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Title1 Lógica y Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introducción 3 1.1.1 Propósito de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 El lenguaje de la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Las proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Representación de las proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.6 Recíproca, inversa y contrarecíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.7 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.8 Implicación y Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo 11 1.2.1 Proceso deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Evaluacion de argumentos mediante tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Deducción natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Tres principios lógicos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.6 Las leyes de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.7 Métodos de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.8 Demostración Indirecta: Reducción al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.9 Regla P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.10 Método de Invalidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.11 Término - predicado - Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Cuantificadores 25 1.3.1 Proposiciones abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Cuantificador Universal ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Cuantificador Existencial ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.4 Conjunto de Validez o de Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.5 Doble cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.6 Negación de cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Circuitos lógicos 29 1.4.1 Tablas de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.2 Simplificación de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.3 Redes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 Lógica de predicados 39
1.6 Teoría de Conjuntos 47 1.6.1 Operatoria con Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6.2 El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.6.3 ¡Mira lo que me encontré! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.6.4 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.6.5 Familia - Partición - Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.7 Producto cartesiano 58 1.7.1 Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.8 Problemas Resueltos 62 1.8.1 Ejercicios de lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.9 Problemas Propuestos 80
2.1 Introducción 87
2.2 Relaciones 88 2.2.1 Operaciones con Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2.2 Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2.3 Congruencia Módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.3 Relaciones de orden 98
2.4 Función 102 2.4.1 Cálculo de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.4.2 Cálculo de la preimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.4.3 Conjuntos Equipotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5 Estructuras 110
2.7 Homomorfismos 116 2.7.1 Propiedades del homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.7.2 Propiedades del Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.8 Estructuras Algebraicas 121 2.8.1 Estructura de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.8.2 Propiedades de un Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.8.3 Subgrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.8.4 Grupo Simétrico y Alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.8.5 Permutaciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.8.6 Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.9 Estructura de Anillo 133 2.9.1 Propiedades de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.9.2 Divisores de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.9.3 Subanillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.9.4 Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.9.5 Algebra de Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.10 Estructura de Cuerpo 141 2.10.1 Propiedades de un Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2.10.2 Subcuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.11 Conjuntos Numéricos 145
2.12 Los Números Naturales 146 2.12.1 Adición en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.12.2 Multiplicación en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.12.3 Orden en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.13 Números Enteros 152 2.13.1 Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.13.2 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.13.3 Sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.13.4 Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.13.5 Propiedades de los enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.14 Números Racionales 160 2.14.1 Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2.14.2 Adición de cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.15 Números Complejos 171 2.15.1 El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2.15.2 División de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2.15.3 Forma polar de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.15.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2.15.5 Forma polar de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.15.6 Multiplicación de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.15.7 División de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.15.8 Potencias de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.15.9 Raíces de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 2.15.10 Forma exponencial de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.16 Problemas Propuestos 181
3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.1 Introducción 193 3.2 Polinomio con una indeterminada 193 3.2.1 Anillo de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 3.2.2 La función polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.3 Polinomios sobre un Campo 197 3.3.1 Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.3.2 Cálculo del MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.4 Factorizaciones y Ceros 201 3.4.1 Raíces Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5 Cotas para ceros 208 3.5.1 Método de los Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.5.2 Método de las Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 3.5.3 Método de la División Sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 3.5.4 Método de determinación de ceros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3.5.5 Localización de los ceros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3.5.6 Interpolación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.5.7 Relaciones entre las raíces y los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.6 Fracciones Racionales 218 3.7 Problemas Propuestos 221
4 El conjunto de números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.1 Introducción 225 4.1.1 Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4.1.2 Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4.1.3 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4.1.4 Números Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.2 El conjunto de números Reales 228 4.3 Axiomática de los números reales 229 4.3.1 Axiomas de cuerpo y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.3.2 Consecuencias de los axiomas de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 4.3.3 Ecuaciones de primer grado de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.3.4 Regla de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.3.5 Historia del cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.4 Las Fracciones 238 4.4.1 Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.2 Reducción de fracciones a común denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.4.3 Suma de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.4.4 Multiplicación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.4.5 División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 4.4.6 La división como resta repetida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.4.7 Uso del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.4.8 Jerarquía de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.4.9 Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.4.10 Propiedades de las potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.4.11 Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4.4.12 Racionalización de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4.4.13 Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.4.14 Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.5 Polinomios 252 4.5.1 Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.5.2 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.5.3 Cociente de dos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 4.5.4 Regla de Ruffini o división sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.5.5 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.5.6 Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.5.7 La Ecuación Cuadrática General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 4.5.8 Completación de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 4.5.9 Teorema del resto y del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.6 Fracciones algebraicas 266 4.6.1 Suma de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 4.6.2 Producto de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.6.3 División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.6.4 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 4.6.5 Ecuaciones lineales con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 4.6.6 Ecuación de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 4.6.7 Ecuaciones bicuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 4.6.8 Ecuaciones de grado mayor o igual que tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 4.6.9 Ecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.6.10 Ecuación Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.7 Logaritmación 272 4.7.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.8 Axiomas de orden 277 4.8.1 Módulo o Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 4.8.2 Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 4.8.3 Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
4.9 Axioma de Completitud 288 4.9.1 La propiedad arquimediana y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 4.9.2 Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.9.3 Factorial de un número natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 4.9.4 El Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4.10 Topología de la recta real 304 4.11 El sistema ampliado de los reales 308 4.12 Problemas Propuestos 309
5 Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.1 Introducción 317 5.1.1 Representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.2 Funciones Reales 323 5.2.1 Determinación del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 5.2.2 Recorrido de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 5.2.3 Funciones Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 5.2.4 Funciones Acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.3 Tipos de funciones 330 5.3.1 Función Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 5.3.2 Función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 5.3.3 Funciones biunívocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 5.3.4 Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 5.3.5 Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 5.3.6 La máquina de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 5.3.7 Modelos Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 5.3.8 Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5.3.9 Funciones Exponencial y Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 5.3.10 Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 5.3.11 Modelos exponenciales y logarítmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 5.3.12 Interés Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 5.3.13 Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.4 Transformaciones 368
6 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1 Introducción 377 6.1.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 6.1.2 Medida del ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 6.1.3 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 6.1.4 Circunferencia Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 6.1.5 Comportamiento del seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 6.1.6 Las restantes funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 6.1.7 Signo de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.1.8 primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.1.9 Razones de ángulos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 6.1.10 Funciones de ángulos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 6.1.11 Reducción de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.1.12 Ángulos de 90 y 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.1.13 Ángulos mayores de 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1.14 Ángulos determinados por los semiejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 6.1.15 Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . 395 6.1.16 Razones trigonométricas del ángulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 6.1.17 Razones trigonométricas del ángulo mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 6.1.18 Transformaciones de sumas de razones trigonométricas en productos . . . . . . . . 397
6.2 Identidades trigonométricas 398 6.2.1 Identidades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 6.2.2 Gráfica de y = A · sen[ω(x−α)]+C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 6.2.3 Gráfica de y = A · cos[ω(x−α)]+C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.2.4 Gráfica de tangente y cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 6.2.5 Gráfica de secante y cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 6.2.6 Funciones trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 6.2.7 Función arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 6.2.8 Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 6.2.9 Ley del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 6.2.10 Ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.3 Problemas resueltos 417 6.4 Problemas propuestos 427
7 Geometría Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
7.1 Introducción 429 7.2 Distancia entre dos puntos 430 7.2.1 Punto de división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.3 Ecuaciones y Lugares Geométricos 433 7.4 La recta 435 7.4.1 Relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.5 Ecuaciones de la recta 437 7.5.1 Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 7.5.2 Ecuación normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.6 Distancia de un punto a una recta 442 7.6.1 Familias de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.7 Las cónicas 444 7.7.1 Gráfica de la ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 7.7.2 La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7.7.3 La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 7.7.4 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7.7.5 Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 7.7.6 La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 7.7.7 Ecuación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 7.7.8 Asíntotas de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 7.7.9 Hipérbola equilátera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
7.8 Transformación de coordenadas 468 7.9 Problemas Propuestos 470 7.9.1 Problemas varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
8 Límite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
8.1 Introducción 481 8.1.1 Caminando hacia el limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
8.1.2 La máscara del límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 8.1.3 Límites laterales en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 8.1.4 Calculando Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
8.2 Límites notables 493
(1+ x)1/x = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
senx x
= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
8.3 Infinitésimo en un punto 497
8.4 Límites infinitos en un punto 499 8.4.1 Límites con variable al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 8.4.2 Un notable con dos caras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.4.3 Límite de la función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
8.5 Continuidad 508 8.5.1 Continuidad Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
8.6 Discontinuidad 510 8.6.1 Álgebra de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 8.6.2 Continuidad en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
8.7 Problemas resueltos 518
8.8 Problemas propuestos 530
9 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
9.1 Introducción 539 9.1.1 Tasa de Variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 9.1.2 Tasa de variación media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 9.1.3 Tasa de variación instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 9.1.4 Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 9.1.5 Velocidad promedio y Velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 9.1.6 velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
9.2 Derivada de una función en un punto 546
9.3 Algebra de derivadas 550 9.3.1 Derivada de funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.3.2 Derivada de función elevada a función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 9.3.3 Derivadas trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 9.3.4 Derivada de funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 9.3.5 Derivada de funciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 9.3.6 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 9.3.7 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 9.3.8 Continuidad y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.3.9 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 9.3.10 Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 9.3.11 Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
9.4 Máximos y mínimos 572 9.4.1 Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 9.4.2 Concavidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 9.4.3 Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
9.5 Reglas de L ’Hopital 575 9.5.1 Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
9.6 Problemas resueltos 579 9.7 Problemas Propuestos 605 9.7.1 Continuidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 9.7.2 Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 9.7.3 Bolzano, Rolle y TVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 9.7.4 Máximos, mínimos y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 9.7.5 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 9.7.6 Reglas de L’H o pital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 9.7.7 Problemas de economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
I
Introducción
Existen muchas y variadas razones por las cuales se escribe un libro. Algunos personajes ilustres escriben sus “memorias” cuando se encuentran próximos o de frentón en sus “cuarteles de invierno”, este no era el caso en la edición anterior. Otros hacen “ciencia ficción” contando sus sueños y fantasías, que a veces se transforman en realidad, recordar a Julio Verne y Leonardo Da Vinci. Hay quienes escriben poesía o novelas llegando a obtener el premio Nobel, entre estos se encuentran nuestros dos grandes Pablo y Gabriela.
Las bases de estas notas se remontan al año 83, fecha en la que, con tecnología de esa época, en una máquina de escribir OLIMPIA, de las mecánicas, ven la luz unos modestos apuntes de Algebra y separadamente, unos de Introducción al Cálculo. El año 2000 fue la última actualización, la número 7. Se utilizó LATEX, una verdadera imprenta, tiene de todo para editar un libro.
Ha pasado mucho tiempo sin nuevas ediciones, hoy hace su aparición, solo para la WEB, la última y versión final de ALGEBRA + CÁLCULO, se han renovado contenidos, se han agregado nuevos ejemplos y ejercicios, se ha tratado de incluir, en algunos temas, un aporte didáctico.
Este texto cubre ciertos temas propios del Álgebra y del Cálculo que se estudian en los cursos de primer año de Universidad. Los temas tratados son:
Lógica Matemática, base del razonamiento matemático. Teoría de Conjuntos, el lenguaje a través del cual se expresa la matemática. Relaciones, el medio mediante el cual se estudian propiedades entre los elementos de un conjunto, y de la cual se extrae el concepto de función, fuente inagotable de desarrollo del cálculo infinitesimal. Topología, el lenguaje a través del cual se expresan los conceptos del cálculo. En este contexto, el concepto fundamental del cálculo es el de límite de funciones, que está conectado al de continuidad y al de derivada.
Un poco en serio y un poco en broma se ha dicho que el cálculo infinitesimal es una “máquina de límites”. Cuando es una broma, resulta algo como lo siguiente
lm x→8
1 x−8
= ∞ =⇒ lm x→5
1 x−5
= 5
Los tópicos de Algebra tienen la siguiente secuencia: Lógica y Conjuntos, Relaciones, Estructuras y Complejos, Polinomios Por supuesto que, el complemento constituye los contenidos de Cálculo. Se estudian; El Conjunto de los Números reales, Funciones Reales, Geometría Analítica, Límite y Continuidad de Funciones, Derivadas y sus aplicaciones.
El autor espera que este texto sea un aporte al proceso de enseñanza - aprendizaje, en tanto, sea de utilidad a los alumnos a la hora de estudiar y preparar certámenes y, quizás, un aporte a mis colegas,
II
desde el punto de vista de los ejemplos y ejercicios desarrollados y de la metodología empleada. Se aceptarán ideas y sugerencias que permitan transformar lo regular en bueno y lo bueno en excelente. Los errores que sin duda están esperando ser encontrados, pueden ser dados a conocer en forma reservada y sin publicidad al correo electrónico1
Un consejo para que lo tengas en cuenta. Si quieres aprender matemática debes estudiar con ahínco, debes preguntar a tu profesor las dudas, no te quedes con ellas, estamos para ayudarte; haz uso del horario de consulta de tu profesor, es tu obligación aprovecharlas, asiste a clases aunque tengas “chipe libre”. Las clases de ejercicios son vitales, pon de tu parte para que resulten entretenidas. Insiste en ver tus pruebas, es un derecho que tienes y una obligación del profesor. Aprovecha al máximo la Biblioteca y la Clínica de Matemática que te atiende sin costo. Si sigues estos consejos básicos, de seguro que ya tienes un azul al final del curso.
Se agradece a los colegas del departamento por sus aportes para mejorar el texto y haberlo utilizado como herramienta de consulta, a los estudiantes por sus observaciones. Se aprecia y valora de forma muy especial, a la profesora Judith A. Vergara C. quien tuvo la buena voluntad y disposición de revisar los borradores de estas notas, realizar interesantes correcciones y formular atinadas sugerencias que han ayudado a mejorar sustancialmente los contenidos. Se agradece también al Departamento de Matemática de la Universidad de La Frontera por las facilidades otorgadas para la digitación de este texto.
Te invito a que me des a conocer tu impresión de este libro al correo electrónico pedro.valenzuela@ ufrontera.cl. No dudes en escribir, tendrás respuestas.
¡ Que tengas suerte !
1.1 Introducción
Figura 1.1
El fútbol, el tenis y el basketball son juegos emocionantes, pero para jugarlos se tiene primero que aprender algunas reglas del juego. Las matemáticas no son diferentes. Se considera a las matemáticas como el lenguaje de la ciencia ya que es el medio indispensable con el que la ciencia se expresa, se formula y se comunica, especificando y clarificando rigurosamente las leyes y conceptos de la misma. El lenguaje nos proporciona las herramientas mentales, la habilidad para dar razones de lo que sabemos. En la experiencia diaria, esperamos que las personas tengan razones para lo que dicen o hacen; es decir buscamos un principio de racionalidad, una lógica. Lo que parece una buena razón, puede variar de acuerdo con las circunstancias y costumbres.
La lógica en cambio, busca tipos particulares de demostraciones racionales que fundamenten las conclusiones y respalden nuestra ciencia y conocimiento en general
Estrictamente hablando, un lenguaje es un medio verbalizado de comuni- cación que le permiten a una persona compartir un pensamiento a otra. Aún así, entre más compleja sea la idea que se quiera compartir, más difícil se convierte el lenguaje. Por ejemplo, explicar verbalmente el por qué la suma del cuadrado de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de su hipotenusa necesita un párrafo largo y tedioso. Y esto es un ejemplo bastante simple, el querer explicar alguna cosa más complicada podría llegar a ser casi imposible, usando solamente palabras. Aquí es en donde entran los símbolos matemáticos, ellos comprimen la información de una manera que ningún otro “lenguaje” podría hacerlo. Observa la imagen en la figura 1.2 y dime si no es sencillo explicar el teorema de Pitágoras.
Figura 1.2
2 Capítulo 1. Lógica y Conjuntos
Actividad 1 Vamos a empezar con una actividad sencilla en donde interpretas y haces uso del lenguaje de símbolos: “Alexis dijo “tengo 24 años y los escribió así”:
Figura 1.3
Actividad 2 Una de las competencias lógicas interesantes a desarrollar es la de seguir una secuencia ordenada de instrucciones que implican un proceso lógico. Observa el laberinto en la figura 1.4 y determina cuál de las siguientes combinaciones de instrucciones permite ubicar el objeto circular en el punto de llegada del laberinto:
Figura 1.4
1. Moverse 3 cuadros a la izquierda, y moverse 3 cuadros hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda, luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros hacia la derecha.
2. Moverse 4 cuadros a la izquierda, y moverse 3 cuadros hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda, luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros hacia la derecha.
3. Moverse 3 cuadros a la izquierda, o moverse 3 cuadros hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda, luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros hacia la derecha.
4. Moverse 4 cuadros a la izquierda, o moverse 3 cuadros hacia abajo, en seguida moverse un cuadro a la izquierda, luego un cuadro hacia abajo, y finalmente 4 cuadros hacia la derecha.
1.1.1 Propósito de la lógica
La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en los razonamientos.
La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función primordial eliminar las ambiguedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.
La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación simbólica como en su significado para luego establecer un lenguaje simbólico artificial, que le permita simplificar argumentos lógicos complicados; de esta manera, el símbolo permite concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento.
1.1 Introducción 3
1.1.2 El lenguaje de la Lógica Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los primeros como el Inglés o el Castellano; tienen su origen y desarrollo natural, es decir, sin el control de ninguna teoría. Las teorías de lenguajes naturales y las gramáticas, fueron establecidas después que el lenguaje había ya madurado. Por otro lado, los lenguajes formales como la matemática y la lógica, fueron desarrollados, por lo general, a través del establecimiento de una teoría, la cual le da las bases para dichos lenguajes. El principal objetivo de esta unidad es traducir del lenguaje natural a un lenguaje formal particular llamado el lenguaje de la lógica y de esta forma poder manejar y procesar ciertos tipos de razonamientos.
Las siguientes actividades tienen por finalidad activar tus conocimientos previos y descubrir tus procesos de razonamiento.
Actividad 3 El tío de Héctor está construyendo una reja de madera de 3 metros de alto. El quiere colocar un soporte diagonal entre los postes que están a 4 metros de separación cada uno (figura 1.5). ¿Cuánto mide el soporte diagonal?
Figura 1.5
10 25 5 7
Actividad 4 (1) ¿Cuántos animales tengo en mi casa, si todos son perros, menos dos; todos son gatos, menos dos,
y todos son caballos, menos dos? (2) Dos aviones cubrieron la distancia que separa a Temuco y La Serena. Uno lo hizo en una hora y
20 minutos, y el otro en 80 minutos. ¿Cuál de ellos llegó primero? ¿alguna discusión?
1.1.3 Las proposiciones
Figura 1.6
Dado que el lenguaje de la Lógica es preciso y no acepta ambigüedades en las oraciones, las oraciones especiales que ella emplea son llamadas proposiciones.
Definición 1.1.1 Una proposición es una oración verdadera o falsa en forma excluyente.
La proposición puede ser verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, el valor de verdad de una proposición lógica es, por definición, verdadero o falso, y es representado por las letras V o F .
Actividad 5 Entre las siguientes oraciones decidir cuales son proposiciones y determinar su valor de verdad, verdadero (V ) o Falso (F)
1. Carlos estudia 2. Juan estudia matemática 3. La luz está encendida
4. Chile es lindo 5. ¡Ándate! 6. Hasta pronto
7. ¡HOLA! 8. Adiós 9. ¿Cómo estás?
1.1.4 Representación de las proposiciones La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del lenguaje cotidiano con un significado mucho más limitado; en tales condiciones, se puede considerar una proposición como una excepción lingüística que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, · · · las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Así, también se logra simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados, creando un lenguaje simbólico artificial, en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente o natural.
Ejemplo 1.1.2 Uso de letras minúsculas para denotar una proposición:
p : Hoy es sábado q : x2 = 4 r : Vivo en Temuco
1.1.5 Conectivos En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes:
Ejemplo 1.1.3 1. “Las rosas son rojas y tienen espinas” 2. “La selección gana o pierde” 3. “La Universidad no es gratís” 4. “Si estudio matemática, entonces apruebo” 5. “Un número es par si y sólo si es divisible por 2”
Para la formación de las oraciones de este ejemplo se utilizaron las expresiones: y, o, no, si · · · entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados; denominamos a éstas partículas o términos de enlace “conectivos”. Estos conectivos sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición compuesta. Además · · ·
Los conectivos NO forman parte de ninguna proposición
Figura 1.7: demonio de Tasmania
1.1 Introducción 5
Nombre del conectivo Representación Sinónimos Ejemplo negación ¬p no p
p es falso p ∼ p tampoco p
sin p jamás p nunca p
no es cierto p No llueve conjunción p∧q p y q
p pero q p sin embargo q p no obstante q
p aunque q p aun cuando q
p sino q p a pesar de q llueve y es de noche
disyunción p∨q 0 p o q o ambos al menos p o q
como mínimo p o q estudio o voy al cine condicional p−→ q si p entonces q
(implicación) q si p p solo si q q cuando p
q es necesario para p para p es necesario q p es suficiente para q para q es suficiente p no p a menos que q si ceno,
entonces estudio bicondicional p←→ q p es necesario y suficiente para q
p cuando y solo cuando q (equivalencia) p si y solo si q estudio si y solo si
estoy despierto
En el caso del condicional p−→ q, p recibe el nombre de antecedente y q consecuente. Por ejemplo, en “Si como mucho, entonces engordo”, como mucho es el antecedente y engordo es el consecuente.
Actividad 6 Simboliza cada expresión siguiente:
Luis estudia, además de trabajar. Luis canta, sin embargo no baila. Luis jugó fútbol aunque estaba lesionado. Luis juega fútbol, también José.
Luis salió, aún no llega. Luis cocina a la vez que canta. Luis viajará no obstante esté enfermo. Luis canta, no baila.
Actividad 7 Con las proposiciones simples “p = viajo a Puerto Montt”, “q = estoy contento” redactar y simbolizar 3 proposiciones compuestas usando un conectivo diferente cada vez.
1.1.6 Recíproca, inversa y contrarecíproca Dada la proposición condicional p−→ q, su recíproca es la proposición, también condicional, q−→ p. Por ejemplo, la recíproca de
“Si Juana va a la playa, entonces se baña” es “ Si Juana se baña, entonces va a la playa”.
Dada la proposición condicional p −→ q, su inversa es la proposición, también condicional, ¬p−→¬q. Por ejemplo, la inversa de la proposición “Si Juan estudia Fundamentos, entonces es buen estudiante” es
“Si Juan no estudia Fundamentos, entonces no es buen estudiante”.
Dada la proposición condicional p−→ q, su contrarrecíproca es la proposición, también condicional, ¬q−→¬p. Por ejemplo, la contrarrecíproca de la proposición “Si Juan estudia Fundamentos, entonces es buen estudiante” es
“Si Juan no es buen estudiante, entonces no estudia Fundamentos”.
Actividad 8 Escribir la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de cada afirmación: 1. Si llueve, no voy. 2. Me quedaré, sólo si tú te vas. 3. Si tienes mil pesos, entonces puedes comprar un helado. 4. No puedo completar la respuesta si no me ayudas.
1.1.7 Tablas de verdad Las tablas de verdad sirven para trabajar con proposiciones compuestas, y enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, · · · , pn que la componen.
Actividad 9 El circuito de la figura 1.8 muestra un acueducto. Si abrir es 1 y cerrar es 0, entonces con 1 sale agua y con 0 no sale. Completa la tabla de acuerdo a la figura.
Figura 1.8
grifo p grifo q grifo r ¿sale? 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Este es el punto en el cual se empiezan a establecer las leyes de la Lógica. Por ejemplo, para una proposición p, ella admite solo dos valores de verdad, verdadero o falso. Para dos proposiciones p y q, puede darse, solamente, que ambas sean verdaderas, ambas falsas, o bien una de ellas verdadera y la otra falsa. Si son tres entonces las posibilidades son ocho. La tabla siguiente muestra lo que se ha dicho.
1.1 Introducción 7
p V F
p q V V V F F V F F
p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
En general, para n proposiciones p1, p2, · · · pn, su tabla de valores está compuesta de 2n combinaciones posibles de valores de verdad de estas proposiciones.
Las reglas prácticas de operación de cada conectivo lógico, y su tabla de verdad. 1.- La conjunción de dos proposiciones p y q es verdadera si y sólo si, ambas proposiciones son
verdaderas. 2.- La Disyunción de dos proposiciones p y q es verdadera si y sólo si, al menos una de las proposi-
ciones es verdadera. 3.- La negación de una proposición verdadera p es falsa y viceversa. 4.- La Condicional de dos proposiciones p y q es falsa únicamente si el antecedente p es verdadero, y
el consecuente q es falso. 5.- La Bicondicional de dos proposiciones p y q es verdadera si y sólo si, ambas proposiciones son
verdaderas o bien si ambas son falsas. Las tablas de los conectivos tienen el siguiente comportamiento:
p q ¬p p∧q p∨q p−→ q p←→ q V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V
Actividad 10 Simbolizar la siguiente proposición y decidir sobre su valor de verdad “Si no se especifica el domicilio y vive en la IX región, entonces tiene pendiente su patente”
p q r ¬p ¬p∧q ¬p∧q−→ r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Si los valores de verdad de la última columna son todos V , entonces la proposición es verdadera y se denomina tautología o Teorema Lógico. Si todos los valores de la última columna son F , entonces la proposición es falsa y se llama contradicción. Si en la última columna existen valores de verdad V y F , entonces la proposición es falsa y tiene el nombre de contingencia. En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T ” a una tautología.
No obstante, algunos autores utilizan los símbolos V y F como una forma simplificada de denotar una tautología y una contradicción, respectivamente. Por ejemplo, p∨¬p =V y p∧¬p = F .
Actividad 11 Determinar si la proposición dada es Tautología, Contradicción o Contingencia.
[p∨ (q∧ r)]1↔ [(p∨q)∧ (p∨ r)]2
Los corchetes [ ]1 y [ ]2 representan las proposiciones que forman la proposición bicondicional dada.
p q r q∧ r p∨q p∨ r [ ]1 [ ]2 [ ]1↔ [ ]2
V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
En Lógica interesan las tautologías o teoremas lógicos o equivalencias. Una lista de los teoremas lógicos más importantes te será entregado para que aprendas a usarlos y a familiarizarte con ellos para usarlos en los talleres y pruebas.
1.1.8 Implicación y Equivalencia Lógica Exponemos el uso del término “implicación” (=⇒) y el de “doble implicación” o “equivalencia” (⇐⇒). Ambas expresiones serán de uso habitual a partir de este momento.
Una proposición p implica lógicamente una proposición q, que se denota p =⇒ q si y solo si p→ q es una tautología. Dos proposiciones p y q son lógicamente equivalentes, que se denota p⇐⇒ q o bien p≡ q si y solo si p←→ q es una tautología.
los lógicos prefieren adoptar el lenguaje común como el lenguaje de la lógica y leen p→ q como “p implica q”. En este caso, ellos utilizan la palabra implica como el nombre de un conectivo lógico y como el nombre de una relación paralela entre proposiciones.
Ejemplo 1.1.4 Probar la implicación lógica ¬(p∨q) =⇒¬p
Debes hacer la tabla de verdad y llegar a una tautología.
p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬(p∨q)−→¬p V V V F F V F F
Actividad 12 Probar que ¬(p∨q)⇐⇒¬p∧¬q
Esta es una de las leyes de De Morgan. Construyes la tabla y tienes una tautología.
p q p∨q
V V V F F V F F
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo 9
Actividad 13 Considera los enunciados: Juan desayuna con tostadas, y café o chocolate. Juan desayuna con tostadas y café, o con tostadas y chocolate.
Simboliza ambos enunciados y demuestra que son equivalentes mediante tablas de verdad.
Actividad 14 Completa la siguiente tabla conocida como reducción al absurdo
(p−→ q)⇐⇒ [(p∧¬q)−→C]
p q 1
V V V F F V F F
Actividad 15 Usar tablas de verdad para probar las siguientes proposiciones:
(1) ¬(p∧q)⇐⇒¬p∨¬q Ley de De Morgan (2) p∧ p⇐⇒ p Idempotencia (3) p∨ p⇐⇒ p Idempotencia (4) p∧q⇐⇒ q∧ p Conmutatividad (5) p∨q⇐⇒ q∨ p Conmutatividad (6) (p∧q)∧ r⇐⇒ p∧ (q∧ r) Asociatividad (7) (p∨q)∨ r⇐⇒ p∨ (q∨ r) Asociatividad (8) p∧ (q∨ r)⇐⇒ (p∧q)∨ (p∧ r) Distributividad (9) p∨ (q∧ r)⇐⇒ (p∨q)∧ (p∨ r) Distributividad (10) ¬(¬p)⇐⇒ p Doble negación (11) p−→ q⇐⇒ (¬p∨q) Implicación (12) [p−→ (q−→ r)]⇐⇒ [(p∧q)−→ r] Exportación (13) (p−→ q)⇐⇒ (¬q−→¬p) Contra-recíproca
1.2 Métodos Deductivo e Inductivo
Figura 1.9
Todo trabajo intelectual (investigación) requiere del uso de un método y/o procedimiento que lo conduzca al conocimiento. Para llevar a cabo científicamente una investigación se debe seguir una acción y un procedimiento metódico. Dentro de los tipos de métodos aplicados al trabajo intelectual tenemos al Método Deductivo y Método Inductivo.
1.2.1 Proceso deductivo La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico mate- mático es muy importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias. Se fundamenta en dos principios: definiciones y demostraciones.
En su desarrollo debe cumplir básicamente las siguientes condiciones: Enunciar explícitamente los términos primeros o primitivos con ayuda de los cuales se propone definir los demás términos de la teoría. Enunciar explícitamente las proposiciones primeras o primitivas, con ayuda de las cuales se propone demostrar otras proposiciones de la teoría. Estas proposiciones primeras se denominan Axiomas y relacionan entre sí los términos primitivos y las relaciones primitivas. Que las relaciones enunciadas entre los términos sean únicamente relaciones lógicas, permane- ciendo independientes del sentido concreto o interpretación que pueda darse a los términos. Que en las demostraciones solo intervengan dichas relaciones.
Por la importancia que presenta en el contexto de la matemática ampliamos algunos conceptos básicos: Conceptos primitivos. Son ideas esenciales que no admiten definición porque no se pueden reducir a otras más simples, por ejemplo punto, conjunto y elemento. Definición. Una definición es una explicación del significado de un concepto señalando o indicando el contenido del mismo, por ejemplo número primo, función y límite de una función. Axioma o postulado. Antiguamente se diferenciaba entre los dos conceptos. El axioma era un enunciado que se admitía sin demostración por considerarlo evidente, mientras que un postulado era un enunciado que se debería admitir y que era susceptible de ser demostrado. Actualmente no se distingue entre axioma o postulado por lo que la palabra postulado casi no se utiliza. Por ejemplo, “Dos puntos distintos determinan una y solo una línea recta” Teorema. Derivada del latín theorema, la palabra teorema consiste en una proposición que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante ciertas reglas de inferencia. El teorema, por lo tanto, puede ser descrito como una afirmación de importancia. Existen otras de menor rango, como ocurre con el lema (que es un resultado previo a un teorema), el corolario (que sigue de manera inmediata al teorema) o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado a ningún teorema en específico). Un teorema, visto apropiadamente, es de la forma H =⇒ T , en donde H es un conjunto de premisas que conforman la hipótesis y T es la Tesis o Conclusión.
El único instrumento que en el mundo del pensamiento opera válidamente es el proceso de deducción lógica llamado Método Deductivo, basado en los principios de la lógica adecuadamente reunidos y coordinados entre sí, y del cual, podríamos decir en otros términos:
Parte de proposiciones generales para llegar a conclusiones particulares
Proceso inductivo Es un método científico que saca conclusiones generales de algo particular.
Supongamos que una persona prueba una manzana verde y encuentra su sabor agrio, prueba una segunda y también es agria. Una tercera y cuarta manzanas le producen igual sensación. De estas observaciones individuales y por separado se puede derivar una conclusión general:
Todas las manzanas verdes son agrias.
En este ejemplo se nota, evidentemente, que en cuanto más observaciones haya, más confiables resultan las generalizaciones inductivas que puedan derivarse de ellas. Una generalización inductiva que se base en dos experiencias específicas es menos confiable que una que se base en diez o cien. Claro está, las generalizaciones inductivas nunca alcanzan una certeza absoluta, únicamente alcanzan un alto
grado de probabilidad. El defecto que padece este proceso lógico, es que siempre cabe la posibilidad de encontrarnos con una experiencia que refute la conclusión, en nuestro caso, hay la posibilidad de encontrar una manzana verde que sea dulce. A pesar de que el pensamiento inductivo no siempre nos lleva a resultados exactos, es realmente un método valioso para descubrir conclusiones posibles. Por lo tanto, inductivamente no es posible alcanzar certeza en las conclusiones.
El método inductivo implica llegar a una conclusión probable basándose en muchos casos particulares.
En resúmen: 1. La deducción es una forma de lógica que trabaja de lo general a lo específico, estableciendo
conclusiones necesarias a partir de las premisas. 2. La inducción es una forma de lógica que trabaja de lo específico a lo general, estableciendo
conclusiones “probables” a partir de las premisas.
1.2.2 Razonamientos Un razonamiento es un conjunto de premisas p1, p2, p3, · · · pn del cual se deduce una conclusión q.
Observar que una premisa es cada una de las proposiciones anteriores a la conclusión del razonamiento.
Los razonamientos pueden venir dados en forma horizontal
p1∧ p2∧ p3∧·· ·∧ pn =⇒ q
O en forma vertical p1 p2 p3
... pn
q
Las reglas de la lógica, para los razonamientos, establecen que: 1. todas las premisas p1, p2, · · · , pn son verdaderas 2. la conclusión es consecuencia de trabajar todas las premisas con los teoremas lógicos
Este proceso mencionado recibe el nombre de deducción lógica. Desde el punto de vista formal, la deducción, que es una de las herramientas matemáticas y lógicas más potentes, consiste en deducir (inferir, construir, crear) nuevas frases a partir de otras preexistentes, llamadas premisas, de tal modo que, si las premisas son todas ellas ciertas, también lo sea la frase deducida, la conclusión. Preceden a la conclusión las palabras “luego”, “por tanto”, “por consiguiente”, “en consecuencia”, etc.
Un razonamiento se dice que es válido si la conclusión Q es verdadera cada vez que todas las premisas p1, p2, · · · , pn lo sean. Se observa que esto significa que las premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será válido cuando
p1∧ p2∧·· ·∧ pn =⇒ q
Para determinar la validez de un razonamiento se pueden usar tablas de verdad, el método de deducción natural (uso de teoremas lógicos) y la asignación de valores V o F a las proposiciones.
1.2.3 Evaluacion de argumentos mediante tablas de verdad Todos los argumentos pueden convertirse en un condicional, pues, despues de todo, lo que un argumento esta afirmando es que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es, o dicho de otro modo:
p1∧ p2∧ p3 · · ·∧ pn −→ q
Es decir, un argumento es, en realidad, un condicional en el que el antecedente es la conjunción de todas las premisas pi y el consecuente q es la conclusión. Como sabemos, la tabla de verdad del condicional nos dice que este solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, y verdadero en el resto de casos. Esto coincide completamente con la definición de argumento válido, según la cual, un argumento será válido exactamente en los mismos casos en que el condicional que le corresponde lo sea. Como un condicional no puede ser verdadero si el antecedente es verdadero y el consecuente falso, un argumento no podrá ser válido si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa.
Ejemplo 1.2.1 Premisa 1 Si estudio, entonces aprobaré
Premisa 2 no he estudiado Conclusión no aprobaré
Lo primero que debemos hacer para evaluar o decidir si el argumento es válido o no, es formalizarlo: (1) p→ q
(2) ¬p ¬q
Para usar tabla de verdad tenemos que convertir el argumento en un condicional. Para ello, el antecedente del condicional estará formado por la conjunción de todas las premisas, y el consecuente por la conclusión, de modo que obtenemos lo siguiente:
[(p−→ q)∧¬p]−→¬q
p q ¬p ¬q p−→ q
1 (p−→ q)∧¬p 1−→¬q
V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V
Como vemos, la tabla de verdad nos revela que el condicional analizado es una contingencia, lo que significa que puede ser verdadero o no, es decir, que es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. Por lo tanto el argumento correspondiente no es válido.
Actividad 16 Usa tablas de verdad para estudiar si el razonamiento es válido:
1. Premisa 1: Si Alicia llega tarde a casa, será castigada
2. Premisa 2: Alicia ha llegado tarde a casa 3. Conclusión: Alicia será castigada
Actividad 17 Simboliza el siguiente razonamiento en forma horizontal. Determina usando tablas de verdad si la conclusión te parece correcta.
1. Si una persona lee el Austral, entonces está bien informada. 2. Juan está bien informado. 3. Conclusión: Juan lee el Austral.
Actividad 18 Simboliza el siguiente razonamiento en forma horizontal. Dime si logras alguna conclu- sión. Verifica usando tablas de verdad
1. Si recibo un cheque por $ 500.000, entonces voy de vacaciones. 2. Si el auto se descompone, entonces no voy de vacaciones. 3. El auto se descompone.
R El método de las tablas de verdad tiene dos características de gran importancia teórica. Una de ellas es que el procedimiento es finito (naturalmente esto es suponiendo que el conjunto de oraciones involucrado es finito.) La otra es que es un procedimiento mecánico, no necesitamos entender el significado de las oraciones involucradas. La existencia de un método con estas características es muy importante ya que garantiza que siempre se puede decidir si un argumento formalizado es correcto o no. Sin embargo, si bien el método resuelve los problemas anteriores completamente en forma teórica, tiene la dificultad de ser de difícil aplicación práctica
1.2.4 Deducción natural
El método de la deducción natural fue propuesto en 1934 por el investigador Gerhard Gentzen. Desde entonces se conocen diversas variantes de él que algunos textos de lógica presentan como reglas para construir derivaciones, deducciones o pruebas formales. Pertenece al grupo de los métodos sintácticos, y dentro de éstos a los no algorítmicos. Es sintáctico porque procede sólo por transformaciones de las fórmulas aplicando a las premisas una serie de reglas o leyes lógicas (teoremas lógicos) previamente adoptadas. Es no algorítmico porque el número de pasos no puede prescribirse previamente en su totalidad. Su eficiencia va de acuerdo a la capacidad natural o adquirida del que lo aplica.
Procedimiento: 1. Se simbolizan las premisas y la conclusión disponiendo aquéllas en forma vertical
p1 ...
pn q
2. Se procede tomando como punto de partida cualquiera de las premisas, siempre que sea de utilidad. Se asocia con alguna otra de las líneas de premisas y su resultado se indica en una nueva línea, estableciendo a la derecha de esta línea un par ordenado que señale las líneas trabajadas y el teorema lógico empleado.
3. Se debe tener presente que TODAS las premisas deben ser utilizadas.
1.2.5 Tres principios lógicos fundamentales La palabra principio significa origen o “punto de partida”. Viene del latín primum caput = “el que encabeza”. Los principios lógicos están en el origen de la demostración como condiciones necesarias y verdades evidentes. No se discuten ni requieren demostración.
Los principios que gobiernan la maquinaria de la deducción lógica fueron establecidas por Aristóteles hace más de 2300 años y en la lógica tradicional son tres: identidad, no-contradicción y el tercero excluido. Los tres son tan obvios que pareciera indigno fijarse en ellos.
El principio de identidad
Figura 1.10
Este principio afirma que “todo objeto es idéntico a si mismo”, o bien que “todo es lo que es”. Su formu- lación lógica es
Toda proposición es verdadera si y sólo si ella misma es verdadera.
Su fórmula es p⇐⇒ p
El principio de no-contradicción
Figura 1.11
Este principio nos dice que “Ningún objeto puede ser y dejar de ser al mismo tiempo lo que es”. Su formulación lógica es:
Es falso que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.
Su fórmula es ¬(p∧¬p)
El principio del tercio excluído
Figura 1.12
Este principio afirma que “Un objeto tiene una propiedad o bien no la tiene y no hay una tercera posibilidad”. Su formulación lógica es:
Una proposición o es verdadera o es falsa
Su fórmula es p∨¬p
1.2.6 Las leyes de la lógica Las leyes lógicas son tautologías o formas lógicamente verdaderas. Son fórmulas verdaderas independientes de los valores que asumen sus variables proposicionales componentes. Constituyen las reglas del juego para determinar si un razonamiento es o no válido.
Ley de idempotencia p∨ p⇐⇒ p, para la disyunción
p∧ p⇐⇒ p, para la conjunción
Ley de doble negación
¬¬p ∴ p
¬(¬p)⇐⇒ p
Regla de la Adición Para considerar verdadera a una disyunción, basta que sepamos que uno de sus miembros es verdadero (ver tabla de verdad de la disyunción). Así que si sabemos que la fórmula p es verdadera, entonces sabemos que es verdadera cualquier disyunción con tal de que p sea uno de sus miembros. Esto significa que a la fórmula p podemos añadirle cualquier otra fórmula siempre que las conectemos mediante la disyunción. p ∴ p∨q
p =⇒ (p∨q)
Por ejemplo, la proposición “p=Chile es un país sudamericano” es verdadera. La proposición “q=La tierra es plana” es obviamente falsa. La proposición p∨q es verdadera.
Regla del Modus Ponens (MP) Esta es una de las reglas de inferencia con más tradición. Su comprensión y aceptación es intuitivamente inmediata. A partir de una fórmula condicional y de su antecedente, se obtiene su consecuente. p−→ q
p ∴ q
[p∧ (p−→ q)] =⇒ q
Mira el siguiente ejemplo para que veas lo sencillo de aplicarlo.
Ejemplo 1.2.2 Si presiono entonces se rompe p−→ q
Presiono p Se rompe q
Regla del Modus Tollens (MT) A partir de una fórmula condicional y de la negación de su consecuente, se obtiene la negación del antecedente.
p−→ q
¬q ∴¬p
Ejemplo 1.2.3 Si Temuco gana, entonces es campeón p−→ q
Temuco no es campeón ¬q Temuco no gana ¬p
Ejemplo 1.2.4 Determinemos la validez del siguiente razonamiento: “Si la estufa es barata o consume mucha energía, entonces no sirve. Si la estufa es a gas, entonces sirve. Pero la éstufa es barata. Por lo tanto, la estufa no es a gas”.
Simbolizamos el razonamiento: p: La estufa es barata. q: La estufa consume mucha energía r: La estufa sirve. s: La estufa es a gas.
La conclusión es: la estufa no es a gas La estructura del razonamiento es:
Probar ¬S si: 1 :(p∨q)−→¬r
2 :s−→ r
5 :¬r (1,4), modus ponens
6 :¬s (2,5) modus tollens
Regla de la Conjunción
A partir de dos fórmulas se obtiene la conjunción de ambas. p
q ∴ p∧q
(p∧q)−→ (p∧q)
Ejemplo 1.2.5 Sean p: Soy Chileno, q: Soy de Temuco. Si cada una de estas afirmaciones es verdadera, entonces también lo es p∧q que equivale a decir “Soy Chileno y de Temuco”.
Regla de simplificación
Esta regla afirma que si p y q son verdaderas, entonces también es verdadera cualquiera de ellas por separado.
a) p∧q ∴ p
p∧q =⇒ q
El mismo ejemplo anterior, pero considerando que ahora es válido “Soy chileno y de Temuco”, pudiéndose deducir “Soy chileno”, o bien “Soy de Temuco”.
Ejemplo 1.2.6 Considerar el razonamiento “La Física moderna y el Cálculo diferencial se estudian en la Universidad. Por tanto, el Cálculo diferencial se estudia en la Universidad”.
Sean p: La Física moderna se estudia en la Universidad y q: El Cálculo diferencial se estudia en la Universidad. Entonces
p∧q ∴ q
Esto coincide con la estructura de la simplificación: En consecuencia, el razonamiento es válido.
Regla del Silogismo Hipotético (SH)
A partir de dos fórmulas condicionales, donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, se obtiene una condicional formada por el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda
p−→ q
Observa el siguiente argumento.
“Si llueve hace frío. Si hace frío llevo un abrigo. Luego, si llueve llevo un abrigo”.
Si p: llueve, q: hace frío, r: llevo un abrigo, entonces
p−→ q
q−→ r ∴p−→ r Argumento válido pues tiene la estructura del SH.
Regla del Silogismo Disyuntivo (SD) A partir de una fórmula disyuntiva y de la negación de una de sus componentes, se obtiene la otra componente
p∨q
¬p ∴ q
El siguiente argumento:
“Cae Cara o Sello No cayó sello Luego cayó cara”. es válido ya que tiene la estructura del SD.
Ejemplo 1.2.7 Consideremos el razonamiento “Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación. La exportación no se incrementa. O hay abundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades. Luego, será preciso recurrir a otras actividades.
Hacemos la simbolización: p: hay abundancia de peces q: hay abundancia de harina de pescado r: se incrementa la exportación s: será preciso recurrir a otras actividades
El razonamiento queda: Probar s a partir de:
1 p−→ q
2 q−→ r
6 ¬p, (3,5) MT
7 s, (4,6) SD Regla de Reducción al Absurdo
La idea es suponer que la proposición que queremos demostrar es falsa, y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición es necesariamente cierta.
(p→ q)⇐⇒ [(p∧¬q)→¬p]
(p→ q)⇐⇒ [(p∧¬q)→ q]
Ejemplo 1.2.8 Se considera el razonamiento “Juan come o ayuna. Juan no ayuna. Si Juan estudia se siente satisfecho. Juan estudia. Luego, Juan come y se siente satisfecho.
Veamos si es válido. Para ello primero simbolizamos:
p: Juan come. q: Juan ayuna.
r: Juan estudia. s: Juan se siente satisfecho.
Te muestro como hacer la prueba en forma directa y por Reducción al Absurdo. El razonamiento establece probar p∧ s.
Método directo 1 p∨q
2 ¬q
6 ¬p, (1,2) MT
Método del RAA 1 p∨q
2 ¬q
6 ¬p∨¬s, (5) De Morgan
7 p, (1,2) SD
8 ¬s, (6,7) SD
9 ¬r, (3,8) MT
10 r∧¬r, (4,9) contradicción
Demostración por casos Esto significa que, si suponemos que p es verdadera y llegamos a r, y luego suponemos que q es verdadera y también llegamos a r, podemos afirmar r, independientemente de que ignoremos cuál de las dos opciones es verdadera (o si lo son las dos).
p−→ r
[(p−→ r)∧ (q−→ r)] =⇒ [(p∨q)−→ r]
Ejemplo 1.2.9 El razonamiento
“Si es diputado, tiene fuero Si es senador, tiene fuero Luego; Si es diputado o senador, tiene fuero”.
Claramente tiene la estructura de la demostración por casos. Por tanto, es un razonamiento válido.
Regla del Dilema Constructivo (DC)
A partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de sus antecedentes se obtiene la disyunción de sus consecuentes.
p−→ q
r −→ s
El argumento:
“Si estudio aprendo y si duermo descanso. Estudio o duermo. Luego aprendo o descanso”.
es válido por tener la misma estructura del DC.
Regla del Dilema Destructivo (DD)
A partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la disyunción de las negaciones de sus antecedentes.
p−→ q
r −→ s
Ejemplo 1.2.10 El razonamiento:
Si gano, soy campeón. Si empato, salgo segundo. O no soy campeón o no soy segundo. Luego; O no gano o no empato.
Este razonamiento tiene la estructura del DD, por tanto es válido
Existen más reglas o teoremas lógicos, de las cuales tendrás una copia para trabajar. La demostración de todas estas leyes o reglas las puedes hacer mediante tablas de verdad.
1.2.7 Métodos de demostración Para llevar a cabo el proceso de probar que la conclusión se deduce de las premisas hemos establecido dos tipos de deducciones: directa e indirecta. Vamos a profundizar un poco más sobre esto.
Método Directo La forma directa consiste en llegar a la conclusión de una manera directa, sin estrategias y, utilizando sólo las premisas dadas.
Actividad 19 Consideremos el siguiente argumento:
1) Si recibo un cheque por $ 500.000, entonces voy de vacaciones. 2) Si el auto se descompone, entonces no voy de vacaciones. 3) El auto se descompone.
Para traducirla al lenguaje formal de la lógica, sean “p = recibo un cheque por $ 500.000”. “q = voy de vacaciones”. “r = el auto se descompone”. Con esta simbolización establecemos el siguiente esquema
p−→ q premisa r −→¬q premisa r premisa
¬p conclusión
Lo primero es tener a mano los teoremas lógicos. Se observa que la tercera premisa r está solita y sabemos que es verdadera, buscamos, dentro de las premisas restantes, otra que se pueda conectar con ella. ¡Oh sorpresa! la segunda premisa r −→¬q también contiene r. Ahora bien, esta segunda premisa es verdadera (toda). Si r es verdadera, entonces, como la condicional es verdadera, es obligado que ¬q debe ser verdadera, con lo cual q es falsa (Modus Ponens). Ahora se debe trabajar lo recién obtenido,
¬q, con la primera premisa, que es la única que queda. Esta premisa, una condicional, es verdadera. Es decir, p−→ q es verdadera. Dado que q es falsa, la única alternativa es que p sea falsa (Tollendo Tolens), con lo cual ¬p es verdadero. Con ello se dice que el razonamiento es válido, pues ha sido obtenido de las premisas dadas.
Actividad 20 Determinar si los siguientes razonamientos son o no válidos:
Razonamiento 1: 1. Si una persona lee el Austral, entonces está bien informada. 2. Juan está bien informado. 3. Conclusión: Juan lee el Austral.
Razonamiento 2: 1. Si Chile es una democracia, entonces sus ciudadanos tienen el derecho de votar. 2. Sus ciudadanos tienen el derecho de votar. 3. Por tanto, Chile es una democracia.
Actividad 21 Para reforzar tu aprendizaje:
Prueba s
1.2.8 Demostración Indirecta: Reducción al absurdo
Este es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la proposición que queremos demostrar es falsa, y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición es necesariamente cierta. En el lenguaje de las proposiciones, consiste en establecer que la negación de la tesis T , conduce a una contradicción de la forma r∧¬r, si es así, se ha establecido la verdad de la proposición ¬T → (r∧¬r) para alguna proposición r. Como r∧¬r es una proposición falsa, se concluye que ¬T es también falsa ( tabla del condicional). A partir de esto se obtiene que T es verdadera.
Ejemplo 1.2.11 Probar que si m y n son enteros tales que n+n2 +n3 = m+m2, entonces n es par
La tesis es que n es par. La negamos, esto es, suponemos que n es impar y buscamos algún hecho que nos lleve a una contradicción. Si n es impar, entonces n2 y n3 son impares, a partir de esto se sigue que n+n2 +n3 es impar (suma de tres impares es impar). Ahora, como por hipótesis m+m2 = n+ n2 + n3, se sigue que m+m2
es impar. Aquí viene el gran “pero”, el término m+m2 es siempre par ya que podemos escribir m+m2 = m(m+1), y necesariamente, uno de los términos es par. Llegamos a una contradicción. En consecuencia, para que no produzca contradicción n es par. Observa a continuación el uso del método de reducción al absurdo bajo otro esquema.
Ejemplo 1.2.12 Probemos r dadas las premisas que se indican.
1) t ∧ r↔¬s Premisa 2) ¬s→ t Premisa 3) ¬r→¬s Premisa 4) ¬r Premisa Agregada, (negación de la tesis) 5) ¬s (3,4)Modus Ponens 6) t (2,5) Modus Ponens 7) ¬s→ t ∧ r (1) Bicondicional 8) t ∧ r (5,7) Modus Ponens 9) r (8) simplificación
10) r∧¬r (4,10) ¡¡contradicción !! 11) r (10) T L20
Actividad 22 Demostrar:
(2)¬c∨b Premisa
(2) q→¬p
(3) r→¬s
(4) r∨q
(2) c→ b
(3) c∨¬a
(4) ¬b∨d
2) s∨ p
3) p−→ q
4) r −→ t
1.2.9 Regla P
Esta regla consiste en agregar, en cualquier momento de la demostración, una premisa cualquiera. Esto da origen a las denominadas demostraciones subordinadas y es también una forma indirecta de deducir. Para distinguir una premisa agregada de otra que no lo es, usamos las siglas PA (premisa agregada). Debe tenerse en cuenta que se pueden agregar las premisas que se deseen. La premisa a agregar es el antecedente de la conclusión (siempre que sea una implicación). Vemos esto.
Ejemplo 1.2.13 Demostrar s→ p ∨ q
1)s→ t Premisa
2)r→ p Premisa
5)s→ p (1,4) silogísmo hipotético
6)s PA
9)s→ p ∨ q (6,8)
Actividad 23 Probar lo siguiente: (1) d→ c:
1)a→ (b−→ c) Premisa
2)¬d∨a Premisa
(2) p−→ (¬q−→ r):
1)s∧ (¬p∨m) Premisa
2)m−→ q∨ r Premisa
1.2.10 Método de Invalidez
Cuando el número de variables pasa de tres se torna engorroso el método de la tabla de verdad. Para superar este inconveniente, se usa el método abreviado o de invalidez. Para probar que un razonamiento es no válido, sigue los siguientes pasos:
1. Simboliza las proposiciones 2. Se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente. 3. Se determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad
de éste. 4. Se trasladan estos valores al antecedente y se designan los valores de las demás variables tratando
de hacer verdadero el antecedente. 5. Si se verifica la hipótesis, la fórmula es no tautológica, en consecuencia, la inferencia correspon-
diente será inválida; si no se verifica la hipótesis, la fórmula será tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será válida.

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