LA ESTADISTICA

La estadística es una ciencia (un conjunto de técnicas) que se utiliza para manejar un volumen elevado de datos y poder extraer conclusiones.

Vamos a poner un ejemplo para ver su funcionamiento:

En una clase con 20 alumnos preguntamos el número de hermanos que tiene cada uno de ellos.

Lo primero que tenemos que hacer es recoger de forma ordenada la información. Para ello utilizamos la.

Para analizar esta información hay varias medidas que nos interesa conocer:

Tamaño de la muestra: cuantos datos tenemos.

En este ejemplo el tamaño de la muestra es 20 (tenemos 20 respuestas)

Valor máximo: Es el valor máximo que toman los datos.

En este ejemplo el valor máximo es 8 (hay un alumno que tiene 8 hermanos)

Valor mínimo: Es el valor mínimo que toman los datos.

En este ejemplo el valor mínimo es 1 (varios alumnos tienen un sólo hermano)

Frecuencias: nos dice las veces que se repite un mismo dato.

El registro que más veces se repite (tiene la mayor frecuencia) se denomina Moda.

En este ejemplo la moda es 2 hermanos (hay 5 alumnos que tienen 2 hermanos)

La Media: se calcula sumando todos los valores y dividiéndolo entre el número de datos.

En este ejemplo sumamos todos los hermanos (68 hermanos) y lo dividimos entre el número de alumnos.

Media = 68 / 20 = 3,40 hermanos

¿Qué representa la media? si todos los hermanos (68) se repartieran de forma homogénea entre todos los alumnos, cada alumno tendría 3,40 hermanos.

Para interpretar la información es muy útil utilizar gráficos. Hay muchos tipos de gráficos:

Gráfico de barras: la altura de cada barra representa la frecuencia con la que se repite cada dato.

Se puede ver claramente, como la barra del 2 es la más alta, al ser el valor más repetido.

Gráfico circular: la superficie de cada sector de la esfera representa la frecuencia con la que se repite cada dato.

También aquí se puede ver claramente como la superficie del sector que representa el 2 es la mayor.

Gráfico de líneas: este gráfico se utiliza principalmente para ver como evoluciona un valor a lo largo del tiempo.

Por ejemplo: medimos la temperatura media en Barcelona durante los 12 meses de 2010 y obtenemos los siguientes valores.

La evolución de la temperatura a lo largo del año la vamos a representar mediante un gráfico de líneas:

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Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solución hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posición original)

1.- Dada la siguiente tabla de registros que recoge los pesos de los alumnos de una clase, calcula:

Tamaño de la muestra Valor máximo Valor mínimo Tabla de frecuencias Media Moda

LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

El conjunto de datos que obtenemos al hacer cualquier encuesta o votación, podemos representarlo gráficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores que llamamos media, mediana y moda.

LA MEDIA

Para hallar la media de un conjunto de datos, dividimos la suma de todos ellos entre el número de datos que hay.

Para poder calcular la media, los datos han de ser valores numéricos. No podemos, por ejemplo, hallar la media en un estudio que hemos hecho sobre el color de pelo de los alumnos de clase, pues moreno, rubio... son cualidades, no números. Veamos con un ejemplo cómo se calcula la media.

En la prueba de salto de longitud, los 22 alumnos de clase hemos obtenido los siguientes resultados aproximados:

170 cm – 160 cm – 150 cm – 170 cm – 160 cm – 160 cm – 170 cm – 150 cm – 190 cm – 160 cm – 170 cm – 180 cm – 160 cm – 180 cm – 190 cm – 200 cm – 190 cm – 180 cm – 160 cm – 170 cm – 180 cm – 190 cm

Hacemos el recuento de los datos. Los ordenamos de menor a mayor y vemos el número de veces que se ha dado cada salto:

150 - 150 – 160 - 160 - 160 - 160 - 160 - 160 – 170 – 170 – 170 – 170 – 170 – 180 – 180 – 180 – 180 – 190 – 190 – 190 – 190 - 200

La frecuencia absoluta es el número de veces que se da cada salto, y su suma ha de ser igual al número total de saltos: 2 + 6 + 5 + 4 + 4 + 1 = 22Ahora completamos la tabla con una nueva columna a la derecha en la que multiplicamos el valor del salto por su frecuencia absoluta:

La suma de estos valores es la suma de todos los saltos:300 + 960 + 850 + 720 + 760 + 200 = 3.790Y la media de los saltos de longitud será:

Vemos que la media no coincide con ninguno de los valores que se habían obtenido, es un valor no entero y comprendido entre dos de ellos: 170 cm y 180 cm.

LA MEDIANA

La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que ocupa la posición central de ellos. Si el número de datos es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la mediana es igual a la media de los dos datos centrales.

En el ejemplo anterior, como el número de datos es par (son seis valores de la longitud del salto), la mediana será la media del tercer y cuarto valor:

LA MODA

Llamamos moda de un conjunto de datos al valor que más se repite; o dicho de otra forma, el que tiene la mayor frecuencia absoluta de entre ellos.

En el ejemplo anterior, el valor con mayor frecuencia (el que más se repite) es el salto de 160 cm.Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.

En la prueba de natación de 100 metros libres, los tiempos aproximados obtenidos por los 22 alumnos de la clase han sido los siguientes:150 s – 140 s – 130 s – 120 s – 140 s – 140 s – 160 s – 150 s – 130 s – 120 s – 130 s – 140 s – 130 s – 150 s – 140 s – 150 s – 160 s – 160 s – 160 s – 140 s – 150 s – 160 s

La suma de todos los tiempos empleados en nadar los 100 metros libres es:

240 + 520 + 840 + 750 + 800 = 3.150

Y la media será:

Puesto que el número de datos es impar (5), la mediana será el valor que ocupa la posición central, en este caso la tercera posición: 140 s.La moda o valor que más se repite es 140 s, pues su frecuencia absoluta es la mayor, 6.

PROBABILIDAD

El resultado de un partido de fútbol (signos de una quiniela) puede ser 1, X o 2, pero no sabemos de antemano cuál será. Al lanzar un dado de parchís, podemos sacar uno de los seis signos: 1, 2, 3, 4, 5 o 6, pero no sabemos de antemano cuál va a salir. Al sacar una bola de un bombo con 100 bolitas, numeradas del 1 al 100, saldrá el 1, o el 2..., o el 100, sin que sepamos antes de sacarla cuál saldrá.

Llamamos experiencias de azar a aquellas en las que no sabemos qué resultado va a salir, pero sí que conocemos los resultados posibles que se pueden dar.

SUCESOS SEGURO, POSIBLE E IMPOSIBLE

Un suceso es seguro cuando no hay ninguna posibilidad de que no suceda. Por ejemplo, si en una bolsa hay diez bolas rojas, al meter la mano en ella y sacar una bola, el suceso “que la bola que saque sea roja” es un suceso seguro.

Un suceso es imposible si no hay ninguna posibilidad de que suceda. Por ejemplo, en la bolsa anterior, el suceso “que la bola que saque sea negra” es un suceso imposible, puesto que todas las que hay dentro son rojas.

Un suceso es probable si existe alguna posibilidad, mayor o menor, de que suceda. Si en la bolsa hay diez bolas, varias rojas y varias negras, el suceso “que la bola que saque sea negra” es probable.

Podemos distinguir tres niveles de probabilidad: muy probable, igual de probable y poco probable.

Por ejemplo, si en la bolsa hubiera 6 bolas rojas y 2 bolas negras, el suceso “que la bola que saque sea roja” sería muy probable; y el suceso “que la bola que saque sea negra” sería poco probable.Y si en la bolsa hubiera 5 bolas rojas y 5 bolas negras, los sucesos “que la bola que saque sea roja” y “que la bola que saque sea negra” serían igual de probables.

Si quieres, puedes practicar con los siguientes ejemplos.

Al lanzar un dado de parchís, los sucesos siguientes son:

1. “que salga un número entre 1 y 6”: suceso seguro;2. “que salga un 7”: suceso imposible;3. “que salga un dos” o “que salga un tres”: igual de probables;4. “o que salga un uno o que salga un dos”: menos probable que “o que salga un tres o que salga un cuatro o que salga un cinco o que salga un seis”;5. “o que salga un dos o que salga un tres o que salga un cuatro”: más probable que “que salga un uno”.

¿A QUÉ LLAMAMOS PROBABILIDAD DE UN SUCESO?

Llamamos probabilidad de un suceso a la fracción que representa la posibilidad de que un suceso ocurra.La probabilidad de un suceso seguro es igual a 1, mientras que la de un suceso imposible es igual a 0.Veamos con un ejemplo cómo hallamos la probabilidad.

Al lanzar un dado de parchís, las probabilidades de los sucesos siguientes son:

1. “que salga un número entre 1 y 6” (suceso seguro): probabilidad = 1;

2.“que salga un 7” (suceso imposible): probabilidad = 0;

3. “que salga un dos”: la probabilidad es 1/6, ya que de entre los seis resultados posibles, solo uno nos interesa, que salga el 2.

4. “que salga un tres”: la probabilidad es 1/6 , ya que de entre los seis resultados posibles, solo uno nos interesa, que salga el 3.

5. “o que salga un uno o que salga un dos”: la probabilidad es 2/6, ya que de entre los seis resultados posibles, solo dos nos interesan, que salga el 2 o que salga el 3.

6. “o que salga un dos o que salga un tres o que salga un cuatro”: la probabilidad es 3/6 , ya que de entre los seis resultados posibles, solo tres nos interesan, que salga el 2 o que salga el 3 o que salga el 4.

7. “que salga un número par”: la probabilidad es 3/6, ya que de entre los seis resultados posibles, solo tres nos interesan, que salga el 2 o que salga el 4 o que salga el 6.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

1.- Poliedros

Son cuerpos geométricos cuyas caras son todos polígonos, regulares o irregulares.

Los polígonos pueden ser triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, ….

Los elementos de un poliedro son: caras, aristas y vértices.

Los poliedros se pueden clasificar en:

Poliedros regulares: Todas sus caras son iguales con forma de polígonos regulares.

Prisma: Tiene 2 bases paralelas y opuestas con forma de polígono regular y caras laterales con forma de paralelogramo.

Pirámide: Tiene 1 sóla base y caras laterales con forma de triángulos.

Otros poliedros: sus caras son polígonos de diferentes formas.

1.a.- Poliedros regulares

Son aquellos que tienen todas sus caras iguales, con forma de polígono regular.

Veamos algunos ejemplos:

Tetraedro: tiene 4 caras con

Cubo: tiene 6 caras con forma de cuadrado

Octaedro: tiene 8 caras con forma de triángulo

Dodecaedro: tiene 12 caras con forma de pentágono

Icosaedro: tiene 20 caras con forma de triángulo

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1.b.- Prismas

Son poliedros que tienen dos polígonos iguales opuestos y que forman las dos bases del mismo y caras laterales que son paralelogramos.

Los prismas pueden ser:

Rectos

Oblicuos

Según la forma de las bases se pueden clasificar en:

Prisma triangular: sus bases son triángulos y 3 caras laterales con forma de rectángulo.

Prisma cuadrangular: sus bases son cuadrados y 4 caras laterales con forma de rectángulo.

Prisma pentagonal: sus bases son pentágonos y 5 caras laterales con forma de rectángulo.

Prisma hexagonal: sus bases son hexágonos y 6 caras laterales con forma de rectángulo.

Etc.

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1.c.- Pirámides

Son poliedros. Tienen una sola base con forma de polígono (que puede ser un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono, ….).

Sus caras laterales tienen forma de triángulo y se unen en un vértice llamado cúspide.

Según la forma de la base:

Pirámide triangular: base en forma de triángulo y 3 caras laterales.Pirámide cuadrangular: base en forma de cuadrado y 4 caras laterales.Pirámide pentagonal: base en forma de pentágono y 5 caras laterales.Etc.

1.d.- Otros poliedros

Sus caras son polígonos de diferentes formas.

2.- Cilindro y cono

Cilindro: tiene dos bases paralelas en forma de círculo y una cara lateral curva.

Cono: tiene una sola base en forma de círculo y una cara lateral curva que finaliza en un punto llamado vértice o cúspide

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3.- Esfera

La esfera es un cuerpo redondo en la que todos sus puntos están a la misma distancia de su centro.

Semiesfera: es la mitad de una esfera.

Casquete esférico: es una sección de la esfera menor que la semiesfera.