LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La idea consiste en convertir de alguna forma la Ecuacin Diferencial Ordinaria en una ecuacin algebraica en general ms sencilla de resolver y luego invertir el proceso de forma que obtengamos la solucin buscada.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Unaecuacin diferencial ordinaria (comnmente abreviada "EDO") es la que contiene una funcin desconocida deunavariable independiente y relaciona con sus derivadas: unasolavariable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parcialesque involucran derivadas parcialesde varias variables), y

una o ms de susderivadasrespecto de tal variable.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Las transformadas integrales nos permiten realizar esta conversin. Para tener una idea de que es una transformada integral, consideremos el espacio R[a,b] de las funciones f (x) integrables segn Riemann en [a,b] y K (x,t) una funcin integrable en [a,b], para todo t A c R. En estas condiciones, podemos definir para cada una de las funciones de R[a,b] un funcional, esto es, una funcin definida sobre el espacio de funciones, tal que:

En resumen, siendo f(x) una EDO, multiplicndola por el ncleo e integrando en el intervalo [a,b], podemos hallar una expresin algebraica F(t) en general ms sencilla de resolver, y luego invertir el proceso de forma que obtengamos la solucin buscada de f(x). Notar cmo, pasamos de tener como variable independiente x a tener t.

Transformada Integral de LaplaceSea f una funcin definida en el intervalo [0, ), se define la Transformada de Laplace como como un funcional:

En sistemas de control la Transformada de Laplace nos va a permitir transformar Ecuaciones Diferenciales en Fracciones de Polinomio, simplificando la parte matemtica del anlisis de sistemas. En otras palabras, nos va a permitir pasar del dominio del tiempo donde estn definidas las ecuaciones que rigen el comportamiento del sistema dinmico, al dominio de la frecuencia (dominio complejo).

donde la integral se entiende en el sentido impropio, o sea que se va a cumplir que:

Por lo tanto, la transformada de Laplace se nos queda como:

Variable Compleja SUn nmero complejo est formado por una parte real y una parte imaginaria, ambas constantes con el tiempo para cada punto del espacio complejo. En el caso en el que la parte real y/o la parte imaginaria varen se denomina variable compleja.Para el caso que nos ocupa, vamos a usar la notacin S para hacer referencia a la variable compleja.S = + jsiendo la parte real y j la parte imaginaria. Teorema de Euler

Tabla de Transformadas de Laplace ms usuales

Transformada de Laplace en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.Como ya hemos definido antes, una EDO es aquella que contiene una funcin desconocida deunavariable independiente y relaciona con sus derivadas: unasolavariable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parcialesque involucran derivadas parcialesde varias variables), y

una o ms de susderivadasrespecto de tal variable.Se dice que una ecuacin diferencial eslinealsipuede ser escrita como unacombinacin linealde las derivadas dey.

siendo, tantoai(x) comor(x) funciones continuas dex. La funcinr(x) es llamada eltrmino fuente; sir(x) = 0 la ecuacin diferencial lineal es llamadahomognea, de lo contrario es llamadano homognea.Expresin general Ecuacin Diferencial Ordinaria Lineal No Homognea:

Si aplicamos a cada trmino, de la EDO Lineal anterior, la propiedad de la Transformada de Laplace de una derivada, considerando despreciable la funcin en el tiempo cero, obtenemos:

Vemos como se simplifica la expresin al pasar al dominio de la frecuencia en una simple relacin algebraica, que es lo que bamos buscando.

Teorema del Valor Final. Teorema del Valor Inicial.La representacin grfica de una funcin temporal f(t) tiene un valor inicial y otro valor final en el que se estabiliza.

TEOREMA DEL VALOR FINALEste teorema se aplica si y solo si, existe

esto es, el lmite cuando la funcin temporal tiende a infinito converge a un valor definido.Si todos los polos de S F(S), (esto es, de la ecuacin diferencial expresada el plano complejo) se encuentra en el semiplano izquierdo del plano complejo, existe el lmite anterior. Sin embargo, si S F(S) tiene polos sobre el eje imaginario o en el semiplano derecho del plano complejo, la ecuacin diferencial contendr funciones temporales oscilantes o exponencialmente crecientes y no existir el lmite.Por tanto, dependiendo de la posicin de los polos en el plano complejo, podemos determinar si un sistema dinmico es estable o no lo es. El Teorema de Valor Final SOLO SE APLICA EN CASOS ESTABLES, y plantea que el comportamiento en estado estable de un sistema dinmico es igual que el comportamiento de S F(S) alrededor de S = 0:

TEOREMA DEL VALOR INICIALEl teorema del valor inicial nos permite conocer el valor de una funcin temporal f(t) en el instante de tiempo t = 0+ (tiempo ligeramente mayor que t = 0). La aplicacin de este teorema no est limitada a la posiciones de los polos, es decir, a la estabilidad del sistema dinmico.El teorema del valor inicial plantea que el valor inicial de un sistema dinmico coincide con:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Estos dos teoremas, del valor inicial y del valor final, nos proporcionan una verificacin conveniente de la solucin, ya que nos permiten predecir el comportamiento del sistema en el dominio del tiempo sin necesidad de realizar antitransformadas.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Antitransformada de LaplaceUna vez que conocemos el comportamiento del sistema dinmico en el plano complejo, debemos invertir el proceso de transformacin para obtener los resultados en el dominio del tiempo (del cual hemos partido).

Para transformar la solucin del dominio complejo al dominio del tiempo usamos la Antitransformada de Laplace.

En la prctica, no se utiliza esta expresin para hallar el resultado en el dominio del tiempo, sino que se usan tablas de antitransformadas comunes. Para trabajar con estas tablas se debe partir de una expresin compleja cuya forma sea reconocible de inmediato en las tablas. Sin embargo, en la mayora de las ocasiones, es posible que la funcin compleja en cuestin no aparezca en la tabla. En estos casos hay que expandir dicha funcin en fracciones parciales.

EXPANSIN EN FRACCIONES PARCIALESLa clave est en el denominador de la funcin de transferencia. Lo que debe de hacerse de pende centralmente de l.

1) Primeramente debemos estudiar si el denominador de la funcin de transferencia es mayor que el numerador. Si esto no es as, se efecta la divisin del cociente hasta que se cumpla que el denominador sea mayor que el numerador.

2) Tomamos el denominador de la Funcin de Transferencia y lo igualamos a cero. Si las races de esta expresin (denominadas polos de la funcin de transferencia) son:

Polos Reales SimplesEn este caso, al igualar a cero el denominado, tenemos distintos nmeros reales como races.En este caso, la funcin de transferencia se puede expresar como:

donde Ak

Polos Reales MltiplesEn este caso, al igualar a cero el denominado, tenemos un mismo nmero real como raz.Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1x + b1)k, entonces la descomposicin en fracciones parciales contiene k trminos de la forma:

Polos Complejos ConjugadosEn este caso, al igualar a cero el denominado, tenemos nmeros complejos conjugados como races.Dos nmeros complejos son conjugados si tienen el mismo mdulo y opuestos sus argumentos.s = + j; = jEn estos casos vamos a tratarlos igual que lo polos conjugados simples. Una vez obtenida la funcin temporal, para eliminar la parte imaginaria, aplicaremos las expresiones del teorema de Euler.