Las curvas cónicas en Bachillerato con GeogebraLópez Cáceres, Marta1 marta@uco.es

Recio Rodríguez, Elena2 elena.reciorodriguez@gmail.com

Resumen

Las curvas cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) están incluidas en el currículo de Matemáticas I de 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Científico-Tecnológico. Sin embargo, su no inclusión en los exámenes de Selectividad, hacen que este tema se trate a menudo con poca profundidad o bien sea el gran sacrificado del temario cuando el tiempo escasea. Presentamos una serie de actividades con Geogebra en las que introducimos en pocas sesiones las características de estas curvas, enseñamos a nuestros alumnos a distinguirlas a partir de sus ecuaciones, mostramos los principales elementos de cada una de ellas (centro, focos, directriz, circunferencias focales, etc.).

1. Introducción, objetivos y estilo de aprendizajeEn este trabajo presentamos una Unidad Didáctica dividida en varias secciones, que

permiten el estudio independiente de cada una de las curvas cónicas. Está dirigida fundamentalmente a los alumnos de 1º de Bachillerato de la Modalidad de C.N.S, que ya han utilizado con anterioridad el Software Geogebra. Para cada sesión se han desarrollado actividades, ejercicios y problemas, ya que consideramos que la resolución de problemas en la asignatura de Matemáticas debe ser un eje vertebrador a lo largo de la enseñanza de este área.

Realizaremos estas actividades a través de Geogebra, pudiendo comprobar los resultados en cada una de sus tres zonas diferenciadas, la zona gráfica, la zona de álgebra y la barra de comandos. Mediante esta aplicación los alumnos pueden manipular las figuras, deformarlas, y éstas mantienen las propiedades que las definen, lo que permite que se infiera, experimente, conjeture, descubra y en general mejore la capacidad del alumnado para las matemáticas.

Los objetivos que tratamos de alcanzar con esta unidad son los siguientes:• Que los alumnos y alumnas reconozcan e identifiquen los distintos elementos y las

ecuaciones de las cónicas.• Que los alumnos sean capaces de construirlas y relacionar la ecuación con la curva. • Utilizar las propiedades intrínsecas y métricas en la resolución de problemas.• Estimular la creatividad, la curiosidad, la imaginación y la intuición. • Desarrollar la capacidad de explorar e investigar en la resolución de problemas.• Que los alumnos sean capaces de expresar, comunicar y exponer sus ideas utilizando el

lenguaje matemático. • Que los alumnos sean capaces de discutir, investigar en grupo y desarrollar el espíritu

crítico.

_________________________1 Ingeniera en Informática por la Universidad de Córdoba – IES Cornelio Balbo. Cádiz2 Licenciada, en Matemáticas por la Universidad de Cádiz – IES Tierra de Lagunas. Lantejuela, Sevilla

En las sesiones de aula los contenidos se deben trabajar mediante unas guías didácticas, que contienen las distintas actividades presentadas a lo largo de la Unidad. Con su ayuda los alumnos y alumnas van interaccionando con el programa GEOGEBRA y propiciando su propio aprendizaje.

2. La circunferenciaUna vez explicada como se genera la circunferencia a través de un cono, y que ésta

queda definida a partir de su centro y un radio, se podría plantear una actividad como la que sigue:

• Abre el programa Geogebra e introduce el valor r = 6, construye la circunferencia de centro (0,0) y radio r. En la ventana de álgebra, observa la ecuación.

• Pulsa con el botón derecho sobre r y escoge la opción en Mostrar objeto. Modifica el valor de r y observa como se modifica la ecuación.

• Introduce los valores a=2,b=3 y construye la circunferencia de centro(a,b) y radio r.• Muestra en la ventana gráfica los valores a y b. Modifica los parámetros a y b. ¿Cómo

varia la ecuación de la circunferencia? • Ahora, ya debes ser capaz de escribir la ecuación de la circunferencia de centro C=(-1,5) y

radio 9. • Dada la ecuación general: a x2 + b x y + c y2 + d x + e y + f = 0, ¿qué condiciones deben

verificar a, b, c, d, e y f para que represente una circunferencia?

Con esta actividad dirigida por nosotros, los alumnos y alumnas ya deben ser capaces de resolver, con la ayuda de Geogebra cuestiones como los que siguen:

• Halla la ecuación de la circunferencia de centro el punto C=(1,-3) y que pasa por el punto A(1,1).

• ¿Representa la ecuación 2 x2 +2 y2 - 4x +6 y -5= 0 una circunferencia? Justifica la respuesta. En caso afirmativo, ¿cuál es el centro y el radio?

• Dados los puntos O=(0,-1) B=(2,2) y C=(5,2), dibuja la circunferencia que pasa por esos puntos, escribe su ecuación.

3. La parábolaTras explicar cómo se genera una parábola y cómo queda definida a partir de su foco y

directriz, así como los conceptos de radio vector, eje y vértice, se explicará la propiedad que dice que si tomamos un punto cualquiera de la parábola, la recta tangente en ese punto forma ángulos iguales con la recta que pasa por el punto y el foco, y la recta que pasa por el punto y es paralela al eje de la parábola.

Se comprobará esta propiedad mediante este ejemplo:

• Abre el programa Geogebra, dibuja una parábola y un punto exterior.• Traza las tangentes a la parábola por el punto exterior.• Comprueba que las tangentes forman ángulos iguales con la recta que une el punto

exterior y el foco, y con la recta paralela al eje por el punto exterior.• Además, la recta que une el punto exterior con el foco es bisectriz de los ángulos formados

por los radios vectores de los puntos de contacto.

4. La elipsePara el aprendizaje de esta curva, tan solo tendremos que indicar que la elipse es una

cónica en la que destacan los siguientes elementos: ejes, centro y focos. El resto de características se aprenderán por auto-aprendizaje a través de las siguientes actividades.

• Dibuja cinco puntos. Traza la cónica que pasa por dichos puntos. • Mueve los puntos hasta que la cónica sea una elipse, observa la ecuación en la ventana de la izquierda. Introduce varios parámetros y escribe una ecuación similar a la obtenida en el apartado anterior. • Modifica los parámetros, haz clic sobre uno de ellos y en modo Desplazamiento mueve las teclas-flecha. Observa como se modifica la cónica y la ecuación. • Dibuja la cónica 4 x2 + 25 y2 = 100. • Calcula los ejes y el centro. Ve a la línea de comandos, elige Ejes y teclea el nombre de los ejes, después elige Intersección el punto que se obtiene es el Centro. • Dibuja un punto sobre la cónica, y halla el simétrico respecto al centro y los ejes (con el comando se denomina Reflejo). Desplaza el punto, observa. • Describe en tu cuaderno como son las elipses y qué ecuación tienen.

Con la siguiente actividad los alumnos y alumnas aprenderán algunas de las propiedades focales de esta curva.

• Dibuja una elipse, interseca la elipse con los ejes, los puntos de corte se denominan Vértices, los segmentos que unen los vértices con el centro, se llaman semiejes, semieje mayor y menor. • Ve a la línea de comandos y elige Foco e introduce el nombre de la elipse.• Observa que el vértice del eje menor, el centro y un foco, forman un triángulo rectángulo ¿Cuánto vale la hipotenusa? • Compara el valor de la hipotenusa obtenida anteriormente con el valor del eje mayor.

También explicaremos el concepto de excentricidad del siguiente modo. La distancia de un vértice a un foco, la llamando b. La distancia c será a la distancia del foco al centro, tendremos que razón c/a es la excentricidad, la cual es un número comprendido entre cero y uno.

5. La hipérbolaExplicaremos la forma general de la hipérbola y que en ésta destacan dos putos llamadosfocos. No obstante, las propiedades y ecuación las descubrirán nuestros alumnos a travésde las siguientes actividades.

• Dibuja cinco puntos. Traza la cónica que pasa por dichos puntos, observa la ecuación en la ventana de la izquierda. Dibuja la cónica 4 x2 - 25 y2 = 100.

• Calcula los ejes y el centro. Ve a la línea de comandos, elige Ejes, después elige Intersección y teclea el nombre de los ejes, el punto que se obtiene es el Centro.

• Dibuja un punto sobre la cónica, y halla el simétrico respecto al centro y los ejes (comando Reflejo). Desplaza el punto y observa.

• Dibuja una hipérbola, y calcula los focos (en la línea de comandos escribe focos[cónica]), el punto medio de los focos se denomina Centro y la línea que los une se llama eje focal y la perpendicular por el centro es el eje imaginario ; los puntos de corte de la gráfica con el eje mayor se denominan Vértices y el segmento que determinan eje transverso. Obtén estos elementos.

• Con centro en uno de los vértices dibuja una circunferencia de radio la semidistancia focal, halla los puntos de intersección de la circunferencia con el eje imaginario, el segmento que determina estos puntos se denominan eje no transverso. Halla su longitud.

6. Conclusiones

Para el estudio de las cónicas en 1º de Bachillerato, Geogebra nos permite mostrar a los alumnos y a las alumnas en pocas sesiones las características de las cónicas. A través de las actividades, los alumnos pueden experimentar la representación gráfica de las cónicas probando con distintas variables. Esto puede ayudar a que los contenidos que en pizarra y papel serían difíciles de dibujar y comprender, pasen a ser intuitivos y fáciles de representar, y así, puedan ser asimilados con más efectividad en poco tiempo.

Además Geogebra sirve cómo elemento motivador para el estudio de la geometría, en la que la experimentación ayuda a que los alumnos se interesen más por su estudio. En particular el tema de las cónicas, contenido que al no entrar en las pruebas de Selectividad, normalmente se le presta tan poca atención. Con ayuda de Geogebra, los alumnos podrán aprender los conceptos de hipérbola, parábola, elipse y circunferencia y sus características en pocas sesiones, y aprender a diferenciarlas con facilidad.

Bibliografía

1. Markus y Judith Hohenwarter (2009): Documento de Ayuda de Geogebra. Manual Oficial de la versión 3.2. http://www.geogebra.org/help/docues.pdf

2. Belarmino Corte Ramos (2008): Apuntes sobre Geogebra… con algunos toques de Matemática. Edición Centro del Profesorado y de Recursos de Gijón. http://web.educastur.princast.es/cpr/gijon/recursos/mates/ManualGeogebra

3. Matemáticas 1. Ciencias y tecnología. Editorial SM. Tema 6. Cónicas.