Upload
fernando-angel
View
575
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Diciembre 92013
Este trabajo es de autoría netamente propia basado en la necesidad de una demostración formal de la invariancia de las ecuaciones de maxwell bajo las transformaciones de galileo
Lizbeth Chamba Ángel Vinueza
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECMUNICACIONES
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA II
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Grupo: Lizbeth Chamba
Ángel Vinueza
Curso: 4to semestre
Periodo: 2013-2014
Fecha de entrega: 9 de Diciembre del 2013
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
OBJETIVOS
Objetivo General
Demostrar las ecuaciones de maxwell bajo las transformaciones de Galileo
Objetivos Específicos
Comprobar que las ecuaciones de maxwell no son invariantes en el tiempo
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Obtener más conocimiento sobre el cómo comprobar que las ecuaciones de maxwell no son invariantes en el tiempo mediante las ecuaciones de Galileo mencionados en clases
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
En la mayoría de los libros de texto de Física General las transformaciones de Galileo y de Lorentz aparecen en temas diferentes.Por si fuera poco, se considera a la transformación galileana tan intuitiva y tan asumida que no se explica suficientemente su alcance en la Mecánica Clásica ni por qué todos los observadores inerciales (esto es, que no llevan aceleración) tienen que escribir las leyes físicas de la misma forma.
Por otro lado, cuando en los textos de Física se dice que la teoría de Maxwell no cumple la transformación de Galileo, rara vez se explica o se prueba que es así
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Tampoco suelen aclarar qué razones llevaron a Einstein a cuestionar la transformación de Galileo y sustituirla por la transformación de Lorentz.
En este artículo se trata de explicar las dos transformaciones paso a paso de comprender su importancia en la Física y de dar respuesta a las preguntas anteriores
Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
La teoría del Electromagnetismo de Maxwell está sintetizada en cuatro ecuaciones fundamentales (ecuaciones de Maxwell), que, además, conducen a fenómenos completamente nuevos. El logro quizá más importante de la teoría fue la predicción de la existencia de ondas electromagnéticas y dar cuenta de que la luz podía comprenderse como un tipo de onda electromagnética.En este punto vamos a probar de una manera sencilla que las ecuaciones de
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo, utilizando para ello la ecuación de la onda electromagnética que se obtiene al combinar convenientemente las ecuaciones de Maxwell.
Una onda electromagnética consiste en campos eléctricos y magnéticos, mutuamente perpendiculares, variables en el tiempo. Esta variación genera una perturbación que se propaga en el espacio; es decir, una onda electromagnética.
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Si los campos varían en el tiempo de forma senoidal, la onda generada será senoidal, que es el tipo de onda más simple. La onda representada en la figura es senoidal y se propaga a lo largo del eje OX del sistema de coordenadas elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan sólo en los planos XZ y XY), monocromática (sólo hay una frecuencia de vibración) y unidimensional (se propaga sólo en la dirección del eje OX)(3)
Las ecuaciones de los campos eléctrico, E, y magnético, B, de la onda electromagnética monocromática que se propaga en la dirección del eje OX son,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
donde E0 y B0son, respectivamente, los valores máximos, de los campos eléctrico y magnético; k = 2pi /l el número de ondas (siendo l la longitud de onda) y c la velocidad de la luz. Cojamos una de las componentes de la onda, por ejemplo la eléctrica, y derivemos respecto al tiempo (4)
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Ya que E0= cte y x = cte, pues estamos considerado un punto particular del eje OX. Derivemos de nuevo respecto a t (o sea, hacemos la 2ª derivada).
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Derivemos de nuevo la ecuación (1.7) dos veces, pero esta vez respecto a x en un instante particular; esto es, haciendo t = cte,
Al comparar las ecuaciones (1.9) y (1.10) obtenemos que,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Que es la ecuación diferencial segunda de la componente eléctrica de la onda electromagnética (5)
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una transformación de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan las coordenadas
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
espaciales y el tiempo medidos por los dos observadores inerciales O y O de la figura (O se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje OX común a ambos sistemas de coordenadas), son
De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
.
Puesto que t = t , es evidente que
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
El observador del sistema de referencia O aplica la ecuación (1.11). Si las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una transformación de Galileo, el observador del sistema de referencia O , que se mueve con velocidad constante respecto a O, debería aplicar la ecuación en la misma forma, o sea,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Veamos si esto se cumple o no. Derivando la componente eléctrica de la onda electromagnética E(x, t) respecto a x, aplicando la regla de la cadena (6) y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.12) y (1.13), tenemos,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
y volviendo a derivar de nuevo la última ecuación respecto a x,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Hemos partido de las ecuaciones (1.7) y (1.8) porque son más familiares (aparecen en todos los textos de Física General).6
La regla de la cadena para una función y=f(x) tal que g(t) establece que,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Resultado que se puede generalizar a funciones de varias variables. Para una función de dos variables z=f(x,y) tal que x=g(t,s) and y=h=(s,t) la regla de la cadena establece que
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Donde se ha sustituido el símbolo de derivada “d” por del de derivada parcial “d” ya que al derivar respecto a una variable se consideran constantes las demás. Por ejemplo, la derivada parcial de z=2x2y-3y respecto a la variable x es: dz/dx=4xy
Puesto que t = t’ , resulta que,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Combinado las ecuaciones (1.11), (1.14) y (1.15) obtenemos que,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
que no mantiene la misma forma que (1.11); esto es, las ecuaciones de Maxwell no son invariantes frente a una transformación de Galileo.
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
DESARROLLO
∇ .E=0 (1)
∇× E=−∂ B∂ t
(2)
∇ .B=0(3)
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇×B= 1
c2∂E∂ t
(4)
La función de onda para cualquier función potencial se escribe comoφ
∇2φ= 1c2∂2φ∂t 2
Aplicando rotacional a la ecuación 2 tenemos
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇× (∇× E )=∇×(−∂B∂ t )=(−∂(∇×B)∂t )
Sustituyendo la ecuación 4
∇× (∇× E )=(−∂ (∇×B )∂ t )=(−∂∂ t ( 1c2 ∂ E∂ t ))=(−1c2 ∂∂ t ( ∂ E∂ t ))
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇× (∇× E )=(−1c2 ∂2E∂t 2 )
Primero calculemos el rotacional de E, sabiendo que E = (Ex , Ey, Ez)
∇× E≡| i j k∂∂ x
∂∂ y
∂∂ z
Ex Ey E z|≡( ∂E z∂ y
−∂ Ey∂ z ) i−( ∂E z∂ x
−∂ Ex∂ z ) j+( ∂ Ey∂ x
−∂Ex∂ y )k
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇× E≡( ∂E z∂ y−∂ Ey∂z ) i+( ∂ Ex∂z −
∂ E z∂x ) j+( ∂ E y∂x
−∂ Ex∂ y )k
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇×(∇×E)=|i j k∂∂x
∂∂ y
∂∂ z
( ∂ E z∂ y−∂E y∂ z ) ( ∂Ex∂ z −
∂E z∂ x ) ( ∂ E y∂x
−∂ Ex∂ y )|
∇× (∇× E )=[ ∂∂ y ( ∂ Ey∂ x−∂Ex∂ y )− ∂
∂ z ( ∂Ex∂ z −∂E z∂ x )] i+[ ∂∂ z ( ∂ E z∂ y
−∂E y∂ z )− ∂
∂ x ( ∂ E y∂x−∂ Ex∂ y )] j+[ ∂∂ x ( ∂ Ex∂ z
−∂ E z∂x )− ∂
∂ y ( ∂E z∂ y−∂ Ey∂ z )]k
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇× (∇× E )=[( ∂2 Ey∂ y ∂x−∂2 Ex∂ y2 )−( ∂
2 Ex∂ z2
−∂2E z∂ z∂ x )] i+[( ∂2E z∂ z ∂ y
−∂2 Ey∂ z2 )−( ∂
2 Ey∂ x2
−∂2 Ex∂ x∂ y )] j+[( ∂2Ex∂ x∂ z
−∂2E z∂ x2 )−( ∂
2 E z∂ y2
−∂2 Ey∂ y ∂ z )]k
∇× (∇× E )=[ ∂2E y∂ y ∂ x+∂2E z∂ z∂ x
−∂2Ex∂ y
2 −∂2Ex∂ z
2 ] i+[ ∂2 E z∂ z∂ y+∂2Ex∂ x ∂ y
−∂2 Ey∂ z
2 −∂2E y∂ x
2 ] j+[ ∂2Ex∂x ∂ z+∂2E y∂ y∂ z
−∂2E z∂ x
2 −∂2 Ez∂ y
2 ]kUna propiedad de los vectores dice que
∇× (∇× E )=∇ (∇ .E )−∇2E
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Probemos esta identidad
∇ .E=( ∂∂ x i+ ∂∂ y
j+ ∂∂zk ). (Ex i+E y j+E z k )
∇ .E=( ∂ Ex∂ x+∂ Ey∂ y
+∂ E z∂ z )
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇ (∇ . E )=( ∂∂ x ( ∂ Ex∂ x+∂E y∂ y
+∂ E z∂ z ) i+ ∂
∂ y ( ∂Ex∂x +∂ E y∂ y
+∂E z∂z ) j+ ∂
∂ z ( ∂Ex∂ x+∂ Ey∂ y
+∂E z∂ z )k )
∇ (∇ . E )=( ∂2Ex∂x2
+∂2E y∂ x ∂ y
+∂2E z∂ x∂ z ) i+( ∂
2 Ex∂ y∂ x
+∂2 E y∂ y2
+∂2E z∂ y ∂ z ) j+( ∂
2Ex∂ z ∂x
+∂2 Ey∂ z ∂ y
+∂2 Ez∂ z2 )k
Apliquemos el laplaciano
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇2= ∂2
∂ x2+ ∂2
∂ y2+ ∂
2
∂ z2
∇2E=( ∂2∂ x2+ ∂2
∂ y2+ ∂2
∂ z2 )( Ex i+E y j+E z k )
∇2E=( ∂2Ex∂ x2
+∂2Ex∂ y2
+∂2Ex∂ z2 )i+( ∂
2E y∂ x2
+∂2E y∂ y2
+∂2 E y∂ z2 ) j+( ∂
2E z∂ x2
+∂2E z∂ y2
+∂2E z∂ z2 )k
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Restando
∇ (∇ . E )−∇2 E=( ∂2Ex∂x2
+∂2E y∂ x ∂ y
+∂2E z∂ x∂ z
−∂2Ex∂ x2
−∂2Ex∂ y2
−∂2 Ex∂ z2 )i+( ∂
2Ex∂ y ∂ x
+∂2E y∂ y2
+∂2E z∂ y ∂ z
−∂2 Ey∂ x2
−∂2E y∂ y2
−∂2E y∂ z2 ) j+( ∂
2 E x∂ z∂ x
+∂2E y∂ z∂ y
+∂2E z∂ z2
−∂2E z∂x2
−∂2 E z∂ y2
−∂2E z∂ z2 )k
∇ (∇ . E )−∇2 E=( ∂2 Ey∂ x∂ y
+∂2 E z∂ x ∂z
−∂2 Ex∂ y2
−∂2Ex∂ z2 ) i+( ∂
2Ex∂ y ∂x
+∂2E z∂ y ∂ z
−∂2E y∂x2
−∂2 Ey∂ z2 ) j+( ∂
2Ex∂z ∂ x
+∂2E y∂ z ∂ y
−∂2E z∂ x2
−∂2 Ez∂ y2 )k
Ahora sabemos de la ecuación 1 que
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇ .E=0
Por lo que
∇ (∇ . E )=0
Obteniendo
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∇2E=( ∂2E∂x2 + ∂2E∂ y2
+ ∂2E∂z2 )= 1
c2∂2E∂t 2
( ∂2 E∂ x2 + ∂2 E∂ y2
+ ∂2E∂ z2 )− 1
c2∂2E∂ t 2
=0
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Con las transformaciones de Galileo, podemos convertir esta ecuación de onda al sistema de referencia primado. Para esto, utilizamos la regla de la cadena para cualquier función potencial φ
∂φ∂ x
= ∂φ∂ x ,
∂ x ,
∂ x+ ∂φ∂ y ,
∂ y ,
∂x+ ∂φ∂ z ,
∂ z ,
∂ x+ ∂φ∂t ,∂ t ,
∂ x
∂φ∂ y
=∂φ∂ x ,
∂ x ,
∂ y+ ∂φ∂ y ,
∂ y ,
∂ y+ ∂φ∂ z ,
∂ z ,
∂ y+ ∂φ∂ t ,
∂t ,
∂ y
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∂φ∂z
= ∂φ∂ x ,
∂ x ,
∂ z+ ∂φ∂ y ,
∂ y ,
∂ z+ ∂φ∂ z ,
∂ z ,
∂ z+ ∂φ∂t ,∂ t ,
∂ z
∂φ∂ t
= ∂φ∂ x ,
∂ x ,
∂ t+ ∂φ∂ y ,
∂ y ,
∂ t+ ∂φ∂ z ,
∂ z ,
∂ t+ ∂φ∂t ,∂ t ,
∂ t
Las transformaciones de galileo dicen que
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
x=x ,−ut
y= y ,
z=z ,
t=t ,
Aplicando las transformaciones de Galileo a las ecuaciones de maxwell
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∂ E∂ x
=∂E∂x ,
∂x ,
∂ x+ ∂E∂ y ,
∂ y ,
∂ x+ ∂ E∂z ,
∂ z ,
∂ x+ ∂E∂ t ,
∂ t,
∂x
Se observa que
∂ x,
∂ x=1
∂ y ,
∂x=0
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∂ z ,
∂x=0
∂ t ,
∂ x=0
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Por lo que
∂ E∂ x
=∂E∂x ,
De manera análoga para
∂ E∂ y
=∂ E∂ y ,
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∂ E∂z
=∂E∂ z ,
Pero al derivar con respecto al tiempo se obtiene que
∂ E∂t
=∂E∂x ,
(−u )+ ∂ E∂t ,
Para la segunda derivada tenemos
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
∂∂ t∂ E∂ t
=∂2 E∂ t2
= ∂∂x , ( ∂ E∂ x , (−u )+ ∂E
∂ t , ) ∂ x,
∂ t+ ∂∂ t, ( ∂ E∂ x , (−u )+ ∂E
∂ t , ) ∂ t,
∂t
∂∂ t∂ E∂ t
=∂2 E∂ t2
= ∂∂x , (−u ∂ E∂ x ,+ ∂E∂ t , ) ∂ x
,
∂ t+ ∂∂t , (−u ∂ E∂ x ,+ ∂E∂ t , ) ∂ t
,
∂t
∂2E∂t 2
=u2 ∂2E∂ x ,2
−2u ∂2E∂ x ,∂ t ,
+ ∂2 E∂ t ,2
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Sustituyendo en la ecuación de onda para el sistema primado
∂2 E∂ x, 2
+ ∂2 E∂ y ,2
+ ∂2E∂z , 2
= 1c2
(u¿¿2∂2E∂ x ,2
−2u ∂2E∂ x ,∂ t ,
+ ∂2E∂t ,2
)¿
(1−u2c2 ) ∂2 E∂ x ,2
+ ∂2 E∂ y ,2
+ ∂2E∂z , 2
+2 uc2
∂2E∂ x ,∂ t,
− 1c2∂2 E∂ t ,2
=0
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
Lo cual es muy diferente a la ecuación de Onda para el marco de referencia no primado con lo que muestra que las ecuaciones de maxwell no son invariantes bajos las transformaciones de Galileo
OBSERVACIONES
La transformación del Galileo, cuya cuarta ecuación (t = t ) está basada en el sentido común, mantiene invariantes las leyes de la mecánica clásica en todos
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
los sistemas de referencia inerciales, lo que constituye el principio clásico de la relatividad
El hecho de que las ecuaciones del Electromagnetismo (teoría que ha sido verificada experimentalmente muchas veces) no son invariantes ante una transformación de Galileo llevó a Einstein a formular una nueva y revolucionaria teoría: La Relatividad Especial.
Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformación de Galileo
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
RECOMENDACIONES
Las ecuaciones de maxwell en ausencia de fuentes y libres de cargas se escriben en forma diferencial
Siempre que no haya pérdida de generalidad, consideraremos movimientos rectilíneos a lo largo de un eje coordenado del sistema de referencia y fuerzas que actúen en ese eje De este modo las magnitudes vectoriales posición, velocidad, momento line al, aceleración y fuerza
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
quedan determinadas por sus respectivas componentes en ese eje y las correspondientes ecuaciones no son vectoriales, sino escalares.
ANEXOS
http://multiblog.educacion.navarra.es/lcordonm/files/2011/06/Transformaciones-de-Galileo-y-Lorentz.pdf
La no invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galileo 2013
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000440/lecciones/radiacion_electromagnetica/invarianzaecuacionesmaxwell.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Invariancia_galileana
http://www.antidogma.ru/spanish/node53.html