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La transformada de Fourier como vehículo para comprender el fenómeno de la
difracción y la formación de imágenes a través de dispositivos ópticos
Tutor: Pedro Mª González Manchón
Álvaro Pérez Fernández
Universidad Politécnica de Madrid - ETSIDI
Objetivos
• Escribir un programa de Matlab que represente de forma animada la trayectoria de un rayo a través de un banco óptico.
• Calcular la difracción que se produce en un sistema óptico formado por una lente.
• Introduction to Fourier’s Optics de Joseph W. Goodman.
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Difracción
Análisis de FourierFórmulas de la difracción de
Fresnel y Fraunhofer
Principio de Huygens-Fresnel en coordenadas rectangulares
Fórmulas de la difracción de Rayleigh-Sommerfeld
Teoría de Kirchhoff
Hoja de ruta3/34
Análisis de FourierSistemas lineales
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• El análisis de Fourier se fundamenta en la transformada de Fourier.
En un sistema lineal
Análisis de Fourier. La transformada de FourierDefinición
Condiciones suficientes de existencia
• La función es absolutamente integrable.
• La función tiene un número finito de discontinuidades y de extremos relativos en cualquier segmento finito.
• La función sólo tiene discontinuidades de salto finito.
La transformada en una dimensión
Notación
La transformada en dos dimensiones
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Análisis de Fourier. La transformada de
FourierSignificado físico
La transformada de Fourier nos permite extraer las frecuencias
y amplitudes de una señal.
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Análisis de Fourier. La transformada de FourierPlano de posiciones y plano de frecuencias
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La función 𝑔 se mueve en el plano de las posiciones (𝑥, 𝑦). En coordenadas polares 𝑟, 𝜃 .
La función 𝐺 se mueve en el plano de las frecuencias 𝑓𝑋, 𝑓𝑌 . En coordenadas polares (𝜌, 𝜙).
Análisis de Fourier. La transformada de FourierLa transformada de la función 𝑒𝑗𝜋𝑥
2es 𝑗𝑒−𝑗𝜋𝑓𝑋
2
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Análisis de Fourier. La transformada de FourierLa transformada de la función rectángulo es la función seno cardinal
La función rectángulo se define como
Su transformada de Fourier es
La función seno cardinal se define como
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Análisis de Fourier. La transformada de FourierPropiedades de la transformada
• Linealidad
• Similaridad
• Teorema de convolución
• Teorema de inversión de Fourier
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Análisis de Fourier. La transformada de FourierFunciones de variables separables
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• Trabajando en coordenadas cartesianas
• Trabajando en coordenadas polares
Función con simetría circular
DifracciónDe la teoría vectorial a la escalar
Las componentes escalares de satisfacen la ecuación de onda escalar,
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𝑛 índice de refracción del medio.
Nos moveremos en un medio uniforme y no magnético (𝜖 y 𝜇 constantes).
𝑐 velocidad de la luz en el vacío.
DifracciónEcuación de onda vs ecuación de Helmholtz
Onda monocromática
Ecuación de HelmholtzEcuación de onda escalar
Que 𝑢 cumpla la ecuación de onda equivale a que 𝑈 satisface la ecuación de Helmholtz.
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con
DifracciónTeorema integral de Kirchhoff-Helmholtz
La superficie 𝑆𝜀 es necesaria para poder trabajar con 𝐺.
Sea 𝑈(𝑃) una función que satisface la ecuación de Helmholtz. Sea 𝑆 una superficie cerrada y 𝑃0 un punto encerrado por ella.Entonces,
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DifracciónAplicación del teorema integral de Kirchhoff-Helmholtz a una abertura en una pared plana
Trabajo con un 𝑅 muy grande
• Hipótesis 1: se cumple la condición de radiación de Sommerfeld
• Hipótesis 2: se cumplen las condiciones de contorno de Kirchhoff
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DifracciónFórmula de la difracción de Kirchhoff-Fresnel
Supongo que la fuente y el punto de observación están muy lejos de la abertura.
Consecuencia: teorema de reciprocidad de Kirchhoff.
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Supongo que la fuente emite una onda esférica divergente.
DifracciónFórmulas de la difracción de Rayleigh-Sommerfeld
La hipótesis 2 no es factible matemáticamente.
Solución: buscar que 𝐺 o 𝜕𝐺
𝜕𝑛valgan 0 en 𝑆1.
෪𝑃0 simétrico a 𝑃0.
Primera solución de Rayleigh-Sommerfeld
Segunda solución de Rayleigh-Sommerfeld
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DifracciónComparativa entre Kirchhoff-Fresnel y Rayleigh-Sommerfeld
Kirchhoff-Fresnel
Rayleigh-Sommerfeld
La solución de Kirchhoff es la media aritmética de las dos soluciones de Rayleigh-Sommerfeld
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Difracción de Fresnel y FraunhoferIntensidad de onda
Al incidir un fotón sobre una fotodetector, se crea una corriente 𝑖
Densidad de potencia
Potencia incidente
Responsividad
Impedancia característica del medio (𝜂0 = 377Ω)
Podemos definir la intensidad de una onda monocromática escalar en un punto 𝑃 como
Campo eléctrico
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Difracción de Fresnel y FraunhoferPrincipio de Huygens-Fresnel en coordenadas rectangulares
• Hipótesis: 𝑧 ≫ 𝜆
En coordenadas rectangulares,
Partimos de la primera solución de Rayleigh-Sommerfeld
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Llegamos al principio de Huygens-Fresnel en coordenadas rectangulares,
Difracción de Fresnel y FraunhoferFórmula de Fresnel de la difracción
Paraxialidad: para que 𝑏 → 0 se tiene que dar que tan2 𝜃 ≈ 0.
• Aproximación de la raíz cuadrada
si 𝑏 → 0
• Aplicado a nuestro problema
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Fórmula de Fresnel de la difracción
Difracción de Fresnel y FraunhoferFórmula de Fresnel de la difracción
Fresnel como convolución
Fresnel como transformada de Fourier
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Difracción de Fresnel y FraunhoferFórmula de Fraunhofer de la difracción
Si nos movemos en la región de Fraunhofer,
Esto conlleva que
También arroja resultados razonables cuando nos movemos en la región del diseñador de antenas:
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La fórmula de la difracción de Fraunhofer resulta
Difracción de Fresnel y FraunhoferDifracción a través de una abertura rectangular
Transmitancia
Perturbación
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Aplicando Fraunhofer
Intensidad
Difracción de Fresnel y FraunhoferDifracción a través de una abertura rectangular
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Casanova, V. (2017). Difracción de Fraunhofer causada por abertura rectangular. [Figura]. Recuperado de https://www.astrofisicayfisica.com/2017/07/la-difraccion-de-fraunhofer.html
Sistemas ópticosLentes
Para una lente delgada, consideramos 𝑈𝑙 y 𝑈𝑙′ en el mismo plano y
Efecto de la lente
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Sistemas ópticosDifracción de Fresnel: objeto delante de la lente
Objeto Lente Pantalla ¿Qué vemos en la pantalla si colocamos el objeto delante de la lente?
• Primero calculamos la perturbación 𝑈𝑓 en función
de 𝑈𝑙 usando la fórmula de Fresnel como transformada de Fourier.
• Luego calculamos 𝑈𝑙 en función de 𝑡𝐴 mediante la fórmula de Fresnel como convolución.
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Sentido de avance de la luz
Sistemas ópticosDifracción de Fresnel: objeto delante de la lente
De la lente a la pantalla, aplicamos Fresnel como transformada de Fourier.
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Sistemas ópticosDifracción de Fresnel: objeto delante de la lente
De la lente al objeto, aplicamos Fresnel como convolución
Por el teorema de convolución,
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Sistemas ópticosDifracción de Fresnel: objeto delante de la lente
• Aplicando Fresnel como transformada
• Aplicando Fresnel como convolución
• Combinando ambas
Me interesa la intensidad
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Sistemas ópticosDifracción de Fresnel: objeto delante de la lente
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Supongamos que nuestro objeto es una abertura rectangular,
Hemos visto que la transformada de 𝑡𝐴 es
Por lo tanto, 𝐼𝑓 𝑢, 𝑣 nos quedará
Importante: la distancia 𝑑 entre el objeto y la lente no aparece.
Programa de Matlab
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La teoría detrás del programa se fundamenta en:
• Óptica de Eugene Hetch
• Trayectoria de rayos ópticos y calculo matricial de Marina Pinilla
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• Joseph W. Goodman. Introduction to Fourier Optics. Roberts & Company, Englewood, Colorado, 2005.
• Eugene Hetch. Óptica. Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 2000.• Marina Pinilla García. Trayectoria de rayos ópticos y cálculo matricial. (Trabajo
fin de grado). Universidad Politécnica de Madrid – Escuela Técnica Superior de Ingeniería y Diseño Industrial.
