Planteamiento del problema

• Se requiere definir y poner cerámica a una piscina rectangular de área 40m².

• La cerámica a lo largo de los lados horizontales vale 16bsf por metro y por los lados verticales 25bsf por metro.

• ¿Qué dimensiones tendrá la piscina para minimizar el gasto?

Pasos detalladosA= 40m y

x16 bsf /m

25 bsf/m Ley de no negatividad:X > 0Y > 0

Función Objetivo:

C = (2x)16 + (2y) 25C = 32x + 50yF(x , y) = 32x + 50y

Restricciones:A= 40m² x y =40 x y - 40 = 0G(x , y) = xy - 40

∇f= λ·∇g<fx, fy> = λ <gx, gy><fx, fy> = < λgx, λgy>

fx = λgx λ = fx/gxfy= λgy λ = fy/gy

fx/gx = fy/gy

Derivadas parciales:

F(x , y) = 32x + 50y fx = 32 fy = 50

G(x , y) = xy - 40 gx = y gy = x

Sustituimos en:fx/gx = fy/gy32/y = 50/ x32x = 50y16x = 25y

Planteamos sistema de ecuaciones16x = 25yx y = 40

1) 16x = 25y2) x y = 40

3) x = 25y/16

3 en 2(25y/16) y =

4025y² /16 = 40y² = (40 · 16)/

25y² = (8 · 16)/

5y² = 128/5

y = y = 5,06 m

x =

x = 7,91 m

Puntos críticos de la función objetivo y = 5,06 mx = 7,91 m