LA POTENCIA Y EL VECTOR DE POYNTING

Que es el vector de poynting

Es el vector cuyo modulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de área superficial perpendicular a la dirección de propagación de la onda y cuya dirección es la de propagación de la onda electromagnética.

De manera más general el vector de poynting puede definirse como el producto vectorial del campo eléctrico y el campo magnético y cuyo modulo nos da la intensidad de la onda

Aplicación

La existencia del vector de poynting verifica que el campo eléctrico y el campo magnético oscilan perpendiculares entre si pero que la velocidad de propagación de la onda sigue la regla de la mano derecha, es decir, definitivamente la onda electromagnética es el resultado de la perturbación del campo magnético y eléctrico y no la perturbación del medio del que la rodea, y transporta con ella energía que puede ser utilizada en varios dispositivos electrónicos como los teléfonos móviles

Para deducir el vector de poynting recordaremos

La rapidez de tal transmisión de energía puede obtenerse de las ecuaciones de Maxwell

∇ xE=−u ∂ H∂ t

∇ xH=−σE+ε ∂E∂ t

Multiplicamos ambos miembros por E (campo eléctrico) y obtenemos:

E . (∇ xH )=−σ E2+E . ε ∂E∂ t

Aplicamos una identidad vectorial ∇ . ( AxB )=B . (∇ xA )−A . (∇ xB )

Donde

A=H ,B=E

H . (∇ xE )+∇ . (HxE )=σ E2+E . ε ∂E∂ t

H . (∇ xE )=H .(−u ∂ H∂t )=−u2

∂∂t

(H . H )

−u2∂ H2

∂t−∇ . (ExH )=σ E2+ 1

2ε ∂ E

2

∂ t

Se obtiene la integral de volumen de ambos miembros

∫v

❑

∇ . (ExH )dv=−∂∂ t ∫v

❑

[ 12 ε E2+ 12 u H2]dv−∫v

❑

σ E2dv

Aplicando el teorema de la divergencia al miembro izquierdo se obtiene

∮ (ExH ) . ds=¿− ∂∂ t∫v

❑

[12 ε E2+ 12 u H2]dv−∫v

❑

σ E2dv ¿

Esta es la ecuación de poynting, cuyos términos se identifican aquí con argumentos de conservación de energía aplicados a campos electromagnéticos.

El primer término del miembro derecho de esta ecuación es la radipez de decremento de la energía almacenada en los campos eléctricos y magnéticos, y el segundo la potencia disipada a causa de que el medio es un conductor (σ ≠0 ) . La cantidad ExH en el miembro izquierdo es

el vector de poynting P. Se mide en [Wm2 ] P=ExH

Esto representa el vector instantánea de densidad de potencia asociado con el campo electromagnético en un punto dado. La integración del vector de poynting sobre cualquier superficie cerrada da como resultado la potencia neta que sale de esa superficie.

El teorema de poynting establece que la potencia neta que sale del volumen (v) dado es igual a la rapidez temporal de decremento de la energía almacenada en (v) menos las pérdidas de conducción

P es nomal tanto a E como a H y ocurre, por lo tanto, a lo largo de la dirección de propagación de onda ak en el caso de ondas planas uniformes. Así

ak=¿aE xaH¿

El hecho de que P apunta a lo largo de ak provoco que el nombre de este vector degenerara en vector de apuntamiento (poynting)

E ( z ,t )=Eo e−αzcos (wt−βz )ax

Entonces

H ( z , t )=Eo|n|

e−αzcos (wt−βz−θn )a y

P=ExH

P ( z , t )=Eo2

|n|e−2αz cos (wt−βz ) cos (wt−βz−θn )az

P ( z , t )=Eo

2

2|n|e−2αz [cosθn+cos (2wt−2βz−θn ) ]az

Puesto que cosA cosB=12 [cos ( A−B )+cos (A+B ) ]

Para determinar el vector de poynting promedio temporal Ƥ prom ( z )(Wm2 ), de mayor valor

práctico que el vector de poynting instantáneo P ( z , t ), la ecuación anterior se integra sobe el

periodo T=2πw , es decir

Ƥprom ( z )=( 1T )∫0

T

P ( z , t )dt

Esto equivale a

Ƥprom ( z )=(12 )ℜ (E s x H s¿ )

Al sustituir la ecuación de P ( z , t ), y la ecuación de Ƥprom ( z ) obtenemos

Ƥprom ( z )=E2o2|n|

e−2αz cosθnaz

La potencia promedio temporal total que traviesa una superficie S determinada está dada por

Ƥprom=∫Ƥprom (z )ds

Ƥprom ( x , y , z , t )=es el vector de poynting en Wmy variaenel tiempo

Ƥprom ( x , y , z )=se mideen Wmy es el promedio temporal del vector de poynting P

Ƥprom=potencia promediotemporal total atraves de la superficie , enWatts