La estadística descriptiva proporciona métodos · En todo análisis y/o ... representan las propiedades de ... Todo lo que se requiere para describir la forma es comparar la media,

La estadística descriptiva proporciona métodos gráficos y métodos numéricos para el análisis

de uno o varios conjuntos de datos.

Cualitativa

Nominal

Ordinal

Cuantitativa

Discreta

Continua

Series Simples

Series de Frecuencias

Intervalos de Clases

Variables Cualitativas

•Barras Simples

•Barras Proporcionales

•Barras Agrupadas

•Diagramas Sectoriales

Variables Cuantitativas Discretas

•Bastones

Variables Cuantitativas Continuas

•Histograma

•Polígono de Frecuencias Simples

•Polígono de Frecuencias Acumuladas

En todo análisis y/o interpretación se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma para extraer y

resumir las principales características de los datos.

Centralización

Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.

Media, mediana y moda

Posición

Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.

Cuartiles, deciles, percentiles

Dispersión

Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización.

Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación.

Forma

Asimetría

La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto “central”.

La media aritmética es la medida más común de centralización de un grupo de datos.

Serie Simple:

Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x1,x2, …, xn entonces la media muestral se define como:

1

n

i

i

x

Xn

Serie de Frecuencias: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x1,x2, …, xi y f1, f2, …, fi son sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como:

1

n

i i

i

x f

Xn

Nº de hijos f i 0 5

1 8

2 10

3 12

4 15

5 13

6 10

7 7

n = 80

0 5 1 8 2 10 3 12 4 15 5 13 6 10 7 7

80

3,725

X

X

Ejemplo:

Intervalos de clase: Sean xm1,xm2, …, xmi las marcas de clases de los intervalos y f1, f2, …, fi sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como:

1

k

mi i

i

x f

Xn

Intervalo xmi

[29.5 – 34.5) 32

[34.5 – 39.5) 37

[39.5 – 44.5) 42

[44.5 – 49.5) 47

[49.5 – 54.5) 52

32 8 37 14 42 20 47 12 52 4

58

41,14

X

X

f i

8

14

20

12

4

Ejemplo:

Es el punto donde la muestra se divide en dos partes iguales.

Serie Simple:

Sean x1,x2, …, xn una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como:

1 /2

/2 1 /2

si es impar

si es par2

n

n n

x n

Me x xn

MEDIANA

MEDIANA

Ejemplo 1: 1, 3, 4, 2, 7, 6 y 8

La media muestral es 4,4

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8

Ejemplo 2: 1, 3, 4, 2, 7, 2450 y 8

La media muestral es 353,6

1, 2, 3, 4, 7, 8, 2450

Serie de Frecuencias:

Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada

es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones

Nº de hijos f i F

0 5 5

1 8 13

2 10 23

3 12 35

4 15 50

5 13 63

6 10 73

7 7 80

80

El número de hijos en 80 familias se distribuye de la siguiente forma:

402

80

2

n

Me = 4 hijos

Ejemplo:

Intervalos de clases: Para calcular la mediana se usa la

siguiente fórmula:

inf2 *

aa

i

nF

Me L af

donde:

Linf = Límite inferior del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2.

Faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo

cuya Fa es mayor a n/2.

fi = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2.

a = Amplitud de los intervalos

Intervalo f i

[29.5 – 34.5) 8

[34.5 – 39.5) 14

[39.5 – 44.5) 20

[44.5 – 49.5) 12

[49.5 – 54.5) 4

F

8

22

42

54

58

af

Fn

LMei

aa

*2inf

25.415*20

222

58

5.39

Me

Ejemplo: 58

292 2

n

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

41 47 53 59 65 71 77

Putuaciones

Po

rcen

taje

s

25%

75%

Serie Simple:

Ejemplo 1: 3 , 6 , 9 , 3 , 5 , 8 , 3 , 10 , 4 , 6 , 3 , 1

La moda es 3.

Ejemplo 2: 3 , 6 , 9 , 3 , 5 , 8 , 3 , 10 , 4 , 6 , 3 , 1 , 6 , 2 , 5 , 6

Las modas son 3 y 6.

Ejemplo 3: 1, 3, 4, 7, 8, 9, 2, 19, 6

En este caso, no hay moda.


Nº de hijos f i

0 5

1 8

2 10

3 12

4 15

5 13

6 10

7 7

La Moda son 4 hijos

Intervalos de clase: Para calcular el valor puntual de la moda se usa la siguiente fórmula:

add

dLMo *

21

1inf

donde:

Linf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta

(intervalo modal).

d1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y

el intervalo pre-modal.

d2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y

el intervalo post-modal.

a = Amplitud de los intervalos

A

Agrupando en 6 clases

Intervalos Frecuencias

[13.5 - 16.5) 2

[16.5 - 19.5) 9

[19.5 - 22.5) 13

[22.5 - 25.5) 9

[25.5 - 28.5) 9

[28.5 - 31.5) 1

TOTAL 43

B

Agrupando en 5 clases

Intervalos Frecuencias

[12.5 - 16.5) 2

[16.5 - 20.5) 13

[20.5 - 24.5) 16

[24.5 - 28.5) 11

[28.5 - 32.5) 1

TOTAL 43

Clase Modal = [19.5-22.5) Clase Modal = [20.5-24.5)

419,5 .3 21

4 4Mo

320,5 .4 22

3 5Mo

a

D1

D2

Mo Li

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles.

Mínimo Máximo Cuartil 1

Q1 Cuartil 3

Q3 Mediana Cuartil 2

Q2

25% 25% 25% 25%

25% 75%

25% 75%

1 /4

/4 1 /4

si es impar

si es par2

n j

j nj n j

x n

Q x xn

Serie Simple:

Sean x1,x2, …, xn una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como:


Nº de hijos f i F

0 5 5

1 8 13

2 10 23

3 12 35

4 15 50

5 13 63

6 10 73

7 7 80

80

80. .4 4

nj j

Q1 = 2 hijos

8020

4 4

n

803. 3. 60

4 4

n

Q3 = 5 hijos

Intervalos de clases:

inf

.4 *

aa

j

i

nj F

Q L af

donde:

Linf = Límite inferior del primer intervalo cuya Fa es mayor a j.n/4

Faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo

cuya Fa es mayor a j.n/4.

fi = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a j.n/4

a = Amplitud de los intervalos.

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en diez partes iguales, los puntos de división se conocen como deciles.

Mínimo Máximo Decil 2

D2

20% 80%

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cien partes iguales, los puntos de división se conocen como percentil.

Mínimo Máximo Percentil 18

P18

18% 82%

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

41 47 53 59 65 71 77

Putuaciones

Po

rcen

taje

s

Q1 P40 Q3

25%

75%

El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña :

max minr x x

Para el conjunto de datos x1, x2,….,xn

Las diferencias determinan las desviaciones de la media.

Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida

de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones.

2

2 1

( )n

i

i

x x

sn

Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independientes conviene

dividir entre n-1, es decir…

2

2 1

( )

1

n

i

i

x x

Sn

Esta última será la fórmula que emplearemos

Esta medida de variabilidad se denomina Varianza.

Como S2 no tiene las mismas unidades que los

datos, se define la Desviación Estándar como la raíz

cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una

medida en las mismas unidades de los datos. La

desviación estándar es útil para comparar dispersión

entre dos poblaciones, pero también lo es para

calcular el porcentaje de la población que pueden

localizarse a menos de una distancia específica de la

media.

Resumiendo…

Varianza para datos no agrupados 1

)(1

2

2

n

Xx

S

n

i

i

Varianza para datos agrupados (Serie de

Frecuencias) 1

)(1

2

2

n

fXx

S

n

i

ii

Varianza para datos agrupados (Intervalos de

clases)

2

2 1

( )

1

k

mi i

i

x X f

Sn

Desvío Estándar para

datos no agrupados


datos agrupados (Serie de

Frecuencia)


datos agrupados

(Intervalos de clases)

2

1

)(1

1

n

i

i Xxn

S

i

n

i

i fXxn

S 2

1

)(1

1

Representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, así podemos

tener dos muestras que tienen la misma media, pero que tienen diferente

Desviación Estándar.

2

1

1( )

1

k

mi i

i

S x X fn

Nos permite la comparación entre distintas variables y

poblaciones.

Mide el grado de homogeneidad o heterogeneidad en una o mas

poblaciones.

Su principal característica es estar desprovisto de unidades.

El valor se puede expresar en términos porcentuales.

100%S

CVX

Ejemplo: Si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación estándar (s) = 10,44 y la presión arterial de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmHg) cuya media es de 166 mmHg y su desviación estándar de 21,3. La pregunta sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la presión arterial? Si comparamos las desviaciones estándar observamos que la desviación estándar de la presión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación:

CV de la variable peso =

CV de la variable Presión =

Una tercera propiedad de un conjunto de datos es su forma, la manera en que se distribuyen los datos.

Una distribución de datos puede ser simétrica o no. Si la distribución de datos no es simétrica, se le denomina asimétrica o sesgada.

Todo lo que se requiere para describir la forma es comparar la media, la mediana y la modo.

Forma

Moda=Mediana=Media

Insesgada

: Si X Me Mo Simétrica

ModaMedianaMedia

Sesgo Negativo (a la izquierda)

Si X Me Mo : Asimétrica Negativa

Moda MedianaMedia

Sesgo Positivo (a la derecha)

Si Mo Me X : Asimétrica Positiva

Centralización

Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.

Media, mediana y moda

Posición

Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.

Cuartiles, deciles, percentiles

Dispersión

Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización.

Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación.

Forma

Asimetría

Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes

Axiomática de la teoría de probabilidades

Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes.


Probabilidad Condicional:

Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha

incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software

libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.

Definimos lo siguientes eventos:



Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:




Definimos lo siguientes sucesos:

la primer notebook tiene software comercialA

la segunda notebook tiene software comercialB










a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN.











Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software

comercial de un total de 100.











Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software

comercial de un total de 100.

20 1

100 5P BP A




b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

20 con software comercial100 notebook

80 con software libre






1

5P A








1

5P A



?P B






1

5P A

Debemos conocer la composición del lote al momento de

extraer la segunda notebook.



?P B






1

5P A



Debemos saber si A ocurre o no



?P B

20 si no ocurre A

99

19 si ocurre A

99

P B






1

5P A



Debemos saber si A ocurre o no



?P B

20 si no ocurre A

99

19 si ocurre A

99

P B


/P B A


Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento tal que P(A)>0, se define la

probabilidad de B condicionada al evento A como:

/P A B

P B AP A



Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,

x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x





(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x S


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)




1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x S


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)




1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x S

3

36P A





(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x S

3

36P A





(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x S

3

36P A


15

36P B




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x S

3

36P A

15

36P B





1 2 1 2, / 10A x x x x

1 2 1 2, /B x x x x

3

36P A

15

36P B

1

136/ ;15 15

36

P A BP A B

P B

1

136/ ;3 3

36

P A BP B A

P A


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S


La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:

) /P B

a B A P B AP A


A

B



A

B

/P B A P B

P B A P BP A P A

) /P B

a B A P B AP A




) / 1P A

b A B P B AP A


B

A



B

A

/ 1P B A P A

P B AP A P A

) / 1P A

b A B P B AP A




) / 0c A B P B A


A

B



/ 0P B A P

P B A P BP A P A

) / 0c A B P B A

A

B




) /P A B

d A B P B AP A


A

B



/P B A

P B AP A

) /P A B

d A B P B AP A

A

B



De la definición de probabilidad condicional tenemos que:

0, / /

o su equivalente

0, / /

P A BP A P B A P A B P A P B A

P A

P A BP B P A B P A B P B P A B

P B

Teorema del producto de probabilidades


De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: :






Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.

0, / /

o su equivalente

0, / /


P A


P B


De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: :






20 19

/100 99

P A B P A P B A


0, / /

o su equivalente

0, / /


P A


P B


Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos

1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1/ / /n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A

1 2, , , nA A A









la tercera notebook tiene software comercialC


Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos 1 2, , , nA A A







/ /P A B C P A P B A P C A B











20 19 18

/ /100 99 98

P A B C P A P B A P C A B






De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional:

) / 0c A B P A B

) / 1P B

b B A P A BP B

La ocurrencia del suceso B,

nos da información precisa

sobre la ocurrencia del

suceso A.

Sucesos Independientes


De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional:

) / 0c A B P A B

) / 1P B

b B A P A BP B

Existen muchos casos en los cuales la ocurrencia de un suceso B no tiene influencia

alguna en la ocurrencia o no ocurrencia de otro suceso A.

Sucesos Independientes

La ocurrencia del suceso B,

nos da información precisa

sobre la ocurrencia del

suceso A.


Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como

(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

Eventos Independientes

1 2 1, / es parA x x x

1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S





1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S





1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x


18 1

36 2P A




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S


1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x


18 1

36 2P A




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S


1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x



1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x

18 1

36 2P A

12 1

36 3P B




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x

18 1

36 2P A

12 1

36 3P B




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x

18 1

36 2P A

12 1

36 3P B

6 1

;36 6

P A B




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x

18 1

36 2P A

12 1

36 3P B

6

136/ ;12 2

36

P A BP A B

P B

6

136/ ;18 3

36

P A BP B A

P A

Podríamos inclinarnos a decir que dos sucesos A y B son independientes sí:

/ /P A B P A y P B A P B

6 1

;36 6

P A B




(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S


/

/

P A B P A P B A P A P B

P A B P B P A B P B P A

De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:



/

/




Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí:

P A B P A P B



/

/




Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí:

P A B P A P B


1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x

18 1

36 2P A

12 1

36 3P B

1

6P A B P A P B


(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S


Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores

que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una

eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo.

a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione

durante la avería.

b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.







durante la avería.








durante la avería.


Generalización:

son sucesos independientes si y solo sí para k=2,…,n

1 2 1 2k ki i i i i iP A A A P A P A P A

1 2, , , nA A A



Definición: Diremos que los sucesos representan una partición del

espacio muestral S si:

1

)

)

) 0

i j

n

ii

i

a B B i j

b S B

c P B i

1 2, , , nB B B

En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos Bi

Teorema de la probabilidad total


Ejemplo: En el lanzamiento de un dado:

1 2 31,2 3,4,5 6 representa una partición del espacio muestral.B B B

1 21,2,3,4 4,5,6 representa una partición del espacio muestral.C C NO


Definición: Diremos que los sucesos representan una partición del

espacio muestral S si:

1

)

)

) 0

i j

n

ii

i

a B B i j

b S B

c P B i

1 2, , , nB B B

En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos Bi


B3 B4

B1

B2

A

S


Sea A algún suceso respecto a

S y B1 B2 B3 B4 una partición de

S.


B3 B4

B1

B2

A = (A B1) U (A B2) U (A B3) U (A B4)

A

S




S.


B3 B4

B1

B2

A = (A B1) U (A B2) U (A B3) U (A B4)

A

S

P(A) = P(A B1)+P (A B2)+P (A B3)+P (A B4)




S.


B1 B2

B3 B4

A

Si conocemos la probabilidad de A en

cada uno de los componentes de un

sistema exhaustivo y excluyente de

sucesos, entonces podemos calcular la

probabilidad de A como la suma:

P(A) = P(A B1) + P(A B2) + P(A B3) + P(A B4)

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) + P(A|B4)P(B4)



Sea B1, B2, ... ,Bn una partición de S y sea A un seceso cualquiera asociado a S del que

se conocen las probabilidades condicionales P(A/Bi), entonces la probabilidad del

suceso A está dada por:

1

( ) ( | ) ( )n

i ii

P A P A B P B

B1 B2

B3 B4

A



Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos

proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el

resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es

del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad

de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.


Proveedor B1






4 celdas

Pro

veed

or B

2


Proveedor B1






4 celdas

Pro

veed

or B

2 Notebook

B1 0,7

0,3

B2


Proveedor B1






4 celdas

Pro

veed

or B

2 Notebook

B1

6 celdas

4 celdas

6 celdas

4 celdas

0,7

0,1

0,2 0,3

0,8

0,9

B2


Proveedor B1






4 celdas

Pro

veed

or B

2 Notebook

B1

6 celdas

4 celdas

6 celdas

4 celdas

0,7

0,1

0,2 0,3

0,8

0,9

B2

4 4 | 1 1 4 | 2 2 = 0,1 0,7 0,2 0,3 0,13 P C P C B P B P C B P B







Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones

comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. ¿Cuál será la probabilidad de

que la notebook provenga del proveedor B2?


Proveedor B1







comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. ¿Cuál será la probabilidad de

que la notebook provenga del proveedor B2?

4 celdas

Pro

veed

or B

2

2 2 2

2

4 4 /( / 4 )

4 4

P B C P C B P BP B C

P C P C

2 2

2

4 / 0.2 0.3( / 4 ) 0.4615

4 0.13

P C B P BP B C

P C


Proveedor B1







comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. ¿Cuál será la probabilidad de que la

notebook provenga del proveedor B2?

4 celdas

Pro

veed

or B

2

Se puede generalizar el método empleado para resolver este problema con el fin de

originar el Teorema de Bayes.

2 2 2

2

4 4 /( / 4 )

4 4

P B C P C B P BP B C

P C P C

2 2

2

4 / 0.2 0.3( / 4 ) 0.4615

4 0.13

P C B P BP B C

P C


1

/( / )

( | ) ( )

j j j

j n

i ii

P B A P A B P BP B A

P A P A B P B

B1 B2

B3 B4

A

El Teorema de Bayes nos permite calcular las

probabilidades a posteriori conocidas las

probabilidades a priori.

Teorema de Bayes

Sea B1, B2, ... ,Bn una partición de S y sea A un seceso cualquiera asociado a S del que

se conocen las probabilidades condicionales P(A/Bi), entonces:

( ) son las probabilidades a priori

( / ) es la probabilidad de en la hpótesis

( / ) son las probabilidades a posteriori

j

j i

j

P B

P A B A B

P B A


Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes.

Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La

sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad

(tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es

decir la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético

y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.





(tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir

la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la

probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.

La diabetes afecta al 2% de los individuos.

La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes.

Su sensibilidad es de 0,945.

La especificidad de 0,977.

Calcular los índices predictivos.

Individuo

0,02 0,98





(tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir

la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la

probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.

La diabetes afecta al 2% de los individuos.

La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes.

Su sensibilidad es de 0,945.

La especificidad de 0,977.

Calcular los índices predictivos.

Individuo

T- T+ T- T+

0,945 0,023 0,977

0,055

0,02 0,98


)(

)()|(

TP

TEnfPTEnfP

( )( | )

( )

P Sano TP Sano T

P T

456,0023,098,0945,002,0

945,002,0

)|()()|()(

)|()(

)(

)()|(

EnfTPEnfPSanoTPSanoP

EnfTPEnfP

TP

TEnfPTEnfP

999,0055,002,0977,098,0

977,098,0

)|()()|()(

)|()(

)(

)()|(

EnfTPEnfPSanoTPSanoP

SanoTPSanoP

TP

TSanoPTSanoP

Solución


Observaciones

En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.

A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva

información: Presenta glucosuria o no.

En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que

esté enfermo.

Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento.

-¿Qué probabilidad

tengo de estar

enfermo?

- En principio un 2%.

Le haremos unas

pruebas.


Observaciones





esté enfermo.



tengo de estar

enfermo?


Le haremos unas

pruebas.


Observaciones





esté enfermo.



tengo de estar

enfermo?


Le haremos unas

pruebas.

Presenta glucosuria.

La probabilidad ahora

es del 45,6%.


Observaciones





esté enfermo.



tengo de estar

enfermo?


Le haremos unas

pruebas.

Presenta glucosuria.

La probabilidad ahora

es del 45,6%.

Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional. Independencia. Teorema de Bayes.


Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas

Distribuciones Discretas:

a) Distribución de Bernoulli

b) Distribución de Binomial

c) Distribución de Poisson

d) Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución

de Poisson

Distribución Binomial X es una variable aleatoria con distribución binomial si su distribución de

probabilidades esta dada por:

donde 0<p<1 (p constante) y n es un número entero positivo.

Características:

Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos

independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del

éxito entre los ensayos.

Esperanza:

Varianza:

1 0,1, ,n kk

nP X k p p k n

k

E X np

1Var X np p

Forma de la Distribución Binomial

Simétrica

Si p=0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.


Sesgada a derecha

Si p0 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la derecha.


Sesgada a izquierda

Si p1 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la izquierda.

Distribución de Hipergeométrica

Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros

N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por:

-

-( )

A N A

k n kP X k

N

n

( )k

E X nN

( ) 11

N nV x np p

N

Donde:

n: Tamaño de la muestra.

N: Tamaño de la población

A: número de éxitos en la

población.

N-A: número de fracasos en la

población.

K: número de éxitos en la

muestra.

Distribución Binomial

Para identificar el modelo binomial:

• Hay n repeticiones independientes.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario.

•La probabilidad de A es p, constante en cada prueba.

Distribución Hipergeométrica

Para identificar el modelo Hipergeométrico:

• Hay n repeticiones no independientes.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario.

•La probabilidad de A no es constante, varía en cada prueba.

Distribución de Poisson

X es una variable aleatoria con distribución de Poisson si su distribución de

probabilidades está dada por:

donde representa el número promedio de eventos por unidad.

Principales características numéricas:

Esperanza

Varianza

0,1,2, , ,!

keP X k k n

k

0

E X

Var X

Forma de la Distribución de Poisson

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las

líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

1

4

10

Consideremos :

El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital.

El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado.

El número de coches que circulan por una rotonda en el lapso de una hora.

Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características:

Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado.

La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.)

El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.


Sea X una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica que :

1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo.

2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad.

3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente.

Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de POISSON.


Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con parámetros n y

p. Esto es:

Cuando y de manera tal que tenemos que:

1 0,1,2,3,4, ,n kk

nP X k p p k n

k

1!

kn kk

n eP X k p p

k k

n 0p np

La distribución de Poisson como una aproximación a

la distribución Binomial

np

Haciendo coincidir los valores medios de ambas distribuciones. Tenemos:

Conclusión “Gráficamente” podemos concluir que a medida que n aumentamos y p

disminuye, la distribución de Poisson se aproxima a la distribución Binomial.

El teorema anterior nos dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea “grande” y p “pequeño”.

En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.

La distribución de Poisson como una aproximación a

la distribución Binomial

Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas

Distribución Continuas:

a) Distribución Uniforme

b) Distribución de Exponencial

c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial.

d) Distribución Normal

Distribución Uniforme

Se dice que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] si

su función de densidad de probabilidades (f.d.p) está dada por:

Esperanza

Varianza

2

b aE X

2

12

b aV X

1

( ) -

0

si a x bf x b a

en otro caso

0 si x < a

F(x)= si a x b

1 si x > b

x a

b a


Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [a,b] su

función de distribución acumulativa (FDA) está dada por:

f(x)

1

b a

fdp

x x

FDA F(x)

1

a b a b


Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media hora entre la medianoche y las seis de la mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre que entra a la estación a una hora al azar, durante ese período tenga que esperar por lo menos 20 minutos?

X: tiempo, en minutos, hasta el siguiente tren. U[0;30]

1si 0 30

f(x)= 30

0 en otro caso

x


La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación

del mismo.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2.0

Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una

distribución exponencial, con parámetro , si su fdp está dada por: 0

- si x 0f(x)

0 si x < 0

xe

(en la distribución de Poisson)

1.0

0.5

Distribución Exponencial

Esta distribución: suele ser el modelo de aquellos fenómenos

aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de

dos sucesos.

Demostrar las características numéricas de la función exponencial:

2

1 1( ) V(x)=E x


La FDA está dada por:

1 si x 0F(x)

0 si x<0

xe

F(x)

1

x


Sea X una v.a distribuida exponencialmente, con parámetro , su

función de distribución acumulativa (FDA) está dada por:

0

El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en

horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera

exponencial con una vida media de 360 hs. ¿Cuál es la probabilidad de que

un dispositivo funcione eficazmente:

a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?


T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente

1 1

( ) 360 360360

E T

1 si t 0( )

0 si t < 0

teF t

1

.180360a) P(T<180)= F(180)=1-e 0.3935

Usamos la FDA:

El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en

horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera

exponencial con una vida media de 360 hs. ¿Cuál es la probabilidad de que

un dispositivo funcione eficazmente:

a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?


T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente

1 1

( ) 360 360360

E T

1 si t 0( )

0 si t < 0

teF tUsamos la FDA:

1 720.720

360 360b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1- 1 0,1353e e

La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando.

( ) ( ) ( )( / )

( ) 1 ( )

P s x s t F s t F sP x s t x s

P x s F s

( )1 1 ( 1)

1 (1 )

s t s as t s s t

s s s

e e e e e e e

e e e

1 ( ) ( )te F t P x t

Propiedad fundamental de la Distribuciones Exponencial

La distribución exponencial no tiene memoria :

P( x< s + t / x> s ) = P( x< t )

Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial

La v.a X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso

de Poisson con media tiene una distribución exponencial con

parámetro :

0 0

: º 1min

.( )

!

30.10.5 ( 2)01 ( 2) 1 ( 0) ( 1

60

1 0,91 0,09

k

X n de partìculas en

eP X k

k

P X P X P X P X

Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que

el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: ¿Cuál es la

probabilidad de que sean emitidas al menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto?

Solución/


Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se

sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30

partículas: Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre emisiones

sucesivas sea mayor a 3 minutos?

Solución/

0 1.5

: (min) ,

30.3: 3min, 1.5

60

(1.5) .( 3) ( 0) 0.22

0!

T tiempo hasta que ocurre la prox emision

Y partìculas emitidas en

eP T P Y


Sin duda la distribución continua de

probabilidad más importante, por la

frecuencia con que se encuentra y

por sus aplicaciones teóricas, es la

distribución normal, gaussiana o de

Laplace - Gauss. Fue descubierta y

publicada por primera vez en 1733

por De Moivre. A la misma llegaron,

de forma independiente, Laplace

(1812) y Gauss (1809), en relación

con la teoría de los errores de

observación astronómica y física .

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Karl F. Gauss (1777-1855)

Distribución Normal

1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante esta

distribución:

a) Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie

(tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

b) Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo

de individuos, puntuaciones de examen, ...

c) Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.

d) Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

e) En general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores

2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas.

3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su relación con el

teorema del límite central.


Se dice que X que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su

fdp está dada por:

21

21f(x) con - < x <

2

x

e


2( ) ( )E x y V x

La función depende de únicamente de dos parámetros, μ y σ, su media y

desviación estándar, respectivamente. Una vez que se especifican μ y σ, la

curva normal queda determinada por completo.

Distribución Normal: Principales Características:

1.La función tiene un máximo en x = .

2.La curva es simétrica alrededor del eje vertical x=μ, donde coinciden la

mediana (Me) y la moda (Mo ).

3.Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores en x=μ ± σ, es

cóncava hacia abajo si μ-σ<X< μ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier

otro punto.

4.La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica

conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección, es decir Para x

tendiendo a , el límite f(x) =0.

5.El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

6.Los parámetros μ y σ son realmente la media y la desviación estándar de

la distribución normal.

+ - +

Puntos de

inflexión

=Mo=Me

Distribución Normal: Principales Características:

Distribución normal con =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

0.25

0.5

1

p(x)

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

5 5

10

Distribución normal con distintas medias y dispersión

N(μ, σ):

Interpretación geométrica

• La media se puede interpretar como un factor de traslación.

• Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…

Estandarización de la Distribución Normal

Dada la dificultad que se encuentra al resolver las integrales de una

funciones densidades de probabilidades asociada a una v.a. normal, es

necesario contar con una tabulación de las áreas de la curva normal para

una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar

establecer tablas separadas para cada valor de μ y σ.

Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de

cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una

variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1.

2Si X N , Z= , Z N 0,1

x

2

21

2

tz

P Z z z e dt

Sea X una v.a su función de distribución acumulativa (FDA)

está dada por: 0,1X N

P(Z<z)


P P

a x ba x b

P

a b b aZ

2Si X N , y Z= N 0,1

xZ


2Si X N ,

P P Px x x

1

2. 1

Cálculo de la probabilidad de desviación prefijada. P x

Regla de las tres sigmas

Es un caso particular de desviación prefijada.

Si = 3 P 3 P 3 3 P 3 3x x x

3 33 3

3 1 3 2. 3 1 0,9974

Esto significa que el suceso 3x

Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario es poco probable y

puede considerarse prácticamente imposible.

Regla de las tres sigmas: Su esencia.

Si una variable aleatoria está distribuida normalmente, entonces la desviación respecto de la esperanza matemática, en valor absoluto, no es mayor que el triple de la dispersión.

En la práctica se aplica así: si la distribución de una variable no se conoce, pero se cumple la condición

3x

Se puede suponer que dicha variable está distribuida normalmente.

3 0,9974P x

2 0,9545P x

0,6827P x

Para ilustrar el uso de las Tablas, calculemos la probabilidad de que Z sea menor

que 1.64. Primero localizamos un valor de z igual a 1.6 en la primera columna

(izquierda), después nos “movemos” a lo largo de la fila hasta encontrar la columna correspondiente a 0.04, donde leemos 0.9594. Por lo tanto P(Z<1.64)=0.9495.

Para encontrar un valor de z que corresponda a una probabilidad dada, el proceso se

invierte. Po ejemplo, el valor de z que deja un área de 0.9 bajo la curva a la izquierda

de z es de 1.28.

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La estadística descriptiva proporciona métodos · En todo análisis y/o ... representan las propiedades de ... Todo lo que se requiere para describir la forma es comparar la media,