para hallar los extremos en un intervalo cerrado se puede resumir en los siguientes pasos:

 

Se deriva la función dada para hallar los números críticos.

Se evalúa la función en cada número crítico que tenga en (a, b).

Se evalúa la función en los puntos a y b.

 El menor de tales valores es el Mínimo; y el mayor es el Máximo.

 

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Durante el estudio de la derivada se ha visto que se pueden hallar los puntos máximos y mínimos de una función. También es posible analizar cuando la función es creciente o decreciente.

 

Sea la figura:

 

Una función es creciente si para todo par de números x1 y x2 en el intervalo, se cumple que x1 < x2 y luego f (x1) < f (x2). Similarmente, una función es decreciente si para todo par de números x1 y x2 en el intervalo, se cumple que x1 < x2 y luego (x1) > f (x2).

Entonces, si la función es derivable en un intervalo (c, d) se tiene que:

 

 

 

3.12 PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

De las aplicaciones más importantes del cálculo es la de máximos y mínimos en la solución de problemas, que en cursos anteriores se resolvían, por ejemplo, mediante ecuaciones simultáneas.

 

Cuáles serán las máximas dimensiones de una caja abierta con base cuadrada, que se podrá construir con 12 metros cuadrados de material?

Como la caja es cuadrada, su volumen será:Además, es abierta, entonces: At = área de la base + área de las 4 caras laterales.

Ahora, como se trata de maximizar el volumen, entonces lo expresamos en función de una sola variable. Para realizar esto, se despeja h de la ecuación de área total en términos de x, con lo que se obtiene:

Evaluando el volumen en el punto crítico del dominio, y en los puntos terminales del dominio, se observa:

Establezcamos un procedimiento general para el desarrollo de los problemas de máximos y mínimos:

 

Se asignan símbolos a todas las cantidades involucradas en el problema. Las enunciadas y las variables a determinar.

Se elabora una gráfica del problema en la medida que sea posible.

Escribimos una primera ecuación que involucre la magnitud que se ha de hacer máxima        o mínima.

Reducimos la primera ecuación a otra que tenga una sola variable independiente. Este        proceso se desarrolla mediante el uso de una segunda o tercera ecuación que        relacionen las variables independientes de la primera ecuación.

Se halla el valor máximo o mínimo comparando los valores de la función en sus extremos        relativos con los valores en los puntos terminales del intervalo cerrado.

Dos torres de 15 y 30 metros de altura respectivamente, están separadas una distancia de 40 metros entre sí. Se quiere unir las dos torres por medio de un cable con la particularidad de que esté fijado al piso entre las puntas de las torres.

¿En qué punto del piso se debe fijar el cable para utilizar la mínima cantidad de cable posible?

1. Designemos S como la longitud del cable.

2. Elaboremos la gráfica del problema:

3. Escribimos una primera ecuación que involucre la magnitud que se ha de hacer mínima.     S = p + r

4. Despejamos el valor de p y de r en función de una sola variable x: Utilizando el teorema de      Pitágoras se tiene

    

 

Sustituyendo estos valores en la primera ecuación:

 

    

    

 

Se concluye entonces que el cable debe fijarse a 13,33 metros de la torre de 15 metros.