LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA - inee.edu.mxinee.edu.mx/mape/sites/default/files/experiencias_files/Héctor Ortega... · equilátero, un mensaje podría ser: “Un triángulo equilátero

LA ENSEÑANZA

DE LA

GEOMETRIA

LA APLICACIÓN DEL MAPE A

PRIMER GRADO EN LA ESCUELA SECUNDARIA No. 0520

“JOSE VASCONCELOS”

PROFESOR: HECTOR

ORTEGA VASQUEZ

2013

[Libre, y para mi sagrado, es el derecho de pensar... La educación es fundamental

para la felicidad social; es el principio en el que descansan la libertad y el

engrandecimiento de los pueblos. Benito Juárez]

http://www.frasecelebre.net/Frases_De_Benito_Juarez.html

Materiales para apoyar la práctica educativa (MAPE)

1

INDICE GENERAL

INTRODUCCION ------------------------------------------------- 2

JUSTIFICACION ------------------------------------------------- 4

ACTIVIDAD 1

ROMPECABEZAS ------------------------------------------------- 7

SUSTENTO TEORICO -------------------------------------------- 8

APLICACIÓN DEL MAPE ------------------------------------------ 10

ACTIVIDAD 2

CONSTRUYENDO Y PROBANDO ---------------------------------- 14

SUSTENTO TEORICO --------------------------------------------- 15


ACTIVIDAD 3

PENTAMINOS ----------------------------------------------------- 24

SUSTENTO TEORICO --------------------------------------------- 25


CONCLUSIONES -------------------------------------------------- 37


2

INTRODUCCION

En el mundo real no basta con memorizar, hay que pensar y actuar. En

matemáticas no se avanza mediante la repetición rutinaria de procedimientos

aprendidos, y los docentes tenemos que tener mucho cuidado con la

enseñanza de algoritmos y reglas matemáticas que, a veces, no son

comprendidas por los alumnos/as.

En mis años de trabajo también he observado que los alumnos tienen

un conocimiento muy pobre de conceptos básicos de geometría cuando

llegan a la Educación Secundaria, y además, ante situaciones muy sencillas

de estimación de la medida de cualquier objeto que está su alrededor, se

bloquean y no son capaces al menos de encontrar recursos útiles para hacer

esa estimación, como puede ser utilizar la mano u objetos que sirvan para

ese propósito.

La aplicación del MAPE en la escuela secundaria oficial número 0520

“José Vasconcelos” turno vespertino, con el grupo de primer grado grupo

“A”, el cual consta de 35 alumnos en una edad aproximada entre 12 y 14

años.

Esta escuela ubicada en el estado de México, municipio de

Chimalhuacán y en una localidad llamada Acuitlapilco, un lugar semi urbano,

donde los alumnos carecen de espacios deportivos, culturales y sociales,

implicando que el niño después de clase caiga en una monotonía de

deambular por las calles o jugando videojuegos, o en su mayor defecto

acompañarse de algunos jóvenes que son adictos a drogas u otras cosas.


3

Considero que al proponerles actividades que se presentan en este

trabajo se vieron entusiasmados para resolver los ejercicios que planteaba

cada actividad, pero sobre todo de poder divertirse en pareja o equipo según

lo decidiera cada uno de ellos.

Cada una de las actividades del MAPE contiene un sustento teórico,

marcado en los contenidos de acuerdo al programa de matemáticas, además

se le integro alguna actividad que pudiera servir de apoyo en la enseñanza

de los contenidos a los jóvenes alumnos.

En el siguiente trabajo se informará como se aplicaron tres actividades

del libro de “LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA”, que se prestaron para dar

un reforzamiento a lo visto en los contenidos del programa de matemáticas,

es importante resaltar que cada actividad se realizó como mínimo de tiempo

cinco sesiones y como máximo diez sesiones de 50 minutos

aproximadamente.

También se integraron las evidencias que hacen un refuerzo a las

actividades y ejemplifican algunas situaciones vividas durante este ciclo

escolar 2012-2013.


4

JUSTIFICACION

Los contenidos constituyen el conjunto de saberes culturales, sociales,

políticos, económicos, científicos, tecnológicos que conforman las distintas

áreas disciplinares y se consideran esenciales para la formación del individuo

(Odreman, N 1996).

Los contenidos son la base sobre la cual se programarán las actividades de

enseñanza-aprendizaje, con el fin de alcanzar lo expresado en los objetivos.

Para tal fin se deben establecer tomando los siguientes criterios. Una

secuencia y contextualización de acuerdo con los grupos de estudiantes.

Basarse en una concepción constructivista del aprendizaje. Selección y

distribución en torno a ejes organizadores y un guión temático.

Se pueden considerar como el conjunto de información puesta en juego en el

proceso educativo y se corresponden con la pregunta ¿qué enseñar?

Se clasifican en tres tipos: conceptuales, procedimentales y actitudinales.

Contenidos conceptuales: Corresponden al área del saber, es decir, los

hechos, fenómenos y conceptos que los estudiantes pueden “aprender”.

Dichos contenidos pueden transformarse en aprendizaje si se parte de los

conocimientos previos que el estudiante posee, que a su vez se

interrelacionan con los otros tipos de contenidos.

Contenidos procedimentales: El estudiante será el actor principal en la

realización de los procedimientos que demandan los contenidos, es decir,

contemplan el conocimiento de cómo ejecutar acciones interiorizadas,

abarcan habilidades intelectuales, motrices, destrezas, estrategias y procesos

que impliquen una secuencia de acciones.

Contenidos actitudinales: Puede definirse como una disposición de ánimo

en relación con determinadas cosas, personas, ideas o fenómenos. Es

también una manera de reaccionar o de situarse frente a los hechos, objetos,

circunstancias y opiniones percibidas. Por ello las actitudes se manifiestan en

sentido positivo, negativo o neutro. La actitud está condicionada por los

valores que cada quien posee y puede ir cambiando a medida que tales

valores evolucionan en su mente.


5

En este mismo orden de ideas se cita otro concepto de contenido,

concebido como “Un conjunto de saberes o formas culturales cuya

asimilación y apropiación por los alumnos y alumnas se considera esencial

para su desarrollo y socialización. La idea de fondo es que el desarrollo de los

seres humanos no se produce nunca en vacío, sino que tiene lugar siempre y

necesariamente en un contexto social y cultural determinado”. (Coll y otros.

1992, citado por Agudelo,A , y otros).

Así entonces, la Geometría como la ciencia del espacio. Desde sus

raíces como una herramienta para describir y medir figuras, la geometría ha

crecido hacia una teoría de ideas y métodos mediante las cuales podemos

construir y estudiar modelos idealizados tanto del mundo físico como

también de otros fenómenos del mundo real. De acuerdo a diferentes puntos

de vista, tenemos geometría euclideana, afin, descriptiva y proyectiva, así

como también topología o geometrías no euclideanas y combinatorias.

La Geometría como un método para las representaciones visuales de

conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por

ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases,

histogramas, etc.

La Geometría como un punto de encuentro entre matemáticas como

una teoría y matemáticas como una fuente de modelos.

La Geometría como una manera de pensar y entender y, en un nivel

más alto, como una teoría formal.

La Geometría como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del

razonamiento deductivo.

La Geometría como una herramienta en aplicaciones, tanto

tradicionales como innovativas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas

por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes,

reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones.

Otra distinción podría ser hecha respecto a diversas aproximaciones de

acuerdo a lo que uno puede resolver con geometría. En términos generales,


6

son posibles las aproximaciones: Manipulativas, Intuitivas, Deductivas y

Analíticas.

También se puede distinguir entre una geometría que enfatice las

propiedades "estáticas" de los objetos geométricos y una geometría donde

los objetos cambian respecto a los diferentes tipos de transformaciones en el

espacio al ser considerados en una presentación "dinámica".

Para ello la descripción e interacción con el espacio en el cual vivimos,

es La Geometría considerada como una herramienta para el entendimiento,

tal vez la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la

realidad. Por otra parte, la geometría como una disciplina, se apoya en un

proceso extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más

de 2000 años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad.

Así como diversas instancias de nuestro país se interesan en la

educación, también el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación

(INEE) tiene como misión contribuir al mejoramiento de la educación en

México a través de la realización de evaluaciones integrales de la calidad del

sistema educativo y de los factores que la determinan, así como de la

difusión transparente y oportuna de sus resultados para apoyar la toma de

decisiones, la mejora pedagógica en las escuelas y la rendición de cuentas.

Es así entonces la importancia dela integración de los Materiales para

apoyar la práctica educativa (MAPE), este espacio que ha sido creado para

compartir las experiencias de los docentes, directivos escolares y asesores

técnico pedagógicos, que usan los Materiales como recursos para mejorar la

enseñanza y el aprendizaje en las escuelas donde trabajan. Y que el libro

sobre La enseñanza de la Geometría fue puesto en práctica con sus

actividades en la escuela secundaria No. 0520 “José Vasconcelos” en la

localidad de Acuitlapilco municipio de Chimalhuacán, en el Estado de México.


7

ACTIVIDAD 1

ROMPECABEZAS


8

SUSTENTO TEORICO

Esta actividad se aplicó como se marca en el plan de estudios 2011 en

su apartado Matemáticas 7 que pertenece a primer grado de secundaria y en

su Eje temático: FE y M (forma espacio y medida), así como los Contenidos

en la sesión 7.1.6 marcado en el programa de matemáticas, teniendo como

aprendizaje esperado general es el trazo de triángulos y cuadriláteros

mediante el uso del juego de geometría.

Uno de los aprendizajes esperados o Intenciones didácticas, que

los alumnos describan las características mínimas de cuadriláteros y

triángulos para trazarlos con la misma forma y tamaño.

Consigna: se organizaron en equipos, y se pidió que resolvieran el siguiente

problema:

Javier necesita encargarle, a un carpintero, por teléfono, la elaboración de

varias piezas de madera para hacer un rompecabezas. Las formas y tamaños de las piezas son como se muestran a continuación. Anoten debajo de cada

pieza la información que Javier tendría que darle (por teléfono) al carpintero, para que las haga iguales.


9

Consideraciones previas: Al decidir sobre la información que requiere el

carpintero pueden suceder tres casos: que falte información, que sobre

información o que se dé justamente la información necesaria. Analizar los

mensajes que sean representativos de los tres casos anteriores; pero,

además, entre los mensajes que aportan la información necesaria, hay que

ver si algunos son más breves o si hay mensajes que aun siendo diferentes

aportan la información necesaria. Por ejemplo, en el caso del triángulo

equilátero, un mensaje podría ser: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm por

lado”; o bien: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm de base por 3.2 cm de

altura”. La mejor manera de que los alumnos se dan cuenta de si un

mensaje aporta o no la información suficiente para construir una figura es

que lo usen para construir la figura y vean si todos obtienen la misma. Se

sugiere analizar la descripción de dos figuras, ya que en sesiones posteriores

se trabajarán más.

Un ejercicio, que se anexo, para esta consigna fue realizar equipos de

trabajos, donde se repartieran y uno de los integrantes estuviera fuera del

salón como emisor, otro que participara como el medio de comunicación con

el compañero receptor que estaba dentro del salón y dibujaba la actividad a

realizar, considerando algunas ideas de las situaciones previas.

Este apartado del programa permitió que los alumnos tuvieran un

antecedente para llevar a cabo la actividad del rompecabezas de una manera

más óptima, al presentarles en copias las figuras que proporcionaba el anexo

del MAPE.


10

APLCACION DEL MAPE “LA ENSEÑANZA DE LA GEOMERIA”

En esta actividad el MAPE indica que los alumnos desarrollan las

habilidades de visualización y comunicación al describir las piezas que

forman el rompecabezas en el que tienen que analizar las características de

las figuras que lo componen, pero además se integro un cambio a la

actividad.

El facilitarles las copias no fue para

que se realizara rápido la actividad, esto

llevaba otros propósitos, una de las

primeras consignas fue que con su juego

geométrico o de la forma que lograran

trazar las figuras que estaban en el anexo

del MAPE, se realizaran en hojas blancas o

en su libreta, como estudiantes de primer

grado de secundaria, se necesita observar si

el manejo de las escuadras o de la regla,

son las adecuadas, como segundo propósito

analizar la motricidad del alumno en la

forma de recortar las piezas, utilizando

tijeras o en su carencia cortándola con los

dedos u otro utensilio.

El trabajo colaborativo es una herramienta de las más importantes

para realizar las diferentes tareas que implica un proyecto en una clase, se

recomienda organizar los grupos de 4 o 5 jóvenes, pero para mayor

respuesta de los alumnos, es mejor en parejas, con la finalidad que de no

pierdan el objetivo y alcancen sus metas cada uno de ellos realizara mejor

sus actividades.

En cualquier área del conocimiento, de cualquier ciclo escolar es

recomendable encaminar al alumno y proponer este tipo de trabajo que le

ayudará a enriquecer sus habilidades, lo hará competente para escuchar,

proponer, argumentar, intercambiar información y seguir o dar instrucciones

precisas para lograr los propósitos de la tarea.


11

Los alumnos aprenden a ser tolerantes, se relacionan armónicamente

tanto personal como emocionalmente, se ayudan y actúan

democráticamente. Es por eso que el trabajo en equipos forma un papel muy

importante en el logro del perfil de egreso de los estudiantes de educación

básica en la actualidad. Ya que además de coadyuvar al desarrollo de

conocimientos y habilidades, fomenta los valores y actitudes para enfrentar

con éxito diversas tareas.

Además con esta actividad de los rompecabezas se puede favorecer

diversas habilidades como: la percepción, la ubicación espacial, además se

ayuda a que los estudiantes puedan resolver problemas, igualar, comparar,

observar las formas geométricas etc. Entre otras cosas pone a prueba su

agilidad y lógica, desarrollando la inteligencia vioespacial, que se da en

personas con gran capacidad para pensar en tres dimensiones. Además,

permite percibir imágenes externas, recrearlas, transformarlas,

relacionándola con la sensibilidad de un individuo frente a las figuras,

formas, líneas.

Se aplicó la actividad como lo

indicaba el MAPE, con las piezas

recortadas y algunas coloreadas, se

les solicitó que se hicieran equipos

para construir el rompecabezas. El

cual se les mostró hasta que cada

equipo o pareja, tuviera sus piezas

recortadas, para darles la misma

oportunidad a todos.

Siguiendo con la actividad es importante

observar el trabajo en equipo, el cual

despierta el interés de los alumnos, y cada

uno de ellos, proporciona información en la

cual se va aprendiendo de manera conjunta.


12

El trabajo se realizó en dos sesiones, en secundaria solo se cuentan

con 50 minutos, así que una se ocupó para el trazado y coloreado de las

piezas, además de recortar las piezas correspondientes y la otra para el

trabajo del MAPE.

Para las futuras tres sesiones se aplicó la innovación de nuevas figuras,

o formación de diseños propios de los estudiantes.

Como en todo aprendizaje existe la

posibilidad de no realizar las cosas

exactas, pero también es un

aprendizaje del cual el ser humano

vive y se enseña a modificar.

Llegar al objetivo es un triunfo

para el estudiante, así también

para su formación académica y

desempeño laboral.

La imaginación es uno de los grandes tesoros de la infancia. Promover el

desarrollo de la creatividad de los niños es esencial para ellos, ya que esta

capacidad tan significativa que relacionamos con niños les ayuda a

expresarse por sí mismos, a desarrollar su pensamiento abstracto y,

también, será primordial a la hora de resolver problemas y de relacionarse

mejor con los demás a lo largo de toda su vida.


13

Pero sobre todo si les damos la importancia necesaria a lo que realizan

y les damos un giro en su enseñanza sobre los temas que se manejan en el

programa de estudio, encuentran sentido al conocimiento, con las piezas del

rompecabezas y sus nuevos diseños, se consideraron para integrarlos al

tema de construcción de figuras y la búsqueda de áreas y perímetros.

Estableciendo una medida como grupo y así ver la proporción que tenia las

piezas en relación a las demás.

D C I

B

H

G E F

A

Por ejemplo: esta figura fue construida por

cuatro triángulos( 2 triángulos A y 2 triángulos

B), dos cuadrados (uno D y otro E), un

rectángulo (F) y un romboide (H), de los cuales

se puede decir, si los triángulos pequeños(A)

tuvieran de área 5 cm2 cada uno, entonces

cada brazo tendría 10 cm2 cada uno,

introduciendo poco a poco al alumno a

ecuaciones:

1B = 2A

También se podría encontrar el valor de sus piernas, formada por dos

triángulos (A) 10 cm2 y un romboide (H) de 20 cm2, que seria el equivalente

a un rectángulo de área 30 cm2, de la siguiente forma:

1H = 4A

1H + 2A = 6A

Por lo tanto el rectángulo seria:

4A + 2A = 6A

Así fue como se trabajo la actividad del rompecabezas con los alumnos

de primer grado grupo “A”, integrando nuevas actividades.


14

ACTIVIDAD 2

CONSTRUYENDO Y PROBANDO


15

SUSTENTO TEORICO

Este actividad del MAPE se relaciona, de acuerdo al programa de

estudio de la nueva reforma en el curso de Matemáticas 7 y con el Eje

temático, Forma Espacio y Medida, (FE y M) en el contenido 7.2.5 y con uno

de sus propósitos generales sobre la resolución de problemas geométricos

que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la

bisectriz de un ángulo.

En el apartado de las intenciones didácticas los alumnos deberán:

Utilizar los conceptos de recta, segmento, semirrecta; perpendicular y punto medio.

Elaborar definiciones de mediatriz de un segmento y busquen maneras de trazarla.

Analizar el concepto de ángulo. Buscar maneras para trazar la bisectriz de un ángulo y elaboren la

definición de bisectriz.

Dentro de la consigna y dados los siguientes segmentos, traza una recta

perpendicular a cada uno, de tal manera que los divida en dos partes iguales.

Señala con la letra que quieras el punto donde se cortan los dos segmentos.

a) La recta que trazaste en cada caso se conoce como “mediatriz” del

segmento dado. Escribe una definición de mediatriz.

A

B

C D

J

K P Q


16

En la consigna dos, traza la mediatriz de cada segmento y marca un

punto cualquiera sobre la mediatriz que trazaste. Después, une los extremos

del segmento dado con el punto marcado sobre la mediatriz.

a) ¿Qué tipo de triángulo se formó en cada caso? b) ¿Todos los triángulos que formaste tienen la misma

altura?__________ ¿Por qué? c) Si las distancias de cada extremo del segmento dado al punto marcado

sobre la mediatriz fueran iguales, ¿qué tipo de triángulo se formaría?

d) Tomando como base los segmentos anteriores, ¿se podrá formar un triángulo con tres lados de diferente medida?

Y para la consigna tres, traza un segmento cualquiera y su mediatriz y con

ellos dibuja un rombo.

a) ¿Es único el rombo que se puede construir con los segmentos que

trazaste? Justifica tu respuesta.

Entonces para las consideraciones previas, es importante verificar que los

alumnos tracen correctamente la mediatriz de cada segmento y después de

esto cuestionarlos, para que tomen en cuenta que todos los triángulos

formados tienen dos lados iguales, por lo tanto son isósceles. Pero si las

distancias de cada uno de los extremos del segmento al punto marcado son

iguales a la longitud del segmento, el triángulo formado es equilátero. De

igual forma puede utilizarse la construcción del rombo y hacer

cuestionamientos a los alumnos para que revisen y complementen la

definición de mediatriz –en caso de que sea necesario.


17

Continuando con las consignas, traza una línea, de tal manera que cada

ángulo quede dividido en dos ángulos de igual medida.

a) A la línea que trazaron se le conoce con el nombre de “bisectriz” del

ángulo. Escriban una definición para bisectriz.

Posteriormente traza con algún color la bisectriz de los ángulos interiores de

cada figura, con otro color las diagonales y con un color diferente la

mediatriz de cada lado.

a) ¿En qué casos coinciden las diagonales del polígono con las bisectrices de sus ángulos? En esta pregunta se definió bien el concepto de

bisectriz, para evitar la interpretación con una diagonal, esto apoyo mucho también para diferenciar el concepto de diagonal en una figura.


18

Además los alumnos en su mayoría se confundían al realizar las líneas en el cuadrado y en rombo, su duda era sobre todo en que

concepto definirlas, y entonces allí la importancia de la pregunta, otra figura que apoyo para explicar la diferencia de estos conceptos fue el

hexágono regular, porque en ella existen diagonales y bisectrices que suelen coincidir.

El rectángulo ayudo demasiado también porque allí se notaba

que sus diagonales no coincidieron con bisectrices, y por último el

triángulo donde notaron que solo tenía bisectriz y que carecía de diagonales, aunque un alumno comento que se formaba por tres

diagonales, esto apoyo para hacer la explicación que no eran diagonales, si no que eran sus lados.

b) ¿En qué casos coinciden las mediatrices y las bisectrices? Es

importante que los alumnos aprendan y definan bien los conceptos, no soy de los docentes que me gusta que memoricen las cosas, pero creo

que en matemáticas si es importante aprehender algunos conceptos y sobre todo aquellos que suelen relacionarse y los separa solo algunos

detalles como la bisectriz y la mediatriz.

En estas actividades si se llevó tiempo, porque aparte de que se les complicó el uso de las escuadras, compás, y el transportador,

algunos se les olvidaba que concepto buscaban y tan solo unos cuantos

alumnos se percataron, que la respuesta a esta pregunta era solo para el triángulo equilátero, más no al isósceles o escaleno.

c) Tracen un círculo que quede inscrito en cada uno de los polígonos

anteriores.

El manejo del juego geométrico en este nivel educativo es complicado para los alumnos pero después de las sesiones anteriores,

los alumnos se les facilito el realizar la actividad, algunos aplicaron la técnica de ensayo y error, es decir, realizaban el circulo y luego

borraban, otros ya lo hicieron muy metódicos, trataban de buscar la anchura del compás más cercano al radio, algunos se apoyaron de las

líneas ya realizadas en las clases pasadas.


19

Así entonces las consideraciones previas apoyan para estar atentos y

observar qué hacen al trazar diagonales, y esto nos apoya para aclarar que

los triángulos no tienen diagonales. Asimismo, revisar qué relación hay entre

las mismas diagonales (en el caso del cuadrado y del rombo, son

perpendiculares sus mediatrices una con respecto de la otra).

Para las observaciones posteriores es importante considerar las siguientes

preguntas:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? Lo más exitoso de esto fue como los alumnos lograron identificar los conceptos, también

observar las dificultades en el manejo del juego geométrico.

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? Los cambios que realicé, primero aumente la explicación del uso de

las escuadras y transportador, estos instrumentos en este nivel es muy carente por los alumnos, así que la ejercitación hizo que el dominio

aumentara en un 60% el uso del juego geométrico, en segundo lugar,

trabajar de manera transversal con el maestro de artes y dibujo técnico, para que el educando tenga un mayor tiempo de manipulación con el

juego geométrico, y sobre todo estar retroalimentando los conceptos que se solicitaban en el programa.

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. El plan de clase tiene un grado de dificultad medio,

considerando esto, que el alumno al egresar de la primaria cumpliera con su perfil de egreso, pero esta generación que me tocó tenía poca

manipulación y conocimientos de los utensilios de geometría, pero después de realizar los cambios permitió que los adolescentes terminaran

con sus actividades.

Existen muchas alternativas más que puede implementar el docente, pero

algo que aprendí con estos alumnos es que el factor docente y el factor

alumnos, debe de terminar en una buena comunicación y mucha

responsabilidad.


20


Para continuar con el contenido y reforzar la actividad del MAPE, los

alumnos de secundaria realizaron tareas de investigación y demostración en

las que desarrollaron las habilidades de comunicación, de dibujo y

razonamiento, al analizar las propiedades de las figuras que se les pidió

construir a partir de los datos y de los instrumentos que se les indican.

Por ejemplo en el MAPE:

Situación A: El siguiente segmento es la

diagonal de un rectángulo. Utilizando

compás, regla y escuadra no graduada

dibuje dos rectángulos distintos que tengan

por diagonal al segmento dado. ¿Es posible

dibujar más rectángulos?, ¿cuántos?

Explique por qué. Los alumnos inician su

auto aprendizaje y empiezan a aplicar sus

conocimientos previos, y lo ponen en

práctica.

Un juego geométrico es un material concreto que comúnmente está

formado por cuatro elementos básicos: una regla o patrón lineal, un

graduador o transportador que se usa para medir y trazar ángulos, una

escuadra que es una regla en forma de triángulo isósceles (dos lados de

igual longitud) y un cartabón que es un triángulo escaleno.

Estos dos últimos se emplean en el trazo de ángulos notables

(30°, 45° y 60°) y, usándolos conjuntamente, sirven para trazar líneas

paralelas y perpendiculares, así como diagonales. La geometría está presente

en múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales sociedades

(producción industrial, diseño, arquitectura, topografía, etc...).


21

Esta información para los jóvenes es

importante, por que tenemos que

justificarles el por que de las herramientas

en la geometría, Por medio de este

material, desarrollaremos la capacidad de

realizar medidas a través de instrumentos,

y se profundizarán conceptos como

paralelismo, perpendicularidad, medida de

ángulos y clasificación de triángulos, etc.

Al trabajar la actividad de construyendo y probando se dejó participar a

los alumnos de una manera que se sintieran cómodos, se realizaron equipos

de trabajo y a los alumnos les fue fácil construir las figuras planas, ya que se

había practicado el uso del juego geométrico, y también porque no se les

puso ninguna dificultad al principio de la sesión, es decir, hagan un cuadrado

de cinco centímetros y los alumnos lo construyeron, hagan un rectángulo de

base seis centímetros y cuatro de altura, posteriormente se integró ejercicios

como los pedía el MAPE, construyan un rectángulo con diagonal de 8

centímetros, un rombo de una diagonal de 4 centímetros, etc.

La primera dificultad que me enfrente o los alumnos, fue que algunos

no conocían los nombres de las figuras, y tampoco sus características, por

ello la importancia de integrarlos en equipos de trabajo y lograran apoyarse

para poder llegar al objetivo.


22

Esta actividad estuvo más práctica para los estudiantes, ya que se

interesaban por realizar el mayor número de figuras, también se pudo

observar, que se interesaban por investigar algunas propiedades de la

geometría y también algunos elementos de las figuras planas, como sus

nombres, fórmulas, etc.

Las personas tienen que construir sus propios significados

independientemente de la claridad con la que enseñen libros o profesores.

Una persona lleva a cabo esta tarea sobre todo al

conectar nueva información y conceptos con lo que ya conoce.

Los conceptos las unidades esenciales del pensamiento humano que no

tienen vínculos múltiples con lo que un estudiante piensa sobre el mundo no

es probable que se recuerden o sean de utilidad. O, si permanecen en la

memoria, se quedarán en un lugar etiquetado, y no serán capaces

de influir en los pensamientos acerca de ningún otro aspecto del mundo.

Los conceptos se aprenden mejor cuando se encuentran en

una variedad de contextos y se expresan en diversas formas, pues ello

asegura que haya más oportunidades para que entren en

el sistema de conocimiento del estudiante.


23

Así en esta actividad se evaluó de una manera actitudinal, con los trabajos

que realizaron los alumnos y la participación en equipo o de manera

individual, también de una forma procedimental, con las herramientas de

apoyo u otros utensilios que ocuparon los alumnos, y en la parte conceptual,

en la medida que un contenido de aprendizaje se relaciona con otros que ya

se conocían anteriormente, la persona es capaz de comprender ese nuevo

contenido porque lo ve próximo a sus conocimientos y experiencias.

De esta manera se culminó con la actividad del MAPE, sugerida en el

libro de la enseñanza de la geometría, sobre construyendo y probando.

Obteniendo como resultados el trabajo colaborativo, pero sobre todo que el

adolescente aprendiera algunas de las características de las figuras planas,

así como sus propiedades, formulas y también la construcción de ellas, a

partir de datos que le hagan investigar y llegar a su objetivo.


24

ACTIVIDAD 3

PENTAMINÓS


25

SUSTENTO TEORICO

Esta actividad se ubica en el curso de Matemáticas 7, en el Eje

temático, Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico (SN y PA), en los

contenido: 7.5.4 Objetivo principal, la obtención de la regla general (en

lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

Las intenciones didácticas, se basa en que los alumnos identifiquen el

comportamiento de los términos en una sucesión de figuras y encuentren

términos faltantes. Y como consigna tiene analizar las siguientes sucesiones

y dibujar los términos que faltan, Explicando y justificando los

procedimientos empleados.

Como consideraciones previas, se pretende que los alumnos utilicen

procedimientos personales para analizar y obtener algunos términos

faltantes. Es posible que relacionen la posición de la figura con el número de

cuadritos de la misma; sin embargo, puede suceder que vean cómo cambia

cada figura respecto a la anterior; cualquiera que sea el caso es importante

que comenten y discutan los procedimientos. Si se les dificulta el análisis de

las sucesiones, se pueden plantear preguntas como las siguientes: ¿cuántas

figuras observan?, ¿cuántos cuadritos aumenta de una figura a otra?

Fig.

1

Fig.

2 Fig.

3

Fig.

4

Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7

Fig.

1

Fig.

2 Fig.

3

Fig.

4


Fig.

1

Fig.

2 Fig.

3

Fig.

4



26

Los poliminós se clasifican en: Uniminós, Dominós, Triminós,

Tetraminós, Pentaminós, Hexaminós, Los poliminós de órdenes superiores.

Uniminós: Formados por un solo cuadrado. Sólo existe uno.

Dominós: Formado por dos cuadrados. Sólo existe uno.

Triminós: Formados por tres cuadrados. Existen dos.

Tetraminós: Formados por cuatro cuadrados. Existen cinco, y son de

uso popular en los video juegos, algunos estudiantes suelen jugarlo en

su celular o en otra presentación.

Pentaminós: Formados por cinco cuadrados. Existen doce piezas

que se muestran a continuación.

Hexaminós: Formados por seis cuadrados. Existen treinta y cinco.

Y los poliminós de órdenes superiores, estos dos últimos se utilizan

muy poco.


27

De los poliminós anteriormente descritos, los Pentaminós que son las

configuraciones que recubren cinco cuadrados adyacentes, son los más

destacados por la gran variedad de problemas que se plantean con ellos y

corresponden a un total de doce configuraciones de este tipo.

Existen numerosas definiciones para la palabra pentaminó, una que se

puede encontrar como la más sencilla es: “un conjunto de cuadrados

conectados por sus lados” [JURAIDO, M. (1983). Pentominós: el

rompecabezas interminable. Cacumen, 11, 31-32], donde se muestran las

diferentes figuras del pentaminó.


La adquisición de los nuevos conocimientos se hace de una manera

más lúdica y por ende creativa, el pensamiento métrico tiene gran

implicación tanto en los procesos de enseñanza como los de aprendizaje

puesto que permite crear buenas estructuras cognitivas y que sean

adecuadas para su proceso de desarrollo mental y los de pensamiento.

Una forma de aprender geometría de

manera fácil, y en la que los alumnos

intervienen en su propio aprendizaje, puede

ser con la utilización de materiales de tipo

manipulativo, y más concretamente de los

Pentaminós, partiendo de la figura del

dominó, los alumnos deben dibujar todas

las figuras posibles formadas por cinco

cuadrados unidos entre sí (pentaminós).

El objetivo de esta actividad es dejar

patente las dificultades que los alumnos

tienen para darse cuenta de que algunas

figuras son iguales por simetría, giro o

transformación.


28

Observar el trabajo de cada uno de los

alumnos, así como su dedicación, fue

importante por que La motricidad gruesa

comprende las condiciones físicas para

saltar y correr que involucran músculos

largos. Pero la motricidad fina incluye la

habilidad de dibujar la cual involucra

músculos cortos.

Por medio de ambos tipos de motricidad se integran las habilidades que los

niños y niñas adquirieron en etapas anteriores, y que en el desarrollo con

las nuevas se adquieren para producir capacidades más complejas. Esta

combinación se conoce como sistema de acción. La cual los jóvenes en esta

etapa educativa, se tiene que tener y verse reflejada en sus tareas. Aun

cuando algunos docentes no le toman la importancia necesaria, es

importante conocer a nuestros alumnos, en algunos detalles que en un

futuro académico pueda marcar la diferencia.

Conocer a los alumnos en su forma de

trabajo, desempeño, actitudes, aptitudes, etc.

Ayuda mucho la determinación de una

evaluación en el adolescente, ya que la forma

de trabajar es holística y por lo tanto su

evaluación también, y se vuelven un poco

menos ásperas para los alumnos. Tratar de

quitar los exámenes tradicionales en nuestra

practica docente e impulsar actividades como

las que sugiere el MAPE, ayuda a

relacionarnos con los jóvenes estudiantes y a

ganarse su confianza o tal vez su amistad, y

una enseñanza con valores morales y sociales,

en lo personal tiene un mayor significado en

el alumno.


29

Trabajar los Pentaminós con los jóvenes estudiantes fue divertido y

además fascinante, verlos estar entusiasmados por que lograban realizar las

actividades en conjunto y lograr el propósito de la actividad.

Los propósitos generales enunciados por la SEP aluden al desarrollo de

capacidades y habilidades consideradas necesarias para usar los

conocimientos adquiridos o para avanzar hacia otros niveles de conocimiento

en la línea de contenidos matemáticos. Si se analizan estos propósitos

conjuntamente con la lista establecida de contenidos, puede afirmarse que

las metas propuestas son altas e implican bastante más que el aprendizaje

mecanicista de una serie de definiciones, algoritmos y fórmulas; implican

conocer el significado de los objetos matemáticos, comprender sus

relaciones, y saber cómo aplicar las operaciones, para qué y cuándo. Y

culminando llegar al objetivo planteado.


30

Una de las variantes que se integró en esta actividad como

complementación, fue integrar la imaginación espacial, a partir de los

diferentes Pentaminós que habían hecho, convertirlos en Hexaminós y

convertirlos en formas planas para armar un cubo y comenzar a trabajar la

imaginación espacial.

Así como el razonamiento lógico, se realizaron una serie de preguntas,

como por ejemplo: se agarró un dado de los que formaron los alumnos y se

cubrió casi el total del dado con la mano o con alguna prenda, dejando ver

sólo una de las caras, y se preguntó, ¿Qué número se encuentra atrás de

esta cara? Los alumnos comenzaron a mencionar diversos números, como

son varios alumnos y pocos números que mencionar, unos le atinaron otros

no, pero se explicó y justificó, por qué no era cualquiera.

Para ello, se presenta un cubo el cual se sabe que no puede tener más

de seis números y el rango es de 1 a 6, considerando que tampoco se podrán

repetir, se realizan algunas preguntas como:

1. Si la cara de enfrente muestra el número cinco, ¿Qué número se

encontrará en la cara de atrás?

Girando el cubo, la respuesta correcta sería el número dos.


31

2. Si la cara superior o de arriba está el número tres,

¿Qué número se encontrará en la cara de abajo?

3. Al igual que en las caras laterales, si el número uno está en lado de la

cara derecha, ¿Qué número estará en la cara del lado izquierdo?

La inquietud de los alumnos es mucha, y estamos en una etapa donde

el niño pregunta mucho, ¿Por qué tiene que ser el número dos y no otro

número? La pregunta me pareció importante, una pregunta parecida hace

tiempo, me la hicieron en un examen, y algunos compañeros no la supieron

responder, considero que si algo es relevante en el alumno es que, se les

quede grabado para el buen uso académico, esto se relacionó con la

actividad de los pentaminós, para que el alumno tuviera una relación de las

diferentes formas para crear cajas sin tapas, a un hexaminó que si tiene sus

seis caras.

Por ello es importante que desde el inicio se trasmita confianza y que

el alumno se sienta que tiene esa libertad de expresar y de opinar frente a

su grupo las diferentes inquietudes y dudas que pudieran existir durante las

diferentes sesiones con el cubo matemático y en las diferentes clases que el

docente va a impartir.

Pero regresando a la pregunta del alumno, y justificando, ¿por qué

existe una secuencia lógica o patrón numérico?, y ¿específicamente la suma

de esta secuencia deberá ser siete? Porque la suma de las caras que se

encuentran de frente o las caras que son paralelas, sus puntos o números

que la contienen al sumarse el resultado tiene que ser igual a siete.


32

Escribamos los dígitos del uno al seis:

1 2 3 4 5 6

En el esquema anterior, se observa que ningún número se repite ahora

se realiza la suma del primer dígito con el último, el segundo con el

penúltimo y para finalizar los dos centrales, cualquier resultado es igual a

siete.

1 + 6 = 7 2 + 5 = 7 3 + 4 = 7

Y se puede verificar en los diferentes dados que fabrican múltiples

empresas, las cuales la mayoría siguen esta regla en su fabricación de

dados, aunque existirán también varias fábricas que omitirán esta regla.

En la pregunta dos, Si la cara superior o de arriba esta el número tres,

¿Qué número se encontrará en la cara de abajo? También podríamos

aplicar una operación inversa a la suma, por lo tanto podríamos realizar una

resta el total de números menos la cantidad que preguntan, en este caso

sería el total de la suma (7) menos la cantidad que nos preguntan (3).

La respuesta correcta sería el número cuatro


33

De acuerdo al nuevo enfoque de la reforma educativa en el nivel

secundaria y uno de los planteamientos centrales, en cuanto a las

metodologías didácticas que sustentan los programas para la educación

secundaria, consiste en llevar a las aulas de estudio, actividades que

despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar

diferentes formas de resolver problemas y a formular argumentos que

validen resultados.

También se ocupó el momento para incluir la búsqueda de perímetros

con las piezas del cubo matemático, al trabajar con este material didáctico,

los diferentes alumnos pueden aprender de una manera significativa y luego

llevarlos a la parte de la formalización, en la cual ellos comprenden que debe

tener una explicación en todo lo que se realiza.

Los cubos matemáticos se puede adaptar a cualquiera de los temas y

de la manera que más le funcione, además de agregarles sus propias

variantes y adecuando a los tiempos que necesite, según el tipo de grupo

que tenga, y sobre todo el interés que como profesor represente.

Una de las variantes es comenzar a trabajar parte de la geometría,

ocupando los diferentes armados de un cubo, para que el alumno pueda

encontrar los diferentes perímetros, con números enteros asignados a cada

uno de los lados de la cara, por ejemplo: en la tradicional cruz se le pide al

alumno que realice el desarrollo de la figura plana y que le de el valor de

una unidad a cada lado de cada pieza.


34

Es importante mencionar que las piezas deberán estar unidas, con la

condición de que se pueda armar el cubo matemático, por que tal vez algún

alumno pueda realizar la suma de las caras que están unidas, y su resultado

sea mayor o menor en la búsqueda de su perímetro.

El concepto de lo que es perímetro: es el número que resulta al sumar

las longitudes de los lados de un polígono. (Diccionario de matemáticas,

Aragón Benítez Valiente, p. 111), en secundaria considero que es importante

sustentar los conceptos de algunos temas, y también escuchar los

diferentes conceptos de los alumnos, ¿Cuál es el perímetro de una sola pieza

si midiera una unidad?

1 cm.

1cm

1 cm.

1 cm.

Con esta actividad no deben de existir muchas dudas, rápidamente

contestaran, y la respuesta será correcta, a partir de la participación se

debe de comenzar a cambiar de una unidad a dos unidades a cada lado de la

pieza, luego a cinco, diez, etc.

2 cm.

2cm

2 cm.

2 cm.


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Luego de esto comenzaran a formar rectángulos de tres piezas, cinco

piezas, nueve piezas, etc. Las cuales encontrarán su perímetro, también es

recomendable que los alumnos intercambien algunas figuras planas,

trabajando el mismo tema de perímetros, entre algunas figuras que

compartieron son:

Para mi lo más importante era que comprendieran y razonaran cómo se

encontraban los perímetros, e identificaran el por qué su concepto, y que

pudieran manipular algún material para su comprensión.

Para relacionarlo con el MAPE, se realizó la búsqueda de perímetros de

los desarrollos de armados en figuras planas de las que cada alumno

encontró, entre algunas figuras que mostraron los alumnos son:.

Cada lado mide 3cm.

¿Cuál es su perímetro?

42cm. Lineales.

Si sus lados midieran 5cm.

cada uno.

¿Cuál es su perímetro?

70cm. lineales


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Las respuestas de la mayoría fue correcta, pero en matemáticas el

lenguaje ordinario es un vehículo necesario para la comunicación entre los

alumnos, si el profesor comienza hablando con muchos tecnicismos que pide

la matemáticas, el alumno puede no comprender, y no tanto que no pueda

adquirir el conocimiento, es que no identifica o no está familiarizado con

algunos de ellos.

Así que como facilitadores, debemos poco a poco buscar la forma de

poder integrar a sus adolescentes a participar y conocer la simbología

adecuada, así mismo su lenguaje y sus diferentes conceptos que se

mencionan en cada uno de sus diferentes grados y temas.

Para finalizar con la actividad se les solicitó encontrar a sus Hexaminós

sus perímetros con las medidas que ellos establecieran como equipo o en

pareja, realizados durante las sesiones, en el mes de junio.


37

CONCLUSIONES

La educación se ha convertido en muchos casos en un cúmulo de

tareas, repetitivo y desagradable, siendo indispensable encontrar nuevas

estrategias para incrementar la motivación y ayudar al niño a desarrollarse

en un ambiente más agradable.

A menudo los objetivos planteados para nuestros alumnos en favor de

su desarrollo y del aprendizaje, suele se exigente, o en muchos casos

necesitamos reforzar algunas habilidades de ellos con mayor énfasis de lo

cotidiano, sin embargo, especialmente en nuestro país donde la educación

básica se ha convertido en una competencia que pone a prueba a cada

estudiante con un alto nivel de exigencia, estas actividades pueden ser

tediosas.

Fue agradable para mí integrar estas actividades del MAPE a mi labor

docente, pero sobre todo a mis alumnos de primer grado, ya que en esta

etapa, es donde los alumnos comienzan a tener un cambio drástico en su

educación, después de estar acostumbrados a un solo docente en todo el

ciclo escolar, y llegar a otra etapa donde, un catedrático para cada

asignatura, nueve formas de pensar, actitudes y comportamientos de los

docentes, que es entonces cuando el alumno comienza a confundirse o

analizar, el trato de cada uno de sus maestros.


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También quisiera hacer una observación a los MAPES, específicamente

al de LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA, este libro fue editado para nivel de

educación primaria, enfocado para niños tal vez de tercer a sexto grado, no

esta mal, pero las actividad del rompecabezas, les resultó un poco sencillas a

una parte de los alumnos, sobre todo al realizar la reproducción, es decir, en

el apartado donde se tiene que hacer el armado de la figura establecida en el

MAPE, recordando que el alumno en secundaria tiene mayor retención en la

memoria, y para este nivel se podría ocupar tal vez otro tipo de figura, lo

cual haría más emocionante las actividades, porque entonces viene la

intervención del docente, al menos yo propondría por ejemplo la siguiente

figura.

Donde incluye parte de las figuras del MAPE, pero tal vez con más

piezas, y en donde el alumno identificar que es un robot, da por visto la

silueta, pero al pedirle que describa con que figuras está construido y que las

explique o redacte, encuentre un grado de dificultad mayor, pero también

agradezco porque me hizo incluir actividades que se relacionaran y tuvieran

un grado de dificultad mayor. Pero en general son muy productivas las

actividades, hacen que nos involucre poco a poco a los temas en el

programa.


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Aunque con este grupo, se han trabajado una serie de dinámicas en el

transcurso del ciclo escolar, y la participación ha sido optima por los jóvenes

estudiantes, no estaría mal, que se incluyera libros de actividades para nivel

secundaria y se nos presentara a principio del ciclo escolar e integrarlos a

nuestra planificación anual, aplicarlos en contenidos equivalentes,

obteniendo así un reforzamiento más en el programa, es ahí cuando el

alumno comienza a valorar parte del tema, de su aprendizaje y su

enseñanza.

Algo que considero es importante saber, es entender los sentimientos

de los demás, incluyendo a nuestros alumnos, pero hay que entender

primero los sentimientos propios, así como nuestras necesidades y deseos, y

también debemos amar nuestro trabajo, y como profesores de matemáticas

gustarnos transmitir los algoritmos, las formulas, ecuaciones, situaciones

problemáticas, es decir, apasionarse con las matemáticas, para que se te

faciliten transmitirlas a nuestros educandos.

Por ultimo agradecerles a mis alumnos por realizar de una manera

armónica, cada una de las actividades del MAPE y buscar otras estrategias de

trabajo durante las sesiones en la secundaria, trabajar de manera

colaborativa con sus compañeros de aula. A mis compañeros y compañeras

de la institución y la academia de matemáticas, por compartir todo ese

conocimiento que en la vida han aprendido y difundirlo, para que en los

cursos sean más amenos. A las personas que se dedican a realizar

actividades para facilitar la enseñanza aprendizaje y hacerlas mas divertidas

o al menos para que su comprensión sea más significativa.

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