En este captulo se introduce la nocin de una variedad de
Riemann(M, g). El g mtrica nos proporciona un producto interno en
cada tangenteespacio y puede ser utilizado para medir ngulos y las
longitudes de curvas enel colector. Esto define una funcin de
distancia y convierte el colectoren un espacio mtrico de una manera
natural. La mtrica de Riemann en unvariedad diferenciable es un
ejemplo importante de lo que se llama uncampo tensorial.Sea M una
variedad diferenciable, C (M) denota el anillo conmutativofunciones
de lisas en M y C (TM) el conjunto de vectores suavecampos en M que
forman un mdulo sobre C (M). ponerC0(TM) = C (M)y para cada nmero
entero positivo r dejarCr(TM) = C (TM) C (TM)ser el producto tensor
r veces de C (TM) sobre C (M).En este captulo se introduce la
conexin de Levi-Civita de unVariedad de Riemann (M, g). Este es el
ejemplo ms importante dela nocin general de una conexin en un
paquete del vector suave. nosotrosdeducir una frmula explcita para
la conexin de Levi-Civita para grupos de Lieequipada con mtricas de
izquierda invariante. Tambin damos un ejemplo de unconexin en el
paquete normal de una subvariedad de un riemannianocolector y
estudiar sus propiedades.En el m-dimensional espacio vectorial real
Rm tenemos la bien conocidaoperador diferencialmtricas
riemannianasUna mtrica de Riemann es una familia de problemas
diversos productos internos en los espacios tangentes deun colector
suave. Mtricas riemannianas son objetos as infinitesimales, pero
pueden ser utilizados paramedir distancias en el colector. Fueron
introducidos por Riemmann en su trabajo seminal [Rie53]en 1854. En
ese momento, el concepto de un colector era extremadamente vaga y,
a excepcin de algunos conocidosejemplos globales, la mayor parte de
los trabajos de los gemetras centran en consideraciones locales,
por lo que la modernaconcepto de una variedad de Riemann tom
bastante tiempo para evolucionar a su forma actual. sealamosel
hecho aparentemente obvio que un mltiple liso dado puede estar
equipado con muchos diferentesMtricas de Riemann. Esto es realmente
una de las grandes ideas de Riemann, es decir, la separacinentre
los conceptos de espacio y mtrica.Conexin afimnContemplar Rn. Por
supuesto, la presencia de la hoja de la identidad como un grfico
mundial le permite a unocannicamente identificar los espacios
tangentes de Rnen sus diversos puntos con Rns mismo. Por lo tanto,
unalisa X campo de vectores en Rnpuede ser visto simplemente como
un mapa lisa X: Rn Rn. Por lo tanto, uno tieneuna forma cannica de
la diferenciacin de los campos de vectores en Rn, Es decir, si X,
Y: Rn Rnson dos vectorescampos, entonces la derivada de Y a lo
largo de X es la derivada direccional dY (X) = X (Y).Mientras que
una variedad diferenciable M ya viene equipado con una nocin de
derivada de lisamapas, no hay forma cannica para diferenciar los
campos vectoriales en M. Se resuelve este problema porteniendo en
cuenta todas las formas posibles de definir derivados de campos
vectoriales. Cualquier eleccin se llama unaconexin. El nombre se
origina en el hecho de que, al menos a lo largo de una curva dada,
una conexinproporciona una manera de identificar ("conectar")
espacios tangentes de M en diferentes puntos; esta es la idea
detransporte paralelo a lo largo de la curva. Una geodsica es
entonces una curva cuyo vector velocidad es constante eneste
sentido.La principal consecuencia de la teora de las conexiones
para la geometra de Riemann es que una de Riemannmtrica de M
especifica unvocamente una conexin en M, llamada la conexin de
Levi-Civit`a. En elcaso en el que M es una superficie en R3, Para
la conexin de Levi-Civit`a en M recuperamos la derivadaen R3
proyectado volver a M.Las conexiones pueden ser definidas en una
variedad de maneras. Vamos a utilizar el formalismo
Koszul...Engeometra diferencial, lageometra de Riemannes el estudio
de lasvariedades diferencialesconmtricas de Riemann; es decir de
una aplicacin que a cada punto de la variedad, le asigna unaforma
cuadrticadefinida positivaen suespacio tangente, aplicacin que vara
suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre
otras magnitudes)ngulo,longitud de curvas, yvolumen. A partir de
stas, pueden obtenerse otras magnitudes porintegracinde las
magnitudes locales.Fue propuesta por primera vez de forma general
porBernhard Riemannen el siglo XIX. Como casos especiales
particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometra
elpticaygeometra hiperblica) degeometra No-Euclidiana, as como
lageometra euclidianamisma. Todas estas geometras se tratan sobre
la misma base, al igual que una amplia gama de las geometras con
propiedades mtricas que varan de punto a punto.Cualquier variedad
diferenciable admite unamtrica de Riemanny esta estructura
adicional ayuda a menudo a solucionar problemas detopologa
diferencial. Tambin sirve como un nivel de entrada para la
estructura ms complicada de lasvariedades pseudo-Riemann, las
cuales (en el caso particular de tener dimensin 4) son los objetos
principales de la teora de larelatividad
general...Introduccin[editar]Una variedad de Riemann es una
generalizacin del conceptomtrico,diferencialytopolgicodelespacio
euclidianoa objetos geomtricos quelocalmentetienen la misma
estructura que el espacio euclidiano pero globalmente pueden
representar forma "curva". De hecho, los ejemplos ms sencillos de
variedades de Riemann son precisamente superficies curvas
deysubconjuntos abiertosde.La estructura matemtica de la geometra
riemanniana permite extender a subconjuntos curvos o
hipersuperficies del espacio euclidiano, las nociones mtricas
delongitudde una curva, rea de una superficie, (hiper)volumen o
ngulo entre dos curvas. Esto se realiza definiendo en cada punto un
objeto matemtico llamadotensor mtricoque permite especificar un
procedimiento para medir distancias, y por tanto definir cualquier
otro concepto mtrico basado en distancias y sus variaciones.Desde
el punto de vista matemtico una variedad de Riemann es una tripleta
del tipo:
Donde:es unavariedad diferenciableen la que se ha especificado
el conjunto de cartas locales.es una aplicacin bilineal definida
positiva desde el espacio tangente a la variedad:En particular, la
mtricagpermite definir en cada espacio tangente una
norma||.||mediante
Variedades riemannianas como subvariedades[editar]Una forma
sencilla de construir variedades riemanninas es buscar subconjuntos
"suaves" del espacio euclidiano. De hecho, cadasubvariedad
diferenciabledeRntiene unamtrica de Riemanninducida: elproducto
interioren cada fibra tangente es la restriccin del producto
interno enRn.De hecho, como se sigue delteorema de inmersin de
Nash, todos las variedades de Riemann se pueden considerar
subvariedades diferenciables de, para algnD. En particular se puede
definir una variedad de Riemann como unespacio mtricoque
esisomtricoa una subvariedad diferenciable deRDcon la mtrica
intrnseca inducida. Esta definicin puede no ser tericamente
suficientemente flexible, pero es muy til al construir las primeras
intuiciones geomtricas en lageometra de Riemann.En general una
subvariedad de, dimensinm, vendr definida localmente por un
conjunto de aplicaciones diferenciables del tipo:
Por lo que matricialmente se tendr en cada punto de coordenadas
asociadasuique el tensor mtrico puede expresarse en coordenadas
locales en trminos de lamatriz jacobianadef:
En este caso lasharan el papel de coordenadas locales sobre la
subvariedad.Variedades riemannianas como secciones
diferenciables[editar]Una variedad de Riemann se define
generalmente como variedad diferenciable con unaseccin
diferenciablede formas cuadrticas positivo-definidas en elfibrado
tangente. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede ser
convertido en un espacio mtrico:Si : [a,b] Mes una curva
continuamentediferenciableen la variedad de RiemannM, entonces se
define su longitudL() como
(ntese que el '(t) es un elemento del espacio tangente aMen el
punto (t); ||.||denota lanormaresultante del producto interior dado
en ese espacio tangente.)Con esta definicin de longitud, cada
variedad de Riemann conexaMse convierte en unespacio mtrico(e
incluso unespacio mtrico con longitud) de un modo natural: la
distanciad(x,y) entre los puntosxyyenMse define comod(x,y) =inf{
L(): es una curva continuamente diferenciable que conecta
axyy}.Conceptos mtricos[editar]Lneas geodsicas[editar]Artculo
principal:GeodsicaAunque las variedades de Riemann son generalmente
"curvas", no obstante, podemos encontrar que dados dos puntos
diferentes y suficientemente cercanos existe una curva de longitud
mnima (aunque esta no tiene porqu ser nica). Estas lneas de mnima
longitud se llaman lneasgeodsicasy son una generalizacin del
concepto "lnea recta" o "lnea de mnima longitud". stas son las
curvas que localmente conectan sus puntos a lo largo de las
trayectorias ms cortas.As dada una curvacontenida en una variedad
riemannianaM, definimos la longitud de dicha curvaL() mediante el
vector tangente a la misma y las componentesgijdel tensor
mtricogdel siguiente modo:
Dondexi(t) es la expresin paramtrica de los puntos de lacurva
parametrizadamediante el parmetrot. Usando lossmbolos de
Christoffelasociadas a laconexinsintorsin, la curva geodsica de
mnima longitud que pasan por un puntox0y tiene el vector
tangentevsatisface la siguiente ecuacin:
Nos gustara diferenciar campos vectoriales pero a medida que
tomar valores en diferentesespacios vectoriales en diferentes
puntos, no es tan claro como hacer la diferenciacocientes y as
derivados. Lo que se necesita es un poco de estructura extra: una
conexinque debe ser considerado como un "derivado de direccin" para
el vectorcampos..La idea de Riemann fue que en lo infinitamente
pequeo, en una escala mucho ms pequea que la del ms pequeopartcula,
no sabemos si la geometra euclidiana se encuentra todava en vigor.
Por lo tanto, mejor no asumir queeste es el caso y en lugar de
abrir la posibilidad de que en el infinitamente pequeo puede haber
otrafunciones de longitud, puede haber otros productos internos en
el espacio tangente! Una variedad de Riemannes una variedad lisa
equipado con producto interno, que puede o no puede ser el interior
euclidianaproducto, en cada espacio tangente..La idea de Riemann
fue que en lo infinitamente pequeo, en una escala mucho ms pequea
que la partcula ms pequeo, no sabemos si la geometra euclidiana se
encuentra todava en vigor. Por lo tanto, mejor no asumir que este
es el caso y en lugar abrimos la posibilidad de que en lo
infinitamente pequeo puede haber otras funciones de longitud, puede
haber otros productos internos en el espacio tangente! Una variedad
de Riemann es una variedad lisa equipado con producto interno, que
puede o no puede ser el producto interno euclidiana, en cada
espacio tangente.
