INTRODUCCIÓN

El movimiento periódico es el movimiento de un cuerpo que se repite regularmente; el

cuerpo regresa a una posición dada después de un intervalo fijo. Con un poco de

razonamiento podemos identificar varios tipos de movimiento periódico en nuestra vida

diaria. Nosotros regresamos a la mesa a comer todos los días y varias veces. La Tierra

regresa cada año a la misma posición en su órbita alrededor del sol, con lo cual resultan

las variaciones entre las cuatro estaciones. La Luna regresa a la misma relación con la

Tierra y el Sol, resultando en una Luna nueva aproximadamente una vez al mes.

Además de estos ejemplos diarios, numerosos sistemas exhiben movimiento periódico.

Una clase especial de movimiento periódico ocurre en sistemas mecánicos cuando la

fuerza que actúa sobre un cuerpo es proporcional a la posición de ese cuerpo con

respecto a alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza está siempre dirigida hacia la

posición de equilibrio, el movimiento se denomina movimiento armónico simple. En esta

práctica observaremos un sistema que nos ilustra la temática vista previamente,

estudiaremos algunos aspectos prácticos y analizaremos su incidencia.

PRÁCTICA DE LABORATORIO No. 1 “Oscilador Armónico”.

1. CONCEPTOS BÁSICOS.

Para una masa unida a un resorte, el período de oscilación teórico está dado por:

√

Donde T es el tiempo para una oscilación completa, m es la masa que está oscilando

y k es la constante del resorte.

De acuerdo a la Ley de Hooke, la fuerza ejercida por el resorte es proporcional a la

longitud en que el resorte es comprimido o estirado, donde k es la constante

de proporcionalidad. La constante del resorte se puede determinar experimentalmente

aplicando fuerzas que provoquen en el resorte diferentes estiramientos. Al graficar

fuerza versus estiramiento, la pendiente de la recta que resulta, es igual a k.

2. OBJETIVO.

El objetivo es medir el período de oscilación de un sistema masa-resorte y compararlo

con el valor teórico.

3. MATERIALES.

Carro dinámico con masas (ME-9430).

Riel para carro dinámico.

2 resortes.

Super polea con prensa.

Portapesas y masas (ME-9348).

Cronometro, hilo, balanza y papel para graficar.

4. PROCEDIMIENTO

4.1. Mediciones para determinar el Período Teórico.

4.1.1. Determine la masa del carro con una balanza. Anote este valor en la

Tabla 3.1.

4.1.2. Nivele el riel ubicando el carro en él y observando si se mueve. Para

ello ajuste el perno de nivelación ubicado en un extremo del riel. Ponga

la polea con la prensa en un extremo del riel.

4.1.3. Sitúe el carro en el riel, calzando las ruedas con las canaletas y ponga

un resorte en cada extremo del carro, los resortes se insertan en los

agujeros que hay en los extremos del carro. Fije el otro extremo de los

resortes en los topes de detención.

4.1.4. A un extremo del carro, ate un hilo que pase por la polea y con una

masa colgante, como se muestra en la figura.

4.1.5. Anote la posición de equilibrio en la Tabla 3.1.

4.1.6. Agregue masa al portapesas y anote la nueva posición. Repita esto

para un total de 5 masas diferentes cuidando de no sobrecargar el

resorte; dado que ambos resortes actúan sobre la misma masa, este

método dará la constante efectiva para los dos resortes.

Masa del carro: 511,5gr Posición de equilibrio: 61,5cm

El desplazamiento desde el equilibro, se halla efectuando la resta de la

posición de equilibrio menos la posición a la cual se desplaza el carro

luego de haber cargado el portapesas con la masa adicional.

Desplazamiento desde el equilibrio:

Masa 1: 61,5cm-53,4cm= 8,1cm

Masa 2: 61,5cm-52,5cm= 9cm

Masa 3: 61,5cm-46,6cm=14,9cm

Masa 4: 61,5cm-39,7cm=21,8cm

Masa 5: 61,5cm-33,4cm=28,1cm

La determinación de la fuerza es el resultado del producto de la masa

agregada por la gravedad (tomamos la gravedad como ) y

expresamos la masa en unidades de kilogramos.

Gravedad:

Masa 1: (0.5000kg)( )= 0,49N

Masa 2: (0.0637kg)( )= 0,62N

Masa 3: (0.0995kg)( )= 0,97N

Masa 4: (0.1545kg)( )= 1,51N

Masa 5: (0.1995kg)( )= 1,95N

Tabla 3.1

4.2. Determinación del período experimental.

Masa agregada

Posición Desplazamiento

desde el equilibrio Fuerza (mg)

50gr 53,4cm 8,1cm=0.08m 0,49N

63,7gr 52,5cm 9cm=0.09m 0,62N

99,5gr 46,6cm 14,9cm=0.14m 0,97N

154,5gr 39,7cm 21,8cm=0.21m 1,51N

199,5gr 33,4cm 28,1cm=0.28m 1,95N

0.08, 0.49

0.09, 0.62

0.14, 0.97

0.21, 1.51

0.28, 1.95

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Fuer

za (

N)

Desplazamiento (m)

4.2.1. Desplace el carro desde el equilibrio hasta una posición dada y

suéltelo. Temporice 5 oscilaciones y anote el tiempo en la tabla 3.2.

4.2.2. Repita estas medidas un mínimo de 5 veces, usando siempre el mismo

desplazamiento inicial (amplitud).

4.2.3. Agregue una masa de 500g al carro. Mida el tiempo para 5

oscilaciones. Anote estos datos en la tabla 3.2.

4.3. Período Teórico.

4.3.1. Con los datos de la tabla 3.1, grafique Fuerza vs. Desplazamiento.

Trace la mejor recta entre los puntos y determine su pendiente. Esta

pendiente es igual a la constante efectiva del resorte, k.

Realizamos la gráfica Fuerza vs Desplazamiento y para ser coherentes,

convertimos las cifras a las unidades correspondientes con las cuales

trabajaremos en las nuevas estimaciones, por lo cual; el

desplazamiento desde el punto de equilibro para cada adición de masa

expresado en centímetros (cm); lo reescribimos en metros (m) y

procedemos a graficar:

Debemos obtener el valor de la pendiente el cual nos indicará el de la

constante de proporcionalidad del resorte, para lo cual empleamos la

fórmula para hallar la pendiente de una recta

Visualmente observamos los valores para las variables de acuerdo a la

gráfica de Fuerza vs Desplazamiento y reemplazamos:

La pendiente es 7,3m por lo tanto:

4.3.2. Usando la masa del carro y la constante del resorte calcule el período

mediante la fórmula teórica. También calcule el período para el carro,

con una masa de 500gr sobre él.

Teniendo la constante de proporcionalidad podemos calcular el valor

del período para los dos casos, para lo cual, convertimos a kilógramos

(kg) las cantidades de las masas de cada uno. La masa del carro es

igual a 511,5gr y es igual a 0,51kg y la masa del carro sumada a la

masa adicional de 500gr nos da un total de 0,01kg. Procedemos a

calcular el período:

Tenemos que √

, donde m es la masa y k es la constante de

proporcionalidad, luego:

(Carro vacío) √

(Carro con masa) √

4.4. Período experimental.

4.4.1. Usando los datos de la Tabla 3.2, calcule el tiempo promedio para 5

oscilaciones, con y sin la masa de 500gr sobre el carro.

4.4.2. Con estos tiempos calcule los períodos correspondientes y anótelos en

la Tabla 3.2.

Tabla 3.2

Ensayo Tiempo para 5 oscilaciones Período

1 8,64seg

Sin masa adicional

T= 1,70s

2 8,97seg

3 8,33seg

4 8,43seg

5 8,35seg

Promedio 8,54seg

1 11,61seg

Con masa adicional

T=2,28s

2 11,97seg

3 11,27seg

4 11,27seg

5 11,12seg

Promedio 11,44seg

Para calcular los promedios en ambos casos sumamos la totalidad de ensayos y divimos entre el número de ellos. El período (empleando el tiempo promedio calculado) puede ser estimado diviendo el promedio entre el número de oscilaciones (5)

Por lo cual el período para el sistema sin masa adicional es igual:

Y el período para el sistema con masa adicional de 500gr es:

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES.

5.1. Calcule los porcentajes en que difieren los valores teóricos de los

experimentales.

Para hallar los porcentajes de diferencia de los valores se calcula el valor

absoluto de la resta entre valor experimental y el valor teórico dividido entre el

valor teórico y multiplicado por 100

| |

El porcentaje de diferencia para el carro vacío es

(Carro vacío) | |

(Carro con masa) | |

5.2. ¿El período de oscilación crece o decrece cuando la masa aumenta? ¿Un

carro de mayor masa oscila más rápido o más lento?

El período se ve afectado directamente por la masa, puesto que cuando se

aumenta la masa; consigo se tarda el período de oscilación del sistema. Al

proponer un carro de mayor masa, este oscilaría con mayor lentitud.

5.3. Si el desplazamiento inicial desde el equilibrio (amplitud) varía, ¿Cómo cambia

el período? Pruébelo.

Para el caso del sistema masa-resorte es fácil determinar que:

, Luego: √

Obsérvese el período es constante y no depende de la amplitud. Solo

depende de propiedades físicas propias e internas del sistema. Para este

sistema, depende de una propiedad del resorte (su constante k) y de la masa

del cuerpo sujeto.

La restricción a pequeña amplitud para las oscilaciones asegura que el

periodo es constante y que solo depende de propiedades del sistema.

Se puede demostrar que cuando no se cumple la condición de pequeña

amplitud, el período depende de esta. Si pensamos en un oscilador ideal; se

debe mencionar la posibilidad de algún tipo de amortiguamiento. En la

realidad todo oscilador está sometido a un amortiguamiento que hace que su

energía inicial disminuya en el tiempo, hasta detenerse.

Cuando se incluye el amortiguamiento en el estudio del oscilador se hacen

simplificaciones para facilitar la interpretación de los resultados. Una

simplificación es imponer la condición de baja velocidad a los componentes

del oscilador. Esto permite introducir una dependencia lineal de la fuerza de

amortiguamiento con la velocidad. Matemáticamente esto significa:

Donde es la Fuerza de amortiguamiento. Cuando V no es baja,

depende de potencias (de V) mayores que uno.

La otra condición es que el coeficiente b sea constante.

Bajo estas condiciones se obtiene la solución del oscilador débilmente

amortiguado.

Siendo la amplitud a t= 0, τ= tiempo de relajación, donde está incluida la

constante de amortiguamiento, y la frecuencia de oscilación amortiguada

que es levemente inferior a y es función de ésta y de .

De todas maneras, es constante, lo que significa que el período del

oscilador débilmente amortiguado es constante y mayor que el

correspondiente al caso ideal .

El desarrollo anterior puede generar la idea de que todo movimiento periódico

es independiente de la amplitud, haya o no amortiguamiento, si se cumple la

condición de pequeña amplitud.

BIBLIOGRAFÍA.

Física Re-Creativa, Salvador Gil y Eduardo Rodríguez. Prentice Hall - Buenos

Aires. 2001.

Alonso, M. Finn, J.J., Física, Volumen I, Addison-Wesley Iberoamericana, México,

1995.

Serway, Raymond A. FÍSICA, Tomo I, Cuarta Edición, McGraw-Hill, México, 1997.

CONCLUSIÓN

La observación de los fenómenos físicos que involucran el efecto de los osciladores

armónicos justo nos presentan una estimación aproximada de la realidad y la proposición

de sistemas ideales nos son de utilidad al momento de estudiarlos.

Los diferentes elementos que componen cada concepto y su incidencia en cada efecto

nos permiten determinar la dependencia e independencia que componen nuestro objeto

de estudio. La determinación de la importancia de porcentajes de diferencia entre los

estados teórico y experimental para no despreciar la proximidad que las determinaciones

teóricas nos presentan de la realidad es fundamental.

El reconocer qué variables resultan dependientes o independientes de cualquier aspecto

evaluado nos permite analizar matemáticamente los fenómenos naturales estudiados por

la ciencia.