Lamina Nº 2 Construcciones Geometricas i y II

3 UNIDAD

LENGUAJE GRAFICO CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS 3 UNIDAD

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS I

TRANSFERENCIA DE UN ANGULOCONSTRUCCIN DE UN ANGULO IGUAL A OTROCONSTRUCCIN DE TRINGULOS:CONOCIENDO SUS LADOSCONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO COMPRENDIDOCONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO NO COMPRENDIDOTRAZADO DE PARALELAS CON COMPS Y REGLA SIN GRADUARDIVISIN DE UN SEGMENTO EN UN NUMERO DE PARTES IGUALESTRAZADO DE PERPENDICULARESCONSTRUCCIN DE UN TRIANGULO EQUILTERO UBICACIN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS II

MEDIDA DE NGULOSMTODO DE LA TANGENTE MTODO DEL SENOMTODO DE LA CUERDAPOLGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIASCONSTRUCCIN DE HEXGONO CONSTRUCCIN DE UN CUADRADO Y UN OCTOGOCONSTRUCCIN DE PENTGONO, HEPTGONO Y DECGONOCONSTRUCCIN DE ENEGONOPOLGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS DE CUALQUIER NUMERO DE LADOSPOLGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS CONOCIENDO EL LADO

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS III

CAMINO MAS CORTO ENTRE DOS PUNTOS EXTERIORES A UNA RECTATRAZADO DE TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIARECTAS TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIASRECTAS TANGENTES EXTERNASRECTAS TANGENTES INTERNASARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTESARCOS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA ARCOS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIASARCOS TANGENTES EXTERNOSARCOS TANGENTES INTERNASARCOS TANGENTES EXTERNOS E INTERNOSCURVAS EN GOLA O DE CURVATURA OPUESTA

INTRODUCCIN

La presente unidad tiene por objetivo realizar las construcciones geomtricas que servirn al estudiante para conocer la aplicacin practica con base matemtico, de los diferentes problemas grficos que se presentan en la vida profesional

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS I

TRANSFERENCIA DE UN ANGULO:

DATOS: Un ngulo agudo u obtuso cualquiera ABC

INCGNITA: Construir otro ngulo igual, utilizando regla sin graduar y comps.

PROCEDIMIENTO :

a) Trazar una lnea cualquiera, tal como B'C'.

b) Haciendo centro en B y con una abertura cualquiera del comps, cortar a los lados del ngulo dado en los puntos E y F, respectivamente.

c) Con la misma abertura del comps hacer centro en B' y cortar a B'C' en F'

d) Con radio igual a EF y haciendo centro en F', trazar un arco hasta cortar (intersecar) al arco anterior, en el punto E' Unir los puntos E' y B' encontrando el ngulo ABC

CONSTRUCCIN DE TRINGULOS:

CONOCIENDO LOS TRES LADOS:

DATOS: Conociendo los lados e, f y g de un tringulo EFG.

INCGNITA: Construir el tringulo EFG.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazar un segmento de longitud igual a uno de los lados del tringulo, por ejemplo CB.

b) Con radios iguales a los otros dos lados CA y AB y haciendo centro en C y B respectivamente, trazar arcos hasta que se corten en el punto A y A

c) Finalmente, unir los puntos A y A con los puntos C y B .

CONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO NO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS:

DATOS: Conociendo los lados CB, AB y el ngulo de vrtice A.

INCGNITA: Construir el tringulo ABC.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazar un segmento que tenga una longitud igual a uno de los lados del tringulo, por ejemplo AB.

b) En el extremo A del lado AB, se dibuja el ngulo de vrtice A , con centro en el extremo B del lado AB y con un radio igual a la longitud del lado CB se traza un arco de circunferencia que interceptar a la recta que parte de A y tenga un ngulo de vrtice A

c) Luego se unen los vrtices A y B con C, formndose el triangulo ABC

CONOCIENDO DOS LADOS Y UN ANGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS:

DATOS: Conociendo los lados AB, AC y el ngulo A, comprendido entre estos lados.

INCGNITA: Construir el tringulo ABC.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazar un segmento de longitud igual a uno de los lados del tringulo, por ejemplo AC.

b) En el extremo A se dibuja el ngulo A y a partir de este, se lleva la longitud del lado AB

c) Se unen los extremos C y B, formndose el triangulo ABC

TRAZADO DE PARALELAS :

DATOS: Dada una recta AB y un punto S exterior a ella

INCGNITA: Trazar una recta paralela por el punto S dado a la recta dada AB.

PROCEDIMIENTO :

a) Tomando un punto cualquiera T, que pertenezca a la recta AB y unindola con el punto dado S, nos determina el segmento ST.

b) Con un arco de radio cualquiera y con centro en T cortamos a la recta AB y ST en los punto L y K, respectivamente.

c) Con el mismo radio y tomando como centro al punto S, trazamos un arco hasta cortar a la recta ST en el punto M.

d) Con un arco de radio igual a LK y haciendo centro en M cortar al arco que ejecutamos en el paso anterior en el punto J

e) Uniendo el punto J con S, obtendremos la recta paralela por el punto S a la recta AB.

DIVISIN DE SEGMENTOS EN PARTES IGUALES

DATOS: Dado un segmento de recta EF.

INCGNITA: Dividir el segmento dado en un nmero n = 9, de partes iguales.

PROCEDIMIENTO :

a) Auxilindonos de una recta m cualquiera que pase por uno de los extremos del segmento dado, por ejemplo F.

b) Con un arco de radio cualquiera, dividir a la recta auxiliar m, en el nmero de partes que se nos solicita.

c) Unimos el ltimo punto de divisin en la recta auxiliar m, con el otro extremo del segmento dado E y trazamos paralelas a esta por los otros puntos de divisin hasta cortar el segmento dado, determinando la divisin del segmento en un numero de partes iguales.

TRAZADO DE PERPENDICULARES:

Utilizando nicamente comps y regla sin graduar. Aplicar el principio matemtico: "todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de sus extremos.

DATOS: Dado un segmento de recta AB.

INCGNITA: Trazar segmentos de perpendiculares al segmento AB

PROCEDIMIENTO :

Existen varios casos, dentro de ellos tenemos, perpendicular por el punto medio de un segmento de recta, perpendicular por un punto del segmento de recta, perpendicular por un punto exterior del segmento de recta y perpendicular por un punto extremo del segmento de recta

PERPENDICULAR POR EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Con un radio sensiblemente mayor que la mitad del segmento de recta y centro en los extremos trazar dos arcos de circunferencia, los puntos de interseccin determinaran la perpendicular por el punto medio del segmento de recta AB.

PERPENDICULAR POR UN PUNTO DE UN SEGMENTO

Haciendo centro el punto dado y con un arco de radio cualquiera, determinar dos puntos en el segmento de recta y luego con el mismo radio trazar dos arcos con centros en cada uno de los puntos anteriormente determinados, obteniendo un punto que unido con el punto dado, nos determina la perpendicular

PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERIOR DE UN SEGMENTO

Con centro el punto dado y con un arco de radio cualquiera, determinar dos puntos en el segmento de recta, con el mismo radio trazar dos arcos de circunferencia y centros en los puntos anteriormente determinados, obteniendo un punto que unido con el punto dado, nos determina la perpendicular

PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTREMO DE UN SEGMENTO

Utilice el principio de construccin del hexgono regular inscrita en una circunferencia

CONSTRUCCIN DE UN TRINGULO EQUILTERO:

DATOS: Conociendo la altura AB del triangulo equiltero.

INCGNITA: Construir el triangulo equiltero AFE

Conociendo la magnitud de su altura, construir un tringulo equiltero utilizando slo comps y regla sin graduar. Basarse en los principios matemticos.

a) "Las alturas de un tringulo equiltero son iguales y se intersecan a 1/3 de la base y a 2/3 del vrtice opuesto a sta".

b) "El punto de interseccin de las alturas de un tringulo que es equiltero equidistan de los extremos de los lados del mismo.

c) "Las alturas de todo tringulo son perpendiculares a sus lados respectivos".

UBICACIN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

DATOS: circunferencia dibujada sin comps.

INCGNITA:Ubicar su centro O.

Apoyarse en los principios matemticos.

1) "Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recta".

2) "Tres puntos determinan una circunferencia y slo una".

PROCEDIMIENTO :

a) Conociendo la circunferencia, se traza una cuerda AB y por el extremo B se traza una perpendicular que interseca a la circunferencia en el punto Cb) Unimos ste punto (C) con el punto A, en donde AC es el dimetro de la circunferencia y su punto medio ser el centro de la misma.c) Determinamos otra cuerda tal como DE y operamos como e los pasos anteriores y determinamos el centro O

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS II

MEDIDA DE NGULOS:

Para determinar la medida de un ngulo, se puede emplear los mtodos siguientes:

MTODO DE LA TANGENTE:

DATO: Dado el ngulo agudo ABC

INCGNITA: Calcular su medida.

PROCEDIMIENTO:

a) Desde el vrtice del ngulo A, sobre uno de los lados AC se toma una longitud X = 10-1 unidades en una escala apropiada, longitud preferentemente la unidad o sta seguida de ceros, determinando un punto F.

b) Por este punto trazamos una perpendicular hasta cortar el otro lado D, generndose un tringulo rectngulo DAF.

c) En este tringulo se cumple la razn trigonomtrica:

cateto opuesto tag. A = cateto adyacente

DF DF Tg. B = = AF X

Pero si X = 10-1 , tag. B = ED

d) Midiendo el segmento perpendicular DF con la misma unidad con que se midi X y buscando a que ngulo pertenece el valor de la tangente DF encontramos en las tablas de las funciones trigonomtricas, obtendremos la solucin.

En el tringulo rectngulo ADF se cumple:

Tag. A = tag. = DF/AF

Pero: AF = X = 10-1 entonces:

Tag. = 10-1 DF

= Arc. Tag. DF = 47 43 59

Ejercicio :Construir el ngulo de 2727'27", empleando el mtodo de la tangente.

MTODO DEL SENO :

DATO: Dado el ngulo agudo ABC.

INCGNITA: Calcular su medida, por el metodo del seno.

PROCEDIMIENTO:

a) Tomemos un punto en uno de los lados del ngulo que se encuentre a una distancia X = 10-1 del vrtice del ngulo (X la unidad o la unidad seguida de ceros). Por este punto trazamos una perpendicular al otro lado hasta cortarlo formndose un tringulo rectngulo AGJ en el cual la hipotenusa tiene el valor de X = 10-1 y el cateto opuesto medido con la misma unidad.

b) Empleando la razn trigonomtrica seno, encontramos el valor del ngulo dado en las tablas de funciones trigonomtricas:

GJ GJSen. A = = pero X = 10-1, AJ X

Sen. A = 10-1GJ, entonces G = Arc. Sen. 10-1GJ A = Arc. Sen. 10-1GJ = 475153

Ejercicio: Aplicando el mtodo del seno, dibujar un ngulo de 3737'37"

MTODO DE LA CUERDA:

DATO: Dado el ngulo agudo ABC.

INCGNITA: Calcular su medida, por el metodo de la cuerda.

PROCEDIMIENTO:

a) Con un radio igual a X = 10-1 (X la unidad o la unidad seguida de ceros), trazamos un arco hasta cortar a los lados del ngulo, en los puntos J y K los que nos determina la cuerda JK.

b) Empleando el principio: "La longitud de la cuerda de un ngulo es el doble de la longitud del seno de su arco mitad, en una circunferencia de radio unidad".

JK = 2 sen (BAC/2)

c) Despejando el valor del ngulo BAC

BAC = 2 Arc. Sen (KJ/2)

Buscando el valor en las tablas de funciones trigonomtricas

Angulo BAC = A = 2 Arc. Sen. (KJ/2x10-1) = 5307 48

Ejercicios:

1) Construir el ngulo de 4141'41", aplicando el mtodo de la cuerda.

2) Construir el tringulo PQR, conociendo que el ngulo Q tiene un valor de 6446' y el ngulo R tiene un valor de 7447' y el permetro igual a 12 cm.

CONSTRUCCIN DE POLGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFEREN-CIAS

En la construccin de polgonos regulares inscritos en una circunferencia, se conoce el centro y el radio r de sta.

CONSTRUCCIN DE UN HEXGONO:

DATOS : longitud del hexgono conocido L6

INCGNITA: Construir el hexgono regular de lado L6

PROCEDIMIENTO:

Para la construccin del hexgono, basarse en el principio matemtico siguiente:

"El radio de la circunferencia circunscrita a un hexgono regular es igual al lado del hexgono".

Ejercicios: Construir un hexgono regular conociendo que su lado tiene un valor de unidades lineales (cm., m ...., etc.)

CONSTRUCCIN DE UN CUADRADO Y UN OCTGONO.

DATO: Conociendo la circunferencia de centro O y radio r.

INCGNITA: Trazar el cuadrado y el octgono inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Describir una circunferencia de centro O y radio r.

b) Trazar dos dimetros mutuamente perpendiculares, que corten a la circunferencia en cuatro puntos, los que al unirse nos determinan el cuadrado (PQRS).

c) Determinando las mediatrices de los lados del cuadrado y prolongndolos hasta que corten a la circunferencia que al unirlos nos generar el octgono.

CONSTRUCCIN DE UN PENTGONO, DECGONO Y HEPTGONO:


INCGNITA: Construir (trazar) el pentgono, decgono, y el heptgono inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Ejecutamos una circunferencia de centro O y radio r, trazamos dos dimetros mutuamente perpendiculares.

b) Tomamos uno de los cuatro radios (OC), generados por los dimetros perpendiculares trazados en el paso anterior, y mediante su mediatriz ubicamos el punto medio (G) del radio escogido.

c) Hacemos centro en este punto (G) y con un radio r1 igual al segmento CG, cortamos al radio opuesto al escogido (OB) en el punto H que unido

con el C nos arroja la medida del pentgono (L5). Los segmentos FG y HD nos dan las medidas del heptgono y decgono respectivamente (L7 y L10).

d) Con estos segmentos (L5, L7, L10) dibujamos los polgonos, tomando cualquiera como punto de partida.

CONSTRUCCIN DE UN ENEGONO:


INCGNITA: Construir el enegono regular inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Con un radio r = 0.032, trazamos una circunferencia con centro en O y dos dimetros perpendiculares entre s (AB; CD).

b) Con centro en A y con radio igual a r = 0.032 (AO) trazamos un arco hasta cortar a la circunferencia en el punto S. Por este punto pasar un arco de circunferencia con centro en B y que corte a la prolongacin del dimetro CD en el punto X. Haciendo centro en este punto y con un radio igual a XA = XB trazamos un arco que corte al dimetro CD en el punto T. El segmento CT ser el lado de un polgono de nueve lados.

d) Utilizando este segmento como cuerda dividimos a la circunferencia en arcos iguales. Al unir los extremos de estos nos determina el enegono.

Ejercicio.- Construir un enegono regular inscrito en una circunferencia, cuyo segmento de rectificacin tiene una longitud de 17.77 cm.

CONSTRUCCIN DE UN POLGONO DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS :


INCGNITA: Construir un polgono regular de cualquier numero ( n ) de lados inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazamos una circunferencia con radio r y centro O en la cual determinamos dos dimetros mutuamente perpendiculares (AC, DE) y dividimos a uno de estos en un nmero de partes iguales como lados tenga el polgono a construir, haciendo centro en cualquiera de los extremos del dimetro escogido anteriormente y con un radio igual a este trazamos un arco que corte a la prolongacin del otro en el punto F.

b) Trazamos una recta que contenga a este punto y al segundo de dimetro dividido (para todos los casos, siempre al segundo a partir de uno de sus extremos) hasta cortar a la circunferencia en el punto B.

c) Con la cuerda que se obtiene al unir este punto y el extremo del dimetro A, dividimos a la circunferencia en arcos iguales. Usando los extremos de estos nos determina el polgono que nos solicitan construir.

Ejercicios: Construir un polgono de 21 lados inscrito en una circunferencia de radio conocido (polgono regular).

CONSTRUCCIN DE POLGONOS REGULARES INSCRITOS EN UNA CIRCUNFE-RENCIA, CONOCIENDO EL VALOR DEL LADO:

En la construccin de polgonos regulares, conociendo el valor del lado L.

CONSTRUCCIN DE UN POLGONO DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS, CONOCIENDO EL VALOR DEL LADO:

DATOS: Conociendo el valor del lado de un polgono de quince lados (L11)

L11 oo A K

INCGNITA: Construir el polgono regular de 11 lados.

MTODO 01 - PROCEDIMIENTO:

a) Con un radio r cualquiera trazamos una circunferencia de centro O en la cual inscribimos un polgono de once lados, el que tendr por lado L'11 = LN, b) cualquiera (construccin de polgonos regulares inscritos en una circunferencia de cualquier nmero de lados) ms la longitud del lado del polgono es dato y

por lo tanto los inscribiremos en el ngulo central LON, tenindose los puntos A y K extremos del lado del polgono verdadero.

b) Trazamos una circunferencia con centro en O y radio igual al segmento OA, en donde estar inscrito el polgono regular de lado KA.

c) Con una longitud igual a este lado (L11 = KA = 0.03) dividimos a la circunferencia (trazado en el paso anterior) en arcos iguales. Al unir los extremos de estas, adecuadamente, obtenindose el polgono regular de 11 lados.

CONSTRUCCIN DE UN POLGONO DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS, CONOCIENDO EL VALOR DEL LADO

DATOS: Conociendo el valor del lado de un polgono de quince lados (L11)

L11 oo A B

INCGNITA: Construir el polgono regular de 11 lados.

MTODO 02 PROCEDIMIENTO

a) Haciendo centro en uno de los extremos del lado y tomando a este como radio, trazamos una semicircunferencia que cortar a la prolongacin del lado AB en el punto P.

b) Dividimos a esta semicircunferencia en tantas reas iguales como lados tendr el polgono a construir enumerndolos de izquierda a derecha.

CAMINO MAS CORTO ENTRE DOS PUNTOS EXTERIORES A UNA RECTA:

Los dos puntos estn ubicados a un slo lado de la recta.

DATOS: La recta JK y los puntos A y B exteriores y ubicados a un slo lado de esta.

INCGNITA: Encontrar el camino ms corta que los una, sin tener que cruzar la recta.

PROCEDIMIENTO:

a) Por uno de los puntos dados se traza una perpendicular a la recta dada JK.

b) Sobre esta perpendicular, desde la recta se lleva una longitud igual al segmento BE tal como ED.

c) Se une el punto D con el otro punto A dado encontrndose al intercepto I.

d) El camino ms corto ser el determinado por el segmento de recta AIB..

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS III

TRAZADO DE TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA :

PRIMER CASO: Trazar una recta tangente por un punto de la circunferencia

DATOS: La circunferencia de centro O y el punto A que pertenezca a la circunferencia

INCGNITA: Trazar la recta tangente a la circunferencia por el punto A

PROCEDIMIENTO :

a) Se une el centro O de la circunferencia con el punto A dado y se dibuja su radio.

b) Por este punto dado A se traza una perpendicular, la cual ser la tangente de la circunferencia dada.

SEGUNDO CASO: Trazar una recta tangente por un punto exterior a la circunferencia.

DATOS: La circunferencia de centro O y el punto B exterior a la circunferencia

INCGNITA: Trazar la recta tangente a la circunferencia por el punto exterior B

PROCEDIMIENTO :

a) Se une el punto dado exterior A el centro de la circunferencia O, trazando posteriormente su mediatriz que pasa por el punto M.

b) Haciendo centro en este punto M, trazamos un arco que corte a la circunferencia de centro O, con radio igual a la mitad del segmento OA, en los punto T y T' que son los puntos de tangencia.

TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS:

Existen cuatro rectas tangente comunes a dos circunferencias dos externas y dos internas

TANGENTES EXTERNAS

DATOS: Las circunferencia de centros O y O1 de radios r = 0.02 y r1 = 0.04 ( r > r1 )

INCGNITA: Trazar las rectas tangentes a las circunferencias de centros O y O1

PROCEDIMIENTO.( r > r1 )

a) Conociendo las circunferencias de centros O y O1 y radios r y r1, en donde r > r1 (cuando r = r1, caso particular), haciendo centro en O (centro de la circunferencia de radio mayor) y con un radio igual a r - r1 = 0.02 se traza una circunferencia.

b) A esta circunferencia y por el punto O1 (centro de la circunferencia de radio menor) trazamos las rectas tangentes (dos) [caso: tangente a una circunferencia por un punto exterior] y las perpendiculares a estas por los centros de las circunferencias (O, O1) determinarn en estas los puntos de tangencia de las rectas tangentes externas a la circunferencias dadas.

TANGENTES INTERNAS O CRUZADAS

DATOS: Las circunferencia de centros O y O de radios r y r1 ( r > r1 )

INCGNITA: Trazar las rectas tangentes a las circunferencias de centros O y O

PROCEDIMIENTO.

a) Con un radio (r + r1) y con centro en O1 (centro de la circunferencia de radio menor), dibujamos una circunferencia y por el punto O (centro de la circunferencia de radio mayor) trazamos las tangentes (dos) a la circunferencia de radio (r + r1).

b) Las rectas tangentes comunes interiores sern las paralelas a las lneas anteriores y que pasarn por los puntos de tangencia determinados en las circunferencias dadas por las perpendiculares por sus puntos centros

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA

DATOS: Se conocen la recta ST y la circunferencia O de radio r.

INCGNITA: Se solicita trazar circunferencias de radio r1 tangentes a la recta y circunferencia propuestas.

PROCEDIMIENTO

a) Por un punto cualquiera J que pertenezca a la recta ST trazamos una perpendicular, sobre la cual llevamos la longitud del radio r1 que debe tener la circunferencia pedidos, segmento JK.

b) Por el punto extremo de este segmento (K) delineamos una paralela a la recta dada.

c) Con un radio igual a la suma de los radios de las circunferencias (dada y la por encontrar) trazamos un arco que corte a la paralela trazada anteriormente determinando los centros de las circunferencias solicitadas: O1 y O2.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS PROPUESTAS.-

LAS CIRCUNFERENCIAS SERN EXTERNAS:

DATOS: Conociendo dos circunferencias de centros O1 y O2 de radios r1 = 0.02 y r2 = 0.03 y, el radio r = 0.03 que deben tener las circunferencias tangentes solicitadas.

INCGNITA: Trazar los arcos de circunferencia tangentes a las dos circunferencias propuestas, una interna y la otra externa, con radio r = 0.03

a) Se conocen los centros de las circunferencias O1 y O2 y los radios de las mismas r1 = 0.02 y r2 = 0.03 el arco a trazar tendr radio r .

b) Con radios iguales a r + r1 = 0.05 y r + r2 = 0.06 y con centros en O1 y O2 respectivamente, trazamos arcos que se intersecan en los puntos O3 y O4 que son los centros de los arcos que con un radio r = 0.03 son tangentes a las circunferencias de centros O1 y O2.

c) Los puntos de tangencia se determinan, uniendo los centros O1 y O2 con los centros O3 y O4.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS PROPUESTAS.-

LAS CIRCUNFERENCIAS SERN INTERNAS:DATOS: Conociendo dos circunferencias de centros O1 y O2 de radios r1 = 0.02 y r2 = 0.03 y, el radio r = 0.07 que deben tener las circunferencias tangentes solicitadas.



b) Con radios iguales a r - r1 = 0.05 y r r2 = 0.04 y con centros en O1 y O2 respectivamente, trazamos arcos que se intersecan en los puntos O3 y O4 que son los centros de los arcos que con un radio r = 0.07 son tangentes a las circunferencias de centros O1 y O2.


CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A DOS PROPUESTAS.-

LAS CIRCUNFERENCIAS SERN UNA INTERNA Y LA OTRA EXTERNA:DATOS: Conociendo dos circunferencias de centros O1 y O2 de radios r1 = 0.02 y r2 = 0.03 y, el radio r = 0.07 que deben tener las circunferencias tangentes solicitadas.



b) Con radios iguales a r + r1 = 0.09 y r r2 = 0.04 y con centros en O1 y O2 respectivamente, trazamos arcos que se intersecan en los puntos O3 y O4 que son los centros de los arcos que con un radio r son tangentes a las circunferencias de centros O1 y O2.


ARCOS DE DOBLE CURVATURA O CURVAS EN GOLADATOS: Conociendo dos rectas cualesquiera AB y CD

INCGNITA: Unirlos mediante arcos de doble curvatura, que tenga radio r = 0.02

a) Se traza una paralela a una distancia igual a r = 0.02 a la recta CD, hacia un lado de sta

b) Se traza recta paralela a una distancia r = 0.02 a la recta AB, en el mismo sentido que se trazo a la recta CD y por el extremo B una perpendicular, que al interceptarse con la mediatriz del segmento EF, se determina el centro del arco que ser tangente a la recta AB y haciendo centro en el punto E, con radio r = 0.02 se traza el segundo arco que ser tangente a la recta CD

c) Se trazan los arcos, teniendo cuidado los puntos de tangencia de los arcos con las rectas y los arcos

ING WILLIAM QUIROZ GONZLES PAGINA N 37

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