Análisis de la imagen de un patrón de difracción obtenido con un TEM.

Inga Caqui, Marvyn William UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Ciencias, Laboratorio de Microscopia

E-mail: marvyn_16@hotmail.com

Resumen En el presente informe analizamos la imagen de un patrón de difracción escaneada a 300ppp, que anteriormente fue registrada en una placa fotográfica usando el microscopio electrónico de transmisión (TEM). La imagen escaneada será tratada con la ayuda de un software desarrollado en la UNI, el cual nos permitirá medir los radios de los anillos del patrón de difracción. Con la ayuda de una tabla de indexación, podremos identificar la estructura cristalina del oro. PALABRAS CLAVES: Difracción de electrones, tratamiento de imágenes, estructura cristalina.

Abstract In this report we analyze the image of a diffraction pattern scanned at 300dpi, which previously was recorded on a photographic plate using the transmission electron microscope (TEM). The scanned image will be treated with the help of software developed at the UNI, which we can measure the radius of the rings of the diffraction pattern. With the help of an indexing table, we can identify the crystal structure of gold. KEYWORDS: electron diffraction, imaging, crystal structure.

I. Introducción La Difracción de electrones es frecuentemente utilizada en física y química de sólidos para estudiar la estructura cristalina de los sólidos. Estos experimentos se realizan normalmente utilizando un microscopio electrónico por transmisión (MET o TEM por sus siglas en inglés), o un microscopio electrónico por escaneo (MES o SEM por sus siglas en inglés), como el utilizado en la difracción de electrones por retro-dispersión. En estos instrumentos, los electrones son acelerados mediante electrostática potencial para así obtener la energía deseada y disminuir su longitud de onda antes de que este interactúe con la muestra en estudio. La estructura periódica de un sólido cristalino actúa como una rejilla de difracción, dispersando los electrones de una manera predecible. A partir del patrón de difracción observado es posible deducir la estructura del cristal que produce dicho patrón de difracción. Sin embargo, esta técnica está limitada por el problema de fase. Aparte del estudio de los cristales, la difracción de electrones es también una técnica útil para el estudio de sólidos amorfos, y la geometría de las moléculas gaseosas.

II. Fundamento Teórico.

A. Difracción de electrones.

La difracción de electrones es una técnica utilizada para estudiar la materia haciendo que un haz de electrones incida sobre una muestra y observando el patrón de interferencia resultante. Este fenómeno ocurre gracias a la dualidad onda-partícula, que establece que una partícula de materia (en este caso el electrón que incide) puede ser descrita como una onda.

En 1924 Louis de Broglie sugirió que las partículas podrían tener propiedades ondulatorias, además de las propiedades características de las partículas. Presentó la hipótesis de que la longitud de onda de las partículas es inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

(1)

Donde : Longitud de onda. : Constante de Planck : Cantidad de movimiento

Sus conjeturas fueron confirmadas por los experimentos de Clinton Davisson y Lester Germer sobre la difracción de electrones en estructuras cristalinas de níquel en 1927.

El diámetro de los anillos concéntricos varía según la longitud de onda λ y por lo tanto con la tensión de aceleración U, tal como se desprende de las siguientes consideraciones:

De la ecuación de energía para los electrones acelerados por la tensión U.

(2)

Donde: Tensión de aceleración Carga del electrón. Masa de la partícula. Velocidad de la partícula.

La cantidad de movimiento p se puede derivar como:

√ (3)

Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (1) resulta para la longitud de onda:

√ (4)

En 1913, H. W. y W. L. Bragg descubrieron que la disposición regular de los átomos en un cristal simple podría entenderse como una matriz de elementos reticulares en planos reticulares paralelos. Entonces, al exponer esta red cristalina a rayos X monocromáticos o electrones mono-energéticos y, además, suponiendo que éstos tienen una naturaleza ondulatoria, cada elemento en un plano reticular actúa como un “punto de dispersión”, en el cual se forma un tren de ondas esféricas. Según el principio de Huygens, estos trenes de ondas esféricas se superponen y crean un frente de ondas “reflejado”. En este modelo, la longitud de onda no se modifica respecto del frente de onda “incidente”, y las direcciones de las radiaciones que son perpendiculares a los dos frentes de onda cumplen con la condición “ángulo de incidencia= ángulo de reflexión”.

En los rayos vecinos reflejados en los planos reticulares individuales se genera una interferencia constructiva cuando las diferencias de trayectoria son múltiplos enteros de la longitud de onda (FIG.Nº 1):

(5)

Donde: Distancia reticular interplanar. Ángulo de difracción. Esta es la denominada “condición de Bragg” y el ángulo de difracción correspondiente es conocido como ángulo rasante.

FIG.Nº1. Representación esquemática de la condición de Bragg.

FIG.Nº2. Bosquejo esquemático para determinar el ángulo de difracción.

En este experimento se utiliza un material policristalino como objeto de difracción. Esto equivale a una gran cantidad de pequeños cristalitos individuales que están dispersos en el espacio en forma irregular. Como consecuencia de esto, siempre hay algunos cristales en los que se satisface la condición de Bragg para una dirección de incidencia y longitud de onda dadas. Las reflexiones producidas por estos cristalitos quedan en conos cuyo eje común está dado por la dirección de incidencia. De ahí que aparezcan círculos concéntricos en una pantalla ubicada perpendicular a este eje. De la FIG.Nº2 se puede deducir la relación:

(6)

Aproximando para ángulos pequeños:

(7)

Entonces:

(8)

La substitución de la ecuación (8) en (5) lleva la difracción de primer orden (n = 1) a:

(9)

Diámetro del anillo. Distancia entre la muestra y la pantalla. Distancia reticular interplanar.

Según la ecuación (4), la longitud de onda λ está

determinada por la tensión de aceleración U. La combinación de las ecuaciones (4) y (9) muestra que los diámetros D1 y D2 de los anillos concéntricos cambian en función de la tensión de aceleración U:

√ (10)

Con

√ (11)

La medición de los diámetros D1 y D2 en función de la tensión de aceleración U permite determinar las distancias reticulares interplanares. B. Difracción de electrones en un microscopio

electrónico de transmisión.

La difracción de electrones en sólidos se realiza usualmente con un microscopio electrónico de transmisión donde los electrones pasan a través de una película ultra delgada del material en estudio. El patrón de difracción resultante es observado en una pantalla fluorescente, fotografiado en película o en forma digital. La longitud de onda de un electrón acelerado en un microscopio electrónico por transmisión es bastante más pequeña que la de la radiación utilizada en los experimentos de difracción de rayos-X. Una consecuencia de esto es que el radio de la esfera Ewald es mayor en la difracción de electrones que en la difracción de rayos-X, con lo que el experimento de difracción puede revelar más de la distribución bidimensional de los puntos en la trama. Además, el lente electrónico permite modificar la geometría del experimento de difracción. Conceptualmente, la geometría más simple es un haz paralelo de electrones incidiendo perpendicularmente sobre la muestra. Sin embargo, cuando los electrones inciden sobre el blanco en forma de cono permiten, en efecto, realizar una difracción con diferentes ángulos de incidencia al mismo tiempo. Esta técnica es llamada Difracción de Electrones de Haz Convergente (CBED por sus siglas en inglés), y puede revelar la simetría tridimensional del cristal. En un microscopio electrónico de transmisión, se puede seleccionar un simple grano de cristal o partícula para realizar el experimento de difracción. Esto significa que estos experimentos pueden realizarse sobre cristales de tamaño nanométrico, mientras que otras técnicas de difracción deben utilizar una muestra multicristalina limitando la observación. Además, la difracción de electrones en un MET puede ser combinada con imágenes directas de la muestra, incluyendo imágenes de alta resolución de la trama del cristal, y otras técnicas tales como el análisis químico de la composición de la muestra mediante una espectroscopia de

dispersión de energía con rayos-X, investigación de la estructura electrónica y atracción con una espectroscopia por pérdida de energía electrónica, y estudios del potencial promedio interno con una holografía de electrones.

III. Desarrollo Experimental En clase se nos proporcionó una foto impresa

del patrón de difracción de electrones de oro pulverizado (FIG.Nº3) con un potencial de aceleración igual a .

FIG.Nº3. Imagen escaneada de patrón de difracción del Oro pulverizado.

Esta foto tuvimos que escanearla a 300 pixeles por pulgada (300ppp).

Una vez escaneada la foto lo analizamos con el software proporcionada en clase, este software lo que hace es calcular los valores de las distancias interplanares (d), previa calibración.

Posteriormente cualquier patrón de difracción obtenida en las mismas condiciones podrá ser analizada.

Los cálculos y resultados se muestran a continuación.

IV. Cálculos y Resultados.

Usamos la ecuación (4) con el fin de calcular la longitud de onda de los electrones, se sabe que:

Entonces:

√

De la página en el internet webmineral.com, obtenemos las distancias reticulares interplana-res ( ):

Cargamos la foto en el software con la opción Load y tenemos tres opciones de análisis.

La primera opción, llamada Patrón de difracción, es para ubicar todos los anillos, para esto superponemos el anillo referencial sobre uno de los anillos del patrón de difracción (por lo general sobre el que mejor definido tiene los límites), el cual servirá de referencia, una vez hecho esto elegimos la opción Patrón y automáticamente se ubicarán los demás anillos (ver FIG.Nº4).

FIG.Nº4. Centrado de los anillos que aparecen en el patrón de difracción usando el software en la opción Patrón.

La segunda opción, llamada Intensidad nos da la curva de intensidades, por cada anillo del patrón de difracción habrá un máximo de intensidad (FIG.Nº5).

FIG.Nº5. Análisis de intensidades del patrón de difracción con el software, en la opción Intensidad.

La tercera opción, Patrón presentación, nos da la imagen del patrón de difracción combinada con los anillos que se obtuvieron usando la primera opción (Patrón de difracción).

FIG.Nº6. Anillos centrados en la opción Patrón presentación.

En el lado izquierdo de la ventana, que muestra las funciones que posee el software, también aparece una tabla (tabla Patrón)con los valores de los radios de los anillos ( ) en pixeles, y de las distancias reticulares interplanares ( ), pues bien, lo primero que haremos es calibrar, para esto sacamos los valores de los en una hoja de cálculo (EXCEL) y los multiplicamos con los respectivos valores de obtenidos de la webmineral.com, estos resultados se muestran en la TABLA Nº1.

TABLA Nº1. Valores para la calibración

n ( )

1 58 2.36 136.88

2 66 2.04 134.64

3 94 1.42 133.48

4 110 1.23 135.30

Promedio de los : 135.08

Con el valor promediado de los (=135.08) vamos a hacer la calibración, de manera que podamos hallar automáticamente los de posteriores patrones de difracción obtenidas en las mismas condiciones, para esto colocamos este valor promedio en el cuadro de la opción Const. y elegimos nuevamente la opción Patrón, veremos que automáticamente los de la tabla Patrón cambian a los valores dados por la webmineral.com, de esta forma corroboramos la calibración, y podemos asegurar que los de los siguientes patrones, serán obtenidas confiablemente.

FIG.Nº7. Proceso de calibración para el análisis de futuros patrones de difracción obtenidos en las mismas condiciones que el patrón de calibración.

Los valores de están en unidades de pixeles, y como sabemos que en una pulgada hay 300 pixeles, entonces tenemos el factor de conversión:

⁄

Con esto se obtiene los nuevos radios:

TABLA Nº2. Radio de los anillos

Rn (pix.) Rn (cm)

58 0.49

66 0.56

94 0.80

110 0.93

Para hallar la longitud de cámara ( ) usaremos dos formas, la primera será usando la ecuación (9), para nuestro caso tenemos:

(12)

Como , entonces:

Los se obtuvieron de la página de internet webmineral.com. Los resultados se muestran en la TABLA Nº2.

TABLA Nº2. Longitud de Cámara

dn (A) Rn (cm) L (cm)

2.36 0.49 26.66

2.04 0.56 26.22

1.42 0.80 25.99

1.23 0.93 26.35

Promedio de los L : 26.30

Tomando el promedio de los de la TABLA Nº2 se tiene que la distancia entre la muestra y la pantalla (por el primer método) es:

La segunda forma de hallar la longitud de cámara y además de identificar la estructura cristalina del oro, es a partir de la ecuación (8):

(13)

Entonces:

⁄

⁄ (14)

Los resultados para se muestran en la TABLA Nº3.

TABLA Nº3. Valores de Rn/R1

n Rn/R1

1 1.00

2 1.14

3 1.62

4 1.90

Ahora para identificar el tipo de estructura cristalina, lo que haremos es comparar los resultados de la TABLA Nº3 con los valores de la tabla de indexación de las estructuras cristalinas cúbicas (TABLA Nº4), que se muestra a continuación:

TABLA Nº4. Valores comparables para la indexación de las estructuras cristalinas cúbicas.

Vemos que los cuatro valores de la TABLA Nº3 coinciden con los cuatro primeros valores de la estructura fcc de la TABLA Nº4, por lo tanto podemos asegurar que el oro tiene una estructura cristalina cúbica de cara centrada.

Una vez identificada la estructura, podemos también hallar los índices de Miller.

TABLA Nº4. Índices de Miller

1.00 (111) 3

1.14 (200) 4

1.62 (220) 8

1.90 (311) 11

De las prácticas anteriores se conoce que:

⁄ √ (15)

Usando la ecuación (8) y (15), se obtiene:

⁄ √

(16)

Para , se tiene que los índices de Miller son [ ] (ver TABLA Nº4), entonces de la ecuación (16) resulta:

√

⁄ (17)

El valor del parámetro de red ( ) lo obtenemos de la página webmineral.com:

Reemplazando en la ecuación (17), resulta:

√

⁄ (18)

Los resultados de la ecuación (18), se resumen en la TABLA Nº5.

TABLA Nº5. Longitud de cámara

n L (cm)

1 26.64

2 26.26

3 26.44

4 26.39

Promedio: 26.43

Tomando el promedio de los de la TABLA Nº5 se tiene que la distancia entre la muestra y la pantalla (por el segundo método) es:

V. Observaciones y discusión. La difracción de electrones con un MET tiene varias limitaciones importantes:

La muestra tendrá que ser transparente a los electrones, lo que significa que el ancho de las muestras deberá estar en el orden de los o menos. Por consiguiente, puede que se necesite una preparación lenta y cuidadosa de la muestra.

Muchas de las muestras son vulnerables a los daños de la radiación del haz de electrones.

El estudio de materiales magnéticos es difícil dado que los campos magnéticos desvían los electrones por la fuerza Lorentz. A pesar de que este fenómeno pude ser utilizado para estudiar el dominio magnético de los materiales mediante la microscopía de fuerzas de Lorentz, hace virtualmente imposible determinar la estructura del cristal.

Sin embargo, la mayor limitación de la difracción de electrones en un MET es el alto nivel de interacción que se requiere con el usuario. La difracción con rayos-X o neutrones está muy automatizada, al igual que la interpretación de los datos obtenidos. Por el contrario, la difracción de electrones necesita un alto nivel de interacción por parte del usuario.

VI. Conclusión. Se halló satisfactoriamente la longitud de cámara ( ) de dos formas, resultando y , esto nos permitió posteriormente compararlos y promediarlos , resultando un , a su vez también se pudo encontrar el tipo de estructura cristalina que tiene el oro, resultando esta del tipo cúbica de cara centrada (fcc), y finalmente se aprendió a usar el software que se nos proporcionó en clase, siendo esta muy útil para muestras pulverizadas, donde el patrón de difracción son anillos concéntricos, el programa permitió también obtener la dimensión de los radios de los anillos y las distancias reticulares interplanares.

VII. Bibliografía. [1]. Leonid A. Bendersky and Frank W. Gayle, Electron Diffraction Using Transmission Electron Microscopy, Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology, 106 (2001) pp. 997–1012. [2]. Difracción de electrones en una red policristalina (Difracción de Debye-Scherrer). Física Atómica y nuclear. Experimentos introductorios. Leybold Didactic GmbH.