Lab 5

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO.

Laboratorio N° 5: “Diseño de Controladores PI y PID desde el dominio del tiempo y desde el dominio de la frecuencia, utilizando SISOTOOL de

MATLAB”

Catedrático: Ing. Ricardo Cortez. Instructor: Arriola Suárez, Jaime Javier.

Grupo # 5. Alumnos: Carnet: Br. Martínez Urquilla, Mario Eduardo MU10007 Br. Paiz García, Gustavo Emmanuel PG08017 Br. Ramos Silva, Georgina Alejandra RS10007

Lunes 24 de Noviembre de 2014

SCA-115

Laboratorio N 5: “Diseño de Controladores PI y PID desde el dominio del tiempo y desde el dominio de la frecuencia, utilizando SISOTOOL de MATLAB”

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RESUMEN.

En el presente apartado se detallara el resumen de la práctica N°5 realizada en el laboratorio, el cual consta de 2 partes:

PRÁCTICA 5.1:

En realidad no existen controladores que actúen únicamente con acción integral, siempre actúan en combinación con reguladores de una acción proporcional, complementándose los dos tipos de reguladores, primero entra en acción el regulador proporcional (instantáneamente) mientras que el integral actúa durante un intervalo de tiempo. (Ti= tiempo integral).

Para el sistema de la figura 1 se diseño el controlador proporcional-Integral de tal forma que cumpla los siguientes requerimientos: Máximos pico de sobresalto (MP) menor a 8% Tiempo de asentamiento (ts) menor a 3 segundos Error en estado estable ante una señal rampa menor a 25% Tiempo de subida menor a 0.5 segundos.

Como podemos observar el siguiente circuito en la figura 1, es un circuito de lazo cerrado procedemos hacer los cálculos teóricamente y luego utilizaremos MATLAB.

Figura 1.

La función de transferencia del controlador PI, es la siguiente: () = +

.

De la práctica 5.1 tenemos los datos importantes para realizar las iteraciones necesarias, tenemos que tener en cuenta los siguientes datos:

Factor de amortiguamiento: =0.6365772.

Se determino el centroide del lugar geométrico del sistema, esto es necesario considerando que dicho valor implica cual es el eje de movimiento que tendrán las raíces complejas conjugadas del sistema en conjunto a las asíntotas del mismo, para ello utilice la siguiente ecuación:

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Sustituyendo los valores tenemos:

= .(

)

=

. /

Al usar la restricción dada por , sabemos que:

< Por lo tanto, tenemos:

. /

< −4/3

< 4.83

Se propuso un valor razonable para la relación / teniendo en cuenta la restricción del paso anterior. Tenemos que el valor razonable para Ki/Kp = 3.

Utilizando MATLAB, se define la función de transferencia tomando en cuenta el valor de la relación /, antes determinada y así también generando el lugar geométrico el cual se muestra en las siguientes imágenes:

Figura 2.

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Se genero la gráfica del lugar geométrico para determinar el valor de Kp para operar con un amortiguamiento de valor determinado en el paso 1, para esto nos auxiliamos del uso de la función “rlocfind”, tal como se muestra en la figura 3; el resultado de utilizar esta función aparece en la figura anterior.

Figura 3: Lugar geométrico. En la figura 4 se observa la multiplicación del valor adquirido de Kp por la función de transferencia antes definida así también utilizamos el comando de feedback para obtener nuestra función de transferencia de lazo cerrado:

Figura 4.

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Finalmente se determine el valor de Ki, sustituyendo el valor de Kp:

= 3

= (4.0676) ∗ 3 = . Se comprobaron los resultados utilizando MATLAB, obteniendo:

Figura 5: Resultados con “stepinfo”.

Figura 6: Resultados con “step”. Como pudimos observar en el proceso de iteración no se pudieron cumplir con los requerimientos realizando una única iteración, cabe de estacar que nuestro intento estuvo cercano a los valores requeridos.

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PRÁCTICA 5.2: Diseño de la respuesta escalón de un sistema en lazo cerrado con

controlador PID utilizando SISOTOOL.

Para observar que la respuesta transitoria de un sistema se modifique es necesario modificar

algunos valores que controlen la respuesta transitoria, para el caso el controlador PID ejerce

un efecto directo sobre el lugar de las raíces y es por ello que al modificar sus constantes el

tipo de respuesta puede cambiar en los tres casos usuales: Respuesta Sobre amortiguada,

Críticamente amortiguada y Sub amortiguada. La función de transferencia del controlador

PID, es la siguiente:() = + +

.

Los pasos que se siguieron para la realización del diseño utilizando SISOTOOL fueron los

siguientes:

Se debió ingresar los datos obtenidos para la función de transferencia de lazo

abierto que se obtuvo en el laboratorio anterior, tal como se indico en la práctica 5

de la laboratorio se confirmaron las configuraciones necesarias para nuestro diseño.

En la ventana “Control and Estimation Tools Manager” nos ubicamos en la pestaña

denominada “Compensator editor”, donde se introducirá dinámica al controlador, se

debe indicar que en el manejo del controlador, en nuestro caso utilizamos un

‘Integrator’ y ‘Complex Zero’.

Habiendo editado el controlador, antes de ingresar los requerimientos de diseño se

debió habilitar la ventana de la respuesta transitoria del sistema de forma que para

cada variación que hagamos del lugar geométrico o bien del diagrama de bode

podamos observar como el transitorio va cambiando su forma y se va adecuando a

los requerimientos de diseño.

Regresando a la ventana de diseño, se interactuó con el sistema hasta conseguir las

especificaciones requeridas, observando los cambios en el lugar de las raíces y en el

diagrama de Bode correspondiente, además se debieron indicar los parámetros de

diseño tal como se realizo en la práctica de laboratorio 5.

En la ventana “Compensator editor”, se indican los valores de los coeficientes del

controlador, el resultado de los valores de Ki, KD y Kp serán calculados e indicados

en los resultados obtenidos.

Se utilizo Simulink, abriendo el archivo “Lab5_PID.mdl” y antes de correrlo se

ingresaron en los bloques denominados “KP”,”Ki” y” KD” los valores en el paso

anterior, ejecutando el modelo y verificando que la respuesta diseñada en

SISOTOOL corresponda a la exhibida por el motor.

Una vez alcanzado las especificaciones de diseños los resultados obtenidos fueron

los siguientes.

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Inicialmente al realizar las pruebas tal como se indican en la práctica, obtuvimos una respuesta al sistema en la cual claramente observamos no es la que mejor describe al diseño, los resultados obtenidos en la primera prueba son los siguientes:

Figura 7: Respuesta transitoria del sistema.

Además se verifico que la respuesta diseñada en SISOTOOL corresponda a la exhibición por el motor, utilizando Simulik como se indico en la práctica. El resultado fue el siguiente:

Figura 8: Respuesta del sistema utilizando Simulink.

Tal como podemos observar se necesitan realizar los cambios necesarios para que nuestro diseño cumpla los parámetros requeridos para el sistema, por tanto se realizaron diferentes pruebas.

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Al realizar los cambios necesarios y cumplir los requerimientos, el resultado que mejor describe el diseño para calcular los coeficientes del controlador se muestra en la figura 9.

Figura 9: La ventana del administrador de herramientas.

Por lo tanto el valor de las constantes tienen los siguientes valores:

KD = 0.01631

KP = 0.5140

Ki = 8.4264

El resultado en la ventana de diseño fue el siguiente:

Figura 10: Resultados obtenidos con controlador PID.

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Finalmente la respuesta transitoria del sistema que cumple los parámetros de requerimiento se muestra en la siguiente figura:


Además se verifico que la respuesta diseñada en SISOTOOL corresponda a la exhibición por el motor, utilizando Simulik como se indico en la práctica. El resultado fue el siguiente:

Figura 12: Respuesta del sistema utilizando Simulink.

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ASIGNACIONES.

ASIGNACIÓN 1:

Desarrolle las iteraciones necesarias para alcanzar los requerimientos de diseño de la

práctica 5.1, mostrando un cuadro resumen con los valores obtenidos en cada iteración, con

la respuesta final y los valores de Ki y KP.

Los requerimientos que se deben cumplir son los siguientes:

Máximos pico de sobresalto (MP) menor a 8%

Tiempo de asentamiento (ts) menor a 3 segundos

Error en estado estable ante una señal rampa menor a 25%

Tiempo de subida menor a 0.5 segundos

De la práctica 5.1 de laboratorio y además del resumen tenemos los datos importantes para

realizar las iteraciones necesarias, tenemos que tener en cuenta los siguientes datos:

Factor de amortiguamiento: =0.6365772.

Condición 1 que debe cumplirse: Ki/KP < 4.83.

Las iteraciones realizadas con los datos obtenidos respectivamente se presentan en el

siguiente cuadro resumen:

CUADRO RESUMEN

N° de

iteración

Ki/KP < 4.83

Valor de KP

(Utilizando

‘rlocfind’)

Valor de Ki

Características del

sistema.

(Utilizando ‘stepinfo’)

1

Ki/KP = 4.75

2.0748

9.8553

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N° de

iteración

Ki/KP < 4.83

Valor de KP

(Utilizando ‘rlocfind’)

Valor de Ki

Características del sistema.


2

Ki/KP = 4.5

2.2093

9.94185

3

Ki/KP = 4

2.3014

9.2056

4

Ki/KP = 3.5

3.2811

11.4838

5

Ki/KP = 3

4.7746

14.3238

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N° de

iteración

Ki/KP < 4.83

Valor de KP

(Utilizando ‘rlocfind’)

Valor de Ki

Características del sistema.


6

Ki/KP = 2.75

6.2615

17.2191

7

Ki/KP = 2.50

10.00

25.00

8

Ki/KP = 2.00

16.8024

33.6048

9

Ki/KP = 1.7

17.3246

29.4582

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Se realizaron 9 iteraciones de las cuales las que más se aproximan a cumplir todos los requerimientos son las numero 8 y 9, tal como se muestran las características para cada iteración respectivamente en el cuadro resumen. Para comprobar los datos obtenidos nos auxiliamos de Matlab utilizando la función ‘step’, los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Iteración N° 8:

Figura 13: Resultados obtenidos con “step”.

Iteración N° 9:

Figura 14: Resultados obtenidos con “step”.

En el proceso de iteración obtener resultados que cumplan todos los requerimientos tiene muchas dificultades puesto es un procedimiento de “ensayo y error”. Como ya se menciono las iteraciones 8 y 9 son las más cercanas a cumplir los requerimientos de diseño del sistema.

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ASIGNACIÓN 2:

Diseñe un circuito con una función de transferencia de orden 2 utilizando SISOTOOL

con el cual deberá mostrar los resultados siguientes: El circuito, el proceso para

obtener la función de transferencia, las respuestas al escalón en sus diferentes

presentaciones (Críticamente amortiguada, sobre amortiguada, y sub amortiguada).

Figura 15: Circuito RLC de segundo orden.

Las ecuaciones que describen al sistema son:

= ()

= = = ()

=

() Ec.1

Además tenemos el siguiente resultado en la malla I(t):

() = ()+

() + () Ec.2

Sustituyendo la ecuación 1, obtenemos:

() =

() +

() + ()

Despejando la mayor derivada en el dominio de S, tenemos:

() = ()

+

()

+

()

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Por lo tanto el diagrama de estado quedo de la siguiente manera:

Figura 16: Diagrama de estados total.

Para determinar la matriz eliminamos los integradores y nuestro diagrama de estado queda de la siguiente manera:

Figura 17: Eliminando integradores.

Una vez simplificado el diagrama de estado podemos obtener los parámetros para poder formar nuestra matriz y obtener la función de transferencia VC(s)/V(s).

Al aplicar superposición obtenemos los siguientes resultados mediante el diagrama de estado:

= = −/

()| =

= = −/ ()| =

() = () = / ()|() = 0

Tabla 1.

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Con los datos obtenidos formamos la matriz donde queda de la siguiente forma:

= 0 1

−1/ −/

+

01/

∗ () . 8

Asignamos los valores para cada una de las variables de la matriz.

R= 2Ω L = 5H C = 3F

= 0 1

−1/(5 ∗ 3) −2/5

+

01/(5 ∗ 3)

∗ ()

Ya con los valores establecidos utilizamos MATLA:

Figura 18: Función de transferencia.

Utilizamos el controlador PID, la función de transferencia del controlador, es la siguiente:

() = + +

.

Para observar que se modifique la respuesta transitoria del sistema modificaremos los valores que controlan dicha respuesta transitoria con el fin de poder cumplir los parámetros para obtener un sistema: críticamente amortiguada, sobre amortiguada, y sub amortiguada. Los resultados al utilizar SISOTOOL fueron los siguientes:

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Sistema críticamente amortiguado:

Al realizar los cambios necesarios y cumplir los requerimientos, los resultados fueron los siguientes:

Figura 19: Lugar geométrico con controlador.

Calculando los coeficientes del controlador tenemos:

Figura 20: Controlador para un sistema críticamente amortiguado.


KD = 10.334

KP = 22.2181

Ki = 21.1847

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Finalmente la respuesta transitoria del sistema críticamente amortiguado se muestra en la siguiente figura:


Sistema sobre amortiguado:

De igual manera al realizar los cambios necesarios y cumplir los requerimientos, los resultados fueron los siguientes:

Figura22: Lugar geométrico con controlador.

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Figura 23: Controlador para un sistema sobre amortiguado.


KD = 5.6783

KP = 4.7186

Ki = 1.0277

La respuesta transitoria del sistema sobre amortiguado se muestra en la siguiente figura:


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Sistema sub amortiguado:

Finalmente al realizar los cambios necesarios para obtener el sistema sub amortiguado, los resultados fueron los siguientes:

Figura 25: Lugar geométrico con controlador.


Figura 26: Controlador para un sistema sobre amortiguado.


KD = 0.39207

KP = 0.8978

Ki = 0.9997

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Finalmente la respuesta transitoria del sistema sub amortiguado se muestra en la siguiente figura:

Figura 27: Respuesta transitoria del sistema

OBSERVACIONES.

En el diseño realizado mediante iteraciones pudimos observar la importancia de la

variación de la ganancia en nuestro sistema; para así poder cumplir los requerimientos de diseño, el procedimiento resulto tedioso puesto cumplir con todos los requerimientos tiene su dificultad, a pesar de las dificultades los resultados obtenidos fueron valores aceptables dentro de los requerimientos de diseño.

El tiempo integral regula la velocidad de acción de controlador, mientras que una modificación en Kp afecta tanto a la parte integral como a la parte proporcional de la acción de controlador.

SISOTOOL es una herramienta comprensible para el usuario ya que permite calcular de una manera práctica los controladores para el modelado de un sistema y es por ello que en el presente trabajo se utilizo con dicha herramienta.

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Como se puede observar el sobresalto está ligado directamente con el amortiguamiento mientras más grande es el sobresalto mas se tarda en sistema en asentarse al sistema y mientas más amortiguamiento hay el sistema se asienta más rápido.

Al utilizar el controlador PID en la asignación 2; cuando se realizo el procedimiento para obtener el sistema sub amortiguado pudimos observar que sin utilizar el controlador el sistema era bastante aceptable para cumplir este requerimiento, cabe estacar que se realizaron los cambios necesarios para obtener una respuesta que mejor describiera este sistema. .

CONCLUSIONES.

En base al conocimiento adquirido con la investigación teórica y su correspondiente aplicación práctica, se llegaron a las siguientes conclusiones:

SISOTOOL es una herramienta simpática la cual con ayuda de controladores

podemos diseñar sistemas con múltiples requerimientos en este caso podemos ver

que con ayuda de controladores se logro tener tipos de respuestas esto es muy

importante para los sistemas de control automático ya que ayuda en gran medida y

facilita el diseño.

La utilización de controladores beneficia al sistema ya que se pueden modificar sus

ceros de su función de transferencia para poder obtener un resultado que se apegue a

los requerimientos de dicho sin dicho controlador no se podría modelar o cumplir

los requerimientos que se pidan para un sistema de control automático.

El modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa cuando hay una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional.

El término integral suma el valor instantáneo del error a través del tiempo, este

término contribuye proporcionalmente para reducir la magnitud y duración del error. La magnitud con que el término integral contribuye a la acción de control se determina promedio de la ganancia integral Ki.

Al utilizar el controlador PID combinamos las ventajas de los demás controladores

aumentando la estabilidad en la parte derivativa y proporcional como también da

más exactitud a la parte integral.

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BIBLIOGRAFÍA.

Sistema de Control Automático - Bejamin c. Kuo

Simulation of Dynamic Systems with MATLAB® and Simulink- Harold Klee, Randal Allen.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_segundo_orden

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