La Solucion de Las Torres de Hanói Con Instrucciones

8/18/2019 La Solucion de Las Torres de Hanói Con Instrucciones

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LA SOLUCION A LA TORRE DE HANOI.

El documento es una recopilación de información encontrada en Internet

La solución del prolema de las Torres de Hanói es mu! f"cil de #allar$ aun%ue el n&mero de pasos para resol'er el prolema crece e(ponencialmente conforme aumenta el n&mero de discos.

Solución simple

Una forma de resol'er el prolema se fundamenta en el disco m"s pe%ue)o$ el de m"s arria en

la 'arilla de origen. El mo'imiento inicial de este es #acia la 'arilla auxiliar . El disco n.o * sedee mo'er$ por re+la$ a la 'arilla destino. Lue+o$ el disco n.o , se mue'e tami-n a la 'arilla

destino para %ue %uede sore el disco n.o *. A continuación$ se mue'e el disco %ue si+ue de la

'arilla origen$ en este caso el disco n.o $ ! se coloca en la 'arilla auxiliar . /inalmente$ el disco

n.o , re+resa de la 'arilla destino a la origen 0sin pasar por la auxiliar 1$ ! as2 sucesi'amente. Es

decir$ el truco est" en el disco m"s pe%ue)o

Mediante recursividad

Este prolema se suele plantear a menudo en pro+ramación$ especialmente para e(plicar la

recursi'idad. Si numeramos los discos desde , #asta n$ si llamamos origen a la primera pila de

discos$ destino a la tercera ! auxiliar a la intermedia$ ! si a la función la denomin"ramos hanoi$

con origen$ auxiliar ! destino como par"metros$ el al+oritmo de la función ser2a el si+uiente3

Iterativa

Otra manera de resol'er el prolema$ sin utili4ar la recursi'idad$ se asa en el #ec#o de %ue paraotener la solución m"s corta$ es necesario mo'er el disco m"s pe%ue)o en todos los pasosimpares$ mientras %ue en los pasos pares sólo e(iste un mo'imiento posile %ue no lo inclu!e. El

prolema se reduce a decidir en cada paso impar a cu"l de las dos pilas posiles se despla4ar" el

disco pe%ue)o. El al+oritmo en cuestión depende del n&mero de discos del prolema3

• Si inicialmente se tiene un n&mero impar de discos$ el primer mo'imiento dee ser

colocar el disco m"s pe%ue)o en la pila destino$ ! en cada paso impar se le mue'e a la

si+uiente pila a su i4%uierda 0o a la pila destino si est" en la pila origen1.

La secuencia ser"3 destino$ auxiliar $ origen$ destino$ auxiliar $ origen$ etc.

• Si se tiene inicialmente un n&mero par de discos$ el primer mo'imiento dee ser colocar

el disco m"s pe%ue)o en la pila auxiliar $ ! en cada paso impar se le mue'e a la si+uiente pila a su derec#a 0o a la pila origen si est" en la pila destino1.

La secuencia ser"3 auxiliar $ destino$ origen$ auxiliar $ destino$ origen$ etc.

https://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_exponencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_exponencial


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Una forma e%ui'alente de resol'erlo es la si+uiente3 coloreando los discos pares de un color ! los

impares de otro$ ! se resuel'e el prolema a)adiendo la si+uiente re+la3 no colocar 5untos dos

discos de un mismo color. De esta manera$ solo %ueda un mo'imiento posile 0adem"s del de'ol'er #acia atr"s1.

ESTUDIO DE CASOS PARTICULARES

La torre de Hanoi

Hallar la secuencia

! de discos " # $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ n

! m%nimo de

movimientos

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

Metodolo&%a

• Comen'ar por pocos discos$

• O(servar )ue antes de terminar el *ue&o con n discos+ ,a- )ue ,acerlo con n ."+

siendo An / An." 0 " 0 An." / " 0 #1An."

• O(servar )ue de A" / "2 A# / 32 A3 / 42 A5 / "62 A6 / "62 etc+ se si&ue )ue An/ #n . "$

NÚMERO DE MOVIMIENTOS EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE DISCOS

De ahora en adelante, llamaremos mk al número de movimentos mínimos necesarios parapasar k discos de la torre "IZQUIERDA" a la torre "DERECHA". Así tenemos !e

m# $ #, m% $ &, m& $ ', m( $ #), m) $

Es *+cil oservar !n par de cosas

• mk = 2*mk-1 + 1. -or eemplo m) $ %/m( 0 #. 1i hemos traaados!*icientemente con la escena 2 hemos pensado c3mo conse4!imos pasar los discosa la torre de la derecha, nos haremos dado c!enta !e, !tili5ando como eemplo (discos primero pasamos los tres de arria a la torre "CE67R8" !tili5ando para ello


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' movimientos 9m&:; l!e4o pasamos el disco ma2or a la torre "DERECHA", #movimiento; por último pasamos los tres discos de "CE67R8" mediante 'movimientos 9m&:. En total, para ( discos, hemos necesitado m& 0 # 0 m& $ %/m& 0 # $ m(.

• mk = 2k - 1. 1i se conoce el mamos a!tili5arla para averi4!ar c!anto !eda hasta el *inal de los tiempos se4ún la le2enda de la7orres de Hanoi.

Como son ?( discos, el número de movimientos es 264 - 1 = 18446744073709551615.1i s!ponemos !e los mones tienen la s!*iciente hailidad como para hacer !nmovimiento en !n se4!ndo, en !n día har+n ?@/?@/%( movimientos. = en !n ao de &?)días ?@/?@/%(/&?). Dividimos el número de movimientos por el res!ltado de la operaci3nanterior 2 nos dee dar, aproBimadamente, medio ill3n de aos. 13lo *alta averi4!arc!antos aos se estiman !e el homre lleva sore la tierra 2 saremos el tiempo !e le!eda sore ella.

1 La Torre de Hanoi

Se proporciona a los alumnos un talero de la Torre de Hanoi 0/i+ura 61 con cinco discos

0A$7$C$D$E1 de di"metro decreciente. El prolema consiste en trasladar los discos desde el

primer listón #asta el tercero$ teniendo en cuenta las re+las si+uientes3 en cada mo'imiento solose puede despla4ar un disco8 ! un disco nunca puede estar encima de otro de di"metro inferior.

Se pide a los alumnos #allar el n&mero m2nimo de mo'imientos necesarios para despla4ar los 9

discos ! +enerali4ar el resultado para n discos.

En +eneral$ la forma de proceder de los alumnos es la de e(perimentar con dos$ tres ! cuatrodiscos ! anotar el n&mero total de mo'imientos %ue otienen$ ! a partir de a%u2 inducir la

fórmula +eneral.El e5emplo %ue mostramos a continuación es no'edoso en el sentido de %ue los alumnos #acen

las anotaciones de los mo'imientos %ue reali4a cada disco$ de la forma si+uiente3

* fic#as3 E ! D

E D E

E3 * pasos. D3 , paso

Total3 pasos

/ic#as3 E$ D ! C

E D E C E D E

E3 : pasos. D3 * pasos. C3 , paso

Total3 ; pasos

: /ic#as3 E$ D$ C ! 7

E D E C E D E 7 E D E C E D E

E3 < pasos. D3 : pasos. C3 * pasos.73 , paso.

Total3 ,9 pasos.

9 /ic#as3 E$ D$ C$ 7 ! A

0E D E C E D E 7 E D E C E D E1 A0...1

E3 ,6 pasos. D3 < pasos. C3 : pasos.73 * pasos. A3 , paso.

Total3 , pasos.


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Oser'ando los resultados anteriores otienen f"cilmente el n&mero m2nimo de mo'imientos

para el caso +eneral de n discos$ %ue e(presan de la forma3 * =,.

:. CONCLUSIONES

Los materiales did"cticos pueden desempe)ar un papel importante tanto en la moti'ación inicial

de los alumnos como en el desarrollo de los procesos inducti'os ! deducti'os en >atem"ticas.En este sentido$ consideramos %ue la elaoración por los propios alumnos de dic#os materiales

a!uda a enfocar la ense)an4a de las >atem"ticas desde un dole punto de 'ista. ?or una parte$

los alumnos tienen la oportunidad de anali4ar ! concretar los contenidos matem"ticos %uesu!acen a dic#a elaoración$ !$ por otra$ los mismos alumnos o sus compa)eros pueden

apro'ec#arse matem"ticamente de su uso$ como #emos puesto de manifiesto a lo lar+o de esta

comunicación.

El grafo de Hanoi

Un !e4o 7H), como 2a saemos, re!iere de )$%)−#$ movimientos paraser res!elto de manera 3ptima, es decir, con el menor número demovimientos. Cada movimiento, como tamialeiras, tendr+ &n−# movimientos. Fa eBistencia de estecamino nos proporciona el res!ltado si4!iente sea c!al sea la posici3n del !e4o 9siempre !e c!mpla s!s normas: podremos lle4ar, mediantemovimientos le4ales, a la sol!ci3n. -ara s! an+lisis nos a2!daremos delllamado Gra*o de Hanoi, invenci3n de Ian 1teart.Empe5aremos considerando !n !e4o 7H#, es decir, !n !e4o donde s3lo ha2!n disco. 7enemos !e B@$@ 9en notaci3n de ase &:. Del poste @ podemospasar al # al %, a!n!e 2a saemos !e lo m+s e*iciente es pasar al %. 1ioptamos por pasar al poste #, desde


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Ki4!ra ) Gra*o de Hanoi para el !e4o 7H#1!pon4amos ahora !e el !e4o tiene % discos. Entonces, de la posici3n @@se p!ede pasar a @# 3 a @% 9s3lo se p!ede mover el pe!eo:. De @#podemos a @%, cerrando así !n tri+n4!lo. -ero tami


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recorrido. A4otar todos los movimientos eBi4iría repetir al4!no de ellos. 7alcamino merecería ser llamado el peor camino.El 4ra*o para el !e4o 7H% p!ede ser entendido como !n 4ran tri+n4!loe!il+tero !e tiene en cada v


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Cada lado de !n tri+n4!lo pe!eo representa !n movimiento del discope!eo, cada lado de !n tri+n4!lo mediano !e no pertene5ca a !ntri+n4!lo pe!eo representa !n movimiento del disco se4!ndo 2 cada ladodel tri+n4!lo 4rande !e no pertene5ca a !n tri+n4!lo menor representa losmovimientos del disco 4rande.

1e atrever+ el lector a disear !n 4ra*o de Hanoi para 7H( 6osotros damosen la *i4!ra L el 4ra*o de 7H) sin indicar los c3di4os. Un !en eercicio sería,precisamente, ponamos a mencionar !na c!riosa relaci3n. 1i constr!imos !n tri+n4!lo de-ascal ilimitado 2 s!stit!imos cada número par por !n p!nto lanco 2 cadanúmero impar por !n p!nto ne4ro, el res!ltado es !n *ractal astanteparecido al *amoso est!che de 1ierpinsMi. -ara crear !n est!che de1ierpinsMi di!e !n tri+n4!lo ne4ro. Divídalo en c!atro tri+n4!los i4!ales 2pinte de lanco el central. Ha4a lo mismo con los tres tri+n4!los ne4rospe!eos 2 repita este proceso hasta el in*inito. El res!ltado es astante


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parecido a colorear de la *orma indicada el tri+n4!lo de -ascal. El hecho es!e Ndo!ard F!cas, el creador de la 7orre de Hanoi, est!di3 la *orma deaveri4!ar c!+ndo es par o impar !n número del tri+n4!lo de -ascal, de*orma !e tami

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