La dimensión topológica

LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA 31

Capítulo 1LA DIMENSIÓN TOPOLÓGICA

El término dimensión es de uso corriente en el lenguaje de las artes, el diseño y la

arquitectura. En las primeras es corriente referirnos a una escultura como tridimen-

sional, esto es, de 3 dimensiones. Los productos del diseño gráfico generalmente

los asociamos a las 2 dimensiones, como las páginas de este libro. Un edificio u

obra de arquitectura, para el común de la gente es también tridimensional; sin

embargo, para los estudiosos del espacio arquitectónico, este representa una

dimensión diferente, algunos lo definen como de 4 dimensiones o tetradimensional,

incluídos nosotros, en lo que será una de las definiciones objeto de este libro. Pare-

ciera que la idea de dimensión forma parte del lenguaje ordinario, como algo dado

por válido, en el sentido de que existe una aproximación perceptiva que permite

definir la dimensionalidad de una forma, por ejemplo 2 dimensiones para la hoja del

libro, y 3 para la escultura o el edificio. Se constituye ésta entonces en una idea de la

dimensión, que tiene que ver con alguna particularidad de la forma, y que establece

una diferencia entre 2 y 3 dimensiones, y se constituye en argumento del juicio

visual al ponderar la estética de una forma.

Otra acepción del término dimensión se refiere a la medida. Cuando deci-

mos que las dimensiones de las hojas de este libro son 7.5” x 9.0”, nos referimos a

sus medidas, las cuales nos permiten definir el tamaño de las mismas. Entonces

aquí la dimensión aparece como un aspecto del tamaño, lo cual en su sentido más

amplio es cierto. Sin embargo el reconocer que la medida de las hojas de este libro

son 7.5” x 9.0”, significa que ante nuestros ojos esa es la visualidad evidente, aque-

lla a la que adjudicamos dicha medida, mas exactamente 2 medidas, 7.5 y 9.0, lo

que las hace bidimensionales, porque consideramos que no existe otra medida, y si

FIGURA 1.1

Javier EcheverriProfesor Titular Universidad del Valle, Cali, Colombia(v1 - 20111107)

32 Capítulo 1

esta existiera, el objeto sería mas bien tridimensional, como en efecto lo es el libro

que conforman las hojas a que hacemos referencia. Vemos entonces como existe

una relación entre tamaño y dimensión, siendo esta...

La dimensión es el concepto matemático que se refiere a las propiedades

topológicas de una forma en tanto su capacidad de desarrollo espacial. Por ejem-

plo, un rectángulo es una forma que se desarrolla en el espacio en forma de plano,

mientras que un cubo es un volumen. Los términos plano y volumen corresponden

a una idea de la forma, esto es, la estructura visual que le es propia a la visualidad

del rectángulo o el cubo, y a la cual denominamos simplemente como dimensiona-lidad, significado visual estrictamente ligado a la complejidad espacial de cada

forma, y que en términos numéricos se expresa en la dimensión, siendo todos los

planos de dimensión 2, y todos los volúmenes de dimensión 3 (Figura 1.1_p31).

Dicho de otro modo, la dimensión valora la complejidad representativa de una

forma, a partir del número de medidas que son necesarias en su representación, 2

para el plano (largo y ancho) y 3 para el volumen (largo, ancho y profundidad). En

términos mas específicos de la geometría, la dimensión es la magnitud mensurable

de una forma en una dirección específica, esto es, en sentido lineal y recto, por lo

que una medida en un sentido es la medida de una dimensión. De este modo se

tiene que un punto no tiene dimensión; una línea tiene una dimensión: su longitud;

un plano tiene dos dimensiones: largo y ancho; un volumen tiene tres dimensiones:

longitud, ancho y profundidad. El punto es entonces una forma de dimensión 0, la

línea de dimensión 1, el plano de dimensión 2, el volumen de dimensión 3, valores

que en el lenguaje escrito se representan como 0D, 1D, 2D y 3D respectivamente.

La dimensionalidad es un valor palpable por los sentidos de manera objetiva, el filo

de un borde, la tersura de una superficie, la masividad de un objeto. Sin embargo

en matemáticas el concepto resulta mas abstracto ya que si hablamos de formas

de 2 o 3 dimensiones, siendo 2 y 3 números naturales1 que indican el número de

dimensiones presentes en una forma, al menos conceptualmente es válido enten-

der una forma de cualquier número de dimensiones, por ejemplo de 4, 5 o mas

dimensiones, hasta llegar al infinito, aunque tales formas solo son aprehensibles por

nuestro intelecto desde una óptica matemática, pero imposibles de percibir por los

sentidos. Incluso nos es dado enunciar sistemas dimensionales cuyo número no es

entero sino fraccionario, o negativo en vez de positivo. Cada una de estas situacio-

nes genera exóticos universos dimensionales en donde conviven extrañas formas

imaginarias, cuya complejidad depende de la medida en que se aleje de la dimen-

sión 3, diferenciando si dicho distanciamiento es hacia arriba o hacia abajo en la

escala de los números naturales. Desde que la dimensión de una forma no es una

realidad ciertamente física, ya que todas las realidades físicas tienen 3 dimensiones

(no se puede decir que una hoja de papel por mas fina que sea tiene 2 dimensio-

nes, porque de todos modos tiene un espesor), el concepto de dimensión no es

mas que una entelequia útil en la descripción topológica del ser humano y su

1. El conjunto de números enteros positivos.


entorno. Por lo tanto realidades físicas diferentes a la dimensión 3 serán siempre

abstracciones, y solo tienen como objeto explicar la realidad tanto en sus aspectos

positivos como en sus connotaciones metafísicas.

Ahora bien, cuando se dice que el espacio en que habitamos tiene 3

dimensiones, es porque podemos desplazarnos dentro de él en 3 sentidos básicos:

hacia adelante o atrás; hacia la izquierda o la derecha; y hacia arriba o hacia abajo.

Es esta noción de espacio, ligada con el movimiento (o la permisividad de este),

una descripción topológica del espacio euclidiano. La geometría euclidiana es un

conjunto de abstracciones sobre entidades formales imaginarias que cumplen unas

determinadas reglas o comportamientos que se expresan en los axiomas o postu-

lados, entre ellos, los conceptos de punto, línea, plano, ángulo, etc. Es así como a

partir de estos se interpreta el espacio como el lugar donde geométricamente pue-

den sucederse ciertos "eventos" formales, el punto que se desplaza y produce una

línea, la línea que se transforma en plano, etc., siendo el espacio de la transforma-

ción punto a línea un espacio unidimensional, el de la transformación de la línea en

plano uno bidimensional, y así sucesivamente. Por lo que el espacio resulta en algo

así como el límite geométrico de un estado de cosas geométrico, un concepto total-

mente abstracto, ya que para el ser común el espacio será uno solo, desde el punto

de vista físico, uno de 3 dimensiones, y los espacios de cualquier otro número de

dimensiones no son mas que abstracciones. Por lo tanto, y antes de ahondar en el

concepto de dimensión, enfatizaremos que el espacio estético que nos interesa

abordar en este estudio no es el simple espacio topológico de 3 dimensiones de la

geometría euclidiana, sino otro definitivamente existencial, que entendido como el

continuo entre existencia y lugar, y descrito topológicamente a partir de la inclusión

de la dimensión temporal, se constituye en el denominado espacio-tiempo de las

geometrías no euclidianas.

La dimensión temporal o simplemente el tiempo se explica como la posibi-

lidad matemática de describir linealmente el tiempo, esto es, existe un antes, un

ahora y un después, o sea el tiempo puede representarse también como una línea,

siendo la cuantificación de la medida de esta el argumento que justifica la dimen-

sión. De hecho en otros campos de la ciencia, el concepto de dimensión se

extiende a cualquier evento mensurable, como sucede en la mecánica cuando se

alude a las propiedades de un evento físico en términos de tiempo, masa y volu-

men, consideradas estas como dimensiones con sus propias unidades. Incluso

cualquier objeto de conocimiento, puede ser medido a partir de un sistema de valo-

res que tenga alguna lógica por lo que el termino dimensión es recurrente en

muchos campos del conocimiento (Figura 1.2_p34). Por ejemplo se dice de las

dimensiones del color: matiz, saturación, brillo. De las dimensiones del gusto:

amargo, agrio, dulce, salado. En nuestro caso quedará claro que nuestra idea de la

dimensión será eminentemente topológica, por lo que resulta pertinente en esta

parte profundizar sobre la noción de topología.

TOPOLOGIA

34 Capítulo 1

1.1 TOPOLOGIALa topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de una

forma al ser sometida a deformaciones producidas por doblamiento, estiramiento,

o estrujamiento, verificando la capacidad elástica de su geometría para retener sus

propiedades mas generales, las cuales solo se pierden por rompimiento o desga-

rramiento. Por ejemplo, un círculo y un triángulo, son topológicamente figuras igua-

les, ya que cualquiera de ellas deviene en la otra por estiramiento y/o estrujamiento

de su contorno (Figura 1.3_p34). Correspondientemente y ascendiendo en la escala

dimensional, un cubo es posible de transformarse en una esfera: si "soplamos" el

cubo desde su interior hacia afuera, podremos producir una esfera; e igualmente si

"aplanamos" una esfera en los sitios apropiados podremos producir un cubo. Sin

embargo en ningún caso es posible conseguir a partir del cubo o la esfera, un toro

anular; en este caso se precisaría de una deformación con rompimiento, mediante

la aplicación de un "punzamiento" que atravesara su superficie "de lado a lado". La

topología entonces nos permite entender ciertas diferencias y similitudes de las for-

mas, y calificarlas como topológicamente iguales o diferentes, por lo que de los

ejemplos anteriores colegimos que el cubo y la esfera son formas topológicamente

iguales, y diferentes del toro anular (Figura 1.4_p34).

FIGURA 1.2 / Otras dimensiones: a la izquierda una representación gráfica tridimensional de las dimensiones emotivas, según Wundt, y citado por Hesselgren en “El lenguaje de la arquitectura”; a la derecha un “espacio semántico” para definir y mostrar las relaciones entre los tres órdenes clásicos, según Jencks en “El lenguaje de la arquitectura posmoderna”.

Fuente: 43. Izquierda: Adaptado de Hesselgren Sven, "El lenguaje de la arquitectura", Eudeba EditorialUniversitaria de Buenos Aires, Buenos Aires, 1973, Tomo 2, pág. 214. Derecha: Jencks Charles, "El len-guaje de la arquitectura posmoderna", Editorial Gustavo Gili, S.A., Barcelona, 1981, pág. 73.

FIGURA 1.3 Del triángulo al círculo.

FIGURA 1.4 Toro anular

TOPOLOGIA


Mas exactamente la topología se explica como la consistencia en la posi-

ción relativa entre el conjunto de puntos de una forma que se transforma en otra, y

no las posiciones absolutas. Si un punto p que pertenece a una forma A, y se

encuentra en una posición relativa específica con relación a los puntos q, r y s, de tal

modo que pq=qr=rs y también pq=pr=ps; y dicha forma A se transforma en otra B,

en la cual p', q', r' y s' son los nuevos puntos cuyas posiciones absolutas son diferen-

tes (por ejemplo la distancia entre p’ y q’ no es la misma que había entre p y q, pero

sus posiciones relativas son las mismas, así: p’q’=q’r’=r’s’ y p’q’=p’r’=p’s’), enton-

ces diremos que A es topológicamente equivalente de B, y que la transformación

de A a B es un homeomorfismo, por lo que la topología puede definirse también

como el estudio de las propiedades invariantes en las transformaciones homeo-

mórficas (Ver Figura 1.5_p35).

Ahora bien, cada universo dimensional posee sus propios límites topológi-

cos que son impuestos a las formas que en el habitan, de tal modo que transforma-

ciones producto de desdoblamientos, alargamientos o contracciones están

restringidas a la topología del universo respectivo. Esto quiere decir que ciertas

transformaciones no son permitidas, a no ser que se recurra al rompimiento. Tome-

mos como ejemplo un círculo tangente e interior a otro círculo. Si se desea que este

conjunto se transforme en otro en donde ambos círculos sigan siendo tangentes

FIGURA 1.5 / Transformación homeomórfica de un cubo en una esfera

p

s

qr

p’

s’

q’

r’

A

B

TOPOLOGIA

36 Capítulo 1

pero exteriores, será imprescindible, o bien romper el círculo mayor para dar paso

al menor, o desdoblar por la tercera dimensión el círculo menor para regresarlo a la

segunda dimensión, sito en la posición deseada (Ver Figura 1.6_p36).

Con el anterior ejemplo nos interesa resaltar que aplican restricciones

topológicas a las propiedades derivadas de la variable dimensión en la forma; a

cada universo dimensional corresponde algo así como una norma o ética proyec-

tiva, siendo recursos como el desdoblamiento dimensional ilustrado en el ejemplo

anterior, trucos improcedentes en el ejercicio del diseño. Por lo que convendrá

entender muy bien cuales son los alcances y límites de cada universo dimensional,

en lo que aquí denominaremos función de los soportes dimensionales de la forma,

tema que será abordado al final de este capítulo. Hecha esta salvedad, podemos

pasar a definir el término dimensión en función de la topología.

FIGURA 1.6

DIMENSION TOPOLOGICA


1.2 DIMENSION TOPOLOGICASegún Poincaré2 la dimensión topológica se explica de manera inductiva así: dado

un ente cuyos bordes son todos puntos de un valor dimensional igual a n-1, se tiene

que la dimensión del espacio del ente es igual a n. Por ejemplo, en un plano cual-

quiera (entendido este como un conjunto de puntos coplanares), los puntos que

conforman su borde serán siempre líneas (no importa si rectas o curvas), por lo que

si para el borde se cumple que D=n-1, siendo su dimensión D=1, entonces la

dimensión del plano será n=D+1=1+1=2. Dicho de otra forma, un espacio cual-

quiera es n-dimensional y será el soporte o marco físico de entes o formas de

dimensión cuyo valor será siempre , y su borde estará compuesto siempre

por formas de valor dimensional D=n-1. En resumen se tiene que el plano es una

forma cuya dimensión topológica vale 2, puede contener otras formas de 2, 1 o 0

dimensiones, como otros planos, líneas o puntos, y la dimensión de su borde será

siempre 1, esto es, en forma de línea. La Tabla 1.1_p37 ilustra las definiciones en

las cuatro dimensiones básicas del espacio euclidiano.

2. Henry Poincaré (1854-1912) fue un célebre físico y matemático francés, de grandes aportes principalmente en el campo de las ecuaciones diferenciales, la topología, la probabilidad y la teoría de las funciones.

D n

Espacio de dimensión topológica (n):

Que puede contener formas de (n) dimensiones: Tales como:

Y cuyo borde tiene una dimensión(n-1):

Que corresponde a la forma:

0 0 Puntos -1 Vacío

1 0, 1 Puntos y líneas 0 Punto

2 0, 1,2 Puntos, líneas y pla-nos

1 Línea

3 0, 1,2,3 Puntos, líneas, pla-nos y volúmenes

2 Plano

TABLA 1.1 / Relaciones entre forma, borde y dimensión: La lectura de la tabla evidencia ciertas propiedades generales de la forma en razón de suestratificación por universos dimensionales. Que el borde de un volumen sea un plano, y el de este una línea, desde el punto de vista perceptivo no revisteun interés especial, ya que estas propiedades son evidentes para los sentidos. Sin embargo los bordes de la línea y el punto nos plantean mas de uninterrogante. Si como veremos mas adelante, el punto no es mas que una abstracción, un percepto, sin materialidad significante, no cabe preguntarnos:¿Qué visualidad tiene el borde de una línea, esto es, sus extremos? Si estos extremos son invisibles, y dejan al descubierto otros nuevos puntos, que soninvisibles también, y así hasta consumirse visualmente la línea como una pavesa, ¿puede entonces objetivamente ser percibida una línea por la vista o eltacto? Ahora bien, ¿no resulta aún más enigmático el concepto de borde en el punto? ¿Puede ser el vacío (borde del punto) una forma?

ESPACIO TOPOLOGICO Y ESPACIO-TIEMPO

38 Capítulo 1

1.3 ESPACIO TOPOLOGICO Y ESPACIO-TIEMPO

En su sentido mas general, el espacio es la cualidad de desarrollo extensivo de una

forma, y la medida de dicho desarrollo es la dimensión. Por lo tanto existen tantas

clases de espacios como posibilidades dimensionales, por ejemplo: espacio de 1

dimensión como la línea, espacio de 2 dimensiones como el plano, etc. Esta gene-

ralización del concepto de espacio —o espacio topológico— la utilizaremos en este

FIGURA 1.7 / El borde de un cubo

DIMENSION POR MOVIMIENTO


texto solo cuando lo obligue la precisión del término y en consideración de su

aspecto matemático. Pero en términos generales el espacio será —a no ser que se

indique lo contrario— el existencial de 4 dimensiones, 3 físicas y 1 temporal, en con-

sideración del aspecto estético (y no matemático) que nos interesa, diferenciación

que se conoce con el nombre de espacio-tiempo, cuya definición ya introdujimos

en el capítulo anterior cuando citábamos a Hawking para decir que el concepto del

«tiempo no está completamente separado e independiente del espacio, sino quepor el contrario se combina con él para formar un objeto llamado espacio-tiempo»3.

Y así como arriba veíamos que un espacio de 3 dimensiones contiene puntos,

líneas, planos y volúmenes, el espacio-tiempo contiene también sus propias for-

mas, a las que genéricamente llamaremos espacios, ya no en su connotación

topológica dimensional, sino como objeto habitante del universo tetradimensional

de 3 dimensiones físicas y 1 temporal, mas precisamente, un suceso, entendido

este como «algo que ocurre en un punto particular del espacio y en un instanteespecífico de tiempo.»4. Estas definiciones son el objeto central de este capítulo y

sobre ellas volveremos mas adelante.

1.4 DIMENSION POR MOVIMIENTOOtra forma de entender la topología de los entornos dimensionales es a partir del

análisis de las posibilidades de movimiento dentro de un espacio en una dirección

específica. El número de estas direcciones que sean absolutamente contrarias,

determina el valor dimensional del espacio en cuestión. En esta caracterización hay

que tener en cuenta que direcciones contrarias no significa “hacia delante y hacia

atrás”, ya que ambas opciones son aspectos diferentes de un mismo evento, como

quiera que el movimiento es en esencia una línea, en la cual los valores adelante o

atrás no interesan, sino tan solo la posibilidad de desplazarse. Se entiende entonces

por direcciones contrarias la yuxtaposición del sentido del movimiento que equivale

a un ángulo de 90°, esto es, lo contrario de adelante o atrás, es a la derecha o a la

izquierda. Con base en esta idea y como lo explica K. Devlin (1988): «En una curvasolo podemos movernos en una dirección, adelante o hacia atrás. En una superficiepodemos ir adelante, atrás, a derecha, a izquierda. En un volumen podemosmovernos, además, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimensión, lasuperficie tiene dos dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones.»5 La anterior

definición que introduce la noción de movimiento explica la racionalización del con-

cepto de dimensión en el sistema de ejes cartesianos propios de la geometría ana-

3. De Stephen Hawking, en “Historia del tiempo, del bing bang a los agujeros negros”, Editorial Crítica, Barcelona, 1988, pág. 44

4. Ibídem anterior, pág. 445. Citar el texto

DIMENSION DE AUTOSEMEJANZA

40 Capítulo 1

lítica, ya que estos son la expresión gráfica del movimiento, que implica un origen o

lugar de partida, y una dirección o sentido en el espacio, siendo el conjunto de ejes

cartesianos, el número posible de direcciones contrarias en el sentido que arriba

explicamos.

1.5 DIMENSION DE AUTOSEMEJANZAUna característica de la dimensión topológica es la expresión de su valor

numérico siempre dado en enteros, tales como 0, 1, 2, 3, lo cual es obligado por-

que las posibilidades de movimiento en sentidos contrarios siempre será una serie

de números enteros. No cabe imaginar un sistema de ejes cartesianos en donde el

número de estos no sea un entero positivo, incluso para situaciones por fuera de la

experiencia sensorial del mundo físico, como sucede en los universos de alta

dimensión, como el espacio de 4 dimensiones que implica un conjunto de 4 ejes

cartesianos en sentidos contrarios. Así como este último caso es completamente

válido desde su aspecto matemático, aunque totalmente improbable como expe-

riencia física, cabe imaginar otras situaciones espaciales donde el valor numérico

de la dimensión no corresponde a números enteros. Este es el caso de suponer

espacios de dimensión comprendida entre los números enteros, esto es, decima-

les, como por ejemplo un espacio de dimensión 0.32 o 1.288. Espacios de esta

clase no resultan válidos para la experiencia física y el mundo de los sentidos.

¿Cómo imaginar un desplazamiento en 1.288 direcciones contrarias? Imposible

claro está, si la idea de número de direcciones implica obligatoriamente un número

entero. Entonces el 0.288, ¿que significado puede tener desde en términos estricta-

mente topológicos?. Pues quizás suponer que 1.288 alude a algo así como un

espacio que nos permite el desplazamiento completo y seguro en un sentido (el 1),

y deja la posibilidad de un desplazamiento irregular, o incompleto, en otro sentido (el

0.288), cerca del entero 1 y alejado del entero 2, acciones (o posibilidades) que

combinadas producen como resultado un movimiento incierto, vago e inseguro,

que viene del 1 (la línea) y va hacia el 2 (el plano), no siendo ni lo uno ni lo otro, sino

el simple deseo de una línea de convertirse en un plano (una cuasi línea), sin poder

conseguirlo nunca, ya que siempre el evento estará atrapado en la imposibilidad de

superar la fraccionalidad del valor dimensional, y condenado a quedarse en una

especie de limbo dimensional, en el cual y como un perro que no desfallece en el

intento de morderse la cola, se repetirá incansablemente hasta el infinito, dando

lugar así por aproximación, sino mejor por saturación, a la producción de un ente

angustiado que en su visualidad denota el vano esfuerzo de conseguir la dimensión

que no puede. Este registro gráfico de su atormentado sino, o historia visual del

esfuerzo inconcluso de saltar de un nivel dimensional a otro, produce paradójica-

mente, un evento visual de extraordinaria belleza, que resulta perceptible puesto

DIMENSIONES TOPOLOGICAS DE NIVEL SUPERIOR


sobre un soporte dimensional del nivel superior siguiente (2 en nuestro ejemplo).

Concretamente será la huella del recorrido errático de una línea en un espacio bidi-

mensional, y la estructura visual de dicha traza el patrón origen del valor decimal.

Hemos descrito de este modo las cuasi formas que los matemáticos denominan

fractales, en alusión al valor fraccionario de su dimensión, y que en matemáticas se

conoce como la dimensión por semejanza.

La dimensión por semejanza (o de autosemejanza), fue sugerida por el

matemático Félix Hausdorff en 1919, y complementada posteriormente por Besico-

vitch, por lo que hoy se conoce con el nombre de dimensión de Hausdorff-Besico-

vitch. La dimensión por semejanza no es topológica, porque como ya explicamos el

valor de la dimensión topológica solo es posible a partir de números enteros. Los

fractales no deberían verse como formas de una dimensión desconocida, a la que

se refieren algunos autores. Su valor esta básicamente en ser un instrumento para

la medición de la complejidad de la forma, motivo por el cual los retomaremos en el

Capítulo 2, en donde serán estudiados los valores de regularidad y complejidad de

las geometrías.

1.6 DIMENSIONES TOPOLOGICAS DE NIVEL SUPERIOR

En matemáticas se le llama dimensiones de nivel inferior aquellas de valor 0, 1, 2 y

3, todas correspondientes al espacio euclidiano. Son dimensiones de nivel superior

aquellas también topológicas de complejidad mayor a partir del número 4. Así

como para la dimensión 0 existe el punto, para la dimensión 1 la línea, para la

dimensión 2 el plano, para la dimensión 3 el volumen, es matemáticamente válido

pensar en formas de 4 y mas dimensiones. A estas formas se les denomina utili-

zando el nombre de la contraparte dimensional de menor nivel y agregándole el

prefijo hiper, por ejemplo, un hipercubo que es el correspondiente tetradimensional

(de 4 dimensiones físicas) del cubo. Ilustremos esto con un ejemplo: Si a, b, c y d

son los cuatro vértices de un tetrahedro, esto es, 4 puntos no coplanares que for-

man un sólido, es dado pensar que puede existir un quinto punto llamado e, que no

pertenece al espacio tridimensional del tetrahedro, al que llamaremos como S3. El

conjunto de los puntos a, b, c, d y e serían los vértices de un hipertetrahedro, en el

cual la unión de 2 vértices son sus aristas, la unión de 3 vértices sus caras, y la

unión de 4 vértices serían los sólidos constituyentes del hipersólido, que pertenece

al hiperespacio S4. La Tabla 1.2_p42 muestra el número de elementos posibles en

cada caso (S3 y S4). Iguales definiciones podrían darse para S1 y S2, así como

también para S5, S6, S7,..., Sn. Y como un espacio S2 está definido mínimo por 3

puntos, uno S3 por 4 puntos, uno S4 por 5 puntos, finalmente un espacio cualquiera

Sn estará definido por (n+1) puntos.

DIMENSIONES TOPOLOGICAS DE NIVEL SUPERIOR

42 Capítulo 1

El problema de toda esta realidad matemática, es que desde un punto de

vista estrictamente sensorial, la visualidad de los hiperespacios no es mas que una

especulación, ya que resulta imposible representarlos, aunque podemos aproxi-

marnos a ellos, no representando el hiperobjeto, sino su proyección en el espacio

dimensional inmediatamente anterior. La geometría proyectiva nos enseña que un

punto es la proyección ortogonal de una recta, esta lo es del plano, y este del volu-

men. Por lo tanto un volumen —como por ejemplo un cubo— puede ser entendido

como la proyección de un hipercubo, aunque vemos que de aquí en adelante cual-

quier aproximación gráfica resulta imposible, por lo que hiperformas de nivel supe-

rior solo podrán representarse algebraicamente. En la Figura 1.8_p42 se simula lo

que podría ser la proyección en 3D de nuestro hipertetrahedro, en donde vemos

que a cada vértice concurren 4 aristas, como debe ser en el hiperespacio de 4D, en

donde también y a diferencia de nuestra ilustración, todas las aristas deben ser de

igual longitud, y los ángulos entre caras deben ser iguales.

S3 (tetrahedro) S4 (hipertetrahedro)

Vértices: 4 a, b, c, d 5 a, b, c, d, e

Aristas: 6 ab, ac, ad, bc, bd, cd 10 ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de

Caras: 4 abc, bcd, cda, dab 10 abc, bcd, cde, dea, eab, acd, bde, cea, dab, ebc

Sólidos: 1 abcd 5 abcd, bcde, cdea, deab, eabc

Hipersólidos: 0 1 abcde

TABLA 1.2 / Tetrahedro vs. hipertetrahedro

FIGURA 1.8 / Proyección en el espacio 3D de un hipertetrahedro

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La dimensión topológica