Laboratorio Ajuste de Curvas 2

7/28/2019 Laboratorio Ajuste de Curvas 2

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Facultad de Ingeniera y Arquitectura

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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTELaureate International Universities

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CURSO: FSICA I

LABORATORIO N2: AJUSTE DE CURVAS

PARTICIPANTES:

1. Chati Torres, Christian

2. Daz Jimnez, Christian

3. Malpaso Romero, Julin

4. Panduro Ruiz, Elvis

5. Yucra Mamani, Bryan

6. Fernndez Sobrados, Marino

LIMA PERU

2013


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AJUSTE DE CURVAS

1. OBJETIVOS:

Elaborar grficas de datos, utilizando papel milimetrado, logartmico y semilogartmico.

Realizar el ajuste de curvas aplicando los mtodos geomtricos y de mnimos cuadrados.

2. FUNDAMENTO TERICO:

2.1. Ajuste de Curvas:

Consiste en el ajuste ptimo de parmetros dependientes seleccionados apropiadamente de laregresin de la forma y = f (x, a, b,...) a una funcin matemtica. Para realizar el ajuste, primero

elegimos la funcin a la que aproxime la distribucin de puntos graficados.

2.2. Ajuste de curva de una funcin lineal

El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de Npares de puntos {xi,yi}

(siendox la variable independiente e y la dependiente), se determina una funcin matemtica f(x)de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia entre la imagen real y lacorrespondiente obtenida mediante la funcin ajustada en cada punto sea mnima.

a) Mtodo Geomtrico: Una funcin es lineal cuando las variables estn elevadas a la primera

potencia. Una funcin lineal que relacione X con Y se representa algebraicamente como:

a y b son constantes. En la Figura 1 se muestra un grfico de los valores de X e Y que

satisfacen la ecuacin. a es la ordenada. b es la pendiente de la recta.

Figura 1: Funcin ajustada geomtricamente

b) Recta Mnima Cuadrtica:

La recta mnima cuadrtica que ajusta el conjunto de puntos (X1, Y1), (X2, Y2),, (Xn, Yn) tiene

por ecuacin:

Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas

ecuaciones normales.


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Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

2.3. Ajuste de curva de una funcin no lineal

a) Parbola Mnima Cuadrtica: Para este caso el ajuste se har a una funcin parablica.

Para obtener las ecuaciones normales que permiten calcular los coeficientes a, b y c se procede

de manera similar que para el caso de la recta mnimo cuadrtico, tratando que:

b) Funcin Potencial: Una funcin potencial es de la forma.

Para linealizar se aplica logaritmos y se obtiene:

Haciendo:

Teniendo la ecuacin , la cual fue

tratada en 2.2.b.

c) Funcin Exponencial: Una funcin exponencial es de la forma.

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales o neperianos:

1. Sea: se toma logaritmos decimales.

Ahora les equivalencias son las siguientes:

Teniendo la ecuacin , la cual fue tratada en 2.2.b.

2. Sea: se toma logaritmo natural.

Ahora las equivalencias son las siguientes:

Para calcular los valores de a y b por mnimos

cuadrados cambiamos de variables segn


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las equivalencias anteriores y aplicamos las mismas frmulas (3) o (4) tratadas en 2.2.b.


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3. MATERIALES E INSTRUMENTOS:

01 PC con el programa Logger Pro 01 regla graduada en mm

01 interface Vernier. 01 Pabilo con masa

01 Sensor de Foto Compuerta

Soporte universal y polea

4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

4.1. Datos experimentales:

Medicin del Periodo de un Pndulo con los sensores:

Coloque el sistema, como se observa en la figura 2.

Mida la longitud desde el centro de giro hasta el centro

de masa del pndulo.

Abra el archivo 14 Periodo del Pndulo de la carpeta

Fsica con Vernier. Se visualizara el grfico Periodovs. Tiempo.

Hacer oscilar el pndulo, empuja la masa hacia un lado

formando un ngulo menor de 15. Click en y

mide el periodo para 12 oscilaciones completas. Click

en . Click en el botn Estadstica, , calcula el

promedio del periodo. Figura 2: Sistema de pndulo simple.


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Anote los valores del periodo promedio y de la longitud en la tabla 01.

Repita estos pasos para 07 diferentes Longitudes.

Tabla 1: Valores de la longitud y periodo del pndulo

N 1 2 3 4 5 6 7

L (m) 0.97 0.85 0.775 0.72 0.635 0.595 0.52

T (s) 1.979 1.813 1.773 1.701 1.603 1.547 1.451

4.2. Procesamiento de Datos:

Ingrese los datos de la tabla 1 en una hoja de clculo (EXCEL).

a) Clculo de la relacin (Periodo)2 vs. Longitud (Funcin Lineal):

Con los datos de la tabla 1, llenamos la tabla 2:

Tabla 2: Procesamiento de los datos del pndulo como funcin lineal.

Variable X Variable Y

N L T2 L.T2 L21 0.97 3.916441 3.79894777 0.9409

2 0.85 3.286969 2.79392365 0.7225

3 0.775 3.143529 2.43623498 0.600625

4 0.72 2.893401 2.08324872 0.5184

5 0.635 2.569609 1.63170172 0.403225

6 0.595 2.393209 1.42395936 0.354025

7 0.52 2.105401 1.09480852 0.2704

= 5.065 20.308559 15.2628247 3.810075

Hallamos los valores de las constantes y b con la ecuacin (4):

a= 0.06978825

b= 3.91313746


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b) Clculo de la relacin Periodo vs. Longitud (Funcin Potencial):

Con los datos de la tabla 1, llenamos la tabla 3:

Tabla 2: Procesamiento de los datos del pndulo como funcin potencial.

Variable X Variable Y

N L T Log L Log T Log L . Log T

1 0.97 1.979 - 0.29644579 -0.00392146 0.00017499

2 0.85 1.813 - 0.2583978 -0.01823799 0.00498169

3 0.775 1.773 -0.11069830.24870874 -0.02753163 0.01225411

4 0.72 1.701 -0.1426675 0.23070431 -0.03291401 0.02035402

5 0.635 1.603 - 0.20493352 -0.04041828 0.03889826 0.595 1.547 - 0.18949031 -0.04272685 0.0508426

7 0.52 1.451 - 0.16166741 -0.04591300 0.0806541

= - 1.5903479 -0.21166323 0.20815971

Hallamos los valores de las constantes y con la ecuacin (4):

A= 0.2996

B= 0.4858 Ahora, hallamos los valores de las constantes y b, como se observa en el inciso 2.3.a:

a = 0.2996

b = 0.4858

5. RESULTADOS:

5.1. Resultado Funcin Lineal:

Ecuacin Ajustada a una funcin

F(x) = 3.9131x + 0.0698


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5.2. Resultado Funcin Potencial:

Ecuacin Ajustada a una funcinF(x) = (0.4858)

6. CONCLUSIONES DEL LABORATORIO:

1. Cul es la diferencia entre los valores hallados por la calculadora y con el programaExcel?

La calculadora da muchas veces valores aproximados, en cambio el programaExcel es ms preciso, y es lo que buscamos ya que en esta experimentacin se

requiere de exactitud.

2. Cules son los valores experimentales y tericos de la constante a? Si laecuacin de la relacin entre el periodo del pndulo y su longitud es:

Sabemos que es igual a la pendiente, por lo tanto podramos hallar a y b

Tericos resolviendo la ecuacin, as como la gravedad experimental a partir de la ecuacin

de la grfica que resulta a partir de nuestros datos obtenidos en la medicin del tiempo

respecto a la longitud.

3. Cumple con la teora tratada.

En nuestro afn por conseguir el valor de la gravedad empricamente, llegamos a la siguienteconclusin:

Para llegar a un valor relativamente exacto respecto a la gravedad debemos ser muy precisos,y siempre habr ciertos errores que nos llevarn a una respuesta aproximada. Entoncespodramos decir que s cumple la teora tratada.


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7. BIBLIOGRAFA:

Nombre: Fsica I para estudiantes de ciencias e ingeniera

Autor: Casado Mrquez, Jos Martn.

Lima : Universidad Nacional de Ingeniera

Ao: 2008

Nombre: Fsica I. Principios con Aplicaciones

Autor: Giancoli, Douglas C.Ao: 2009

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