REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

CÁTEDRA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA ELIPSE:

Una elipse es el lugar geom6trico de un punto que se mueve cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

GRAFICA:

Sean los puntos fijos F(c, 0) y F´ (-c, 0) y 2a la suma constante, (a > c). Consideremos un punto genérico P(X, Y) que pertenezca al lugar. Por definición,

F´P + PF = 2a

Es decir, √ ¿

O bien, √ ¿

Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes,

cx−a2=−a√¿¿

Elevando a cuadrado y simplificando, (a2−c2 ) x2+a2 y2=a2(a2−c2)

Dividiendo por, a2 (a2−a2) se obtiene la ecuación x2

a2 + v2

a2−c2 =1

Como a>c ,a2−c2 es positivo. Haciendo a2−c2=b2, resulta la ecuación de la elipse en la forma:

x2

a2 + y2

b2 =1

O bien, b2 x2+a2 y2=a2b2

Como esta ecuación solo contiene potencias pares de x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen. El punto 0 es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje menor.

Si los focos fueran los puntos de coordenadas (o , c) y (o ,−c), el eje mayor estaría sobre el eje

y, con lo que la ecuación resulta de la forma x2

b2 + y2

a2 =1

La excentricidad e= ca=√a2−b2

a, o bien c=ae.

Como la elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices. Las ecuaciones de las directrices D´ D´ y DD son, respectivamente.

x+ ae=0 y x−a

e=0

Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices serian:

y+ ae=0 y y−a

e=0

Se denomina latus rectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor o uno de los

focos. Su longitud es 2b2

a

Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.

ECUACIÓN CANÓNICA:

La forma canónica de la ecuación de una elipse de centro (h, k) y de ejes mayor y menor de las longitudes 2a y 2b respectivamente, con a>b, es:

¿¿

O bien ¿¿ 1 si el eje mayor fuera paralelo al eje y. en cualquier caso, la forma general de la ecuación de la elipse es:

A x2+B y2+Dx+Ey+F=0

Siempre que A y B sean del mismo signo.

Observación: podemos deducir que (V 1+F1 )+d (V 1, F2)=2a, tomando P=V 1, es decir, es la constante a la que se refiere la definición.

Los focos están en el eje mayor a unidades del centro conc2=a2−b2, y el eje mayor es horizontal. En el caso de que el eje mayor sea vertical la ecuación toma la forma:

¿¿ 

Observación: la demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia.

Simplificando

Pero, c2=a2−b2 ,y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse.

LA ECUACIÓN DE LA TANGENTE A LA ELIPSE:

En el punto P (x 0, y 0) es:

( x 0 – h ) ( x – h )

a 2+

( y 0 – k ) ( y – k )

b 2= 1

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS:

La circunferencia focal de un foco F2 es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F1 con respecto a cualquier tangente a la elipse.

La circunferencia principal es el lugar geométrico de los puntos M que, estando en las tangentes, son los intermedios entre un foco F y su simétrico F' con respecto a cualquier tangente a la elipse, o sea, de los pies de las perpendiculares a las tangentes desde los focos.

El punto P, punto de contacto de una tangente con una elipse, está alineado con un foco y el simétrico del otro con respecto a esa tangente (ver la primera figura). La tangente es bisectriz del ángulo formado por P, F1 y F1’.

EJERCICIO N°1:

Obtener los vértices y los focos de la elipse cuya ecuación es 6 x2+3 y2=54. Trazar la grafica.

Solución:

x2

9+ y

2

18=1

Vemos que 18>9. De a2=18 , b2=9 se concluye que los vértices son (0 , ±3√2 ) y (±3,0). El eje

mayor es vertical con extremos en (0 ,−3√2 ) y (0,3 √2). Ahora bien, c2=a2−b2=9. Implica que

c=3. Por lo tanto, los focos están en el eje y, en (0 ,−3 ) y (0,3).

EJERCICIO N°2:

Obtener una ecuación de la elipse que tenga un foco en (2,0) y su intercepción x sea 5.

Solución:

Puesto que el foco dado esta en el eje x. consecuentemente

c=2 , a=5 y b2=25−4=21.

Entonces la ecuación deseada es:

x2

25+ y

2

21=1

HIPÉRBOLA:

Una hipérbola es el conjunto de puntos P del plano tal que la diferencia de las distancias entre dos puntos fijos f 1 y f 2 llamados focos, es una constante.

Una hipérbola consta de dos mantos o ramas. El punto medio del segmento f 1 f 2 , es el centro de la hipérbola. Si P es un punto de la curva, entonces:

|d1−d2|=k 1

En donde, d1=d (F1 ,P ) y d2=d (F2 , P )

GRAFICA:

ECUACIÓN GENERAL:

Procediendo como en el caso de la elipse, los focos se sitúan en el eje x en F1 (−c ,0 ) y

F2 (c ,0 ), y la constate k se toma como igual a 2a por conveniencia algebraica.

d1−d2=±2a

O bien, √¿¿ – √¿¿ ¿±2a

√¿¿

Se eleva al cuadrado, se simplifica y de nuevo elevamos al cuadrado:

¿ +¿

±a√¿¿ ¿cx−a2

a2¿

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2(c2−a2)

x2

a2 −y2

c2−a2=1

Se ve que la desigualdad del triangulo da

d1<d2+2c y d2<d1+2c

O equivalente,

d1−d2<2c y d2−d1<2c

Utilizando las desigualdades procedentes implican 2a<2c, o sea a<c. Así que, si definimos la constante positiva

b2=c2−a2

Se convierte en

x2

a2 −y2

b2 =1

Obsérvese que la grafica tiene intercepciones x iguales a ±a, pero no posee intercepciones y, puesto que − y2/b2=1 no tiene solución real. Los puntos (−a ,0 ) y (a ,0) son vértices de la hipérbola. El segmento de recta que pasa por el centro con sus puntos extremos en los vértices, se llaman eje transverso.

También es común en la práctica referirse al segmento rectilíneo con puntos externos (o ,−b ) y (0 ,b), y que pasa por el centro perpendicularmente al eje transverso, como eje

conjugado.

Cuando los focos se sitúan en el eje y en F1 (0 ,−c ) y F2(0 , c).

ECUACIÓN CANÓNICA:

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en (h , k )es

Con eje transversal horizontal. Y

 

Con eje transversal vertical.

  Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de   unidades del centro. Además  b2=c2−a2

 

 

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces:

El centro está en (h , k ) Los vértices están en (h±a , k ) Los focos están en (h±c , k) .

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces:

El centro está en (h , k ) Los vértices están en (h , k ± c) . Los focos están en (h , k ± c)

ECUACIÓN DE LA TANGENTE:

Dado el punto de contacto P (x 0, y 0):

Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de eje focal paralelo al eje X:

( x – h )2

a 2–

( y – k ) 2

b 2= 1

La ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto P ( x 0 , y 0 ) es:

( x 0 – h ) ( x – h )

a 2–

( y 0 – k ) ( y – k )

b 2= 1

PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA:

Focos: son los puntos fijos F y F'

Radio vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'

Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'

Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamar vértices de la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe el nombre de centro de la hipérbola. Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje imaginario, así como respecto a su centro.

ASÍNTOTAS:

Despejando yen términos de x, resulta

y=± bax √1−a

2

x2

❑

Obsérvese que cuando el valor de x es muy grande, el valor del termino a2/x2 se hace muy pequeño. Esto significa geométricamente que para valores grandes de x, las hipérbola esta próxima a las rectas.

y=bax y y=−b

ax

Tales líneas, que pasan por el centro de la hipérbola, se llaman asíntotas. Las asíntotas son y= (a/b¿ x y y=−(a/b ) x. Las ecuaciones de las asíntotas se pueden encontrar con el siguiente

método:

Reemplazar 1 con 0 en las ecuaciones estándares y factorizar la diferencia de cuadrados

x2

a2 −y2

b2 =0 O bien y2

a2 −x2

b2 =0

Trazando primero las asíntotas, se tiene una pauta para dibujar una hipérbola con bastante precisión.

EJERCICIO:

Obtener los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es x2− y2/9=1 . Trazar la grafica

Solución:

x2

12 −y2

32 =1

Se identifica la ecuación y concluimos que el eje transverso es horizontal. Haciendo y=0 resulta x2=1, y de esta manera los vértices son (−1,0 ) y (1,0). Puesto que a2=1 yb2=9

Implica que c2=a2+b2=10 y c=√10.

Las coordenadas de los focos son (−√10 ,0) y ¿). Finalmente de

x2− y2

32 =0obien(x+ y3 )( x− y3 )=0

Vemos que las asíntotas son y=−3x y y=3 x. Trazando las asíntotas y los vértices se obtiene la hipérbola.

EJERCICIO N°2:

Obtener los vértices, focos y asíntotas de la hipérbole cuya ecuación es ¿. Trazar la grafica.

Solución:

Identificando la ecuación se ve inmediatamente que el centro es (-2,2), y a2=4 ,b2=a y c2=8. Además, se concluye lo siguiente:

Eje transverso: vertical

Vértices: a=2 unidades arriba y abajo del centro a lo largo de la recta x=−2; esto es, (-2,4) y (-2,0). Compruébese esto resolviendo ¿

Focos: c=2√2 unidades arriba y abajo del centro, a lo largo de la recta x=−2; esto es,

(−2,2+2√2 ) y(−2,2−2√2 ).

Asíntotas: ¿¿implica que y−2=−( x+2 ) y y−2=x+2, o sea y=− x y y=x+4

ÍNDICEANTEPORTADA……………………………………………………………………………..…………1

PORTADA……………………………………………………………………………………………….2

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………..4

DESARROLLO………………………………………………………………………………...……5-16

ELIPSE……………………………………………………………………………………………….6-10

Definición………………………………………………………………………………….…………….6

Grafica………………………………………………………………………………….……………..6-7

Ecuación General………………………………………………………………….…………..……7-8

Ecuación Canónica………………………………………………………………………………….7-8

Ecuación De La Tangente…………………………………………………..………………………..8

Propiedades Geométricas…………………………………….…………………………...………8-9

Ejercicios…………………………………………………………..………………………………..9-10

HIPÉRBOLA…………………………………………………………………………………...…..11-19

Definición………………………………………………………………………………………………12

Grafica………………………………………………………………………………………………….12

Ecuación General………………………………………………………………………………...12-14

Ecuación Canónica………………………………………………………………………………14-15

Ecuación De La Tangente………………………………………………………………………15-16

Propiedades Geométricas………………………………………………………………………….16

Asíntotas……………………………………………………………………………………..…….16-17

Ejercicios…………………………………………………………………………………………..18-19

CONCLUSIÓN…………………………………………………………………………......................20

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………..21

INTRODUCCIÓNLa geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la

geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones. Una hipérbola es el conjunto de puntos P(x, y) en un plano tal que la diferencia de las distancias desde P a un punto fijo F1 y F2, los focos, es constante. Pará una hipérbola d = |PF1 - PF2| donde des la diferencia constante. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano tales que la suma de su distancia entre dichos puntos fijos. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano son siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice. La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

CONCLUSIÓNGracias a la realización de este trabajo pudimos comprender un poco mejor lo que es la geometría Euclídea. La elipse y la hipérbola son dos cónicas que difieren muy poco en su

definición como lugar geométrico: la única diferencia es que mientras que en la elipse la suma de distancias a dos puntos fijos (focos) se mantiene constante, en la hipérbola es la diferencia de esas distancias la que es constante. Los segmentos de longitudes d y d', que unen cada punto de la elipse o hipérbola con los focos, se denominan radios vectores.La distancia entre los focos se suele designar como 2c, y la constante como 2a. En el caso de la elipse es 2c < 2a, mientras que en el de la hipérbola es 2c > 2a, por la desigualdad triangular (un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia).De la igualdad de los ángulos marcados y como consecuencia de las leyes de la reflexión (ángulo de incidencia igual a ángulo de reflexión), se deduce que, en la elipse, un rayo proveniente de un foco se refleja pasando por el otro foco, mientras que en la hipérbola, lo hace como si proviniese del otro foco. En ambos tipos de cónicas, la tangente en uno de sus puntos es una de las bisectrices de los radios vectores y sus prolongaciones.

BIBLIOGRAFÍALIBRO: digital

Calculo_con_geometría_zill. PDF- ADOBE Reader

Pags: 594- 613

PÁG. WEB: GOOGLE:

http://reynaylasmatematicas.blogspot.com/

http://www.ehu.es/~mtpalezp/mates/charlaconicas.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_eucl%C3%ADdea

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

html.rincondelvago.com/ elipse - e - hiperbola _1.html

www.marcelovalenzuela.com/down/6b/ elipse hip.pdf