Laboratorio de Matemáticas Aplicadas - Sesión IV · 2005-06-11 · Elementos finitos en la industria Sesión IV IV.1 COMPORTAMIENTO DE PLACAS IV.1.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS •

Elementos finitos en la industria Sesión IV

Sesión IV

IV.1 COMPORTAMIENTO DE PLACAS

IV.1.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS IV.1.2 SUPOSICIONES BÁSICAS IV.1.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO IV.1.4 RELACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO IV.1.5 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN IV.1.6 ECUACIÓN DE LA PLACA IV.1.7 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN ANTICLÁSTICA IV.1.8 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN EN DOS SENTIDOS Y TORSIÓN IV.1.9 COMPORTAMIENTO: EFECTO DE LAS DIMENSIONES

IV.2 COMPORTAMIENTO DE CASCARONES

IV.2.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS IV.2.2 SUPOSICIONES BÁSICAS IV.2.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO IV.2.4 COMPORTAMIENTO: CONCENTRACIÓN DE FLEXIÓN IV.2.5 COMPORTAMIENTO: PROPAGACIÓN DE FLEXIÓN IV.2.6 VALIDACIÓN

-1-Dr. Sergio Gallegos Cázares


IV.1 COMPORTAMIENTO DE PLACAS

IV.1.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS

• Una placa consiste en una lámina de material cuyo espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones, sobre la cual se aplica carga en dirección normal al plano, y cuyos soportes restringen el desplazamiento normal o la posible rotación.



• En un elemento estructural configurado de esta forma se espera una respuesta mecánica dominada por momentos flexionantes en el plano, por momentos torsores y por fuerzas de corte fuera del plano.

Corte

-3-

• Clasificación:

♦ 500Lh> ⇒ Placas muy delgadas

♦ 500 100Lh

> > ⇒ Placas delgadas

♦ 100 20Lh

> > ⇒ Placas medias

♦ 20 Lh

> ⇒ Placas gruesas

• Las placas delgadas y muy delgadas requieren consideración de las deflexiones grandes que se producen, generando fuerzas de membrana que afectan la rigidez de la estructura y se tratan principalmente en forma numérica.

• Las placas gruesas requieren considerar la deformación por corte en su formulación. La teoría que se emplea para este tipo se denomina teoría de placas de Mindlin.

Torsión qz

Flexión

Dr. Sergio Gallegos Cázares


• Las placas medianas son las que constituyen la mayor parte de las placas estructurales. La teoría de placas clásicas se ha desarrollado para este tipo de placas. A la teoría correspondiente se le denomina Teoría de Kirchhoff y es la que desarrollaremos en este capítulo.

• Ejemplos

• Placa plana



• Placa-Viga



• Placa nervada



IV.1.2 SUPOSICIONES BÁSICAS

• La superficie media es una superficie neutra, en el sentido de que no se deforma en su plano. Es la superficie de referencia.

• La placa es de espesor constante.

• La deformación de la placa se determina a partir del movimiento de la superficie media.

Modelo de placa Placa

• La suposiciones mecánicas básicas que reducen el problema real de 3-D a 2-D son:

1) El esfuerzo que actúa normal a la superficie es pequeño y puede despreciarse: σ =0 z

2) Una línea recta normal a la superficie media antes de la deformación permanece recta, normal y sin elongarse después de la deformación:

ε γ γZ XZ YZ= = = 0

♦ La segunda suposición tiene varias consecuencias:

◊ Esta suposición es similar a la Bernoulli que se utiliza en teoría de vigas

◊ Refleja las observaciones experimentales de que la deformación se produce básicamente en planos paralelos a la superficie media, con una



superficie neutra y deformaciones positivas de un lado y negativas del otro de esa superficie.

◊ Mecánicamente, puede imaginarse a una placa como un ensamble de pequeñas láminas apiladas, conectadas entre sí por la regla de la normalidad.

Modelo de láminas

-8-

• El sistema de referencias xyz se localiza con el plano xy en la superficie media y el eje z positivo hacia abajo

• Notación y convención de signos para los esfuerzos

σz

τzx τzyy

x τyx τxy

σxσy τyz τxz

z

♦ De estos esfuerzos: σz = 0, τyz =τzy = 0 y τxz =τzx = 0 (Verde)

• Para definir las fuerzas resultantes, esto es, fuerzas por unidad de longitud de placa, se emplea el modelo mecánico que simula la placa como un ensamble de láminas.



♦ A continuación se muestran los esfuerzos actuando en una lámina de espesor dz a una distancia z de la superficie media

-9-

• Convención de signos positivos de los esfuerzos resultantes sobre la superficie media

Fuerzas de flexión:

• Definición de esfuerzos resultantes (por unidad de longitud)

Cortantes: V d , V dzx xzh

h

=−∫ τ

/

/

2

2

zy yzh

h

=−∫ τ

/

/

2

2

x xh

h

=−∫ σ

/

/

2

2

zy yh

h

=

Flexión: M , Mz dz dz−∫ σ

/

/

2

2

z dzxy xyh

h

=, M−∫ τ

/

/

2

2

dx dy dz

τyx

σy

σxτxy

z

y

x z

x

MxyMxMyy Vy

Vx

Myx



IV.1.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

• Considere la distribución de fuerzas de flexión actuando en la superficie media del elemento

Fuerzas de flexión :

Fz =∑ 0

∂∂

∂

∂Vx

Vy

qx yz+ + = 0

My =∑ 0

V Mx

Myx

x xy= +∂∂

∂

∂

Mx =∑ 0

VM

xM

yyxy y

= +∂∂

∂∂

MyxVyqz

MyVx Mx x Mxy

Mx + ∆ Mx

Mxy + ∆ MxyMy + ∆ My y Vy + ∆ Vy Vx + ∆ Vx

Myx + ∆ Myx



• Si se elimina la dimensión y, estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones de viga ( flexión):

∂∂Vx

q+ = 0

V dMdx

=

• El cortante transversal se puede eliminar de la ecuación de equilibrio vertical sustituyendo

∂∂

∂

∂ ∂

∂

∂

2

2

2 2

2

2Mx

Mx y

My

qx xy yx y+ + = − ( , )

• Estas ecuaciones sólo se basan en estática

• Noten que:

♦ A diferencia de las vigas ( d Mdx

q2

2 = − ) en donde el momento puede ser

estáticamente determinado dependiendo de las condiciones de frontera, la placa es intrínsecamente INDETERMINADA ya que tenemos tres momentos: Mx, My y Mxy y sólo una ecuación de estática relacionándolos.

♦ Para obtener una solución se deben considerar las deformaciones y las propiedades del material.



IV.1.4 RELACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO

• Deformación de una placa

♦ Antes de la deformación:

-12-

♦ Después de la deformación :

El desplazamiento de un punto A que se encuentra una distancia z de la superficie media queda totalmente definido:

wu zx

∂∂

= −

wv zy

∂∂

= −

w w x y= ( , )

A

0 (Superficie di )

x z

A' z

0'

∂∂

wx

Superficie media original

zwx

∂∂

w

Superficie media deformada



Donde w(x,y) es la deflexión del punto 0 en la superficie media.

• Considerando deformaciones pequeñas, las deformaciones son:

2

2xu wzx x

∂ ∂ε∂ ∂

= = −

2

2yv wzy y

∂ ∂ε∂ ∂

= = −

2

2xyu v wzy x x

∂ ∂ ∂γy∂ ∂ ∂

= + = −∂

♦ La deformación de una capa de placa colocada a la distancia z de la superficie media, queda totalmente definida por las curvaturas ∂∂

∂∂

2

2

2

2

wx

wy

,⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ y el alabeo ∂

∂ ∂

2wx y

⎛⎜ de la superficie media: ⎝

⎞

⎠⎟

Curvatura constante

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

2

2

wy

Alabeo constante

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂ ∂

2 wx y

Superficie media no deformada

Curvatura constante

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

2

2

wx

♦ Nótese que las curvaturas y alabeo no deforman la superficie media en su propio plano



IV.1.5 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN

• Cada capa puede considerarse trabajando bajo las condiciones de esfuerzo plano:

( )σν

ε νεx xE

=−

+1 2 y

( )σν

ε νεy yE

=−

+1 2 x

τ γν

νγxy xy xyG E

= =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

122

IV.1.6 ECUACIÓN DE LA PLACA

• La ecuación de equilibrio transversal se puede escribir ahora en términos de la deflexión w mezclando las relaciones anteriores, para llegar a

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

42wx

wx y

wy

qDx y+ + = ( , )

donde ( )

3

212 1EhD

ν=

−

♦ Esta es la “ecuación biarmónica”

♦ Nótese que para el caso de una viga la ecuación se reduce a

d wdx

qEI

4

4 = como debe ser.



• Los cortantes transversales se determinan mediante estática.

♦ No se pueden determinar de la relaciones esfuerzo-deformación ya que se ha supuesto γ γxz yz= = 0 . Esta es la misma situación que se presenta en teoría de vigas, los cortantes transversales son necesarios para equilibrio, aún cuando las deformaciones asociadas con ellos se hayan supuesto nulas.

♦ De las ecuaciones de equilibrio vertical

( )VMx

My

Dx

wx

wy y

wx y

Dx

wx

wyx

x xy= + = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∂∂

∂

∂∂∂

∂∂

ν∂∂

∂∂

ν∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2 2

2

2

21

o bien

( )V Dx

wx = − ∇∂∂

2

De igual forma

( )V Dy

wy = − ∇∂∂

2



IV.1.7 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN ANTICLÁSTICA

• Considere una placa flexada por momentos Mx únicamente:

♦ Como My = 0, de la ecuación momento-curvatura se tiene que

∂∂

ν∂∂

2

2

2

2

wy

wx

= − ⇒ una curvatura de signo opuesto en la dirección y, que es

llamada flexión anticlástica

♦ La curvatura ∂∂

2

2

wy

es mas pequeña que ∂∂

2

2

wx

, y es más pronunciada

para materiales casi incompresibles.



IV.1.8 COMPORTAMIENTO: FLEXIÓN EN DOS SENTIDOS Y TORSIÓN

• Consideremos una placa cuadrada con carga uniforme y simplemente soportada en sus orillas:



SS

SS

SS

SS

♦ La deformación que se produce contiene curvatura en X, Y y alabeo:



♦ Desde una vista superior, los momentos en X y Y son idénticos por la simetría:

Valor máximo

♦ Los momentos torsores serán:

Valor máximo

¡Nada despreciables verdad! -19-



IV.1.9 COMPORTAMIENTO: EFECTO DE LAS DIMENSIONES

• Considere un sistema de vigas cruzadas

y

b

Qa x

• Se mantiene b fija y se varía a.

• La carga se divide entre las vigas obligando a que sufran la misma deflexión

δ =Q a

EIx

3

48 y δ =

Q bEI

y3

48

• De la igualdad de la flexión se sigue

3x

y

Q bQ a

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ la carga se acarrea principalmente en la dirección del

claro corto. Mantenemos “b” fija y cambiamos “a”:

ba

x

y

QQ

1 1 2 0.125 3 0.037 4 0.016 5 0.008



• ¡La carga en el sentido largo rápidamente desaparece!

• En las placas muy larga se produce un efecto de soporte. Graficando Mx para una placa larga se observa un incremento en el momento cerca del soporte

S.S

b

y S.S

x S.S

νMest

Mx

x

≅b/3

♦ Lejos del soporte sólo se presenta flexión por el coeficiente Poisson

♦ Al acercarse al extremo la lámina se tiene que doblar en dirección x produciendo un incremento de Mx

• Esto puede observarse en el siguiente ejemplo: Tomaremos una placa alargada con relación a/b = 6, simplemente soportada y carga uniforme:



SS

SS

SS

30

5

SS

♦ Una vista latera de la placa deformada muestra la curvatura cerca de los apoyos extremos:

Efecto de orilla Casi recto

-22-♦ Momentos en el sentido largo Mx:



Efecto de orilla

Debido al coeficiente de Poisson

♦ Momentos en el sentido corto, My:

♦ Momentos torsores Mxy:



Efecto de esquina

• Ejercicio 6: Placa cuadrada con vigas de borde.



IV.2 COMPORTAMIENTO DE CASCARONES

IV.2.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS

• Los cascarones son estructuras laminares de espesor delgado, cuya geometría se define en 3-D

♦ La configuración geométrica tiene por objeto conseguir que las fuerzas externas aplicadas sobre la lámina se equilibren internamente mediante:

◊ Fuerzas de membrana

◊ Momentos flexionantes

♦ La intención de manejar la geometría en 3-D es que las fuerzas de membrana sean las dominantes.

• Los cascarones pueden dividirse, por su uso, en cuatro grandes grupos:



♦ Cascarones cilíndricos

♦ Cascarones de revolución



♦ Cascarones tipo doble-curvatura



♦ Cascarones de forma general



IV.2.2 SUPOSICIONES BÁSICAS

• La deformación de los cascarones se determina a partir de la deformación de la superficie media también.

Modelo

Cascarón

• Suposiciones mecánicas básicas que reducen el problema real de 3-D a 2-D son:

1) El esfuerzo que actúa normal a la superficie es pequeño y puede despreciarse: σ =0 z

2) Una línea recta normal a la superficie media antes de la deformación permanece recta, normal y sin elongarse después de la deformación:

ε γ γZ XZ YZ= = = 0



• Mecánicamente, puede imaginarse a un cascarón como un ensamble de pequeñas láminas apiladas, conectadas entre sí por la regla de la normalidad.

Modelo de láminas

• Para definir las fuerzas resultantes, esto es, fuerzas por unidad de longitud de placa, se emplea el modelo mecánico que simula la placa como un ensamble de láminas.

♦ A continuación se muestran los esfuerzos actuando en una lámina de espesor dz a una distancia z de la superficie media

-30-

dx dy dz

τyx

σy

σxτxy

z

y

x z



• Convención de signos positivos de los esfuerzos resultantes sobre la superficie media

Fuerzas de flexión:

Fuerzas de membrana:

x

MxyMxMyy Vx

VyMyx

-31-

• Definición de esfuerzos resultantes (por unidad de longitud)

Cortantes: V d , V dzx xzh

h

=−∫ τ

/

/

2

2

zy yzh

h

=−∫ τ

/

/

2

2

x xh

h

=−∫ σ

/

/

2

2

zy yh

h

=

Flexión: M , Mz dz dz−∫ σ

/

/

2

2

z dzxy xyh

h

=, M−∫ τ

/

/

2

2

Xh

h

=−∫σ

/

/

2

2

y yh

h

=

En el plano: , N dzX N dz−∫ σ

/

/

2

2

N dzxy xyh

h

=, −∫τ

/

/

2

2

Ny

x

Nyx

Nxyy

Nx



IV.2.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO

• Considere la distribución de fuerzas de membrana y de fuerzas de flexión actuando en la superficie media del elemento

Fuerzas de membrana :

Fuerzas de flexión :

Fx =∑ 0 (Membrana)

Ny

-32-

x

y

Myx + ∆ Myx

Mxy + ∆ Mxy

Mx + ∆ Mx

My + ∆ My Vy + ∆ Vy Vx + ∆ Vx

Vy

My

Myx

MxVx

Mxy

qz

Nyx

Nxy qxNx x qy Nx + ∆ Nx

Ny + ∆ Ny

Nyx + ∆ Nyx

Nxy + ∆ Nxyy



∂∂

∂

∂Nx

Ny

qx xyx+ + = 0

Fy =∑ 0 (Membrana)

∂

∂

∂

∂

Nx

Ny

qxy yy+ + = 0

Fz =∑ 0 (Placa)

∂∂

∂

∂Vx

Vy

qx yz+ + = 0

My =∑ 0 (Placa)

V Mx

Myx

x xy= +∂∂

∂

∂

Mx =∑ 0 (Placa)

VM

xM

yyxy y

= +∂∂

∂∂



IV.2.4 COMPORTAMIENTO: CONCENTRACIÓN DE FLEXIÓN

• De la teoría clásica de cascarones cilíndricos se obtiene una analogía interesante:

( )EI Eh=

−

3

212 1 ν Pz

k EhR

= 2

y

◊ Los anillos, que forman la cimentación elástica, son muy rígidos. z

◊ Las vigas, en cambio, son muy flexibles.

◊ Por tanto, cualquier efecto concentrado es absorbido por los anillos, no por las vigas y no se propaga.

-34-

• Consideremos un tanque de agua, en donde la cimentación aplica fuerzas cortantes y momentos flexionantes concentrados en la base. Observen los resultados.

L γ Pz = -γ(L-y) = -γL(1-ξ) Px = Py = 0

2R



Solución: La solución puede encontrarse como

( )w LK

LK

= + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − −

γβ

ψβ

ψγβ

ξ5

4 1 3

5

441 1

41

M K d wdy

Ly = − = − − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

2

3

2 3 121 1γ

βψ

βψ

( )NR

PdQdy

L Lzyθ γ ξ γ ψ

βψ= − − = − − + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1 1 1

1 3

De estos resultados es fácil observar que en el extremo fijo (y = 0)

M L0

3

221 1

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

γβ β

y Q L0

2

22 1

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

γβ β

y Nθ = 0

Los resultados se muestran a continuación

(+) (+)

My w NθTanque

• Observemos ahora soluciones numéricas para un tanque similar.

◊ Modelo de una cuarta parte:



R = 300 cm

t = 15 cm E = 2x105 kg/cm2

ν = 0.18 γ = 1000 kg/m3

H = 400 cm

Base empotrada

◊ Flexión My:

Efecto localizado

Concentración

• El mismo efecto ocurre en cualquier cascarón que forma anillos cerrados.



IV.2.5 COMPORTAMIENTO: PROPAGACIÓN DE FLEXIÓN

• Para cascarones abiertos, o sea, aquellos que no forman anillos, se produce el efecto contrario. Cualquier fuerza produce flexión que se propaga por toda la superficie.

• Consideremos ahora un “barril”, que es un segmento de cascarón cilíndrico que comúnmente se emplea para cubiertas sujeto a su propio peso.

Diafragma

Libre

Libre

z x

y

Espesor = 0.25 ft E = 4.32 x 108 lb/ft2R = 25 ft

50

40°Diafragma

• Observen como se activan todas las fuerzas de un cascarón con magnitudes similares: (En una cuarta parte)



◊ Fuerzas de membrana

◊ Fuerzas de flexión



IV.2.6 VALIDACIÓN

Ejercicio 7: Tanque de agua.

Ejemplo 4: Tubo de succión.


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