La Mecánica Cuántica - Aspectos matemáticos de las ondas esféricas - Funciones de Bessel

5/28/2018 La Mecnica Cuntica - Aspectos matemticos de las ondas esfricas - Funciones de Bessel

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22/1/2014 La Mecnica Cuntica: Aspectos matemticos de las ondas esfr icas

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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O DE 2 0 0 9

Aspectos matemticos de las ondas esfricas

Cualquier nio que haya arrojado una piedra a un estanque de

agua est familiarizado y a intuitivamente c on el c oncepto de las

ondas esfricas al ver los rizos de anillos c oncntricos sobre la

superficie del agua que se v an ampliando y se van alejando del

punto en donde cay la piedra:

Extendiendo este c oncepto de las ondas esfricas hacia un espacio

verdaderamente tridime nsio nal, aunque resulta ms difc ilrepresentar este clase de o ndas en tres dimensiones podemos

hacer una esquematizacin co mo la siguiente en donde el c entro

generador de las ondas esfricas est representado co mo una

pequea cruz roja (se puede apreciar

en Wikipediaunademostracin dinmicaen tres dimensiones de

estas ondas esfricas co nformen se v an expandiendo hacia el

exterior):

A R C H I V O D E L B L O G

2009(136)

agosto(136)

Indice

Prlogo

El modelo at mico

planetario de Bohr I

El modelo at mico

planetario de Bohr I I

La espectroscopa de rayos-

X

La extraa ecuacin de Max

Born

Vec tores y matric es I

Vec tores y matric es II

El anlisis de Fourier

La regla de multiplicacin

La Mecnica Cuntica

Uso de lasfunciones de

Bessel
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Puesto que la esfera, simtricamente hablando, es el cuerpo ms

perfecto que existe en la Naturaleza, parecera a primera vista que

la representacin matemtica de las ondas esfricas debera ser

algo realmente sencillo. Sin embargo, a diferencia de las ondas

senoidales unidimensionales, no lo es, y los matemticos de

antao fueron los primeros en darse cuenta de ello. Esta es la

razn por la cual nos vemos c asi obligados a elevar el grado de

complejidad en cualquier anlisis que involucre este tipo defenmenos.

En la entrada prev ia abarcamos algunos tpico s de naturaleza

puramente matemtica sin entrar en mayor detalle sobre los

mismos. Aqu explo raremos un poc o ms a fondo tales detalles,

co n la finalidad de darle alguna justificac in a las bases que

estamos cimentando. Mantendremos, por lo pro nto y al igual que

como se hizo en la entrada previa, el anlisis clsico de este tipo de

fenmenos en la forma en que se lleva a c abo en el c ampo de la

electrodinmica clsica.

Empezaremos por repasar la ecuacin differencial de Bessel.

Decimos que cualquier ecuacin diferencial que pueda ser esc rita

en la forma:

de Heisenberg

Observables compatibles e

incompatibles

Oscilador armnico simple:

solucin matricial

Matrices y probabilidad

El principio de

incertidumbre I

El principio de

incertidumbre II

El experimento Stern-

Gerlach

El spin del electron

Momento angular:

tratamiento matricial I

Momento angular:

tratamiento matricial I I

Momento angular:

tratamiento matricial II I

La energa rotacional

Matrices y sub-matrices

Solucin matricial del

tomo de hidrgeno

Funciones matriciales

De la mecnic a clsica a lamecnica matricial

La matriz momentum co mo

generadora de traslacin

La matriz generadora de

rotacin

Rotaciones de las matrices

de Pauli

El aspecto estadstico de la

Mecnica Matricial

Evo lucin temporal de los

sistemas fsicos

Matrices continuas

Ondas de materia

La ecuacin de Schrdinger

Solucin matemtica de la

ecuacin de onda

Solucin numrica de la

ecuacion de Schrdinger
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es una ecuacin diferencial de Bessel. Observando que esta

ecuacin diferencial es singular en el punto u.=.0, en la bsqueda

de una solucin a dicha e cuacin diferencial el camino ms

expe dito consiste en buscar una solucin con una expansin en

una serie de trminos deR(u) con respecto a este punto,

escribiendo lo siguiente:

Tomando diferenciales de e sta expansin, se tiene entonc es:

Substituyendo estas expre siones en la ecuacin diferencial de

Bessel, vemo s que:

Puesto que las distintas potencias de uson linearmente

independientes, el coe ficiente de c ada potencia se debe

desvanecer separadamente. Por lo tanto, igualando a cero el

coeficiente de uk+b, encontramos que:

[(k + b )(k + b - 1) + (k + b ) - n2 ] ak+ ak-2 = 0

o lo que es lo mismo:

[(k + b )2 - n2 ]ak+ ak-2 = 0

Interpretacin pro babilista

de I

Interpretacin pro babilista

de II

Operadores y esperanzas

matemticas I

Operadores y esperanzas

matemticas I I

Oscilador armnico simple:

solucin o ndulatoria

La funcin delta de Dirac

Transmisin y reflexin de

partculas I


partculas II


partculas III


partculas IV

El potencial delta de Dirac

Ondas de simetra circ ular y

esfrica

La notacin bra-ket de

Dirac

El espacio de Hilbert I

El espacio de Hilbert II

Operadores Hermitianos

Los operadores escalera I

Los operadores escalera II

El principio de

incertidumbre,

revisitado

El acto de medicin

Momento angular orbital:anlisis ondulatorio I

Momento angular orbital:

anlisis ondulatorio II


funciones de onda I


funciones de o nda II

Polinomios de Legendre:

aspectos matemticos

Bitdefender Internet Security
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Para el caso en el quel k.=.0 (obsrvese que a-2 .=.0) obtenemos

la ecuacin indicial:

b2 - n2 = 0

la cual tiene dos races sencillas:

b1 = n(siendo n 0 )

b2 = - n

Para el caso en el cual k.=.1, se tiene:

[(b+ 1 )2 - n2 ]a1 = 0

De esto se deduce que a1 es igual a cero para ambas de las

races b1 y b2 .

Si usamos b1 = nen la expresin:

[(k + b )2 - n2 ]ak+ ak-2 = 0

entonces se produce la relacin:

Esta es precisamente la relacin recursiva para la ec uacin de

Bessel. Puesto que ya e ncontramos que a1 .=.0 , esta ltima

expre sin requiere que todos los akpara los cuales ksea impar

tambin se desvanezcan. Por lo tanto, kest restringido a tomarvalores pares. Si hacemos la subst itucin de 2 po r ken la

expre sin, entonces podemos permitir que tome los valores 0, 1 ,

2, etctera:

Por lo tanto, para = 1:

La funcin de onda radial

La funcin de onda del

momento angular del

spin

El principio de ex clusin de

Pauli

El proceso de co nstruccin

Aufbau

El acoplamiento LS

La suma de momentos

angulares

Las reglas de selecc in

Tcnicas de aproximacin I

Tcnicas de aprox imacin

II

Tcnicas de aprox imacin

II I

El mtodo de aprox imacin

WKB I


WKB II


WKB II I


WKB IV

El enlace molecular I

El enlace molecular I I

La hibridacin de los

orbitales atmicos

La teora de los o rbitales

moleculares

Teora del campo cristalino

Operadores c lase T

El espacio-posicin y elespacio-momentum I

El espacio-posicin y el

espacio-momentum II


espacio-momentum III


espacio-momentum IV

La partcula libre I
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y para = 2, hac iendo uso de la recursiv idad para meter el

resultado obtenido arriba:

De este modo, llegamos a la siguiente relacin general:

De este modo , para el caso b1 = n, la solucin es:

Exc epto para algunos v alores especiales de n, esta no es una

funcin elemental. Se acostumbra definir a a0 como 1/(2nn!).

Cuando esto se hace, entoncesR1 (u) se conv ierte en una funcin

de Bessel de orden n:

Histricamente, aunque fue Friedrich Besselel primero que di en

1824 un tratamiento sistemtico a la ec uacin diferencial que lleva

su nombre y a este tipo de so luciones, estas funciones fueron

estudiadas por v ez primera por Leonhard Euleren 17 64 en sus

La partcula libre II

La ecuacin de mov imiento

de Heisenberg

Mecnicas Matricial y

Ondulatoria:

equivalencia

Evo lucin temporal de las

ondas de materia IEvo lucin temporal de las

ondas de materia II

El operador de traslacin

El operador de evo lucin

del tiempo

Las representaciones de

Heisenberg y

Schrdinger

Operadores de ro tacin IOperadores de rotaci n II

Los grupos de rotacin I

Los grupos de rotacin II

Los grupos de rotacin III

La simetra co mo piedra

angular

Representaciones

irreducibles I

Representaciones

irreducibles II

Los c oeficientes Clebsch-

Gordan I


Gordan II


Gordan II I

Operadores tensoriales

El momento de cuadripolo

El teorema Wigner-Eckart I

El teorema Wigner-Eckart

II

Mecnica Estadstica

Cuntica I

Mecnica Estadstica

Cuntica II

Mecnica Estadstica
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6/32



estudios sobre la v ibracin de las membranas circulares.

Si recurrimos a la definicin matemtica de lafunc in gamma,

podemos darle a lo anterior una forma un poco ms compacta:

En cualesquier caso, la ex pansin de la funcin de Bessel como una

serie infinita de trminos est dada por la siguiente relacin

general:

De acuerdo a esta relacin, las primeras dos funciones de Bessel

J0(u) y J1 (u) se pueden escribir de la siguiente manera:

A estas alturas, resulta instruct iv o grafic ar e stas func iones de

Bessel para los rdenes0 y 1 junto con las funciones de Bessel paraotros rdenes superiores:

Cuntica III

Mecnica Estadstica

Cuntica IV

Mecnica Estadstica

Cuntica V

Mecnica Estadstica

Cuntica VI

La matriz densidad I

La matriz densidad II

El lser

El teorema virial

Espectrosc opas de

resonancia magntica I

Espectrosc opas de

resonancia magntica I I

Espectrosc opas de

resonancia magntica II I

Espectrosc opas de

resonancia magntica I V

Esparcimiento clsico de

partculas

Esparcimiento de las ondas

de luz

Aspec tos matemticos de

las ondas esfricas

El mtodo de las ondas

parciales

La aproximacin de Born I

La aproximacin de Born II

El teorema ptic o

La ecuacin Lippmann-

Schwinger

El teorema adiabtico I

El teorema adiabtico I ILa Mecnica Cuntica

Relativista

Recursos de software

Constantes fundamentales y

factores de conversin

Bibliografa
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-iii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/bibliografia.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/constantes-fundamentales-y-factores-de.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/recursos-de-software.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/07/la-mecanica-cuantica-relativista.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-teorema-adiabatico-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-teorema-adiabatico-i.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-ecuacion-lippmann-schwinger.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-teorema-optico.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-aproximacion-de-born-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-aproximacion-de-born-i.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-metodo-de-las-ondas-parciales.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/aspectos-matematicos-de-las-ondas.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/esparcimiento-de-las-ondas-de-luz.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/esparcimiento-clasico-de-particulas.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/espectroscopias-de-resonancia-iv.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/espectroscopias-de-resonancia-iii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/espectroscopias-de-resonancia-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/espectroscopias-de-resonancia-i.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-teorema-virial.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-laser.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-matriz-densidad-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-matriz-densidad-i.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-vi.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-v.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-iv.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-iii.htmlhttp://1.bp.blogspot.com/-5b35mfqqw1Y/UKrrAVdYuDI/AAAAAAAAXxg/DkOjooW0CZk/s1600/primeras+dos+funciones+de+Bessel.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-9ASWQCDQvqw/UKrohk1-ZCI/AAAAAAAAXxI/qealm2DRMUc/s1600/expansion+de+funcion+de+Bessel+como+una+serie+infinita.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-rmodqtLqeho/UKrmpA1ER9I/AAAAAAAAXxA/en286pAq3yU/s1600/definicion+compacta+de+funcion+de+Bessel+de+orden+n.png


7/32



Si tomamos la funcin de Bessel de orden ce ro, y la hacemos girar

en torno al eje v ertical, la grfica tridimensional resultante rev ela

ntidamente la manera en la que estas funciones son precisamentela clave para la representacin de o ndas esfricas:

Los puntos en los cuales una funcin de Bessel cruza del eje

vertic al positiv o al eje vertic al negativ o (o v icev ersa) sonconocidos como los ceroso las racesde la funcin de Bessel. La

primera raz de la funcin de Bessel de orden c ero J0(u) es igual

2.4048, como podemos v erlo arriba. La siguiente tabla nos da los

valores de varias races para las primeras cuatro funciones de

Bessel:

D A T OS P E R S O N A L E S

A RMA NDO MA RT NEZ

TLLEZ

V E R TODO MI P E R FIL
http://www.blogger.com/profile/07308360350870542056http://www.blogger.com/profile/07308360350870542056http://4.bp.blogspot.com/-BLkuVpIO2xs/UMZE2bT1NUI/AAAAAAAAZJ4/bFWD2Jcx1ss/s1600/funcion+de+Bessel+en+dos+dimensiones.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-vqv1rx4DXrw/UKvBtQsPOdI/AAAAAAAAXyI/aKTNtFQFqRE/s1600/funciones+de+Bessel.png


8/32



Un resultado obtenido po r George Stokesen 1850 indica que

conforme el orden nde la funcin de Bessel se vuelv e muy grande,

el valor de la -raz est dado aprox imadamente por la relacin:

+ [n- ( )](/ 2)

Comparando (con la ay uda de una calculadora de bo lsillo) los

valores obtenidos mediante la frmula de Stokes c on los v alores

dados en la tabla de arriba rev ela que la aproximacin de Stokes es

precisa co n un margen de error inferior al 1 0% inclusive

para n.=.2.

Las funciones de Bessel, extendindose en ambas direcciones del

argumento ( tanto en la direcc in positiva hacia la derecha c omo

en la direcc in negativa hacia la izquierda), pueden ser simtricas

o antisimtricas, como puede aprec iarse en la siguiente grfica:
http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokeshttp://3.bp.blogspot.com/-eRJOL3-QrOk/UMD0id6z6GI/AAAAAAAAYzU/Qat5xIBLYw8/s1600/raices+de+las+funciones+de+Bessel.PNG


9/32



Pero si las funciones de Bessel v an a ser utilizadas para

representar ondas de mate riaesfricas, cmo podemos adecuar

a un sentido fsico re al los v alores negativos de tales funciones de

onda? Esto no ofrece pro blema alguno, po rque al igual que como

ocurre en la Mecnica Cuntica en donde no es la funcin de o nda

sino el cuadrado de la funcin de onda, o sea 2 , lo que d una

medida de la densidad de probab ilidadpara encontrar una

partcula en cierta regin del espacio (el criterio pro babilista de

Born), en la electrodinmica clsica lo que proporc iona laintensidad de la magnitud (energtica) de una onda

electromagntica no es la magnitud de la onda electro magntica

sino el cuadrado de la amplitud de la onda electromagntica, lo

cual se deshace del signo negativo. La siguiente grfica no s

muestra los cuadrados de algunas funciones de Bessel:

Todas las funciones de Bessel son de c arcter o scilatorio co n una

amplitud decrec iente conforme v a aumentando el o rden de la

funcin. La siguiente grfica en donde abarcamos ms ciclos de
http://3.bp.blogspot.com/-eiqI0_J2Aik/UKvE8VyQosI/AAAAAAAAXyg/ZvnSYGcO4uo/s1600/intensidad+dada+por+el+cuadrado+de+la+amplitud+de+la+funcion+de+onda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-dcKE-YFARHI/UKrRF2faYNI/AAAAAAAAXvI/3xr4eM_FnNc/s1600/funciones+de+Bessel+simetricas+y+antisimetricas.png


10/32



las funciones de Bessel resalta el carcter o scilatorio de las

mismas:

En la grfica anterior podemos o bserv ar que en el ex tremoizquierdo de la misma las funciones de Bessel parecen

compo rtarse como ondas senoidales puras. Este es prec isamente

el comportamiento asinttico de una funcin de Bessel, y no se

requieren valores e xtremadamente grandes de r(la

condicin r) para que pueda usarse dicha aproximacin, esto

llega despus de una cantidad moderada de ciclos, y es lo que

permite que a distancias relativamente grandes las ondas esfricas

representadas mediante funciones de Bessel puedan ser

consideradas (aproximadamente) como ondas planares. Esto lo

podemos destacar c on mayo r claridad mediante la grficaextendida de una sola de ellas (J0):
http://2.bp.blogspot.com/--LEa5_lnHHU/UKvOBEKo2QI/AAAAAAAAXzI/4j8jopSa-bY/s1600/comportamiento+asintotico+de+las+funciones+de+Bessel.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-lXdfBPYLBgc/UKvHBX-sNmI/AAAAAAAAXyo/0tIJvwnQRlw/s1600/comportamiento+oscilatorio+de+las+funciones+de+Bessel.JPG


11/32



La solucin para la raz b2 .=.- nviene siendo:

Hasta aqu hemos hablado de funciones de Bessel de ordenintegral. Pero como lo v imos en la entrada previa, no slo hay

funciones de Bessel de orden integral, tambin hay funciones de

Bessel de medio orden integral. Si nno es un entero,

entonces Jn(u) y J-n(u) son soluciones linearmente

independientes. Sin embargo, si nes un entero, las soluciones son

linearmente dependientes como lo demostraremos a

continuacin.

PROBLEMA:Demustrese que:

J-m(u) = (-1)mJm(u)

Para resolver este problema, podemos empe zar con la definicin

de una funcin de Bessel Jn(u) mediante la serie infinita:

Haciendo la substitucin n..-m, se tiene:

Ahora b ien, la funcin gamma es div ergente para:

- m+ 1 0

m- 1

Por lo tanto, el primer trmino de la sumacin que sobrev ive

es .=.m. Substituyendo (en la sumatoria) un nuevo sub-ndice:

= - m
http://2.bp.blogspot.com/-BHBHvpn4rGA/ULJlJq5Eh_I/AAAAAAAAYBM/PJGbLd3Xvus/s1600/problema+1-02.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-iXHp0trocFU/ULJlAmhjwNI/AAAAAAAAYBE/zBYJeQ-7dgk/s1600/problema+1-01.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-E_Fa9NNBymE/UKvMSsWWhCI/AAAAAAAAXzA/mAyP3LyMZ5M/s1600/solucion+negativa.png


12/32



la sumatoria se vuelve e ntonces:

Usando la serie para Jn(u) y el hecho de que (k+1 ).=.k! por laspropiedades de la funcin Gamma, todo lo anterior se reduce al

resultado deseado:

PROBLEMA:SiZn(u) simboliza ya sea una funcin de

Bessel Jn(u) o una funcin de NeumannNn(u), demustrese que:

La expresin propo rcionada expresa la deriv ada de una funcin de

Bessel o de Neumann en la forma de una relacin recursiva. Para

resolve r este pro blema en lo que toc a a las funciones de Bessel,

recurrimos a la siguiente expansin en series:

Diferenciando el producto unu2 se tiene entonces:

El primer trmino puede ser factorizado de la siguiente manera:
http://4.bp.blogspot.com/-Mi-1jHXo1YY/ULJmE0pm4KI/AAAAAAAAYB0/HKWbXDdiD78/s1600/problema+2-03.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-hf8q2Udf5pA/ULJl9bFwW9I/AAAAAAAAYBs/8p6nyv2b1DY/s1600/problema+2-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-iox3Mecy1Wg/ULJl0Ad7-kI/AAAAAAAAYBk/VyLQeDCkKPQ/s1600/problema+2-01.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-DfUVj7af2GI/ULJlZ-38HGI/AAAAAAAAYBc/lYXwCaOca1c/s1600/problema+1-04.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Mnsv9ReNjwI/ULJlSxDzWwI/AAAAAAAAYBU/Blk_0R5CFIA/s1600/problema+1-03.png


13/32



En lo que toca al segundo trmino, podemos re definir de la

siguiente manera el ndice de la sumatoria:

- 1

Con esto, el segundo trmino se c onvierte en lo siguiente:

El trmino = -1 en la primera sumatoria es cero en v irtud de que

0/0! = 0/1 = 0. Por lo tanto:

La metodologa para demostrar la validez de la relacin rec ursiva

general en el caso de las funciones de Neumann es ex actamente la

misma, y no es nece sario repetirla aqu.

Las funciones de Bessel que hemos v isto hasta este punto

son funciones de Bessel del primer gnero. Para el caso en el

cual nsea un entero (e inclusive para el c aso en el cual nno sea un

entero), la solucin general de la ec uacin diferencial de Bessel

usualmente se escribe en funcin de las funciones linearmente

independientes Jn(u) y Nn(u), en donde las Nn(u) son

las funciones de Neum ann. Las funciones de Neumann

tambin son llamadas frecuentemente funciones de Bessel del

segundo gnero, de modo tal que la solucin general de la

ecuacin diferencial de Bessel est dada por una c ombinacin

linear de funciones de Bessel del primer gnero y del segundo

gnero. (Adv ertencia: las funciones de Bessel del segundo gnero
http://2.bp.blogspot.com/-vgchuMgxOyE/ULJmijnHwDI/AAAAAAAAYCM/9py7jQkCe2o/s1600/problema+2-06.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-57k58rZ8Gsk/ULJmXVzBMOI/AAAAAAAAYCE/aGfJGnf35VI/s1600/problema+2-05.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-wdT2d_89sBI/ULJmNE4-S0I/AAAAAAAAYB8/9Iz2uPamb28/s1600/problema+2-04.png


14/32



frecuentemente se representan como Yn(u), pero nos

abstendremos aqu de hacer tal cosa po rque esto se presta a

confusiones c on la notacin que hemos estado utilizando para

simbolizar a las armnicas esfricas que aunque son un co ncepto

similar no se trata de la misma cosa). Las funciones de Neumann se

definen formalmente mediante la siguiente relacin:

De este modo, la solucin general Rn(u) = Rn(kr) de la ecuacin

diferencial de Bessel se puede expresar en forma sencilla de la

siguiente manera:

Las funciones de Bessel Jn(kr) son regulares en el origen, y para

valores pequeo s de kr (esto es, kr1), stas varan de acuerdo a la

relacin:

Por el o tro lado, las formas asintticas para v alores relativamente

grandes de kr(esto es, kr1) estn dadas por (la expresin

asinttica para J0 fue obtenida en 1817 por Poisson, mientras que

el resultado general para c ualquier nfue obtenido po r Jacobi):

Las funciones de Bessel, por lo tanto, e xhiben una v ariacin

asinttica senoidal a medida que aumenta kr, pero co n una

disminucin en la amplitud al ir creciendo kr. La regin de

transicin entre la aproximacin para v alores pequeos de kry la

aproximacin para v alores grandes de kres cerc ana al

punto kr..n.

A estas alturas, resulta instruct iv o e charle un v istazo a las grfic as

de v arias funciones de Neumann para varios r denes:
http://4.bp.blogspot.com/-YIDEELAyBYg/UKvdYO9i2tI/AAAAAAAAX0g/x4w6cov7xjg/s1600/aproximacion+asintotica+2.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poissonhttp://2.bp.blogspot.com/-Hg3tB4U7cd0/UKvb_EUOogI/AAAAAAAAX0Y/Lk-bzx8HdvA/s1600/aproximacion+asintotica+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-aVt6YC5f69Y/UKvTIfQvlyI/AAAAAAAAXzo/vqjms_MHSks/s1600/solucion+general+de+ecuacion+de+Bessel.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-z-bf8diufjI/UKvRY4i_CLI/AAAAAAAAXzg/kV55e9swu28/s1600/definicion+formal+de+funcion+de+Neumann.png


15/32



Lo primero que resalta es que todas las funciones de Neumann son

irregulares en el o rigen, en donde su v alor se v a hacia el infinito(negativo). Es por ello que debe mos usar mucha precauc in en los

usos que le demos a estas funciones en problemas de la fsica, y es

por ello que en v irtud de esta irregularidad de las

funciones Nn(kr) escogemo s nicamente a las funciones Jn(kr) en

problemas en los que el origen est inv olucrado.

Para valores pequeos de kr(esto es, kr1) y para n.=.0, la funcin

de Neumann vara de la siguiente manera:

Para valores pequeos de kr(esto es, kr1) y para cualquier otro

valor de ndifefente de n.=.0, la funcin de Neumann vara de la

siguiente manera:

Las expresiones asintticas de las funciones de Neumann para

valores re lativ amente grandes de kr(esto es, kr1) son:
http://3.bp.blogspot.com/-5DrWJvGjKgY/UKviEe9n8EI/AAAAAAAAX1I/iKELI9evCHA/s1600/aproximacion+asintotica+Neumann+3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-i5KwqpDvVDE/UKvhQnbbNII/AAAAAAAAX1A/2To5DbTxKdc/s1600/aproximacion+asintotica+Neumann+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-OHeei8OXvFg/UKvgW0jlQkI/AAAAAAAAX04/NvktNiYzFxY/s1600/aproximacion+asintotica+Neumann+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-QJREX3afCR4/UKvXnnPBARI/AAAAAAAAX0A/paL4pujx80k/s1600/funciones+de+Neumann.png


16/32



Conforme no s alejamos de la singularidad en el origen, to das las

funciones de Neumann son de c arcter osc ilatorio con una

amplitud decrec iente conforme v a aumentando el argumento de la

funcin. La siguiente grfica en donde abarcamos ms ciclos de

las funciones de Neumann resalta el carcter oscilatorio de las

mismas:

Comprese la forma asinttica algebraica de las funciones de

Neumann con la forma asinttic a de las funciones de Bessel del

primer gnero. Son casi la misma cosa, ambas con la misma

amplitud, exc epto que una forma es senoidal y la otra cosenoidal.

Se ha afirmado que es po sible llev ar a cabo la representacin de

una onda plana mediante una suma (infinita) de ondas e sfricas. De

la quintaesencia del anlisis de Fourier, sabemos y a que para que

esto se pueda llev ar a cabo las funciones que representan cada

onda esfrica necesariamente tienen que ser ortogonales entre s.

Afortunadamente, e sto est garantizado, po rque se puede

demostrar que las funciones de Bessel Jn(kr) son ortogonales. Si

km es la m-raz de Jn(kr), esto es, Jn(km ).=.0, entonces la

condicin de ortogo nalidad sobre las funciones de Bessel dentro

de cierto intervalo 0..r.. afirma que:

Es un hecho que las funciones de Bessel forman un conjunto

ortogonal co mpleto de funciones para la expansin de una

funcinf(r) en el intervalo 0..r..:
http://2.bp.blogspot.com/-ie9JMjE9b2s/UKmWXOmt4MI/AAAAAAAAXss/AGzRT2ULMsQ/s1600/condicion+de+ortogonalidad.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-yvsFC_Fl6Vo/UKvk1jWI0KI/AAAAAAAAX1g/BZ39Npcvfo8/s1600/comportamiento+oscilatorio+de+las+funciones+de+Neumann.JPG


17/32



PROBLEMA: Obtnganse los coe ficientes Fourier Dmnpara la

expansin de una funcin de r en trminos de una serie (infinita)

de funciones de Bessel.

Si multiplicamos ambos miembros de la ex pansin anterior po r:

y llev amo s a c abo la integracin en e l inte rv alo 0..r.., se tiene

entonces:

El lado derecho puede ser ev aluado usando la condicin deortogonalidad dada arriba:

Por lo tanto:
http://3.bp.blogspot.com/-JFzjb_emgf4/UKmjLI5TbxI/AAAAAAAAXtg/k1HP1xy0boI/s1600/coeficientes+Fourier+expansion+Bessel.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-yFa1-5Y7T_I/UKmhB0zGJkI/AAAAAAAAXtY/-0tZu-si77c/s1600/desarrollo+2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-kI-HHe7M4sY/UKmbkmHfoeI/AAAAAAAAXtE/FWjmfeb4T08/s1600/desarrollo+1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-k6VmwG1GcOM/UKmZunUWIBI/AAAAAAAAXs8/wa4J5mNxL7w/s1600/multiplicando.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-2dGh-6SMgB8/UKmX_XkkRQI/AAAAAAAAXs0/zOP-rIqa9ig/s1600/expansion+de+una+funcion+de+r.png


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Obviamente, las series que son generadas de esta manera son

conocidas como series Fourier-Bessel.

Aunque la ev aluacin numrica de las funciones de Bessel usando

una expansin en series pueda parecer algo sencillo y direc to

recurriendo un programa de computacin para el clculo

numrico de dichas series, la lentitud en la conv ergencia hacia una

respuesta con un grado aceptable de precisin (digamos cuatro o

cinco cifras significativas) hace que tal procedimiento sea de valor

escaso para argumentos que sean muy superiore s a la unidad. No

entraremos a fondo en los detalles de las dificultades enfrentadas

en una situacin de este tipo ya que, afortunadamente, tales

detalles en la ev aluacin de cmputos numricos pueden ser

solventados recurriendo a lo que se cono ce co mo

las representaciones integrales de las funciones de Bessel:

PROBLEMA:Demustrese que:

es equivalente a la relacin recursiva:

Llevando a c abo la diferenciacin indicada y usando la relacinrecursiva, se tiene:
http://3.bp.blogspot.com/-QH9MoNv4rH4/UMEEB9JJ9RI/AAAAAAAAY0Y/pgynwT3eeFw/s1600/equivalencia.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-4C5mAZSf6yw/UMED6M82SBI/AAAAAAAAY0Q/6z-6nui7Acg/s1600/relacion+a+demostrar.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-iWuCpaBk5lQ/ULPVtEeI_VI/AAAAAAAAYGs/hS0Ew1-Txtg/s1600/representaciones+integrales+de+las+funciones+de+Bessel.png


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PROBLEMA: Usando el resultado del problema previo junto co n

la representacin integral para la funcin de

BesselJ0(u), obtngase la representacin integral para la funcin

de Bessel J1 (u). Generalcese e l procedimiento para obte ner la

representacin integral de c ualquier funcin de Bessel

demostrando que, en general:

Usando el resultado prev io haciendo n.=.0, y r ecurriendo a la

representacin integral para la funcin de Bessel J0(u), se tiene

que:

Podemos diferenciar bajo el signo de la integral para obtener losiguiente (los co lores son para resaltar las partes con las cuales se

llevar a cabo una substitucin de variablesco n la finalidad de

facilitar el proceso de integracin por partes):
http://4.bp.blogspot.com/-6JXLV1O1BZc/ULJm5Q9Z1tI/AAAAAAAAYCc/ZR-3sSiZEQY/s1600/problema+3-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Vh2X3Q3Tpzo/UMJRE2e-enI/AAAAAAAAZCc/r0fpSuI1WX4/s1600/problema+3-07.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-P-JV4NAtx_I/ULJmu2en6bI/AAAAAAAAYCU/zeODXP4W1t4/s1600/problema+3-01.png


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Es ev idente que las variables monigote son tales que lo siguiente

debe ser cierto:

Llevando a cabo la integracin por partes, se tiene entonces:

El trmino uv se desv anece en ambos lmites. Procediendo de

modo similar repitiendo la tcnica de integracin por partes,obtenemos:
http://4.bp.blogspot.com/-59WD3nf5Iy4/ULJnf6z9zoI/AAAAAAAAYC8/OZIvQ6dJ0QM/s1600/problema+3-06.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-1dwnrX7QOJM/ULJnU6edUDI/AAAAAAAAYC0/al6T76Fp0YQ/s1600/problema+3-05.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-o_8UbRDkQfA/ULJnMK00cZI/AAAAAAAAYCs/Q18fMHpTZ9s/s1600/problema+3-04.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-5ZOgIXj5Afs/ULJnB-7Fc9I/AAAAAAAAYCk/racuMK3nIVg/s1600/problema+3-03.png


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Cada subsecuente integracin po r partes v a reco giendo los

factores adicionales sen2 (), u, y un coeficiente en la progresin

1/ 3, 1/5 , 1/7 , etc. Por lo tanto, la generalizacin deseada es:

La representacin integral de J0(u) se puede demostrar llevando a

cabo la ex pansin del integrando en una serie de potencias,

llevando a cabo la integracin trmino por trmino, y efectuando

la comparacin c on la expansin en series para J0(u).

PROBLEMA: Utilcense los resultados vistos previamente para

demostrar las siguientes relaciones:

De lo que se ha visto c on anterioridad, se tiene que:

Para n.=.1/ 2, se vuelv e necesario recurrir a las propiedades de

la funcin Gammaen la forma en la que se aplica para argumentos

de medio orden integral. En este caso, consultando la bibliografa

matemtica, se tiene que:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gammahttp://4.bp.blogspot.com/-tvzjA5qsvK8/ULJn3XIS00I/AAAAAAAAYDM/DmdnG61wJ6o/s1600/problema+4-01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-vHiBz75t0a0/UMENWJmWMhI/AAAAAAAAY1c/nPqdrMRS0RM/s1600/expresion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-ZCRvafAp1-I/UMENSL8REAI/AAAAAAAAY1U/l7ptcCIaGkM/s1600/expresion+1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-_UHlR9YcRcE/ULJnrFiTJhI/AAAAAAAAYDE/2toxZCrNd3A/s1600/problema+3-07.png


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De este modo, la serie to ma el siguiente aspecto :

De modo semejante, para n.=.-1/2:

Entonces para este c aso la serie toma el siguiente aspecto :
http://1.bp.blogspot.com/-k46g0IH87Zo/ULJodd-kbEI/AAAAAAAAYDk/GSeC8kK4-FA/s1600/problema+4-04.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-SX-xBikp9vw/ULJoRvMuCrI/AAAAAAAAYDc/Iii97ltS-D0/s1600/problema+4-03.pnghttp://3.bp.blogspot.com/--LwLZHUgB9s/ULJoFTGFcqI/AAAAAAAAYDU/Xki9SSbHvBI/s1600/problema+4-02.png


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Un procedimiento alterno de solucin co nsiste en rec urrir a la

siguiente substitucin:

tomando n.=.1/ 2 en la ec uacin diferencial de Bessel, lo cual

reduce la ecuacin a la forma familiar:

PROBLEMA: Obtnganse expresiones para las siguientes

unciones de Bessel y de Neumann de medio orden integral:

Las funciones de Bessel J+1/2y J-1/2pueden ser ob tenidas

directamente de la ex pansin en series dada arriba:

Puesto que ya se obtuvieron J+1/2y J-1/2en el prob lema anterior,
http://3.bp.blogspot.com/-hf8q2Udf5pA/ULJl9bFwW9I/AAAAAAAAYBs/8p6nyv2b1DY/s1600/problema+2-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-X4-J8FGLFHA/UMFUDAcVpwI/AAAAAAAAY9M/4gIGMm67eOg/s1600/funciones+a+evaluar.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-ACWur7HPiLg/ULJo3evvDNI/AAAAAAAAYD0/pjHMDyPmHVY/s1600/problema+4-07.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Dl4relxeeA0/ULJpV0-ryEI/AAAAAAAAYD8/ct8Jau_qdMI/s1600/problema+4-06.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-VeTH-7hqWP8/ULJoqGqpUOI/AAAAAAAAYDs/BJJzIDeUveU/s1600/problema+4-05.png


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no ser necesario repe tir aqu la solucin de los mismos.

En lo que respecta a la funcin de Bessel J+3/2, esta puede ser

obtenida con la ayuda de la relacin recursiva:

Usando los resultados obtenidos arriba,

Por otra parte, para J-3/2, se tiene:

Para valores medios integrales de n, la relacin:

nos conduce a:
http://2.bp.blogspot.com/-Gu2jC-YmTyI/UMERFoVWLLI/AAAAAAAAY2o/vz2NQZ0MPsY/s1600/problema+10-03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-A49icVotaSM/UMJXlthIDgI/AAAAAAAAZDk/a32caEZupfE/s1600/definicion+formal+de+funcion+de+Neumann.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-sIfuIgh4pAE/UMEQ713CBwI/AAAAAAAAY2g/_c6fdVZHncs/s1600/problema+10-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-xeg3ZGO8tlE/UMJV8Lhbl4I/AAAAAAAAZDc/qIEa2-SP-Mg/s1600/solucion+funcion+Bessel+de+orden+3+medios.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-HI_7nK1iSQM/UMEQ0u45vJI/AAAAAAAAY2Y/hf3MyYKR9pM/s1600/problema+10-01.png


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Por lo tanto:

Del mismo modo:

Usando los factores de normalizacin e indexacin que

corre sponden propiamente a las funciones esfricasde Bessel,

tenemos primero que:

Del mismo modo:

En lo que to ca a las funciones esfric as de Neumann, se tiene

primero que:

Del mismo modo:
http://3.bp.blogspot.com/-apz1gDAcwHo/UMER9wsvc1I/AAAAAAAAY3Y/D-d7Jobij-Q/s1600/problema+10-09.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-1YPW8fSbHi8/UMER3Bua81I/AAAAAAAAY3Q/gxDM9CvV61o/s1600/problema+10-08.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-n4nFvg0IEpU/UMERrhzZffI/AAAAAAAAY3I/L5tWIBM20sI/s1600/problema+10-07.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-8IbvOrvIaMM/UMERduDTmbI/AAAAAAAAY3A/RFTl885se0g/s1600/problema+10-06.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-P225tGXAfSg/UMERX2KCDOI/AAAAAAAAY24/jGucxKZa_Ss/s1600/problema+10-05.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-O_DPDbx4dy0/UMEROyXIAoI/AAAAAAAAY2w/yN29vnPsLc0/s1600/problema+10-04.png


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PROBLEMA: Usando la relacin:

demustrese lo siguiente:

Usando la expresin as obtenida, demustrese que:

Finalme nte , utilcese la expresi n anterior para demostrar que:

Obtnganse de esta ltima relacin las primeras tres funciones

esfricas de Bessel, y comprubese que se obtiene lo mismo que lo

que haba sido dado previamente.

Utilizaremos el muy co nocido proc edimiento deinducc in

matemticapara demostrar lo primero. Para m.=.0, la relacin a

ser demostrada se reduc e al siguiente resultado que es

trivialmente cierto:

Suponemos ahora que la relacin es vlida para cualquier valor

de m. Tenemos que demostrar que ello implica que ser v lida

tambin para m+1. Si el teorema a ser demo strado es v lido

para m, entonces para m+1 se tiene:
http://4.bp.blogspot.com/-oZu-W7DdN-M/UMESmljVNzI/AAAAAAAAY34/Jx8yvVbLw28/s1600/problema+11-04.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://2.bp.blogspot.com/-dj6fbcHivno/UMESfqCpWaI/AAAAAAAAY3w/KgduCmkBxU4/s1600/problema+11-03.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-yDKShM49EZw/UMESUNoRQRI/AAAAAAAAY3o/bG-UpXjoR2I/s1600/problema+11-02.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-oAGLcpkA_PU/UMESIU7EA3I/AAAAAAAAY3g/y2zmH0YAE_U/s1600/problema+11-01.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-HI_7nK1iSQM/UMEQ0u45vJI/AAAAAAAAY2Y/hf3MyYKR9pM/s1600/problema+10-01.png


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Esto se reduce a la forma:

al llev ar a cabo el reemplazo nn+m. Puesto que hemos

demostrado la v alidez de la hiptesis para m.=.0 y para m+1, ser

vlida para c ualq uier v alor entero de m, con lo c ual se d por

conc luida la demostracin.

Ahora b ien, hgase n.=.1/2 y ml. La relacin demostrada se

vuelv e ento nces:

Pero:

y se t iene tambin q ue:
http://1.bp.blogspot.com/-WzcCkuopfXk/UMETBFIltDI/AAAAAAAAY4Q/FvjMI0TNe3c/s1600/problema+11-07.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-zz_47yM-NG0/UMES36gSEqI/AAAAAAAAY4I/qOYxg94dJBo/s1600/problema+11-06.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-HI_7nK1iSQM/UMEQ0u45vJI/AAAAAAAAY2Y/hf3MyYKR9pM/s1600/problema+10-01.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-X7-NEvJj0VM/UMESuN_RSDI/AAAAAAAAY4A/FPVIOYUN9oM/s1600/problema+11-05.png


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Entonces, para la funcin de Bessel de medio orden integral:

Y en lo que respe cta a la funcin esfrica de Bessel

correspondiente:

Para l= 0, 1 y 2, esta ltima relacin que acabamos de obtener nos

produce las primeras tres funciones esfricas de Bessel que

resultan ser idnticas a lo dado prev iamente:

PROBLEMA: Ve rifquese por integracin directa que la
http://2.bp.blogspot.com/-nnc2Ru-WamE/UMETmFZ1vrI/AAAAAAAAY4w/u-Pd5GIuNSk/s1600/problema+11-11+funciones+de+Bessel+esfericas.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-6M8G9f8o1Gk/UMETb1eJ-aI/AAAAAAAAY4o/PniP4sL3FNM/s1600/problema+11-10+funcion+de+Bessel+esferica.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-HO6Ku1_b2ro/UMETUBMbkXI/AAAAAAAAY4g/N63OdsC44AQ/s1600/problema+11-09.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-XWUBUTEEDo0/UMETKeuYt9I/AAAAAAAAY4Y/6sPtCvOuoeY/s1600/problema+11-08.png


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expresin:

roduce las primeras tres funciones esfricas de Bessel.

La ecuacin proporc ionada es una forma integral de las funciones

esfricas de Bessel, que co n un ligero cambio en la notacin toma

el siguiente aspecto :

Usando los polinomios de Legendre:

se tiene entonces por principio de cuentas:

Del mismo modo, y llevando a cabo una integracin por partes:
http://3.bp.blogspot.com/-huHsnIfsnaM/UMJhoajHGaI/AAAAAAAAZEs/eOo5U93Ra_c/s1600/problema+12-02.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-856LvJDWtoE/UMjRFFrnBNI/AAAAAAAAZgA/-w5Zh7m3A_A/s1600/polinomios+de+Legendre.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-A_PM2h3_8BM/UMJhgYXb3SI/AAAAAAAAZEk/2PpHUzxDe3Y/s1600/problema+12-01.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-0GhKxTK30-A/UMjOyZspXZI/AAAAAAAAZf4/Qx7Qd93bmyU/s1600/relacion.png


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Finalmente:

PROBLEMA:Lasfunc iones ge neradora spara las funciones

esfricas de Bessel y Neumann son las siguientes:

en donde, por ejemplo, operacionalmente hablando:

y as sucesivamente para valores crecientes de l. Utilcense estas

unciones ge neradoras para obtener las primeras tres funciones

esfricas de Bessel y de Neumann.

Las funciones jlpara l.=.0, 1 , y 2 fueron obtenidas en uno de los

problemas resueltos arriba precisamente por este pro cedimiento.

Podemos escribir la funcin generadora de la siguiente manera:
http://4.bp.blogspot.com/-XW_G9V70jjw/UMJlv2Ru6BI/AAAAAAAAZFc/_IRu_M2V2E0/s1600/expresion+operacional.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-yJ12b9bypi4/UMJk2dknopI/AAAAAAAAZFU/MktS3AA2Umc/s1600/funciones+generadoras.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-fFbJwTbeTTI/UMJh5lPFrKI/AAAAAAAAZE8/5kUN9Mvudic/s1600/problema+12-04.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-bx00_ReTIo0/UMJhxW0z-FI/AAAAAAAAZE0/ZOwnS455Kvo/s1600/problema+12-03.png


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Por lo tanto:

Las funciones esfricas nlpueden ser obtenidas de las funciones

esfricas de Bessel jlmediante la substitucin (el signo negativov iene de l signo negativo e xtra en la func in generado ra):

sen(u)- cos(u)

y la substitucin (el signo e s inv ertido por el signo negativ o

adicional en la diferenciacin hacia el coseno):

cos(u)+ sen(u)

As, por eje mplo:

Sin entrar en tanto detalle en torno a las funciones esfricas de

Bessel y Neumann, resulta posible entender cmo siempre debe

ser posible repre sentar una ondaplana(escrita ya sea como unafuncin senoidal o cosenoidal multiplicada por un factor que

representa la amplitud de la onda) mediante una combinacin en

serie (infinita) de funciones de Bessel, en v irtud de las siguientes

relaciones matemticas cuy a demostracin puede ser enco ntrada

en Internet y e n muchos texto s de matemticas propias de la

fsica:
http://2.bp.blogspot.com/-pmltVRVTG5A/ULPYCGzKB3I/AAAAAAAAYG0/Sya8VCbLYtc/s1600/expansion+onda+senoidal+en+serie+de+funciones+de+Bessel.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-uXwPOCp-xiM/UMjWSUPab-I/AAAAAAAAZhI/Gykf6qLupQ4/s1600/funcion+esferica+de+Neumann+de+orden+3.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-6BiKfMcq30g/UMJigV2aPUI/AAAAAAAAZFM/-olhWw0tKb4/s1600/problema+13+-+02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-D3ah1-cjxg8/UMJiXxqEQlI/AAAAAAAAZFE/MI8wa1y-t6A/s1600/problema+13+-+01.png


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Entrada ms reciente Entrada antigua

Si es posible representar una onda plana en funcin de una

combinacin de un nmero infinito de ondas esfricas, puede

surgir entonces la pregunta: ser posible hacer lo opuesto, esto

es, representar una onda esfrica utilizando ondas planas? Larespuesta, como pudiera sospecharse, es afirmativa. En efecto, y

utilizando como referencia la definicin para una transformada de

Fourier en una dimensin:

pero ex tendida a tres dimensiones, se encuentra que una ondaesfrica definida como Ylm.j(kr) puede ser ex pandida en trminos

de ondas esfricas mediante el clculo de los c oeficientes A(k) de

la siguiente relacin:

Lo que se llev a a cabo, e n efecto, es una transformada de Fourier

en el sentido inverso. Aunque el lector po siblemente y a

sospechaba desde un principio que esta era la forma de llevarlo a

cabo.

P U BL I C AD O P OR A R MA N DO MA R T N E Z T LL E Z E N 1 2 :4 4

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La Mecánica Cuántica - Aspectos matemáticos de las ondas esféricas - Funciones de Bessel