Upload
darkpeluxin
View
264
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
gym
Citation preview
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
I. OBJETIVOS
1. Estudiar el comportamiento de las fuerzas concurrentes y fuerzas paralelas.
2. Establecer las condiciones necesarias para que un sistema se encuentre en
equilibrio.
II. EQUIPOS Y MATERIALES
- Soportes universales (2)
- Poleas (2)
- Juego de pesas
- Regla patrón (con orificios)
- Cuerda
- Clamps o agarrederas (2)
- Portapesas (3)
- Dinamómetro
- Tablero
Fac. Ing. Electrónica
III. FUNDAMENTO TEÓRICO
Conceptos generales:
Cuerpo rígido: Es una combinación de un gran número de partículas que
ocupan posiciones fijas unas respecto de otras. No puede deformarse aplicando
fuerzas o torques.
Equilibrio: Para que un cuerpo esté en equilibrio y en reposo se requiere que,
se cumplan las siguientes condiciones:
∑ F⃗= 0⃗ ; ∑ τ⃗=0⃗ .
Las condiciones para que un cuerpo rígido en reposo son:
a) EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN
Es la masa vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido es igual
a cero. Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o se mueve con
velocidad constante; es decir, cuando la aceleración lineal del centro de
masa es cero al ser observado desde un sistema de referencia inercial.
∑i
F⃗ i=0
b) EQUILIBRIO DE ROTACIÓN
Es la suma de momentos de fuerza o torques respecto a algún punto es
igual a cero. Esto ocurre cuando la aceleración angular alrededor de
cualquier eje es igual a cero.
∑i
M⃗ i=0
Para que se cumpla esta condición se deben realizar los siguientes pasos.
1. Se identifica todas las fuerzas aplicadas al cuerpo.
2. Se escoge un punto respecto al cual se analizará el torque.
3. Se encuentran los torques para el punto escogido.
4. e realiza la suma de torques y se igualará a cero.
Fac. Ing. Electrónica
Ejemplos:
F F
D Fig.2
2F
Fac. Ing. Electrónica
La figura 1 se muestra una viga (cuerpo rígido), donde la fuerza total sobre ésta es cero. Pero el torque resultante respecto a su centro es diferente de cero, cuyo módulo es igual a 2Fd; donde d es la distancia desde el punto de aplicación
de las fuerzas (F⃗ y -F⃗ ) al centro de la viga. En este caso la viga tendrá una tendencia al giro de forma antihoraria.
F
D -F
Fig.1
En la figura 2 la fuerza total es 2F⃗ y el torque respecto a su centro es cero. Por lo tanto existe un equilibrio de rotación pero no de traslación. En este caso la viga asciende verticalmente sin rotar.
La figura 3 muestra la viga en reposo “absoluto”. Está en equilibrio tanto de traslación como de rotación.
IV. PROCEDIMIENTO
1. Armamos el sistema de la Fig. 4. Y se suspendes en los extremos de la
cuerda pesos diferentes F⃗ 1=60 y F⃗ 2 =80 y en el centro un peso F 3
=100. Se deja que el sistema se estabilice. Recuerde que debe cumplirse
la ley de la desigualdad de los lados del triángulo “un lado es menor que
la masa de los otros dos y mayor que su diferencia”
F⃗ 1 F⃗ 2
F 3
Fig. 4
2. Coloque el tablero (con un papel) en la parte posterior de la cuerda y
marque las direcciones de las cuerdas en el papel.
3. Retire el papel y anote en cada línea los valores de los pesos
correspondientes.
4. Complete el paralelogramo de fuerzas con una escala conveniente para
los valores de F⃗ 1 y F⃗ 2 .
Fac. Ing. Electrónica
5. Repita los pasos 1,2,3 y 4.
5.1. Coloque, F⃗ 1 ,F⃗ 2 y E⃗ 3 iguales en módulo y mida los ángulos: , y
que se forman alrededor del punto.Los pesos que se colocaron son
90g, 150g, 150g en dónde los ángulos son : 106°, 124°, 130°.
5.2. Coloque /F⃗ 1 / (120 g), /F⃗ 2 / (50 g) y /E⃗ 3 / (130 g) que estén en
relación 12:5:13 .
Los pesos de las fuerzas son: 120g, 50g, 130g en donde los ángulos
son 85°, 158°, 119°
5.3. Coloque /F⃗ 1 /, /F⃗ 2 / y /E⃗ 3 / que estén en relación 3:4:5 y mida los
ángulos que forman entre ellos.
Los pesos que se colocaron son 60g, 80g, 100g en dónde los ángulos
son : 92°, 126°, 142°.
F 1sen (126) =
F 2sen (92) =
F 3sen (142)
80 Nsen (126) =
100 Nsen (92) =
60 Nsen (142)
98 . 885 = 100 .065 = 97 .456
Fac. Ing. Electrónica
6. Suspenda la regla con los dinamómetros, utilice los agujeros en 10 cm y
70 cm para las fuerzas F⃗ 1 , F⃗ 2 como muestra la Figura 5. Anote las
lecturas en cada dinamómetro
F1 F2
F3 F4
Figura 5
7. oloque en el agujero del centro de gravedad de la regla un cuerpo de masa
450g que es la F⃗ 3 . Anote las lecturas en cada dinamómetro.
2,1 N 4,3 N
4,4 N
8. Desplace el cuerpo de F⃗ 3 al agujero a 20cm del primer dinamómetro.
Anote las lecturas de cada uno de ellos.
3,6 N 2,9 N
Fac. Ing. Electrónica
4,4 N
9. Adicione un cuerpo de masa de 300 g a 10 cm del otro dinamómetro.
Anote sus lecturas de cada uno de ellos.
3,1 N 6,4 N
4,4 N 3 N
IV. CUESTIONARIO
1. ¿Concuerda el valor hallado por el método gráfico con la fuerza del cuerpo
E⃗ ?
¿Qué diferencias hay entre la fuerza resultante y la fuerza equilibrante?
F⃗ R
F⃗ 1 107,5 F⃗ 2
2. Encuentre teóricamente el
valor de la fuerza equilibrante para cada caso, por la ley de senos o de
Lamy, por la ley del coseno y por descomposición rectangular. Compare
los valores /E⃗ / y los ángulos , y hallados con el obtenido en el paso 1
y los medidos experimentalmente. Confeccione un cuadro de sus
Fac. Ing. Electrónica
|F⃗ 1|=2 , 05 N ; |F⃗ 2|=1 , 96 N
|E⃗ 1|=2 , 34 N ; = 107,5°
FR=√F 12+F 22+2 F 1 F 2Cosθ
F 12=4 , 20 NF 22 =3 ,84 N2 F 1 F 2 = 8,04Cos = Cos (107,5) = -0,3
FR=√4 , 20+3 , 84+8 ,04 (−0,3)>2 ,37 N
|F⃗ 1|=2 , 37 N y |E⃗ 1|=2 , 34 NΔF=±0 , 03 N
resultados y de los errores experimentales porcentuales con respecto a la
equilibrante colocada.
CASO I: Cálculo Teórico de E⃗
2,0538N 1,956N
2,538Cos(32,5°) 1,956Cos(40°)
E
Valor Experimental E = 2,34N
CASO II: Cálculo Teórico de E⃗
1,467 1,467
E
Fac. Ing. Electrónica
Ley de senos: (Lamy)E
Sen (107 ,5 ° )= 1 , 956
Sen (122 ,5 °)= 2 , 0538
Sen (130° )
E = 2,38N
Ley de Cosenos: E2 = (2,0538)2 + (1,956)2– 2(2,0538)(1,956)Cos(72,5°)
E = 2,37N
Descomposición rectangular:E = 2,0538(Sen32,5°) + 1,956(Sen40°)
E = 2,36N
Ley de senos: (Lamy)E
Sen (106 ° )= 1, 956
Sen(130 ° )= 2 , 0538
Sen (124 °)
E = 1,78N
1,467N
E 1,467N
1,467N 1,467N
1,467Cos(34°) 1,467Cos(40°)
E
CASO III: Cálculo Teórico de E⃗
1,467N 1,956N
1,467Cos(42°) 1,956Cos(43°)
E
Fac. Ing. Electrónica
Ley de Cosenos: E2 = (1,467)2 + (1,467)2– 2(1,467)( 1,467)Cos(74°)
E = 1,76N
Descomposición rectangular:E = 1,467(Sen34°) + 1,467(Sen40°)
E = 1,76N
Ley de senos: (Lamy)E
Sen (95° )= 1, 467
Sen(133 °)= 1 , 956
Sen (132° )
E = 2,30N
Ley de Cosenos: E2 = (1,956)2 + (1,467)2– 2(1,956)(1,467)Cos(85°)
E = 2,35N
Descomposición rectangular:E = 1,467(Sen42°) + 1,956(Sen43°)
E = 2,31N
Valor Experimental E = 2,44N
CASO IV: Cálculo Teórico de E⃗
1,174N 0,489N
1,174Cos(68°) 0,489Cos(29°)
E
Valor Experimental E = 1,27N
En conclusión: Teóricamente el valor de la fuerza equilibrante (E⃗ )hallado
mediante Ley de Senos, ley de cosenos, descomposición rectangular es casi
idéntico al valor hallado experimentalmente, debido a que la medición de
los ángulos , y no fueron exactamente los precisos y además la
gravedad pudo ser distinta a la tomada como referencia.
Valor Teórico de E⃗
Valor exp.
de E⃗Ley de Senos
Ley de Cosenos
Descomp. Rectangular
Error Porcentual
I 2,34 N 2,38 N 2,37 N 2,36 N 0,73 N
II 1,46 N 1,78 N 1,76 N 1,76 N 1,38 N
III 2,44 N 2,30 N 2,35 N 2,31 N 1,97 N
Fac. Ing. Electrónica
Ley de senos: (Lamy)E
Sen (83° )= 1 ,174
Sen(119° )= 0 , 489
Sen(158 °)
E = 1,32N
Ley de Cosenos: E2 = (0,489)2 + (1,174)2– 2(0,489)(1,174)Cos(97°)
E = 1,32N
Descomposición rectangular:E = 1,174(Sen68°) + 0,489(Sen29°)
E = 1,31N
IV 1,27 N 1,32 N 1,32 N 1,31 N 0,93 N
E% = Er(100)
Er= Δxx̄
Δx=E 1+Ea
Ea= 3σ
√n−1
Caso I : x̄ =2,37 Er = 0,0073 E%= 0,73
Caso II : x̄ =1,76 Er = 0,0138 E%= 1,38
Caso III : x̄ =2,32 Er = 0,0197 E%= 1,97
Caso IV : x̄ = 1,32 Er = 0,0093 E%= 0,93
3. Mida los ángulos en los pasos 5.1 ¿Concuerda con el valor teórico de
120°?
Como hemos verificado pues el valor teórico no concuerda con el
experimental.
4. Verifique que el ángulo entre las cuerdas en los casos 5.2 y 5.3 sea 90°?
Luego de medir experimentalmente se han obtenido los siguientes datos:
F1 F2
Fac. Ing. Electrónica
1°) Para las fuerzas:
|F⃗ 1|=1 , 46 N =95°
|F⃗ 2|=1 , 96 N =132°
|E⃗|=2 ,44 N =133°
2°) Para las fuerzas:
|F⃗ 1|=1 , 17 N =83°
|F⃗ 2|=0 , 48 N =158°
|E⃗|=1 ,27 N =119°
E
Como observamos el ángulo “”, debería ser 90° teóricamente; pero en
forma experimental no es así pues hemos obtenido otros ángulos que
difieren un poco de 90°, y esto se da debido a los errores cometidos como
son: al medir los pesos, los ángulos.
5. ¿Son iguales las lecturas en los dinamómetros en los pasos 6 y 7? ¿Porqué?
Luego de medir experimentalmente, hemos observado que las medidas en
los pasos 6 y 7 no son iguales debido a que en el paso 7 aumentamos una
fuerza más (m=450 g), entonces para que se cumpla la 1era y 2da
condición de equilibrio la medidas en los dinamómetros tienen que variar,
es decir aumentar su valor.
Esquema gráfico de los pasos (6 y 7)
2,1N 4,3N
w=2,0N
3,6N 2,9N
w1=4,4N w=2,0N¿En que caso los dinamómetros marcarán igual, haga un gráfico que
exprese visualmente lo que explique en su respuesta?
Los dinamómetros marcarán igual cuando el peso de la barra se encuentre
en el punto medio del segmento de la regla limitada por los dinamómetros.
La gráfica:
F1 d1 d2
wb
Para que F1 y F2 d1 = d2 ¿Porqué?
Fac. Ing. Electrónica
Paso 6:wb=peso de la barramb= 205 g
Paso 7:w1=peso que hace variar las lecturas del dinamómetro.
Por que así se cumple la 2da condición de equilibrio que es ∑ M 0F=0
F1. d1 + F2. d2 =0 d1 = d2
6. Calcule teóricamente las reacciones en los puntos de suspensión para los
pasos 8 y 9 y compare con las lecturas en los dinamómetros?
a). Haciendo uso del diagrama del cuerpo libre para el paso 8 se tiene:
F1 F4=mg=2N F2
B A
F3=4,40N
Puesto que con la 1era condición que equilibrio (equilibrio de
traslación) ∑ F=0 no se puede determinar F1, F2, hacemos uso en la
2da condición de equilibrio (equilibrio de rotación) ∑ M 0F=0
Consideraciones previas:
Aceleración de la gravedad en lima g=9,78 m/s2
Masa de la barra 0,205 kg., masa acondicionada a la barra: m1= 0,45
kg.
F3= m1g = (0,45)(9,78) = 4,40N
mg = (0,205)(9,78) = 2N
∑ M (↑)=∑ M (↓ )
F1(0,6) = F3(0,4) + F4(0,2)
Reemplazando valores
F1(0,6) = 4,4(0,4) + 2(0,2) F1 = 3,6N
Tomamos momentos en el punto B: se obtiene F2 = 2,8 N
De este procedimiento se obtiene: F1=3,6N ; F2= 2,8N de donde F1 +
F2 = F3+F4 se cumple la 1era condición de equilibrio.
b). Haciendo uso del diagrama de cuerpo libre para el paso 9 se tiene:
F1 F4 F2
Fac. Ing. Electrónica
B A
F3 F5 =mA
De la primera condición de equilibrio
F3 + F4 + F5 = F1+ F2 ....... (1)
F3 = 4,40N F5 =0,3(9,78) = 2,93N
F4 =(0,205)(9,78) = 2N 9,33 = F1+ F2 .......... (2)
Tomando momento en el punto A.
∑ M (↑)=∑ M (↓ ) F1(0,6) + F5(0,1) = F4(0,2) + F3(0,4)
F1(0,6) + (2,93)(0,1) = 2(0,2) + 4,4(0,4) = 3,12N
F2= 6,21N tomando momento en el punto “B” también se obtiene el
mismo resultado.
Cálculo Experimental Cálculo TeóricoP
aso
8F1 F2 F1 F2
3,6N 2,9N 3,6N 2,8N
Paso 9
Cálculo Experimental Cálculo Teórico
F1 F2 F1 F2
3,1N 6,4N 3,12N 6,21N
7. ¿Qué observa de las fuerzas que actúan sobre la regla acanalada?
Como se observa la barra o regla se equilibra por lo que ésta permanece en
reposo, pero en sí no coinciden en gran medida con lo teórico, ya que no
consideramos las fuerzas externas que actúan sobre la barra. Por esto se
inclina de acuerdo a las diferentes fuerzas que se aplican al sistema de
experimento.
Fac. Ing. Electrónica
V. CONCLUSIONES
Del experimento efectuado llegamos a conclusiones como de las
ecuaciones de cuerpo rígido ∑ F⃗= 0⃗ ; ∑ τ⃗=0⃗ , establecen que las
sumas vectoriales de las fuerzas y torques que actúan sobre un cuerpo
deben ser nulas, por otro lado que para los cuerpos rígidos, en reposo
(estático), la velocidad V⃗ y la velocidad angular ω⃗ deben ser
idénticamente nulas.
Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario
considerar el equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación.
Por lo tanto se requieren las dos condiciones de equilibrio.
Otro aspecto que debemos recalcar es pues el uso importante del álgebra
vectorial en la composición de fuerzas y en particular el equilibrio de ellas
un problema de gran aplicación en la ingeniería.
BIBLIOGRAFÍA
- Manual de Laboratorio Física I, UNMSM, Lima
- MARCELO, ALONSO; EDWARD J. FINN 1976 Física Volumen 1 , México, Fondo educativo Interamericano S.A.
- SABRERA ALVARADO, Régulo; PEREZ TERREL, Walter
1992 Física 1, Lima, W.H.Editores S.R.Ltda.
Fac. Ing. Electrónica