LA PROGRAMACION LINEAL Y EJEMPLOS DE SU APLICACIONEN EL MANEJO DE BOSQUES

José Ciro HERNANDEZ DIAZ*

•Ing. Jefe deUCEF "Meango"'del Centro de Investigadonee .Forestdes del Norte (CIFONOR), IMF.SF-SARH. . . .

-=z9

. . .

r

1

I .

INTRODUCCION

La programación lineal es una parte de la técnica más ge-

neral llamada programación matemática y se usa para deter

minar la mejor asignación de recursos limitados de una em

presa ; dicha programación matemática comprende además de^

la lineal, la programación cuadrática, la entera, la diná

mica, la estocástica, etc . (1 :4 .).

La versión actual de la técnica de programación lineal es

de origen reciente ; en 1941 Hitchcock interpretó por pri-

mera vez un problema de transporte, tema que también estu

dio Koopmans seis años después . En 1945, Stigler estudió

el problema de la dieta y en 1947 el Dr . George D. Dant--

zing y sus colaboradores encabezados por Marshall Wood de

sarrollaron el método "Simplex" como un procedimiento de

solución que permite reducir el número de pasos necesarios

para optimizar un modelo de programación lineal .- Dantizing

aplicó ese enfoque a la búsqueda de estrategias militares

durante la Segunda Guerra Mundial, pero predijo que podría

aplicarse a los problemas de negocios y eso es lo que ocu-

rre actualmente (4).

Para poder áplicar programación lineal a la solución de un

problema de negocios, se requiere llenar nueve requisitos

básicos:

1) .

Se debe definir claramente una función objetivo, en

forma matemática (3 .4 .)

2). Debe haber cursos alternat3.vos de acción de entre -'-

los cuales se habrá de determinar una solución que

satisfaga la función objetivo (4).

3). Los• objetivos y restricciones de la empresa se debe

rdn expresar como ecuaciones y desigualdades linea-

les (3 .4)

4). El suministro de recursos ha de ser limitado (4)

5). Las variables del problema deberán estar interrela=

ciónadas como consecuencia de la condición anterior

(3)

6). La solución óptima debe contener solo variables con

valores finitos (3)

7). Los` insumos deben ser divisibles (1)

9) . No debe haber interacción entre procesos y activida

des, es decir que el resultado total del proceso de

be ser igual a la suma de las actividades que inter

vienen. (1) (Una misma porción de un recurso no -

puede ser usado para producir dos cosas distintas)

9) . Se deben conocer con exactitud los "precios netos"

(coeficientes de las variables en la función objeti

vo, que indican el ingreso neto de cada actividad -

en problemas de maximización o el costo neto en pro

blemas'de minimizeción), asf como los coeficientes

de producción (coeficientes de las variables en las

restricciones. que indican la cantidad que se necesi

ta de cada recurso para obtener una unidad de acti-

vidad) . También debe conocerse con exactitud la --

disponibilidad de cada recursos y todos esos datos

conocidos se deben considerar constantes en el perfo

do de análisis (1) .

6

Hl hecho de tener en cuenta los requisitos antes menciona''

dos, da idea de la gran cantidad de análisis previo que -

se requiere antes de decidir si un problema dado se puede

solucionar empleando programación lineal, pues cabe decir

que hay otros métodos de optimizaci6n entre los cuales deitacan el Análisis Marginal, aplicable cuando no bay res . -

tricci6n explícita de recursos y el método de Multiplicada

res de Lagrange que sí contempla la restricción, de recur-

sos y tiene la ventaja de poder usarse con funciones de --

producción de cualquier grado . La Programación Lineal, --

aunque se limita a funciones lineales, tiene la enorme ven

taja de poder utilizarse para analizar problemas muy gran-

des y complejos (3).

1 .1 .

Ventajas de'laProgramación Linea9,

Son varias las ventajas de la Programación Lineal que se -

pueden señalar algunas de ellas son más. evidentes que otras,

a continuación se enumeran las principales:

1). Permite comparar un amplio rango de soluciones a]teT

nativas y analizar sus consecuencias requiriendo pa-

ra ello poco tiempo gerencial (2).

2). Indica al administrador como emplear más eficazmente

sus factores seleccionándolos y distribuyéndolos 4de

cuadamente (4).

3). Hace que el administrador sea más objetivo en sus de

cisiones al obtener todos los datos que puedan ser

dtiles para la formulación matemática del, problema -

(4).

4). Permite modificaciones a su solución matemática en .o

favor de la conveniencia, mediante la inclusión de . -

restricciones formuladas adecuadamente (4).

T

5) .

La Programación Lineal, ' permite indentificar los -

"cuellos de botella" en las operaciones actuales.

1 .2 .

LimitacionesdelaProgramaciónLineal

Cualquier métódo matemático por eficaz que resulte, estásujeto a limitaciones, la Programación Lineal no es unaexcepción . Éntrélas principales limitaciones de este.-.mátodo se encuentran las siguientes:

1). La Programación Lineal no puede auxiliar al geren-

te en la dificil tarea de formular expectativas de

precio ; sino que éstos deben ser conocidos para --

aplicar el proceso (2).

2). Es de poca utilidad para estimar relaciones de in-

snmo-producto .• El planificador debe contar con es-

timaciones de la cantidad y distribución de mano -de obra, tierra y capital necesarios' para producir.Estimaciones de este tipo resultan difíciles ; especialmenté cuando la empresa no lleva registros adecuados (2 .4).

3). La Programación Lineal se basa en el supuesto de -

que los precios y las `expectativas de insumo-pro--

ducto formuladas fueran igualmente confiables paratodos los productos. Es decir que no se toman en -

consideración situaciones de' riesgo en 'las decisio

nes (2).

4). Aveces resulta dificil especificar las restriccio-

nes (2).

5). No se toma en cuenta los rendimientos marginales -

fisicos decrecientes, sino que se trabaja como si

sólo se diera el caso de rendimientos constantes a

escala, situación muchas veces errónea en la reali

dad (2) .

aar.. .--rr+ :aes~~~.~M~~xx ._

6). Tampoco se puede» manejar adecuadamente las activida

des que involucran costos decrecientes (2).

7). Se requiere equipo de computación y rutinas de solu

ción bien probadas a fin de tener éxito en la apli-

cación de programación lineal a la planeación, pues

el logro de resultados realistas requiere utilizar

un gran número de actividades y restricciones que -

seria prácticamente imposible manejar con calculado

ra de escritorio (2).

2 .

Forma elemental de un problema de P . L.

a) .

Ejemplo de maximizaci6n:

1 .

Considere:

ma#cz= 3X1 + 5X 2

Función objetivo

S .a'.

X1 1 4 Recurso 1

X2 S 6 Recurso 2

3X1 + 2X2 c 18 Recurso 3

X1 '- 0

Cond . de no

X2 L 0

Negatividad

Este ejemplo por tener solo dos variables, se puede plantear

gráficamente, para ello:

Paso 1 Graficar las desigualdades como igualdades:

9

2

3

4

5

El área sombreada representa la "Región o Conjunto de Solu

ciones Factibles" . Esa región contiene todos los valores

de X1 y X2 (incógnitas) que satisfacen las restricciones.

Los puntos : 0, a, b, d, se llaman "Puntos Extremos" o -

"Soluciones Factibles Básicas", si hay una solución única

que maximize (o minimice) una función objetivo lineal, esa

solución se localizará en uno de los puntos extremos.

Paso 2 Encontrar los valores de X1 y X2 que maximicen la

función objetivo . Desde luego esos valores deben

ser parte de la región factible.

0 (0, 0) Z=3(0)+ 5 (0) 0

a (0, . 6) Z=3(0)* 5 (6) 30

b (2, 6) Zt3(2)+ 5 (6) 36 óptimo

c (4, 3) Z=3(4)+ 5 (3) 27

d(4, 0) Z=3(4)+ 5 {0) 12

1 6

10

Algunas veces relajando una de las restricciones es posi-

ble aumentar las ganancias (o disminuir los costos).

Note que el punto dado por X 1 = 2 y X2 = 6, es la deseada

solución única óptima y como antes se dijo es todavía un

punto de la región factible.

Como graficar la función objetivo:

La pendiente de cualquier linea con respecto a la horizon

tal está dada por:

Pendiente_ lo que sube _ S

lo que corre - C

La pendiente de la función objetivo está dada por P 1 /P2 -

lo cual se demuestra como sigue:

Suponemos una Ganancia "G" cualquiera y la reemplazamos

en la Función objetivo.

G = P1X1 + P2X2(1)

Sabemos que:

X1 = C

X2 = S

El máximo valor que puede tener X1 es cuando X2 = 0

Luego reemplazando X 2 = 0 en (1)

G = P1X1 + P2 (0) = P1X1

X1 = G = C

p1

11

r,.

De manera similar, reemplazando `X1-= 0 - eh (1)

G = P1 (0) + 2X2

X2 = G =P2

S

Luego:

Entonces en el ejmplo que estamos viendo, la pendiente de -

la fuiici$n objetivo esta dada . por 3/5:, es decir, el coefi-

ciente de X1 se grafica en el eje-de X2 .y el coeficiente de

X2 se grafica en el eje de X1 y se unen esos puntos ; por -

lo tantó se dice que la pendiente' de la f.o. es la inversa

de la relación de precios.

b . Ejemplo de minimización

Considere:

Min. C = 40X1 + 200X2

S.a.

(1) 4X1 + '0X2 a 160

(2) 3X1 + 9OX2 a 60

(3) 8X1 + 1OX2 80

X1 a 0

X2 t 0

Conociendo la pendiente de la

función pbjetivo, se grafica

y es sencillo estimar cuales

son los puntos extremos más -

probables de constituir una -

soluci6n óptima, asf que solo

a esos puntos se enfoca el --

análisis, encontrando los va-

lores de las X's y reemplazáis

dolos en la función objetivo . En este caso la intersección

de las restricciones (1) y (2) constituye la solución de --

costo mfnimo con C = 1000, (demostrarlo).

3 .

Casos especiales

1 . Solución ilimitada. Es cuando un problema no tie-

ne máximo finito para la función objetivo . Esto

normalmente significa que el modelo matemático ha

sido formulado incorrectamente.

Regiónfactible

Ejemplo :

X 2

Z'max = 10X1 +20X2

S .a .

10

X1 +5X2

1

0

5

X2

C

Región factible

ba

5

Soluciones infinitas . Ocurre algunas veces, cúeñdó' - lá"-'`'función objetivo coincide con una restricción.

Restricciones redundantes . Son aquéllas que no limi-

tan la región factible y que por lo tanto se podrían

eliminar del modelo sin alterarlo.

4 . Solución no factible . Puede resultar si el modelo no

está correctamente planteado.

El método gráfico tiene la limitante de que no se pue

de trabajar con más de 3 variables . Un método alter-

no es el "Simplex" que sirve pata cualquier ndmero de

variables . ,

En problemas prácticos por lo general las variables -

y restricciones son numerosas, por lo que tienen que

manejarse con equipo de computaci8n . Existen diver-

sos paquetes listos para usarse y quebasan su solu-

ción también en el método "Simplex"

4 .

La Programación Lineal en el Manejo de Bosques.

Ejemplo 1 : Regulación de Bosques con P .L.

El propietario de un predio boscoso desea aplicar 4 siste-

mas de manejo para establecer rendimientos iguales durante

los próximos 50 afios.

Su objetivo es maximizar el ingreso presente neto de su --

bosque mientras desarrolla ese sistema de control . .

Dada la siguiente información L Como se debería formular -

el problema matemáticamente para determinar el ndmero de -

hectáreas manejado con cada esquema?.

14

° -PLAN-'DE' -MANEJO

Ingreso neto descontado

por ha durante los pró-

ximos 50 años.

N° de hectáreas en don-

de el plan es aplicable

(datos de inv .)

MPD/ha posibles durante

los siguientes 50 años .

1

2

3

4

523 538 303 310

300 250 400 550

34 39 27 28

El propietario desea que al menos 1 000 ha sean sometidas a

alguno de los sistemas de manejo, pero cuando mucho 1 400 -

ha se pueden intervenir, debido a problemas de accesibili-

dad.

Con los planes 1 y 2 se deben cosechar 11 000 MPD para esta

blecer rendimiento sostenido, mientras que en los planes 3

y 4 requieren por lo menos 15 000 MPD.

Es de esperarse que el mercado no pueda absorber más de - -

30 000 MPD.

Formulación:

Xi = hectáreas tratadas con el plan i

F.O . max Z = 523X 1 + 538X2 + 303X3 + 3.10X4

S .a.

X1 + X2 + X3 + X4 >- 1 000 ha

X1+X2 +X3 +X4

: 1400ha

34X1 + 39X2 = 11 000 MPD

27X3 + 28X4 s 15 000 MPD

15

34 X1 + 39 X2 + 2 X3 _+ 28 X4 30 000 MPD

X1 .. 300

X2 = 250

.

X3 400

550

Ejemplo 2 . Regulación de bosques con P .L.

Optimización de la conversión hacia cosecha obtenida

Consideremos un bosque dividido en 4 compartimentos sobre

la base de calidad de estación, E .R .T . y edad, el intérva

lo de tiempo entre cortas es de 5 afios, el periodo de con

versión es de 20 años . Deseamos maximizar el volumen - -

aprovechado durante esos 20 años dadas ciertas restriccio

nes que incluyen el criterio de cosecha sostenida . La si

guíente información se basa en tablas locales . de produc--

ci6n :

Volumen/ha (pies)Periodo de corta

Compartimiento 1 2 3 4

1 982 1100 1240 1300 . 650 ha

2 300 950 1200 . 1240 400 ha

3 1300 1390 1385 1200 710 ha

4 1500 1510 .1200 1000 550 ha

Los compartimentos i y 2 están ahora completamente pobla-

dos: Los compartimentos 3 y 4 están sobrepoblados . A --

fin de mantener los compartimentos 1 y 2 en esa condición

16

CALCULO DEL VALOR DE UN ARBOL POR

EL 111ETOD0 DE REPOSICION AJUSTADO.

r,

COSTO BASE DE

% FACTOR

% FACTOR

% FACTOR

VALOR ESTIMADO

REPOSICION

X ESPECIE

X CONDICION X UBICACION =

DEL ARBOL

EJEMPLO:

34 000

X 85%

X 90 %

X 85%

22108

BIBLIOGRAFIA

DOYDEN, Stephen y John Celecia . 1981. Ecología de las ' megal6polis . El

correo de la UNESCO. Abril, año XXXIV. Pág. 24-27

INTERNATIONAL Society of Arboriculture . 1983. Guide for establishing

values of trees and other plants . Council of tree and Landscape - -

Appraisers .

367

se requiere establecer cosechas iguales en cada período.

Dado que los compartimentos 3 y 4 estén sobremaduros ( o

sobrepoblados) para es blecer la relación apropiada de

crecimiento-corta, la corta se debe incrementar en 10% -

cada período.

El encargado del manejo del bosque considera necesario -

que cada hectárea de cada compartimento se coseche al me

nos una vez durante el período de conversión.

Cuando menos 100 ha habrán de cortarse durante cada c i -

clo de corta, a fin de poder negociar un contrato de - -

abastecimiento.

Formulación:

Xij = N° de hectáreas del compartimento i, aprovechadas

en el período de corta j.

F .O . Max Z = 982 X11

+' 1100 X1+ 1240 X13 + 1300 X14

+ 300 X21 + 4 . . + 1240 X24

+ 1300 X31 + . . . + 1200 X34

+ 1500 X41 + . .. +. 1.000 X44

S . a .

=

0982 X11

1100 X12

01100 XZ2

1240 X13

1240 X

0-

1300 X14

13

300 X21

950 X22

=

0

950 X2 2-

1200 X23

0

1200 X23

-

1240 X24

Cosechas iguales en

el comp . 1, en cada

período.

Cosechas iguales en

el comp . 2, en cada

▪ período.

17

1 .1 . (1300 X31 ) - 1390 X32 _. v0_ =

_ _

~Increm. de 10% por

1 .1 . (1390 X32 ) - 1385 X33 = 0

periodo en el comp.

1 .1 . (1385 X33 ) - 1200 X34 = 0

3.

1 .1 . (1500 X41 ) - 1510 X42 = 0

1 .1 . (1510 X42 ) - 1200 X43 = 0

1 .1 . (1200 X43 ) - 1000 X44 = 0

X11 + X 21 + X31 + X41 e 100 ha

X12+122 + X32 + X42 e. 100 ha

X13 + X23 + X 33 + X43 s 100 ha

X14 + X24 + X34 + X44 = 100 ha

Todas las Xij >0 (cosechar c/ha al menos una vez)

982 X11 + 300 X21 + 1300 X31 + 1500 X 41 - (1100 X12 +

+ 950 X22 + 1300 X32 + .1510 X42 ) = 0

Cosecha igual perío

dos 1 y 2.

1100 X12 + 950 X22 + 1390 X32 + 1510 X42 - (1240 X13 +

+ 1200 X23 + 1385 X 33 + 1200 X43 ) = 0 Cosecha igual pe-

ríodos 2 y 3.

Hacer lo mismo para los periodos 3 y 4.

Ejemplo 3 . Manejo de bosques con P .L.

El bosque de la región de El Salto, P .N ., Dgo ., esta suje

to a un programó de regulación que durará 60 afios . Duran-

te ese periodo se aplicarán diversos tratamientos a cada

subrodal segdn sus condiciones .

.

Increm. de 10% por

periodo en el comp.

4.

Cosechar al menos

100 ha por período.

18

Se tiene el objetivo de cortar el máximo volumen posible

al mismo tiempo que se regulariza el bosque y se cumple

con ciertos requisitos:

Se aplicarán 5 tratamientos al bosque que son:

Tratamiento I .C .

$

ter . Aclareo 1 20

2do . Aclareo 2 22

3er . Aclareo 3 25

Corta de regeneración 4 50

Corta de liberación con

preaclareo 5 10

Las E .R .T . por sección y su distribución de productos --

son como sigue :

ERTMill.m3r

Distribución en valumen

Sección Area (ha) Triplay Aserrío

Durmiente

Cajas

Estacas

1 21,000 2 .5 3 %

20 %

15 %

15 $

25 %

2 27,000 3 .0 2 %

25 $

10 $

20 %

25 $

3 25,000 4 .5 4 $

35 $

20 $

10 $

15 $

4 16,000 1 .5 1 %

15 51

10 $

15 %

20 $

Suma:- 89,000 11 .5

El resto del volumen representa desperdicios.

Es intención de la D .T.F . regularizar el bosque en 6 pe--

riodos dé corta de 10 años c/u, por lo cual en cada sec--

ción se deberán aplicar los tratamientos como sigue:

19

En las secciones 1 y 2 es posible comenzar desde el pri-

mer periodo cortando igual superficie por cada tratamien

to, en cada período de corta, aunque esto no es indispen

sable.

La sección 3 presenta bosque sobremaduro, por lo que en

los primeros 3 periodos se deberá cortar igual volumen -

en los tratamientos 1, 2 y 3 ; al menos 40 % más en el --

tratamiento 4 que en cualquiera de los 3 primeros y cuan

do mucho 50 % del volumen en el 5° tratamiento con res-

pecto al 4° tratamiento.

La sección 4 sufrió hace 10 años un incendio por lo que

ahora hay mucho renuevo pero no mucho arbolado grueso.

A ello se debe que como corta de liberación se tenga que

extraer más de 40 % del volumen aprovechable, mientras -

que el resto se repartirá en partes iguales en los otros

4 tratamientos . (solo en el primer período).

Hay una industria local establecida que debe abastecerse

al menos en un 80% de su capacidad instalada, la cual es

como sigue :

-

. Aserrio

400,000 m a r/año

Caja clavada-y alambrada

280,000 m 3 r/año

'680,000 m3 r/año

Así mismo la demanda de estaca para tutor de viñedo que

se calcula será del orden de 100,000 m3r/año (mas de 10

millones de estacas) deberá surtirse cuando menos en un

90%.

El aserrio y la .madera para cajas-se obtiene de los tra-

tamientos 1,2, 3 y 4 y 1a mitad del volumen del tratamien

to 5 .

Con este sistema silvícola se desea incrementar el volumen

total cortado por período, en un 10% con respecto al perio

do anterior hasta llegar al 6°, después del cual se estabi

lizará el volumen aprovechado por ciclo ya que para enton-

ces se espera haber regularizado la totalidad del bosque.

Como información adicional se conoce que cada hectárea por

tratamiento y por sección produce la siguiente cantidad de

madera en rollo total en cualquiera de los períodos de cor

ta .

Volumen de corta/ha en m.r .t.

Tratamiento1 2 3 4 5

24 26 30 60 12

22 24 28 55 11

36 39 45 90 18

19 20 23 46 10

Sección

Definición de variables:

Xijk = N° de hectáreas a las que se aplica el tratamiento

i en la sección j, durante el período k.

i =

1,2,3,4,5 j

=

1,2,3,4 k =

1,2,3,4,5,6

Función objetivo

Max Z

= 24X111 + 22X 121 + 36X

131 + 19X141

26X211 + 24X221 + 39X

231 + 20X241

21

Período 1 = 30X311 +

28X321 + 45X

331 + 23X341

60X

+411

55X421 + 90X431 + .46X441

12X511 + 11X

521 + 18X531

+ 10X541

24X112

+

. . . + 19X 142

26X212 + + 20X

242

Período 2 = 30X312 +

+ 23X342

6OX412 + + 46X442

12X512

+

,•, + 1 0X 542

Se colocan las variables correspondientes a los otros 4 -

períodos de corta . En total serán 120 variables (5 trat.

X 4 secciones X 6 períodos).

Restricciones

24X131

= 26X231

26X231

= 30X331

Igual volumen en los trat.

24X132

= 26X232

1,2,3 en la secc . 3 en los 3

26X232

= 30X332

primeros períodos.

24X133

= 26X233

26X233

= 30X333

1 .4(30X331) 4 60X431

1 .4(30X332)4 60X432

1 .4(30X333) < 60X433

Al menos 40% más volumen en el

trat . 4 que en los 3 primeros

en la secc . 3.

22

.5(60X431 ) ~12X

531

.5(60X012 )

> 12X532

.5(60X433 ) °— 12X 533

19X141

- 20X 241

20X241

= 23X341

23X341= 46X441

Cuando mucho 50% del volumen en

el trat . 5° con respecto al 4°

en la secc . 3 en los 3 primeros

períodos.

Igual volumen en los trat . 1,2,

3 y 4 en la secc . 4, período 1.

. 40(19X141

+20X241

+23X341

+46X 441 +10X 541 ) —10X

541

Más de 40% del volumen en trat.

5 en la secc . 4, en el período

1.

24X111+22X121+36X131+19X141+

Cumplir con al menos 80% -

+26X

+24X

+39X

+20X

+ de la industria en el perro211

221

231

241

do 1.+30X311+28X321+45X331 +23X341+

+60X411

+55X421

+90X431

+46X441+

+ .5(12X511+11X521+18X531+10X541) ?= .80 (6 800 000)

Hacer lo adecuado para cada periodo restante.

.5(12X511+11X521+18X531+10X541)

.90 (1 000 000)

Demanda de estacas en el período 1.

Hacer lo propio para los demás períodos.

23

Esta restricción re-

presenta que en el -

período 2 se cortará

10% mayor volumen .--

con respecto al peno

do 1.

Hay que hacer lo mis-

mo entre los períodos

2 y 3, 3 y 4, 4 y 5,

5 y 6.

1 .10(24X 111+22X121+36X

131+19X

141+

+26X211 +24X 221+39X 231

+20X241 +

+30X311

+28X321

+45X331

+23X341 +

+60X411+ . . .

+46X441 +

+12X511 + . ,+10X541 )

= 24X112

+22X122

+36132

+19X 142 +

+ 26X212 + . ' +20X242 +

+ 30X312+ +23X

342 +

+ 60X412+ ,, . +46X442+

+ 12X512+ +10X542

NOTA: Los datos del ejemplo anterior son supuestos y po

siblemente haya incongruencia entre ellos . El ob

jetivo del ejemplo es únicamente ilustrar el posi

ble uso de la programación lineal en un problema

del manejo de bosques.

24

BIBLIOGRAFIA

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(Trad José Meza Nieto).

25

Esta primera edición consul de 1 500 ejemplares yse termini) de imprimir en dieiembre de 1985 enlos Taperee de Impress. Venecia, S.A., Mártires de IsConquista 20, Taeubaya, Mbacioo, D.F.

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