La Parábola

Es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

Directriz

La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco

Eje Focal

El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice

Es el punto en el cual la parábola intersecta o corta el eje focal.

Lado Recto

Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal.

Parámetro

Es la distancia del foco a la directriz y se designa por la letra p.

Radio vector

Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación de la Parábola

La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h, k) y cuya distancia al foco es p es:

La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje y,  vértice en (h, k) y cuya distancia al foco es p es:

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

De donde obtenemos que y el vértice , por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y

tiene el foco en , la recta directriz es . La gráfica se muestra en la figura 2.

 

Figura 2.

Ejemplo 2

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco en .

Solución

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia

abajo y , entonces la ecuación está dada por:

La directriz es .La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto y recta directriz .

Solución

Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la

directriz y debe pasar por el vértice entonces debe tener ecuación . Para hallar el valor de debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vértice.

Puesto que la solución es , entonces y el foco sería

Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola. Dicha recta tienen ecuación

Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos

La solución de este sistema es

con lo cual la ecuación de la parábola es

 

Propiedades de la parábola

 Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión. O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Esté hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco. Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector

Ejercicios

1. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco en .

2. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos

3. Determine la ecuación canónica de la parábola

4. Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje y pasa por los puntos

Respuesta:

5. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los puntos .

6. Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos .

7. Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en y directriz .

8. Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones

a.) vértice en .

b.) contiene al punto con

c.) la distancia de a la directriz es 10.

9. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en y directriz