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La geometrıa algebraica en las redes dereacciones bioquımicas
Mercedes Perez Millan
Dto. de Matematica–FCEyN–Universidad de Buenos AiresDto. de Cs. Exactas–CBC–Universidad de Buenos Aires
Buenos Aires – Argentina
ElENA VII, 7 de agosto de 2014
Resumen
Un paper
Un poco de historia
Redes de reacciones quımicas
Actualidad
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 2 / 24
Un paper
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 3 / 24
Un paper
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 3 / 24
Un paper
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 3 / 24
Un poco de historia
I ≈ 1860: se propone la ley de cinetica de accion de masas porGuldberg y Waage.
I Entre 1940 y 1970 diversos autores utilizaron teorıa de grafospara decodificar la complejidad quımica.
I Recien en la decada de los 70 aparecieron las primerasversiones de teorıas rigurosas que se desarrollaron por ungrupo en Estados Unidos (Horn, Jackson, Feinberg) y el grupoquımico matematico siberiano (Gorban, Yablonsky, Bykov yElokhin; Vol’pert).
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 4 / 24
Un poco de historia
I ≈ 1860: se propone la ley de cinetica de accion de masas porGuldberg y Waage.
I Entre 1940 y 1970 diversos autores utilizaron teorıa de grafospara decodificar la complejidad quımica.
I Recien en la decada de los 70 aparecieron las primerasversiones de teorıas rigurosas que se desarrollaron por ungrupo en Estados Unidos (Horn, Jackson, Feinberg) y el grupoquımico matematico siberiano (Gorban, Yablonsky, Bykov yElokhin; Vol’pert).
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 4 / 24
Un poco de historia
I ≈ 1860: se propone la ley de cinetica de accion de masas porGuldberg y Waage.
I Entre 1940 y 1970 diversos autores utilizaron teorıa de grafospara decodificar la complejidad quımica.
I Recien en la decada de los 70 aparecieron las primerasversiones de teorıas rigurosas que se desarrollaron por ungrupo en Estados Unidos (Horn, Jackson, Feinberg) y el grupoquımico matematico
siberiano (Gorban, Yablonsky, Bykov yElokhin; Vol’pert).
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 4 / 24
Un poco de historia
I ≈ 1860: se propone la ley de cinetica de accion de masas porGuldberg y Waage.
I Entre 1940 y 1970 diversos autores utilizaron teorıa de grafospara decodificar la complejidad quımica.
I Recien en la decada de los 70 aparecieron las primerasversiones de teorıas rigurosas que se desarrollaron por ungrupo en Estados Unidos (Horn, Jackson, Feinberg) y el grupoquımico matematico siberiano (Gorban, Yablonsky, Bykov yElokhin; Vol’pert).
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 4 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3B
3B3B3B
A
AA1A
+
+
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
especies
complejos
coeficientes estequiometricosconstante de reaccion
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3B
3B
3B3BA
A
A1A
+
+ 2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
especies
complejos
coeficientes estequiometricosconstante de reaccion
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3B3B
3B
3BAA
A
1A +
+
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
especies
complejos
coeficientes estequiometricosconstante de reaccion
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3B3B3B
3B
AAA
1A +
+ 2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
especies
complejos
coeficientes estequiometricos
constante de reaccion
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3B
3B3B3B
A
AA1A
+
+ 2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
2Ck
especies
complejos
coeficientes estequiometricos
constante de reaccion
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3BA + 2Ck
Concentraciones de las especies:
[A]↔ x1, [B]↔ x2, [C ]↔ x3.
Vector de reaccion:
(−1,−3, 2).
x1 = −kx1x32 ,
x2 = −3kx1x32 ,
x3 = 2kx1x32 .
x1
x2
x3
= kx1x32
−1−32
Clase de compatibilidadestequiometrica
Rs>0
S
x3
x2
x1
S = 〈vectores de reaccion〉
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) ∈ S +x(0)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3BA + 2Ck
Concentraciones de las especies:
[A]↔ x1, [B]↔ x2, [C ]↔ x3.
Vector de reaccion:
(−1,−3, 2).
x1 = −kx1x32 ,
x2 = −3kx1x32 ,
x3 = 2kx1x32 .
x1
x2
x3
= kx1x32
−1−32
Clase de compatibilidadestequiometrica
Rs>0
S
x3
x2
x1
S = 〈vectores de reaccion〉
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) ∈ S +x(0)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3BA + 2Ck
Concentraciones de las especies:
[A]↔ x1, [B]↔ x2, [C ]↔ x3.
Vector de reaccion:
(−1,−3, 2).
x1 = −kx1x32 ,
x2 = −3kx1x32 ,
x3 = 2kx1x32 .
x1
x2
x3
= kx1x32
−1−32
Clase de compatibilidadestequiometrica
Rs>0
S
x3
x2
x1
S = 〈vectores de reaccion〉
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) ∈ S +x(0)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3BA + 2Ck
Concentraciones de las especies:
[A]↔ x1, [B]↔ x2, [C ]↔ x3.
Vector de reaccion:
(−1,−3, 2).
x1 = −kx1x32 ,
x2 = −3kx1x32 ,
x3 = 2kx1x32 .
x1
x2
x3
= kx1x32
−1−32
Clase de compatibilidadestequiometrica
Rs>0
S
x3
x2
x1
S = 〈vectores de reaccion〉
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) ∈ S +x(0)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3BA + 2Ck
Concentraciones de las especies:
[A]↔ x1, [B]↔ x2, [C ]↔ x3.
Vector de reaccion:
(−1,−3, 2).
x1 = −kx1x32 ,
x2 = −3kx1x32 ,
x3 = 2kx1x32 .
x1
x2
x3
= kx1x32
−1−32
Clase de compatibilidadestequiometrica
Rs>0
S
x3
x2
x1
S = 〈vectores de reaccion〉
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) ∈ S +x(0)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 5 / 24
Redes de reacciones quımicas.
3BA + 2Ck
Concentraciones de las especies:
[A]↔ x1, [B]↔ x2, [C ]↔ x3.
Vector de reaccion:
(−1,−3, 2).
x1 = −kx1x32 ,
x2 = −3kx1x32 ,
x3 = 2kx1x32 .
x1
x2
x3
= kx1x32
−1−32
Clase de compatibilidadestequiometrica
Rs>0
S
x3
x2
x1
S = 〈vectores de reaccion〉
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) ∈ S +x(0)
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 6 / 24
Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
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Red de Shinar y Feinberg (2010)
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 6 / 24
Complejos terminales y no terminales
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
Clases fuertemente conexas
Clases fuertemente conexas no terminales
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 7 / 24
Complejos terminales y no terminales
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
Clases fuertemente conexas terminales
Clases fuertemente conexas no terminales
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 7 / 24
Complejos terminales y no terminales
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
Clases fuertemente conexas terminales
Clases fuertemente conexas no terminales
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 7 / 24
Estados estacionarios
x = f(x)←− polinomial
Estados estacionarios:Son los ceros de f(x). Es decir, la variedad (real no negativa) delideal I generado por f1, . . . , fs .
Enfoque clasico:
f(x) = M︸︷︷︸matriz de
coeficientes
. ψ(x)︸︷︷︸vector demonomios
Son los x tales que ψ(x) pertenece al nucleo de M.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 8 / 24
Estados estacionarios
x = f(x)←− polinomial
Estados estacionarios:Son los ceros de f(x). Es decir, la variedad (real no negativa) delideal I generado por f1, . . . , fs .
Enfoque clasico:
f(x) = M︸︷︷︸matriz de
coeficientes
. ψ(x)︸︷︷︸vector demonomios
Son los x tales que ψ(x) pertenece al nucleo de M.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 8 / 24
Estados estacionarios
x = f(x)←− polinomial
Estados estacionarios:Son los ceros de f(x). Es decir, la variedad (real no negativa) delideal I generado por f1, . . . , fs .
Enfoque clasico:
f(x) = M︸︷︷︸matriz de
coeficientes
. ψ(x)︸︷︷︸vector demonomios
Son los x tales que ψ(x) pertenece al nucleo de M.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 8 / 24
Deficiencia
f(x) = Y .L(G ).ψ(x) = Y .︷ ︸︸ ︷CG .K .ψ(x)
Deficiencia
δ = dim(ker(Y ) ∩ im(CG ))
= (#complejos)− (#clases conexas)− dim(S)
δD = dim(ker(Y ) ∩ im(L(G )))
δD ≤ δ
ker(L(G )) = 〈ρ1, . . . , ρt〉
ρ1 ρ2 ρ3
↓ ↓ ↓
0 0 0. . . . . . . . .0 0 0∗ 0 00 ∗ 00 0 ∗
(Matrix-tree Theorem)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 9 / 24
Deficiencia
f(x) = Y .L(G ).ψ(x) = Y .CG︸ ︷︷ ︸ .K .ψ(x)
Deficiencia
δ = dim(ker(Y ) ∩ im(CG ))
= (#complejos)− (#clases conexas)− dim(S)
δD = dim(ker(Y ) ∩ im(L(G )))
δD ≤ δ
ker(L(G )) = 〈ρ1, . . . , ρt〉
ρ1 ρ2 ρ3
↓ ↓ ↓
0 0 0. . . . . . . . .0 0 0∗ 0 00 ∗ 00 0 ∗
(Matrix-tree Theorem)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 9 / 24
Deficiencia
f(x) = Y .L(G )︸ ︷︷ ︸ .ψ(x) = Y .CG .K .ψ(x)
Deficiencia
δ = dim(ker(Y ) ∩ im(CG ))
= (#complejos)− (#clases conexas)− dim(S)
δD = dim(ker(Y ) ∩ im(L(G )))
δD ≤ δ
ker(L(G )) = 〈ρ1, . . . , ρt〉
ρ1 ρ2 ρ3
↓ ↓ ↓
0 0 0. . . . . . . . .0 0 0∗ 0 00 ∗ 00 0 ∗
(Matrix-tree Theorem)
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 9 / 24
Resultado de Shinar-Feinberg (Science 2010)
TeoremaSea un sistema de cinetica de accion de masas que admite unequilibrio positivo, y supongamos que la deficiencia de la red dereacciones subyacente es uno. Si, en la red, hay dos nodos noterminales que difieren solo en la especie s, entonces el sistematiene “absolute concentration robustness” en la especie s.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 10 / 24
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
Una “base” del nucleo de Y .L(G ):
∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 00 ∗ 0 00 0 ∗ 00 0 0 ∗
.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 11 / 24
Xk1
�k−1
XTk2→ Xp
Xp + Yk3
�k−3
XpYk4→ X + Yp
XT + Yp
k5
�k−5
XTYpk6→ XT + Y
Una “base” del nucleo de Y .L(G ):
B11 0 0 0B21 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 0∗ 0 0 00 ∗ 0 00 0 ∗ 00 0 0 ∗
.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 11 / 24
x1
x1x2
= λ
B11
B21
←→ det
x1 B11
x1x2 B21
= B21x1 − B11x1x2 = 0
←→ ��x1x2
��x1=
B21
B11.
x2 = constante
“Absolute Concentration Robustness”
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 12 / 24
x1
x1x2
= λ
B11
B21
←→ det
x1 B11
x1x2 B21
= B21x1 − B11x1x2 = 0
←→ x1x2
x1=
B21
B11.
x2 = constante
“Absolute Concentration Robustness”
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 12 / 24
x1
x1x2
= λ
B11
B21
←→ det
x1 B11
x1x2 B21
= B21x1 − B11x1x2 = 0
←→ ��x1x2
��x1=
B21
B11.
x2 = constante
“Absolute Concentration Robustness”
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 12 / 24
ContribucionesComplex-linear invariants of biochemical networks, con R. Karp,
T. Dasgupta, A. Dickenstein y J. Gunawardena. J. Theor. Biol., 311, pp.
130–138 (2012).
Rn Rn
Rs Rs
L(G)
Y ψ
f
( M ) ×(
B
)= ( 0 )
s × n n × d s × d
las columnas de B formanuna base de ker(M)
B =
(B ′
∗
)rango(B ′) = `
n × d
m × d(
B ′ 0
∗ ∗
)m × `op. elementales
por col.
m×(`+1) ψ(x)m B ′
rango=`
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 13 / 24
ContribucionesChemical reaction systems with toric steady states, con A. Dickenstein,
A. Shiu y C. Conradi. B. Math. Biol., 74:5, pp. 1027–1065 (2012).
I Damos condiciones suficientes para que un sistema tenga unideal de estados estacionarios binomial.
I Tambien analizamos la capacidad de multiestacionariedad.
I Nuestro principal ejemplo es la red de fosforilaciones ydefosforilaciones secuenciales:
S0 + Ek1
�k−1
ES0k2→ S1 + E
k3
�k−3
ES1k4→ S2 + E
S2 + Fh1
�h−1
FS2h2→ S1 + F
h3
�h−3
FS1h4→ S0 + F
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 14 / 24
ContribucionesMAPK’s networks and their capacity for multistationarity due to toric
steady states, con A. G. Turjanski. arXiv:1403.6702 (2014).
Aplicamos el resultado anterior a las cascadas de senalizacion deMAPK.
RAF pRAF
RAFPH
RAS
MEK pMEK
PH
pRAF
ppMEK
PH
pRAF
ERK pERK
PH
ppMEK
ppERK
PH
ppMEK
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 15 / 24
ContribucionesEnzymatic networks and toric steady states, con A. Dickenstein. (En
preparacion.)Buscamos un metodo grafico para determinar si una red tieneestados estacionarios toricos:
S0 + Ek1
�k−1
ES0k2→ S1 + E // S1 + F
h1
�h−1
FS1h2→ S0 + F
GT :
∗k1.[S0].[E ]
�k−1+k2
ES0
∗h1.[S1].[F ]
�h−1+h2
FS1
I (debilmente) reversibles X
I unico camino del correspondiente ∗ acada intermedio X
GS :
S1S0
I bosque X
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 16 / 24
Contribuciones
Implicit dose-response curves, con A. Dickenstein. J. Math. Biol. (2014).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
50
100
150
200
250
300
350
400
450
c
x1
{(c , x1) ∈ R2>0/p(c , x1) = 0} simulacion con MATLAB
(dimI = 1⇒ ∃ p(c , x1) ∈ I )
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ContribucionesImplicit dose-response curves, con A. Dickenstein. J. Math. Biol. (2014).
Distiguimos los ceros de
Res4,3
(p,∂p
∂c, c
)M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 17 / 24
ContribucionesHow far is complex balancing from detailed balancing?, con A.
Dickenstein. B. Math. Biol., 73:4, pp. 811–828 (2011).
Variedades algebraicas en Rr>0:
FBY = {k = (kij) : el sistema es
formalmente balanceado}
DBY = {k = (kij) : el sistema
es “detailed balanced”}
(Por [Feinberg ’89].)
CBY = {k = (kij) : el sistema
es “complex balanced”}
(Por [Craciun, Dickenstein, Shiu,
Sturmfels ’08], llamada el espacio de
moduli de sistemas dinamicos toricos.)
k12
k21
k14k41
k43
k34
k32 k23
CB
FB
DB
DB
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ContribucionesHow far is complex balancing from detailed balancing?, con A.
Dickenstein. B. Math. Biol., 73:4, pp. 811–828 (2011).
Variedades algebraicas en Rr>0:
FBY = {k = (kij) : el sistema es
formalmente balanceado}
DBY = {k = (kij) : el sistema
es “detailed balanced”}
(Por [Feinberg ’89].)
CBY = {k = (kij) : el sistema
es “complex balanced”}
(Por [Craciun, Dickenstein, Shiu,
Sturmfels ’08], llamada el espacio de
moduli de sistemas dinamicos toricos.)
k12
k21
k14k41
k43
k34
k32 k23
CB
FB
DB
DB
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ContribucionesHow far is complex balancing from detailed balancing?, con A.
Dickenstein. B. Math. Biol., 73:4, pp. 811–828 (2011).
Variedades algebraicas en Rr>0:
FBY = {k = (kij) : el sistema es
formalmente balanceado}
DBY = {k = (kij) : el sistema
es “detailed balanced”}
(Por [Feinberg ’89].)
CBY = {k = (kij) : el sistema
es “complex balanced”}
(Por [Craciun, Dickenstein, Shiu,
Sturmfels ’08], llamada el espacio de
moduli de sistemas dinamicos toricos.)
k12
k21
k14k41
k43
k34
k32 k23
CB
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DB
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ContribucionesHow far is complex balancing from detailed balancing?, con A.
Dickenstein. B. Math. Biol., 73:4, pp. 811–828 (2011).
Variedades algebraicas en Rr>0:
FBY = {k = (kij) : el sistema es
formalmente balanceado}
DBY = {k = (kij) : el sistema
es “detailed balanced”}
(Por [Feinberg ’89].)
CBY = {k = (kij) : el sistema
es “complex balanced”}
(Por [Craciun, Dickenstein, Shiu,
Sturmfels ’08], llamada el espacio de
moduli de sistemas dinamicos toricos.)
k12
k21
k14k41
k43
k34
k32 k23
CB FB
DB
DB
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Algunos avances matematicos
http://reaction-networks.net
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Algunos avances matematicos
I David F. Andersonpalabras clave: Markov chain, quasi-stationary distributions,
stochastic analysis,etc.
I Badal Joship.c.: stochastic switching, noise in bistable systems, neuronal
networks, synchronized oscillations, etc.
I Gheorghe Craciunp.c.: global attractor conjecture, power-law systems, algebraic
statistical model, polyhedral geometry, dimension reduction,etc.
I Matthew Johnstonp.c.: Markov chain, absolute concentration robustness, deficiency,
weak reversibility, linear programming, dynamical equivalence, etc.
I Gilles Gnacadjap.c.: probability, A. I. Vol’pert’s Theorem, futile cascaded
enzymatic network, etc.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 20 / 24
Algunos avances matematicos
I Manoj Gopalkrishnanp.c.: combinatorial geometry of reaction diagrams, Birch’s theorem,persistence, global attractor conjecture, etc.
A geometric approach to the Global Attractor Conjecture, with Ezra
Miller and Anne Shiu. (2013)
I Anne Shiup.c.: monomial parametrization, monotone systems, Descartes’ ruleof signs, oriented matroid, etc.
Sign conditions for injectivity of generalized polynomial maps with
applications to chemical reaction networks and real algebraic
geometry, with S. Muller, E. Feliu, G. Regensburger, C. Conradi,
and A. Dickenstein. Submitted.
I Elisenda Feliup.c.: explicit analytical expressions, numerical simulations,
power-law kinetics, stability, etc.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 21 / 24
Algunos avances matematicos
I Jeremy Gunawardenap.c.: Perturbation methods, algebraic elimination, linear framework,
Matrix-Tree Theorem, quasi-steady state assumption, time-scale
separation, etc.
I Eduardo Sontagp.c.: Neumann eigenvalues of elliptic operators, Turing instabilities,diffusion, partial differential equations, synchronization, small-gaintheorem, monotone systems, etc.
Quantifying the effect of interconnections on the steady states of
biomolecular networks. In Proc. IEEE Conf. Decision and Control, Los
Angeles, Dec. 2014, 2014. Note: Submitted, under review.
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 22 / 24
Algunas revistas
I Journal of Mathematical Biology
I Journal of Theoretical Biology
I SIAM Journal on Applied Mathematics
I Advances in Applied Mathematics
I Journal of the Royal Society Interface
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 23 / 24
¿Y usted?
¡Gracias por su atencion!
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 24 / 24
¿Y usted?
¡Gracias por su atencion!
M. Perez Millan (UBA) Algebra y redes de reacciones quımicas ElENA VII, 7 de agosto de 2014 24 / 24