EL avance de las técnicas de control en ingeniería va de la mano con la tecnología, ya que ahora surgen tareas que de mayor complejidad y precisión .Existen muchos sistemas que se caracterizan por tener múltiples entradas y salidas que además varían en el tiempo y debido al objetivo de alcanzar un gran desempeño en sistemas cada vez más riguroso y peligrosos que dependen de sistemas de control se han desarrollado la teoría de control moderna.

En el presente laboratorio se trabajara la aplicación del software Matlab a la solución de Ecuaciones diferenciales o sistemas dinámicos mediante el espacio de estados.

Lab. 6

Se crean las matrices relacionadas con ecuaciones diferenciales de un sistema, en este caso un sistema físico de un motor.

Donde la matriz de estado corresponde a los coeficientes de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema y los relaciona.

La Matriz de entrada está compuesta por la variable a regular con el fin de obtener un cambio en la salida. En este caso el voltaje.

La matriz de salida es como su mismo nombre lo especifica la variable que sufrirá las alteraciones provocadas por los cambios en la entrada. En el ejemplo se define una matriz identidad para que se obtenga los datos de las tres salidas con el objetivo talvez de llevar esa información a tres diferentes sensores que monitoreen el sistema.

Lab. 6

Para que el Matlab entienda a estas matrices como un juego de ecuaciones diferenciales y las trabaje como tal en un sistema de espacio de estados se escribe el siguiente comando:

Más adelante especificamos los valores iniciales del sistema

Finalmente introducimos el siguiente comando para que trabaje con los valores iniciales introducidos.

Respuestas del sistema

Observaciones

-Debido a que el sistema solo se especificó los valores iniciales y no la entrada de voltaje ocurrirá lo siguiente:

-El Angulo de eje da un pequeño cambio a 0.54

-La velocidad angular baja a cero (se detiene el motor)

-La corriente baja a 0 puesto que no se energiza el motor.

Lab. 6

Angulo del Eje

Velocidad angular

Corriente

Si vario el valor inicial de la corriente a 6 Amp ocurre lo siguiente:

-El Angulo del eje da un cambio mayor a 0.55 grados.

-La velocidad angular experimenta un pico mayor al anterior

-Mientras que la corriente retorna a 0, igual que en el caso anterior ya que no se sigue alimentado con la fuente de poder.

Lab. 6

Atraves de lo anterior se dio un valor de la entrada de voltaje de 0.1 hasta el instante 0.1s.

Observaciones:

-El Angulo de eje aumenta hasta un valor que dura la energización.

-La velocidad del eje aumenta y se estabiliza en un valor mientras dure la energización del sistema. (Hasta 0.1s)

-El valor de la corriente parece decrecer durante el pulso pero en realidad es un valor pequeño provocado por la baja tensión aplicada.

Lab. 6

Observaciones

-La posición del eje aumenta desmesuradamente durante este impulso.

-La velocidad angular da un brusco cambio y aumenta significativamente y desciende luego de finalizar el impulso

-Debido a la gran tensión sometida por el comando impulse la corriente en el sistema también aumenta a la par de la tensión. La corriente no baja bruscamente ya que al tratarse de un motor existe una bobina que no permite los cambios bruscos de corriente.

Lab. 6

Práctica

Hallar el voltaje Vc y VR2 en el circuito mostrado:

Como primer paso definimos nuestras variables de estado despejando nuestras derivadas de corriente o voltaje.

Variables de estado que poseen derivadas i1 , i2 y Vc

Procedemos a trabajar con la corriente 1

En la malla 1 obtenemos por ley de tensiones :

Puesto que nuestras ecuaciones deben estar en función de nuestras variables de estado procedemos a reemplazar.

En este caso la ecuación ya se encuentra con las variables indicadas:

……(1)

Lab. 6

Procedemos a encontrar la otra ecuación correspondiente a i2 En la rama 2 por igualdad de tensiones entre ramas paralelas:

Despejando

……..(2)

Ecuación correspondiente a Vc.

Para hallar la relación con la variable i3 sabemos que la corriente el capacitor está dada por

Sin embargo i3 no es una variable de estado y debemos reemplazar

Como

Entonces:

……(3)

Lab. 6

Donde i1 e i2 si son variables de estado.

Finalmente ya tenemos nuestras ecuaciones de estado 1,2 y 3:

Ahora en su forma matricial las ecuaciones 1,2 y 3 se escriben

En la salida tendremos el valor de

I2*R2 el voltaje en la resistencia 2

pedido por el enunciado del pro-

blema además de el voltaje en el

capacitor.

Lab. 6

Ahora procedemos a trabajar en Matlab con la forma matricial

Abrimos un script escribimos lo siguiente:

Lab. 6

Para este caso con la entrada descrita se generan las siguientes graficas:

Donde la primera grafica es el voltaje en la resistencia R2 y la segunda corresponde al voltaje en el Capacitor.

A simple vista parece no diferenciarse pero en realidad si tienen valores distintos e, debido a que la pendiente positiva inicial coincide con la carga del condensador mientras que el condensador se carga y su voltaje aumenta de la misma forma ocurre en la rama paralela donde se encuentra la resistencia R2. Este voltaje en R2 no difiere mucho de la del capacitor ya que su bobina en serie L1 se la considero ideal y no posee resistencia por lo tanto no hay mucha caída de tensión en ella.

Lab. 6

Para apreciar mejor la carga del condensador se hizo un cambio en los parámetros de entrada de voltaje donde ya no inicia con una pendiente positiva sino ahora es un valor constante inicial:

Respuesta

Aquí claramente se observa como el valor del voltaje en el capacitor aumenta conforme este se carga.

Lab. 6