La previa de la paradoja

Russell, Frege y la paradoja

Gottlob Frege, matemtico y lgico alemn, se haba propuesto llevar a cabo el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemtica de la lgica y darle as la ms slida de las bases. Dicho programa haba de realizarse en dos pasos, en el primero de los cuales se definiran los conceptos matemticos en funcin de la lgica para despus, en el segundo, demostrar los teoremas matemticos usando nicamente la lgica.

Tras veinte aos de trabajo, en 1902 Frege haba terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmtica, con la que crea haber dado por fin, mediante la teora de conjuntos, solucin a la fundamentacin lgica de la matemtica. De hecho el libro estaba terminndose prcticamente de imprimir cuando Frege recibi una carta de Bertrand Russell en la que el ingls le explicaba que haba encontrado una paradoja en la teora de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las ms patticas confesiones de la historia de la matemtica:

La paradoja del barbero (Russell)

En un lejano poblado de un antiguo emirato haba un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un da el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y orden que los barberos slo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por s mismas (todas las personas deban ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas).Cierto da el emir llam a As-Samet para que lo afeitara y l le cont sus angustias:En mi pueblo soy el nico barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por m mismo, por lo tanto no debera de afeitarme el barbero de mi pueblo que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algn barbero me debe afeitar pero yo soy el nico barbero de all! El emir pens que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premi con la mano de la ms virtuosa de sus hijas. As, el barbero As-Samet vivi por siempre feliz.Otro fin dice que al no saber que hacer simplemente el barbero se lanzo por la borda.

"Difcilmente puede haber algo ms indeseable para un cientfico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra est acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situacin....

La explicacin matemticaLa paradoja de Russell consiste en lo siguiente: si consideramos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a s mismos, est ese conjunto contenido en s mismo como miembro? Si lo est, por definicin no se contiene a s mismo, luego no lo est. Pero si no lo est, por definicin, debe estar.Esto que parece un galimatas puede explicarse de una forma algo ms clara. Imaginemos una biblioteca que contiene un nmero determinado de libros. Algunos de estos libros son relaciones de otros que se encuentran en la biblioteca; los llamaremos catlogos. Por ejemplo, habr un catlogo que contenga una relacin de todos los libros de matemticas, otro que contenga los poemarios, otro las biografas, etc. Consideramos el conjunto de todos esos catlogos y lo denominamos de tipo A; sern catlogos de libros que no se incluyen a s mismos. Un catlogo de libros de poesa no es un libro de poesa, y por lo tanto es autoexcluyente, y ser del tipo A.Ahora vamos a considerar como otro conjunto un catlogo general que contenga todos los catlogos de la biblioteca. Lo denominaremos de tipo B. La funcin de este catlogo es dar una lista de todos los catlogos de tipo A. Todo parece correcto, pero si lo vemos detenidamente el conjunto que recoge todos los catlogos del tipo A es paradjico. No se ve con claridad? Podemos verlo mejor si formulamos la siguiente pregunta El catlogo general es del tipo A o del tipo B? Si es del tipo A entonces no se incluye a s mismo, porque como hemos dicho, los catlogos del tipo A son autoexcluyentes (libros que referencian otros de distinta ndole). Pero hemos definido el catlogo general como una lista de los catlogos autoexcluyentes (tipo A), por lo tanto ha de estar en la lista... Pero eso no puede ser, porque el catlogo general (tipo B) slo da una relacin de los catlogos del tipo A, por tanto no se puede incluir a s mismo en la lista si es del tipo B (catlogos que no son autoexcluyentes), y si no se incluye es del tipo A y debera estar incluido... Como se ve, llegamos a una contradiccin.

Otra explicacin a partir de la lgicaPARADOJA DE RUSSELL Nos retrotraemos a 1901, cuando Russell estaba enfrascado en sus investigaciones sobre los fundamentos lgicos de las matemticas. Esto requiri que examinara las relaciones entre colecciones de cosas ( Russell hablaba de clases, aunque el trmino moderno es conjunto ). La naturaleza de las "cosas" de las clases era inmaterial; lo que importa era la lgica abstracta de la teora de conjuntos. Pertenecer a un conjunto pareca algo trivial. Si consideramos el conjunto S={a, b, c}, entonces b es un miembro de S pero g no. Si consideramos el conjunto de todos los nmeros enteros pares, entonces 2, 6 y 1.660 son miembros del conjunto, mientras que 3, 1/2, p no lo son. Haciendo avanzar el grado de abstraccin un poco, observamos que los miembros de un conjunto pueden ellos mismos ser conjuntos. Para el conjunto de los miembros T={a, {b,c}}, el primer miembro es a y el segundo es el conjunto { b, c}. O supngase que permitimos que W sea el conjunto consta del conjunto de todos los nmeros enteros pares y el conjunto de todos los nmeros enteros impares. Esto es,

W={{ 2, 4, 6, 8, ...} , { 1, 3, 5, 7, ...}}.

El conjunto W tiene dos miembros, siendo cada uno de ellos en s mismo un conjunto que consta de una infinitud de miembros. El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros a conjuntos suscit a Russell una pregunta curiosa: Puede un conjunto contenerse a s mismo? Escribi que "me pareca que una clase a veces es y a veces no es miembro de s mismo"(24). Pona como ejemplo el conjunto de todas las cucharillas, que ciertamente es una cucharilla. Por tanto, el conjunto de todas las cucharillas no es un miembro de s mismo. Asimismo, el conjunto de todas las personas, no es l mismo una persona y por ello no es un miembro de s mismo. Por otra parte, a Russell le pareca que ciertos conjuntos s de contienen a s mismos como miembros. Su ejemplo era el conjunto de todas las cosas que no eran cucharillas. Este conjunto de no cucharillas, contena tenedores, primeros ministros britnicos, nmeros con 8 cifras; efectivamente, todo lo que no es una cucharilla. Pero el conjunto mismo no es con seguridad una cucharilla. ( no se poda mover el t con l ) y, por tanto, correctamente, pertenece dentro de s mismo todava a otra no cucharilla. O considrese el conjunto X de todos los conjuntos que se pueden describir mediante 20 o menos palabras. El conjunto de todos los bfalos sera un miembro de X, ya que su descripcin "El conjunto de todos los bfalos", slo requiere 6 palabras. Asimismo, "el conjunto de todas las pas de puerco espn" ( 8 palabras ) est en X, al igual que "el conjunto de todos los mosquitos que viven en Sudfrica" ( 10 palabras). Pero este criterio de pertenencia garantiza que X ("el conjunto de todos los conjuntos que se pueden describir con 20 o menos palabras"), al haber sido descrito , por tanto, en 14 palabras debe incluirse dentro de s mismo. Claramente cada conjunto pertenece a una de estas dos categoras. O es un conjunto, como las cucharillas, que no es miembro se s mismo -en cuyo caso lo llamaremos conjunto de Russell-, o es un conjunto, como X, que no se contiene a s mismo entre sus miembros. Estas inocentes reflexiones tomaron un giro amenazador cuando Russell decidi considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Estos es, decidi reunir todos los conjuntos de Russell en un enorme conjunto nuevo al que llamaremos R. Entonces R tendr entre sus miembros el conjunto de todas las cucharillas, el conjunto de todas las personas y muchsimos ms. Y ahora viene la pregunta que conmovi los fundamentos: Es R miembro de s mismo? Esto es, es el conjunto de todas los conjuntos de Russell un conjunto de Russell?. Slo puede haber dos respuestas a esta pregunta: si o no. Supongamos que la respuesta es que s. Entonces R es un miembro de R. Para convertirse en miembro, R tiene que haber satisfecho el criterio de pertenencia que subraybamos en cursiva anteriormente: R es miembro de s mismo. Por tanto, si R es miembro de R, entonces R no puede ser miembro de R. Esta abierta contradiccin excluye la posibilidad de un "s" a la pregunta mortal. Pero, qu ocurre si la respuesta es un no y R no es miembro de R? Entonces R ciertamente no es un miembro de s mismo y, como nuestro conjunto de cucharillas, cumple el requisito de pertenencia para ser admitido en R. Por tanto, si R no es un miembro de R, automticamente debe convertirse en miembro de R. De nuevo nos enfrentamos a una contradiccin. Para Russell todo esto debera haber sido muy sencillo. Sin embargo, de alguna forma "cada alternativa lleva a su opuesta y se da una contradiccin". Qued perplejo por la "clase tan particular" que haba creado con una forma de razonar que "hasta ese momento le haba parecido adecuada"(25) . Es lo que ahora llamamos la paradoja de Russell.

Otro ejemplo, mas sutil, de la paradoja de RusselSupongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categoras mutuamente excluyentes. Una categora, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podramos pintar un cuadro, titulado Interior, de una habitacin y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequea pintura del cuadro Interior. As, nuestro lienzo incluira una imagen de s mismo. La otra categora, mucho ms corriente, constara de todos los cuadros que no incluyen una imagen de s mismos. Llamaremos a estos cuadros "Pinturas de Russell". La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeo cuadro de la Mona Lisa. Supongamos adems que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposicin que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras mprobos esfuerzos, se han reunido y colgado de las paredes de la sala inmensa. Orgulloso de su hazaa, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos. Cuando el cuadro est terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, Todas las pinturas del Russell del mundo. El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre un pequeo fallo: sobre el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representacin de Todas las pinturas de Russell del mundo. Esto quiere decir que Todas las pinturas del mundo es un cuadro que incluye una imagen de s mismo, y por consiguiente, no es una pintura de Russell. En consecuencia, no pertenece a la exposicin y ciertamente no debera estar colgado en las paredes. El experto pide a la artista que borre la pequea representacin. La artista la borra y vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, ste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura Todas las pinturas de Russell del mundo ahora no incluye una imagen de s misma y, por tanto, es una pintura de Russell que pertenece a la exposicin. En consecuencia, debe ser pintada como colgado de alguna parte de las paredes no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell. El experto vuelve a llamar a la artista y le vuelve a pedir que retoque con una pequea imagen el Todas las pinturas de Russell del mundo. Pero una vez que la imagen se ha aadido, estamos otra vez al principio de la historia. La imagen debe borrarse, tras lo cual debe pintarse, y luego eliminarse, y as sucesivamente. Es de esperar que ms pronto o ms tarde la artista y el experto caigan en la cuenta de que algo no funciona: han chocado con la paradoja de Russell.

Otras paradojas

aradjico es tanto aquello que encierra contradiccin como lo que va en contra de la opinin comn. Es lo inveosmil, lo absurdo, pero tambin lo extrao.

Entre estas paradojas encontraras algunas "demostraciones falsas". El objetivo de este tipo de "demostraciones" es doble: por un lado, como es obvio, sorprender. Por otro, llamar la atencin sobre la necesidad de conocer las propiedades de las operaciones de cada tipo de nmero y no dejarse llevar por las falsas analogas que a veces sugiere la notacin.

Paradoja de la tarjeta El matemtico P.E.B. Jourdain, en 1913, propuso la siguiente paradoja: en uno de los lados de una tarjeta se poda leer:

"La oracin del otro lado de esta tarjeta es VERDADERA."

En la otra cara estaba escrito:

"La oracin del otro lado de esta tarjeta es FALSA."

Paradoja del barbero Propuesta por Bertrand Russell, dice:

El nico barbero de la ciudad dice que afeitar a todos aquellos que no se afeiten a s mismos.

Pregunta: quin afeitar al barbero? Si no se afeita a s mismo ser una de las personas de la ciudad que no se afeitan a s mismas, con lo cual debera de afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a s mismas, no debiendo por tanto afeitarse.

Paradoja de Pinocho Esta paradoja es muy sencilla, a pinocho le crece la nariz cuando miente, entonces si este dice "mi nariz va a crecr ahora" esa afirmacin sera mentira si no le crece la nariz, y como es mentira deveria crecerle la nariz,y al crecerle la nariz se volvera verdad y no deveria crecerle, creando una paradoja epica.

La paradoja de la flecha La flecha ocupa siempre un espacio determinado y, como tal, est siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse mover debera estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma de estados no da movimiento. Por consiquiente El movimiento es imposible!.

Paradoja de la Improvisacin: "La mejor improvisacin es la adecuadamente preparada".

Paradoja del Disfrute: "Sufrimos demasiado por lo poco que nos falta y gozamos poco de lo mucho que tenemos" (Shakespeare).

SOBRE QUIEN DEBA MORIR AHORCADO

En una ciudad en donde las cosas erradas se pagaban caras, el rey decidi que una persona deba ser ejecutada. Y para ello, decidi ahorcarlo. Para darle un poco ms de sabor, colocaron en dos plataformas dos horcas. A una la llamaron altar de la verdad y a la otra, el altar de la mentira. Cuando estuvieron frente al reo, le explicaron las reglas: Tendrs oportunidad de decir tus ltimas palabras, como es de estilo. De acuerdo con que lo que digas sea verdad o mentira, sers ejecutado en este altar (sealando el de la verdad) o en el otro. Es tu decisin. El preso pens un rato y dijo que estaba listo para pronunciar sus ltimas palabras. Se hizo silencio y todos se prepararon para escucharlo. Y dijo: ustedes me van a colgar en el altar de la mentira. Es todo?, le preguntaron. S, respondi. Los verdugos se acercaron a esta persona y se dispusieron a llevarla al altar de la mentira. Cuando lo tuvieron al lado, uno de ellos dijo: Un momento por favor. No podemos colgarlo ac, porque si lo hiciramos sus ltimas palabras habran sido ciertas. Y para cumplir con las reglas, nosotros le dijimos que lo colgaramos de acuerdo con la validez de sus ltimas palabras. l dijo que lo colgaramos en el altar de la mentira. Luego, all no podemos colgarlo porque sus palabras seran ciertas. Otro de los que participaba arriesg: Claro. Corresponde que lo colguemos en el altar de la verdad. Falso, grit uno de atrs. Si fuera as, lo estaramos premiando ya que sus ltimas palabras fueron mentira. No lo podemos colgar en el altar de la verdad. Ciertamente confundidos, todos los que pensaban ejecutar al preso se trenzaron en una discusin eterna.

DIOS NO EXISTE

Seguramente, de todas las maneras de presentar la paradoja de Bertrand Russell, sta es la ms llamativa. Se pretende probar que Dios no existe, nada menos. Pongmonos primero de acuerdo con lo que quiere decir Dios. Por definicin, la existencia de Dios est igualada con la existencia de un ser todopoderoso. En la medida en que nosotros podamos probar que nada ni nadie puede ser omnipotente, entonces, nadie podr adjudicarse el ser Dios. Vamos a probar esto por el absurdo; o sea, vamos a suponer que el resultado es cierto y eso nos va a llevar a una contradiccin. Supongamos que Dios existe. Entonces, como hemos dicho, en tanto que Dios, debe ser todopoderoso. Lo que vamos a hacer es probar que no puede haber nadie todopoderoso. O lo que es lo mismo: no puede haber nadie que tenga todos los poderes. Y hacemos as: si existiera alguien que tuviera todos los poderes, debera tener el poder de hacer piedras muy grandes. No le puede faltar este poder, porque si no, ya demostrara que no es todopoderoso. Entonces, concluimos que tiene que tener el poder de hacer piedras muy grandes. No slo tiene que tener el poder de hacer piedras muy grandes, sino que tiene que ser capaz de hacer piedras que l no pueda mover no le puede faltar este poder (ni ningn otro si vamos al caso). Luego, tiene que ser capaz de hacer piedras y que esas piedras sean muy grandes. Tan grandes, que eventualmente l no las pueda mover. sta es la contradiccin, porque si hay piedras que l no pueda mover, eso significa que le falta un poder. Y si tales piedras no las puede hacer, eso significa que le falta ese poder. En definitiva, cualquiera que pretenda ser todopoderoso adolecer de un problema: o bien le falta el poder de hacer piedras tan grandes que l no pueda mover, o bien existen piedras que l no puede mover. De una u otra forma, no puede haber nadie todopoderoso.

Aquiles y la tortuga Aquiles y una tortuga juegan una carrera. La distancia a recorrer es de 200 metros. Como Aquiles corre 10 veces ms rpido que la tortuga, arreglan que le dar 100 metros de ventaja. Los dos se ponen en posicin, y empieza la carrera. Aquiles empieza a correr, y avanza los 100 metros que le dio de ventaja a la tortuga. Pero en ese tiempo, la tortuga ya avanz 10 metros, de modo que todava lo aventaja. Cuando Aquiles recorre esos 10 metros, la tortuga ya avanzo 1 metro ms. Aquiles sigue corriendo y avanza ese metro, pero la tortuga en el mismo tiempo ya ha avanzado 10 centmetros. As siguen corriendo, sin que Aquiles puede alcanzar nunca a la tortuga.

Cierto o falso Sea la frase: "Esta frase es falsa.". Si la frase es falsa, es falso que "Esta frase es falsa.", es decir, la frase es verdadera. Si en cambio la frase es verdadera, es cierto que "Esta frase es falsa.", es decir, la frase es falsa.