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RAIZ CUADRADA
La raíz cuadrada es el resultado del múltiplo de dos números iguales que dan por resultado el
producto. Es decir la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que el mismo número multiplicado por sí
mismo da el producto final buscado. Así mismo hay raíces cubicas donde es el producto de el
mismo número que multiplicado por sí mismo tres veces da por resultado el producto buscado
por ejemplo la raíz cuadrada de 27 es 3 porque 3 x 3 x 3 = 27
La raíz cuadrada es el resultado del múltiplo de dos números iguales que dan por resultado el
producto. Es decir la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que el mismo número multiplicado por sí
mismo da el producto final buscado. Así mismo hay raíces cubicas donde es el producto de el
mismo número que multiplicado por si mismo tres veces da por resultado el producto buscado
por ejemplo la raíz cuadrada de 27 es 3 porque 3 x 3 x 3 = 27
Los números complejos expresan la suma entre un número real y un número imaginario. Un número real es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.
La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de expresar las raíces de orden par de los números negativos. Los números complejos pueden expresar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.
De esta forma, los números complejos se usan en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Gracias a su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, son utilizados con frecuencia por la electrónica y las telecomunicaciones.
El cuerpo de los números reales está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).
Los números complejos forman el cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales (R) aparece como un sub cuerpo de C. Por otra parte, C forma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no pueden ser ordenados, a diferencia de los números reales.
Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).
El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y
los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).
Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).
Es importante tener en cuenta que los números reales permiten completar cualquier tipo de operación básica con dos excepciones: las raíces de orden par de los números negativos no son números reales (aquí aparece la noción de número complejo) y no existe la división entre cero (no es posible dividir algo entre nada).
Vamos a hallar la raíz cuadrada del número 108 241. Seguiremos 5 pasos:
Paso 1º. Se divide el número 10 82 41
en grupos de 2 cifras comenzando por
la derecha.
Paso 2º. Hallamos la raíz cuadrada del
número 10 que es 3 y lo ponemos
arriba a la derecha. Su cuadrado es 9 y
lo ponemos debajo del 10. Restamos y
sale 1.
Paso 3º. A la derecha del 1 bajamos el
grupo 82. Después separamos por un
punto el último número de la derecha,
el 2. Debajo de la raíz 3 se escribe el
doble de la raíz (6). El 18 se divide
entre 6 y sale 3. Probaremos a ver si
vale este número 3. Pondremos el 3 a
la derecha del 6 y resulta 63 que lo
multiplicamos por 3 y sale 189, que es
superior a 182. Por tanto el 3 es
demasiado grande y tomaremos el 2.
Ponemos el 2 junto al 6, resultando 62.
Paso 4º. El número 62 lo
multiplicaremos (.) por el último
conseguido, el 2 y nos da 124. Este
número lo ponemos debajo del 182 y
lo restamos, resultando 58. Ponemos
el 2 en las parte de arriba junto al 3,
resultando 32.
Paso 5º. A continuación del 58 bajamos el
siguiente grupo, el 41 y separamos con un
punto el último número que es el 1.,
quedando 584. Debajo de 62.2 ponemos
una raya. Calculamos el doble de 32 que es
64. Dividimos 584 entre 64 , resultando 9.
Colocamos este 9 a continuación de 64
resultando 649. Ponemos el número 9
arriba junto al 32, obteniendo 329.
Paso 6º. Multiplicamos el número
resultante 649 por el 9 obtenido
anteriormente, resultando 649 x 9 =
5841. Ponemos este número en la
parte de abajo a la izquierda debajo de
5841 y hallamos la diferencia. El resto
es 0. El número 329 que está arriba a
la derecha es la raíz cuadrada exacta
del número 108241. Para comprobar
que la operación es correcta hallamos
329 x 329. Como el resultado es
108241, concluimos que esta raíz
cuadrada está bien hecha. Para hacer
la prueba de la raíz cuadrada, hallamos
el cuadrado de la raíz y se añade el
resto. La suma debe ser igual al
número dado.
OPERACIONES CON RAICES CUADRADAS
SUMAR Y RESTAR
2.41 Vamos a sumar:
Respuesta:
Solución:
Para sumar y restar raíces tienen que tener el mismo índice y la misma cantidad
subradical (la que está debajo de la raíz).
Imagina que tienes 2 € + 4 € el valor de la suma es de 6 €. Si lo que está detrás de los
números es igual, en este caso €, podemos sumar los números y agregarle €.
Es lo mismo que 7 casas + 3 casas = 10 casas.
2.42 Escribe la sacando fuera de la raíz lo que se pueda:
Respuesta:
Solución:
De un producto indicado dentro de una raíz, por ejemplo:
Puedo calcular la raíz de cada factor por separado:
También puedo calcular el producto y hallar la raíz cuadrada del resultado:
.
Supongamos que tenemos , 8 puedo escribir de modo que un factor que sea
cuadrado, por ejemplo, 4 2. Veo que 4 es un cuadrado.
Luego, =
He calculado la raíz cuadrada de 4 que es 2 y como el dos no tiene raíz cuadrada exacta
lo dejo dentro de la raíz.
Hago lo mismo con =
He descompuesto a 50 en dos factores de modo que uno de ellos sea cuadrado perfecto
y saco fuera de la raíz el factor que tiene raíz cuadrada exacta, el otro permanece dentro.
Si a 50 lo hubiera descompuesto en los factores 10 y 5 no me valen ya que estos dos
números no son cuadrados.
2.43 Suma
Respuesta:
Solución:
Los números que tengo dentro de los radicales los descompongo en factores tratando
que uno de estos factores sea un cuadrado.
Un factor que sea cuadrado tiene raíz cuadrada exacta. El factor que no sea cuadrado
perfecto, permanece dentro de la raíz:
veo que .
Sustituyo estos productos por sus valores:
2.44 Calcula
Respuesta:
Solución:
Descompongo cada cantidad subradical en factores que al menos uno sea cuadrado
perfecto y después, reduzco los términos semejantes:
SOLO SE PUEDEN SACAR FUERA DE LA RAÍZ LOS NÚMEROS QUE ESTÁN
MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO. SI LOS NÚMEROS ESTÁN SUMANDO O
RESTANDO NO DEBO SACAR FUERA DE LA RAÍZ SEPARADAMENTE.
NO DEBO HALLAR LA RAÍZ CUADRADA DE 16 Y LUEGO LA
DE 4. DEBO HALLAR LA SUMA Y CALCULAR LA RAÍZ CUADRADA DE ÉSTA
RAÍZ CUADRADA
La raíz cuadrada de un número no negativo es el que, multiplicado con sí mismo, nos
da el número. Por si no has entendido gran cosa:
1.- La raíz cuadra de = …... porque
2.- No existen raíces cuadradas de números negativos.
RADICAL:
Se llama radical al signo que indica la operación para extraer raíces.
ÍNDICE:
Es el pequeño número que se coloca en el RADICAL:
En este caso hemos escrito un tres y se le llama raíz cúbica.
Si colocamos un 4 le llamaremos raíz cuarta:
En el caso de que no escribamos nada, se entiende que hay un 2 y su nombre es de raíz
cuadrada:
RADICANDO:
La expresión que se encuentra debajo del signo radical se llama radicando:
El radicando es:1234
2.36 La raíz cuadrada tiene por objeto calcular un número de modo que si lo
multiplicamos por sí mismo nos da el radicando:
Significa que si multiplico 5 por sí mismo obtengo 25, es decir, la cantidad que está
debajo del signo radical.
2.37 ¿Cuáles son las raíces cuadradas de:
?
Respuestas: 2, 3, 4, 8, 9 y 10.
CALCULAR LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO GRANDE:
Se trata de una operación que se parece a una división, aunque un poco más difícil.
Imagina que queremos saber qué número elevado al cuadrado nos da 103041.
2.38 Vamos a hacer la raíz cuadrada de 103041 paso a paso:
Formamos grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
El último grupo puede tener una cifra (porque no quedan más).
Trazamos las dos rectas que tienes a continuación:
Empezamos a trabajar de izquierda a derecha, buscamos un
número que elevado al cuadrado nos de 10 o se acerque lo
más posible a este valor. Se trata del 3, ya que 32 = 9.
2.45 Calcula
Respuesta:
Solución:
Si delante de una raíz hay un número: en este caso tenemos un 5, el número
que sale fuera de la raíz se encuentra con 5 y ambos se multiplican porque por un lado
tenemos 5 veces la raíz cuadrada de 12 y por otro, 2 veces la raíz de 3 y debes tener en
cuenta que 5 veces 2 es igual a 10, 3 veces 5 es igual a 15,….” veces” equivale a
multiplicar, luego:
Como el factor 4 sale de la raíz cuadrada con el valor 2, al encontrarse con 5, se
multiplican.
Esto que acabamos de señalar tienes en cuenta en el presente ejercicio:
