La regla de los signos de DescartesEn los últimos días se ha nombrado en los comentarios del post Una posible

demostración maravillosa del UTF un resultado conocido como regla de los signos

de Descartes, relacionado con el número de soluciones positivas de una ecuación

polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada

de su historia y también para demostrarla.

Qué es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio  . Si

igualamos   a0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican,

colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la

siguiente lista:

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo:

del 3al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando   al número de cambios de signo en

la lista de coeficientes del polinomio  , tendríamos entonces que en este

caso  .

Por otra parte, si utilizamos un programa informático para calcular las raíces de dicha

ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución

real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada).

Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de

cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con

el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da una

cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas

ocasiones dicha cota puede propocionar información muy interesante sobre la

cantidad de raíces positivas de la ecuación. Vamos a enunciar esta regla:

Regla de los signos de Descartes

El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes

reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que

se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).

Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes

es una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación. Por ejemplo, en el

caso anterior la ecuación tendría como mucho tres soluciones reales positivas, ya

que  . Pero se puede decir un poco más. No solamente tenemos una cota

superior del número de raíces positivas de la ecuación, sino que sabemos que no

se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho

sabemos que si la cota no se alcanza, entonces el número de raíces

positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos. En el ejemplo

anterior esto significa que la ecuación puede tener tres raíces positivas o tener

solamente una, pero no podría ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna.

La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático

francés René Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró.

Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio

una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha

demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático

francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro

admirado Gauss quien, en 1828, mostró que si no hay tantas soluciones como

cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios

en un múltiplo de dos.