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INTRODUCCIÓN. En todos los nivelesy sistemas educativos existe unabismo entre las aspiraciones y los

logros alcanzados al estudiar mate-máticas; evaluaciones internas y ex-ternas así lo corroboran, los índicesde acreditación y el nivel educativode los estudiantes son muy bajos y lafobia hacia las matemáticas no desapa-rece. Los jóvenes y adultos que in-tentan estudiar algún módulo de ma-temáticas correspondiente al Eje de

matemáticas del Modelo Educaciónpara la Vida y el Trabajo del InstitutoNacional para la Educación de losAdultos (INEA), no son la excepción,y aunque se han hecho esfuerzos elproblema no se ha resuelto satisfac-toriamente en América Latina. En laobra Hacia una redefinición de las mate-máticas en la educación para los adultos,sus autoras (Ávila y Waldegg, 1997)nos hacen darnos cuenta de lo difícilque ha sido modificar esta situación

a pesar de que sí han habido intentospara lograrlo.

Ante esta problemática, los inves-tigadores han tratado de comprenderel pensamiento matemático de losadultos (procedimientos matemáticosno formales), y han reflexionado so-bre los objetivos educativos y el di-seño de materiales de enseñanza.Existen sugerencias que los asesoresde las personas jóvenes y adultas pue-den aplicar en su práctica educativa,

SABERES

LA FORMACIÓN DE ASESORES EN MATEMÁTICASUna experiencia en los talleres de formación y actualización

de asesores y técnicos docentes del INEA

Marco Antonio García JuárezJEFATURA DE PROYECTO DE MATEMÁTICAS. INEA / MÉXICO

magarcia@inea.gob.mx

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pero a pesar de los esfuerzos, muchasde estas propuestas no se practicanen los círculos de estudio. De estamanera, el blanco de la crítica apuntahacia la formación de asesores. Estopodría parecer razonable porque nose explica que los jóvenes y los adul-tos no aprendan matemáticas si susasesores ya disponen de mejoresmateriales, de cierta informaciónacerca de cómo ocurren sus apren-dizajes matemáticos y también si exis-te cierta claridad en los objetivos edu-cativos y se cuenta con una variadaoferta educativa. Pero el problema esmucho más complejo de lo que pa-rece a primera vista.

Una de las principales causas serelaciona con la formación y actuali-zación de los asesores y técnicos do-centes, porque son ellos quienesacompañan el aprendizaje de los jó-venes y adultos. ¿Qué tipo de forma-ción y actualización requieren? ¿Ha-cia dónde dirigir los esfuerzos de laformación y capacitación? Para res-ponder a esto se requiere obtenermayor información acerca de cómoconciben los asesores esta problemá-tica; es necesario averiguar qué sonlas matemáticas para ellos, qué les sig-nifica aprender esta disciplina, quépiensan de que los jóvenes y adultosaprendan matemáticas, cómo consi-deran su papel de asesores, qué acti-vidades de aprendizaje les parecenadecuadas, cuáles les dan mejores re-sultados, cómo es su práctica educa-tiva, cómo les gustaría que fuesen lostextos, etcétera. En otras palabras,cualquier intento por mejorar la cali-dad del aprendizaje de las matemáti-cas de los jóvenes y adultos tambiéndebe considerar lo que piensan losasesores y técnicos docentes sobre lasmatemáticas y sobre la manera comose aprenden, pues estas ideas reper-cuten en su práctica educativa.

El papel de la formación del ase-sor ha sido objeto de pocos estudios.Al referirse a los profesores de lossistemas escolarizados, A. Thomp-son, y L. M. Santos afirman que laconcepción que tienen los docentesacerca de las matemáticas y cómo seaprenden influye directamente en laforma en que enseñan esta asignatu-

ra. El éxito de una propuesta inno-vadora en la enseñanza de las mate-máticas depende en gran medida dela congruencia entre lo que el docen-te piensa de las matemáticas, su con-cepción de aprendizaje y la forma enque implementa estas ideas en el sa-lón de clases. El principal objetivo deeste trabajo consiste en explorar es-tas tres ideas en los talleres con ase-sores (que no han sido formadoscomo profesores) en un sistema noescolarizado y que se encuentran in-mersos en el Modelo Educación Parala Vida y el Trabajo del INEA

ACTIVIDADES. A partir de la puesta enpráctica del Modelo Educación parala Vida y el Trabajo (MEVyT) en algu-nos estados de la República Mexica-na (Aguascalientes, Sinaloa, Tabasco,Baja California, México y Yucatán),en el año 2000; la Dirección Acadé-mica del INEA ha impulsado talleresacadémicos dirigidos a asesores, téc-nicos docentes y personal de servi-cios educativos, con el propósito defortalecer la práctica educativa, asícomo la apropiación y aplicación delenfoque y la metodología de los nue-vos programas del eje de matemáti-cas del MEVyT. Esta medida pretendelograr una asesoría de calidad. La co-ordinación de las actividades de di-chos talleres ha sido responsabilidaddel personal de la Jefatura de Proyec-to de Matemáticas del INEA y, en al-gunas ocasiones, de los autores de losmódulos del eje de matemáticas. En-tre los propósitos de los talleres sedestacan los siguientes:

• Sistematizar las expectativas de losasesores, técnicos docentes y per-sonal de servicios educativos conrespecto a dichos talleres y suspuntos de vista sobre las matemá-ticas y la manera en que aprendenlos jóvenes y los adultos.

• Sistematizar la práctica educativade los participantes.

• Desarrollar estrategias que favo-rezcan el aprendizaje de los jóve-nes y adultos que estudian módu-los del eje de matemáticas.

• Socializar las estrategias desarro-lladas para fortalecer la práctica

educativa de los asesores y darleun seguimiento al mejoramientode su desempeño.

• Resolver y analizar algunas activi-dades de los módulos del eje dematemáticas bajo el enfoque quese propone (desarrollo de compe-tencias: resolución de problemas,comunicación de ideas, razona-miento y participación).

En este trabajo sólo se reportanlos resultados del primer propósito.Al inicio de cada taller se pregunta alos participantes ¿Cuáles son sus ex-pectativas con respecto a este taller?¿Qué son las matemáticas para usted?y ¿Cómo cree que aprenden matemá-ticas las personas jóvenes y adultasque usted asesora?

RESULTADOS. Al hacer el análisis cuali-tativo de las respuestas muestran al-gunos patrones que a continuaciónse describen:

1. Expectativas de los asesores con respectoa los talleres. Existe gran diversidad deexpectativas desde las más generales(relacionadas con el enfoque del ejede matemáticas) hasta las más espe-cíficas (se refieren a dudas sobre undeterminado problema matemáticoque no han podido resolver).

He aquí algunos ejemplos:

– "Queremos conocer claramentelos objetivos de cada módulo y lamejor forma de desarrollarlos. Te-ner más herramientas matemáticaspara apoyar a los adultos".

– "Conocer cómo están formadoslos módulos".

– "Conocer el manejo de los mate-riales didácticos que vienen en losmódulos (geoplano, tangrama ydominós, calculadora)."

– "¿Cómo desarrollar las competen-cias matemáticas? ¿Cómo propi-ciar un razonamiento lógico?"

– "Quisiéramos saber más acerca decontenidos matemáticos y com-prender su metodología en todoel eje de matemáticas".

– "Tener más elementos didácticospara que la asesoría a los adultossea de calidad".

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– "Conocer estrategias y técnicaspara trabajar con las matemáticas".

– "Conocer diversas técnicas y diná-micas grupales para trabajar conlos adultos".

– "Conocer cómo trabajar con losgrupos multinivel".

– "Saber cómo elevar la acreditaciónde los adultos".

Las demandas de los asesores es-tán relacionadas, principalmente, conlas formas de ayudar a los adultos ensu aprendizaje matemático y, en me-nor medida, con los programas y ma-teriales educativos y los conocimien-tos matemáticos. Esta diversidad deexpectativas plantea un verdaderoreto para la planeación didáctica delos talleres; por ejemplo, deben serflexibles y susceptibles de adaptarsea las necesidades e intereses de losasesores y técnicos docentes. Si real-mente se quiere satisfacer las expec-tativas de los asesores, esto demanda

una mejor preparación de los coor-dinadores de talleres en aspectoscomo los contenidos de la disciplina,la naturaleza de las matemáticas, ladidáctica de las matemáticas, dinámi-cas grupales y manejo del enfoque.

2. Concepción que los asesores y los técnicosdocentes tienen de las matemáticas. Cual-quier consideración que se haga so-bre los elementos que estructuranuna propuesta para el aprendizaje delas matemáticas conlleva, conscienteo inconscientemente, una manera deentender las matemáticas. Los ase-sores tienen gran diversidad de pun-tos de vista acerca de las matemáti-cas que reflejan la naturaleza de estaciencia, con múltiples facetas, comolo han manifestado ilustres pensado-res. Eugenio Filloy menciona que eneducación matemática se puede con-ceptualizar a las matemáticas de múl-tiples y diversas maneras. Incluso afir-ma que si se toma una sola de sus

características, ésta podría interpre-tarse desde distintos marcos teóricos.

¿A cuáles de estas conceptualiza-ciones aluden los asesores? ¿Cuál ocuáles son sus puntos de vista acercade la naturaleza de las matemáticas?Se cree que si los docentes privile-gian algunos de los puntos de vistaacerca de las matemáticas en detri-mento de otros, se llega a una prácti-ca educativa parcial que reduce las po-sibilidades de lograr un aprendizajerico, novedoso y que plantee la trans-formación de las prácticas viciadascomunes en los sistemas educativostradicionales. ¿Ocurre lo mismo conlos asesores?

A continuación se muestran algu-nos de los puntos de vista que los ase-sores y los técnicos docentes hanquerido manifestar:

– "Se trata de juegos divertidos conorden y exactitud. Son juegos men-tales y acertijos".

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– "Son una serie de números y le-tras que ayudan a resolver proble-mas que hay en la vida diaria. Esuna forma de expresión, es la for-ma de resolver problemas".

– "Son un laberinto de ideas. Son labase y sentido de todo".

– "Es una materia difícil, pero ele-mental y necesaria para la vida.Además, son el camino para agili-zar la mente".

– "Ciencia que se encarga del estu-dio de los números. Una cienciaexacta que no admite errores.Ciencia que agrupa conceptos degeometría, medición, probabilidad,números y álgebra".

– "Son competencias que debe de-sarrollar todo ser humano paraaprender a usar los números y rea-lizar todo tipo de operaciones".

– "Son todo lo que nos rodea. Sontécnicas de formación".

– "Es una ciencia para distribuir, ad-ministrar, calcular, razonar y teneragilidad mental".

– "Son herramientas para facilitar lavida. Se presentan por medio denúmeros, gráficos, etc. y datos ob-tenidos por algunas investigacio-nes anteriores y nuevas".

– "Están regidas por los númerosque ordenados definen infinidadde cuestiones. Son conocimientode los números para poder reali-zar operaciones y cálculos que nospermiten medir".

– "Nos permiten resolver problemascotidianos con un previo razona-miento lógico".

– "Están dentro de las materias bá-sicas, dentro de toda educación".

– "Son una herramienta fundamen-tal mediante la cual se pueden cal-cular procesos físicos, químicos ybiológicos. Ciencia que sí sirvepara la comunicación universal".

– "Ciencia de razonamiento deduc-tivo; como ciencia real llena desímbolos y mecanismos que llevana resolver un sinnúmero de pro-blemas en la vida cotidiana".

En las respuestas de los asesoresy técnicos docentes se observan di-ferentes concepciones, consideracio-nes y preferencias específicas acerca

de la naturaleza de las matemáticas;predominan sin embargo aquellasque tradicionalmente han definido alas matemáticas como una cienciaexacta relacionada con los númerosy sus operaciones, como un sistemade signos, en la que se precisa de ri-gurosidad, abstracción y aplicabilidad.

Discutir en los talleres estos pun-tos de vista puede ayudar a tener unavisión más amplia de la naturaleza delas matemáticas (como ciencia deduc-tiva, como herramienta, como cien-cia abstracta, como necesaria por susmúltiples aplicaciones, como un len-guaje técnico altamente sofisticado,como arte, como resolución de pro-blemas, etc).

3. Cómo aprenden matemáticas las perso-nas jóvenes y adultas según los participan-tes. Tradicionalmente el aprendizajede las matemáticas se concibe comoun proceso en que los jóvenes y adul-tos absorben la información de unamanera pasiva, almacenándola enfragmentos fácilmente recuperablescomo resultado de una práctica y unesfuerzo repetitivo. Pero las investi-gaciones en sicología y educaciónmatemática demuestran que el apren-dizaje no ocurre por absorción pasiva;se da en situaciones en las que la per-sona se enfrenta a una tarea nueva ytrata de afrontarla con sus conoci-mientos previos; luego, asimila la in-formación nueva y construye suspropias ideas. Por ejemplo, antes deque se les enseñe a las personas jóve-nes y adultas la suma y la resta, ellosya pueden resolver muchos proble-mas de sumas y restas usando suspropias estrategias de cálculo men-tal; a medida que ingresan a otros cur-sos avanzados, siguen empleando confrecuencia estas rutinas aún despuésde que se les han enseñado procedi-mientos más formales para la resolu-ción de problemas. Sólo aceptaránmétodos y procedimientos nuevoscuando los que ya poseen no funcio-nen o sean ineficientes. ¿Cómo perci-ben los asesores y técnicos docenteseste punto de vista constructivista yactivo del proceso de aprendizaje?Enseguida se muestran algunos pun-tos de vista expuestos por asesores:

– "(Los adultos) aprenden de formaempírica, por lo que hacen en sutrabajo".

– "Aprenden conociendo primerolos números, de acuerdo a las ne-cesidades del adulto".

– "Aprenden por las actividades dia-rias que hacen. Aprenden conejemplos de la vida cotidiana, se-gún la actividad que realizan".

– "Aprenden con ejemplos de lo quecompran y venden".

– "Algunas veces aprenden de ma-nera empírica e individual. Cadaadulto utiliza su método propio".

– "Aprenden mediante juegos, com-pras cotidianas. De la teoría a lapráctica ejercitando los conoci-mientos. Observando la utilidadque pueden tener en su trabajo".

– "Aprenden por medio de la expe-riencia previa, complementándolacon materiales didácticos comopiedritas, frijoles, palitos de made-ra y con sus propias manos".

– "Aprenden las matemáticas a par-tir de sus experiencias concretas,las confrontan con las que hay enlos libros y revistas, practicándo-las mentalmente y por escrito".

– "Aprenden por imitación; vencómo se hacen las cuentas y prac-ticando diariamente".

– "Aprenden usando lápiz y papel.Repitiendo ejercicios".

– "Aprenden explicándoles de ma-nera clara. De acuerdo a su capa-cidad de razonamiento".

– "Aprenden mejor de manera tra-dicional, en forma mecánica y conejercicios, con algo de aplicación asu vida diaria".

A MANERA DE CONCLUSIÓN. No es posibleafirmar que los puntos de vista quehemos analizado en este trabajo seancompartidos por todos los asesoresy técnicos docentes. Sin embargo,están presentes en muchos círculosde estudio de nuestro país y quizá deotras partes del mundo donde estu-dian matemáticas las personas jóve-nes y adultas. Tal vez en algunos ca-sos predomine un punto de vista endetrimento de otros, tal como lo do-cumenta la literatura en educaciónmatemática en el caso de los profe-

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sores; en estos últimos, predomina eluso de ejercicios rutinarios y el tra-bajo con lápiz y papel.

En este trabajo encontramos pun-tos de vista que sugieren que los ase-sores y técnicos docentes entiendenla gran importancia de la naturalezade las matemáticas y la concibencomo orientada a la resolución deproblemas prácticos, como sistemade signos, como herramienta paraacceder a otros saberes, como algoútil y práctico. También parecen com-prender qué significa aprender estadisciplina con un enfoque conside-rado constructivista y activo: conti-nuamente mencionan que los jóve-nes y adultos resuelven problemasmentalmente y que aprenden conbase en sus experiencias y activida-des cotidianas.

Podría decirse que los asesoresaceptan la posición de considerar lossaberes previos de los jóvenes y adul-tos y que, a partir de estos saberes,esperan que se construyan otros másformales; no obstante, en ocasionesdan una asesoría considerada tradi-cional, recurren a explicaciones y ejer-cicios con lápiz y papel para prepa-rarlos para el examen de acreditación.

Parece que muchos asesores as-piran verdaderamente a trabajar deuna manera diferente a la tradicional,que se preocupan por el desarrollode la persona y no sólo del aprendi-zaje de las matemáticas pero que nosaben cómo hacerlo (así lo planteanen sus expectativas). Los materialesimpresos no han bastado para guiar-los en su labor. Además, se podríaaventurar la hipótesis de que existenotros factores que constriñen estasaspiraciones, factores socioeconómi-cos, administrativos, culturales, etc,porque en el desarrollo de su trabajolos asesores adoptan múltiples tareasconcretas y variadas, y en este con-texto emplean métodos específicosque consideran que funcionan, prin-cipalmente en cuanto a la acredita-ción de los aprendizajes por los jóve-nes y adultos; esos métodos a vecesson diferentes al propuesto en losnuevos materiales. Puede decirse quese basan en la experiencia, en la in-tuición y quizá incluso en creencias

La educación ha producido una vasta po-blación capaz de leer, pero incapaz dedistinguir lo que vale la pena de leer.

Geroge Macaulay Trevelyan, historiador inglés,

1876-1962.

más fundadas en los deseos de ayu-dar a los jóvenes y adultos que en lassugerencias didácticas propuestas enlos materiales.

RRRRRECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONES PPPPPARAARAARAARAARA LALALALALA ACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓN

Fue importante constatar que los ta-lleres son un magnífico lugar paraconocer, analizar, discutir y reflexio-nar sobre las maneras en que los ase-sores y técnicos docentes concibenla naturaleza de las matemáticas y elaprendizaje matemático de jóvenesy adultos. La mayoría está de acuer-do con el enfoque constructivista quepermea las nuevas propuestas, perorequieren más información y herra-mientas para llevarlo a la práctica.

1. Los talleres podrían convertirse enespacios distintos, donde los aseso-res puedan convivir y experimentarcon unas matemáticas constructivasdistintas a las tradicionales, es decir,un lugar donde descubran o generenrelaciones, discutan sus ideas conotros compañeros, compañeras o consu coordinador; planteen conjeturas,evalúen y contrasten sus resultadoscon otras personas.

2. Se requiere modificar la manera ylas directrices de la formación y ca-pacitación de los asesores.

3. Se requiere cuidar que determina-dos aspectos no se omitan en ningúntaller, sin importar cuál sea el temadel mismo. Por ejemplo que los asis-tentes puedan enfrentarse continua-mente a problemas en los que seponga a prueba lo que ya saben yexplorar ciertos procedimientos yestrategias matemáticas para laresolución de problemas; podrándiscutir sus estrategias entre ellos ocon su coordinador, es decir, sepretende que sea el lugar donde losasesores y asesoras analicen conti-nuamente ideas, a partir de suspropios saberes, lo cual les brindaríade primera mano elementos prácti-cos sobre la naturaleza de la asigna-tura y les abriría una nueva visiónsobre las diversas maneras de apren-der las matemáticas. Luego, ellos

podrían reproducir este proceso deasesoría-aprendizaje con las per-sonas jóvenes y adultas.

Lecturas sugeridas

ÁVILA, ALICIA Y GUILLERMINA WAL-DEGG, 1997. Hacia una redefinición delas matemáticas en la educación de los adul-tos, INEA, México.e-mail: jmarquez@crefal.edu.mxmondragon@inea.sep.gob.mx

INEA, 2002. Módulos del eje de mate-máticas del modelo Educación Para la Viday el Trabajo, México.www.conevyt.org.mx/cursos

SANTOS T., LUZ MANUEL, 1992. "Re-solución de problemas; el trabajo deAlan Schoenfeld; una propuesta aconsiderar en el aprendizaje de lasmatemáticas", en Educación Matemáti-ca, Vol. 4, No. 2, Grupo Iberoaméri-ca, México.www.engrupo.com.mx/menu.htm/

THOMPSON, ALBA G., 1985. "Tea-cher’s conceptions of mathematicsand the teaching of problem sol-ving", en Teaching and Learning Mathe-matical Problem Solving, Lawrence Erl-baum Associates, Publisher A. Silver,EE. UU., pp. 281-294.