Las representaciones en Educación Matemática

V. Font. Granada 24-01-05 1

Las representaciones en Educación Matemática

Vicenç Font Universitat de Barcelona

Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005


La investigación sobre las representaciones

• Desde la didáctica de las matemáticas se ha investigado mucho sobre las representaciones. Dos publicaciones a destacar son los libros:1) JANVIER, C. (ed.) (1987), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum A.P.

2) HITT, F. (2002) Representations and Mathematics visualization. North American Chapter of PME: Cinveztav-IPN.

• Estas investigaciones han puesto de manifiesto la gran complejidad asociada a las representaciones.


• Según Goldin y Janvier (1998) 'representación' y 'sistema de representación', en la didáctica de de las matemáticas tiene las siguientes interpretaciones:

1. Una situación física, externa y estructurada, o un conjunto de situaciones de un entorno físico, que se puede describir matemáticamente o se puede ver como concretización de ideas matemáticas;

2. Una materialización lingüística, o un sistema lingüístico mediante el que se plantea un problema o se discute un contenido matemático, con énfasis en las características sintácticas y en la estructura semántica.

EJEMPLO


3. Un constructo matemático formal, o un sistema de constructos, que puede representar situaciones mediante símbolos o mediante un sistema de símbolos, usualmente cumpliendo ciertos axiomas o conforme a definiciones precisas -incluyendo constructos matemáticos que pueden representar aspectos de otros constructos matemáticos.

4. Una configuración cognitiva interna, individual, o un sistema complejo de tales configuraciones, inferida a partir de la conducta o la introspección, que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas


• La noción de representación es ambigua ya que se usa con distintos significados.

• Además, está estrechamente relacionada con las de significado, comprensión y en última instancia con el conocimiento


• La representación es un término que presenta muchos rostros.

• La mirada sobre la representación tiene que ser poliédrica


OBJETOSLa dimensión extensivo-intensivo • Vivimos entre objetos• Hablamos y pensamos acerca de objetos• El ejemplo obvio son los objetos físicos, pero

también están todos los abstractos.• Constantemente nos empeñamos en descomponer

de alguna manera la realidad en una multiplicidad de objetos identificables y discriminables a los que nos referimos mediante términos singulares y generales


• En esta aula podemos ver, entre otros los siguientes objetos:

Esta mesa

Una silla

Mi reloj

Etc.

• Sobre estos OBJETOS actúa (sobre todo) la faceta extensivo / intensivo (ejemplar / tipo; singular/general; concreto / abstracto)


Algo parecido se puede decir de otras formas

• Un foucaultiano diría que ya han sido DICHOS DESDE ALGÚN DISCURSO.

• Desde la filosofía de la ciencia se diría que TODA PERCEPCIÓN (OBSERVACIÓN) ESTÁ CARGADA DE TEORÍA.

Todo juicio de percepción supone la aplicación de conceptos (la proposición A es B)

• Desde la semiótica se les llama OBJETOS SEMIOTIZADOS O SEMIÓTICOS (Magariños)




Signos versus objetos

Conviene distinguir entre:

• LOS OBJETOS y • LOS SIGNOS Es una distinción importante. Ahora bien es

una diferencia coyuntural y no sustancial, ya que lo que en un momento es signo en otro puede pasar a ser objeto y viceversa.


Los signos como acompañantes de los objetos

Un objeto necesita un signo que lo enuncie (acompañe)

Imaginemos que un bebé ha balbuceado algo parecido a “pan”. La madre interpreta que quiere “pan” y se lo proporciona al mismo tiempo que le dice “pan”.

El bebé recibe dos estímulos que se refuerzan mutuamente:

• Por una parte, la emergencia del objeto físico “pan”• Por otra parte, la palabra “pan” dicha por el mismo y

por su madre.


Diferencia entre signo y objeto • Primera fase: No diferenciación entre signo y objeto. (por ejemplo, los niños pequeños)

• Segunda fase: Diferenciación entre signo y objeto Un signo, o representamen, es algo que

está para alguien, por algo, en algún aspecto o disposición"2(Peirce).

• Puesto que tanto el “signo” como el “objeto” son “algo”, hay que tener presente que ambos son objetos

• Ser objeto o signo es algo relativo.

http://www.centro-de-semiotica.com.ar/ChSPeirce.html#Slide%202


Identificación/Diferenciación En la fase de “No diferenciación” el sujeto

identifica (confunde) el signo con el objeto.

En la fase de “Diferenciación” el sujeto está en condiciones, según convenga, de identificar o diferenciar el signo del objeto.

"Estar en lugar de, es decir, situarse en una relación tal respecto a otro que, para ciertos fines, puede considerársele, en algún modo como si fuese ese otro“ (Peirce).


“Algo” por “Algo”La dualidad Expresión/Contenido

• La posibilidad de diferenciar entre signo y objeto permite que “alguien” pueda establecer una relación diádica (función semiótica) entre “dos objetos” (“Algo” por “Algo”) .

• En esta relación (“Algo” por “Algo”) normalmente se considera que el signo es una “expresión” que se relaciona con un “contenido” (el objeto).



¿Cómo se relaciona el signo con el objeto?


• En este triángulo se considera que:• el objeto (A) es el “referente”

(significatum), • la palabra escrita (acústica) reloj (B) el

“significante” (signo o símbolo) y• el concepto de reloj (C) el “significado”

(referencia, interpretante). • La relación entre B y A es indirecta por

medio del concepto (interpretante) que tiene el sujeto (el interprete).


• En este ejemplo, se toma como referente un objeto (reloj) que se puede considerar exterior al sujeto y perteneciente al mundo de las cosas reales.

• Si consideramos un objeto matemático, topamos con el problema la “existencia” de dichos objetos.

• Si consideramos que existe un concepto matemático A en algún mundo platónico, el concepto A sería el referente, B el significante matemático y C el concepto matemático individual del sujeto.


Representaciones internas y externas

• Normalmente se considera que tanto el concepto como el signo se entiende que son representaciones

• Normalmente se considera que la palabra escrita “reloj” es una representación externa y que el concepto es una representación interna (mental).

• En esta clasificación estamos considerando la representación como un objeto (material o mental).


En los programas de investigación cognitivos en los que la clasificación interno/externo es un elemento clave, se considera:

• Que lo externo representa lo interno. • Que las representaciones internas se pueden

inferir a partir de la producción de representaciones externas ya que las primeras son la causa de las segundas.

• Que un concepto matemático se ha aprendido en la medida en que se han desarrollado una variedad de representaciones internas apropiadas, junto con las relaciones funcionales entre ellas, que permitan producir representaciones externas adecuadas para la resolución de las tareas propuestas en las que dicho concepto sea determinante.


• Desde el punto de vista cognitivo se entiende la comprensión de los alumnos en términos de representaciones, en especial representaciones internas, ya que se considera que la comprensión está relacionada con la construcción estructurada e integrada de representaciones internas, las cuales son la causa que produce en el alumno un dominio de los sistemas de representación externos que le permite resolver las tareas escolares propuestas.

• El proceso de instrucción debe tener como objetivo el desarrollo de representaciones internas adecuadas y bien conectadas en los estudiantes.


• El tema de investigación en la Didáctica de las Matemáticas ha de ser el conocimiento de estas representaciones internas (esquemas , imágenes, etc.)

• Los puntos de vista cognitivos hacen una opción muy definida por los enfoques centrados en el individuo y por la utilización de elementos de análisis desarrollados por la psicología.

• Definición e imagen conceptual (Vinner y Tall)

• Teoría APOS (Dubinsky)• Etc.


• “¿Qué es una representación mental? ¿Qué se quiere decir cuando decimos que <<representa>> a algo? ¿Para quién? ¿Cómo? ¿Cuál es la diferencia entre la experiencia de una representación interna y la correspondiente a una representación externa? ¿Una representación externa es un sistema constituido social o personalmente?” (Kaput, 1998).

El problema de la clasificación entre representaciones internas y externas


La versión fuerte de la representación

• La dualidad interno/externo (realidad/mente) tiene su origen en una visión representacionista de la relación entre el sujeto y el mundo real.

• El representacionismo parte de los siguientes supuestos: 1) Existe un mundo exterior predefinido.2) Nuestra cognición aprehende este mundo, aunque sea en

forma parcial; y 3) La manera de conocer este mundo predefinido es

representarnos los rasgos más característicos y después actuar sobre la base de dichas representaciones.


• Si a estos supuestos añadimos el funcionamiento de la visión (que va de fuera a dentro) se llega a la conclusión de que:

(1) Los objetos externos a las personas generan representaciones mentales internas

Y SOBRE TODO (2) dichos objetos sólo son accesibles

por medio de sus representaciones mentales.



• Representacionistas (dinosaurios) versus antirepresentacionistas (mamíferos)

• Versión fuerte de la representación versus versión débil de la representación

• Representaciones verticales versus representaciones horizontales

LAS REPRESENTACIONES COMO PROCESO

que relaciona objetos entre “mundos” (¿uno o dos?)


DOS MUNDOS

• Estos diferentes clases de objetos que se han comentado se pueden dividir en dos mundos:

1) El de las experiencias posibles de las personas, y

2) El mundo objetivo hipotético donde hay que situar los objetos reales

A su vez, el mundo de las experiencias del sujeto se puede dividir en dos submundos: la esfera de lo material y la de lo mental.



Antirepresentacionistas• Optan por la versión débil de la representación:

“(...) Considero la <<representación>> como la <<representación>> de una experiencia por otra(..)” (Kaput 1991)

• No consideran que las representaciones internas sean la causa oculta de las representaciones externas.

• Consideran que la manipulación de representaciones materiales va acompañada de “procesos psicológicos” y se produce en un contexo determinado.

• No tiene sentido segregar las representaciones internas de las externas (supeditando las segundas a las primeras) ni tampoco segregarlas de la situación en que se producen.


UNA SOLUCIÓN: LA DUALIDAD OSTENSIVO / NO OSTENSIVO

Esta distinción se ha de tomar en sentido intersubjetivo:

“Algo” se puede mostrar a otro directamente

versus “Algo” no se puede mostrar directamente,

solamente por medio de otro “algo”, que si se puede mostrar directamente.



• “¿Qué es una representación mental? ¿Qué se quiere decir cuando decimos que <<representa>> a algo? ¿Para quién? ¿Cómo? ¿Cuál es la diferencia entre la experiencia de una representación interna y la correspondiente a una representación externa? ¿Una representación externa es un sistema constituido social o personalmente?” (Kaput, 1998).


• En el proceso de instrucción estamos interesados en la enseñanza de objetos institucionales. Estos objetos se presentan en la actividad matemática por medio de sus ostensivos asociados.

• Como resultado del proceso de instrucción los alumnos habrán construido sus objetos personales, los cuales se presentaran en su actividad matemática por medio de ostensivos asociados.

• La faceta institucional-personal es básica para analizar las “Representaciones en Educación matemática”

LA FACETA INSTITUCIONAL-PERSONAL



En la mayoría de investigaciones sobre las representaciones en Didáctica de las Matemáticas no se distingue entre los niveles 1 y 2, y se considera que: los objetos ostensivos (nivel 2) son las representaciones externas y también se considera que los niveles 3 y 4 son las representaciones internas.


LA FACETA ELEMENTAL -SISTÉMICA

• Resulta "ingenuo" el punto de vista que considera a las representaciones ostensivas de los conceptos matemáticos simplemente como diferentes significantes del mismo concepto.

• Desde este punto de vista, la representación se entiende básicamente en términos de la faceta expresión/contenido,

• Una correspondencia abstracta entre dos entidades que son puestas en alguna relación referencial una con otra, por un actor o un observador. "Pero deliberadamente no se presta atención al tipo de objetos que se ponen en correspondencia" (Kaput, 1998, p. 266).


Basta mirar con una perspectiva histórica un objeto matemático cualquiera para ilustrar la complejidad de las relaciones que se establecen entre:

• un objeto matemático, • sus ostensivos asociados, • las prácticas que permiten manipular

estos ostensivos y • las situaciones en las que se usa el objeto

(juntamente a sus ostensivos y prácticas asociadas) para organizar fenómenos.


Un ejemplo: la cisoide• Tomemos como ejemplo la cisoide y la

consideramos definida como lugar geométrico en el marco de la geometría sintética.

• Dentro del programa de la geometría sintética se puede realizar la “conversión” entre el lenguaje verbal de la definición y el “lenguaje geométrico” de la figura.

• Además se pueden realizar diferentes prácticas en las que interviene la “representación gráfica” (figura) de la cisoide.


• Sea C una circunferencia de radio a/2 y centro O, AB un diámetro de C y l la recta tangente a C en B. Para cada recta AM, M l, consideramos su intersección N con C y un segmento AP, P AM, de igual longitud que MN. El lugar geométrico de los puntos P así obtenidos es una curva llamada Cisoide de Diocles.


• Esta forma de representación (desde la perspectiva actual) de la cisoide permite obtener información significativa sobre esta curva:

• 1) Es simétrica respecto del eje de abscisas,• 2) La recta x = a es una asíntota vertical , • 3) Es algebraica, • 4) Es de grado 3, • 5) En el origen de coordenadas presenta una

singularidad de orden 2, • 6) Es irreducible • 7) Es racional


• Gráfica Expresión simbólica• En la "Geometrie", Descartes se plantea hallar la expresión simbólica de

una curva.

• Los triángulos ARP i ANS son semejantes; por tanto:

.

xa

t

x

y


• La circunferencia tiene por ecuación: t2 = ax –x2

• Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones se obtiene la ecuación de la a cisoide:


• La traducción "GRÀFICA ECUACIÓN ÍMPLÍCITA" es una técnica que forma parte de un programa de investigación, iniciado por Descartes en la Géométrie, que (según Boss) consta básicamente de tres partes:

1) Primeramente, Descartes ha de determinar cuáles son las curvas que serán estudiadas (las geométricas).


• 2) En segundo lugar, ha de postular un criterio claro para distinguir las curvas simples de las que no lo son (la aplicación del álgebra le permite obtener ecuaciones, el grado de las cuales puede ser usado como un indicador de simplicidad).

• 3) Finalmente, ha de encontrar un método para hallar la curva más simple posible mediante la cual se puede resolver un problema dado.


• Este “programa de investigación” permite la conversiön del registro gráfico al simbólico.

• Permite algunas traducciones entre expresiones simbólicas, pero al ser un programa global en el que el estudio local no se contempla, no permite otras

• Por ejemplo, permite la traducción Implícita Implícita Con el siguiente cambio de coordenadas:

x = y1 , y = -x1 la expresión implícita de la cisoide es:

y13 + x1

2 y1 - a x12 = 0

y ahora, la traza de la cisoide es la gráfica de una función:


• Este programa de investigación no permite la traducción Implícita Explícita

• Mientras nos limitemos a buscar la expresión implícita nos estamos situando en en un punto de vista GLOBAL.

• Para Buscar la forma explícita estamos obligados a introducir razonamientos de tipo LOCAL.

• Situados dentro de este nuevo “programa de investigación” (perspectiva local), las técnicas de desarrollo en series de potencias nos permiten obtener expresiones explícitas de la cisoide.


• En la expresión y13 + x1

2 y1 - a x12 = 0, el teorema de

la función implícita nos asegura que, en un entorno de un punto no singular (x,y) de la cisoide, la curva se puede parametrizar en la forma (x , h (x)).


• La fórmula de Taylor no es aplicable en un entorno de un punto singular.

• Nos hemos de situar en un nuevo programa de investigación (La geometría Algebraica) que estudia las singularidades

• Los desarrollos de Puiseux permiten solucionar el problema ya que nos permiten obtener, en un entorno del punto singular de la cisoide y1

3 + x12

y1 - a x12 = 0, la expresión:


Esta mirada histórica muestra que las diferentes representaciones ostensivas que pueden representar a un objeto matemático, son el resultado de una larga evolución en la que, en algunos casos, una nueva forma de representación plasma un nuevo programa de investigación.


• El hecho de que las representaciones ostensivas se enmarquen en programas de investigación tiene implicaciones importantes. A continuación comentaremos tres que son muy importantes:

• La primera es que las representaciones no se pueden entender de manera aislada.

"Los sistemas representacionales importantes para las matemáticas y su aprendizaje tienen estructura, de manera que las diferentes representaciones dentro de un sistema están relacionadas de manera rica unas a otras" (Goldin y Stheingold, 2001)

• Más que hablar de representaciones es conveniente hablar de sistemas de representaciones (sistemas de signos).


• La SEGUNDA es que el hecho de que el mismo objeto se pueda encuadrar en dos programas de investigación diferentes, cada uno con sus sistemas de representación, conlleva que “cada representación” se pueda convertir en “objeto representado” de la representación del otro programa de investigación.

• La cisoide se puede representar por una curva en la “geometría sintética” y por una ecuación en la “geometría analítica”.

• A su vez, dependiendo del contexto, la curva puede proporcionar una representación geométrica de la ecuación, o la ecuación puede proporcionar una simbolización algebraica de la curva.




• La TERCERA es que una representación ostensiva,

(1) Por una parte: tiene una faceta representacional: es algo que se puede poner en lugar de algo distinto de él mismo y,

(2) Por otra parte, tiene un valor instrumental: permite realizar determinadas prácticas que con otro tipo de representación no serían posibles.


LA DIMENSIÓN DUAL ELEMENTAL - SISTÉMICO

• El aspecto representacional nos lleva a entender la representación de una manera elemental “algo” por “algo”.

• El valor instrumental nos lleva a entender la representación de una manera sistémica, como el “iceberg” de un sistema complejo de prácticas que dicha representación posibilita



CARACTERÍSTICAS DE LAS REPRESENTACIONES VERTICALES

• Sustituyen siempre al objeto (que es inaccesible). • Por tanto, tienen un carácter subrogatorio o

vicarial. (Estas características se dan en las representaciones matemáticas)

• Son casi automáticas y poco conscientes. Dicho de otras manera, las personas, en su vida diaria

identifican la representación vertical con el objeto representado.


• Cuando se diferencia entre representación y objeto, se considera que el conocimiento de las representaciones permite conocer al objeto representado (gracias a que en el proceso de representación se preserva algún tipo de estructura)

(Esta creencia también se da en las matemáticas. Se considera que mediante las representaciones vicariales podemos conocer al objeto matemático)

De hecho, esta creencia es “casi inevitable” cuando de realiza un discurso “objetual” en matemáticas.


Dos Aspectos a tener en cuenta• (1) La clasificación entre representaciones

inconscientes y conscientes y entre automáticas y no automáticas


Hay otras clasificaciones que no vamos a comentar:

• Peirce (índice, icono y símbolo)

• Representaciones de tipo notacional-formal versus representaciones de tipo visual-gráfica.


• (2) La esencia de la representación es CONOCER “algo” a partir del conocimiento de otro “algo”

• Entender la representación en términos de instrumento de CONOCIMIENTO la convierte en un miembro de una familia cuyos miembros están muy relacionados entre sí (analogía, metáfora, generalización, etc.).


A es B• Subcategorización (extensivo / intensivo) El elemento A cumple las condiciones que cumplen todos

los elementos de B. (Podemos conocer A a partir de conocer B.)

• Representación “Aplicación de la teoría o las ideas de un sistema B en otro

sistema A, para poder utilizar el aparato teórico o conceptual de B como instrumento de análisis de A.” (A. Ibarra 2000)

• Metáfora Estructuramos el campo de conocimientos A en términos

de la estructura que tiene B (conocemos A en términos de B)

(el amor es una guerra)


• El circulo que se obtiene al trazar la punta del compás es el conjunto de puntos que son solución de una ecuación del tipo x2 + y2 = r 2

(A es B’ pasa a ser A es B)• la expresión x2 + y2 = r 2 se considera como la

representación de un círculo • Un círculo es una ecuación del tipo x2 + y2 = r 2

• Un experto puede transitar sin dificultades por esta línea. Un novato puede tener dificultades



LOS PELIGROS DE LA METÁFORA ONTOLÓGICA

• La metáfora ontológica, que tiene su origen en nuestras experiencias con objetos físicos, permite considerar acontecimientos, actividades, emociones, ideas, etc. como si fueran entidades (objetos, cosas, etc.) o sustancias.

• Esta metáfora se combina de manera inconsciente con otra metáfora ontológica: la del contenedor. La combinación de dichas metáforas permite considerar ideas, conceptos, etc. como entidades o sustancias que se contienen unas a otras.

• Faceta extensiva-intensiva.


• Las metáforas ontológicas en el discurso escolar muchas veces suelen estar implícitas, pero en textos matemáticos más formales se pueden presentar de manera más explícita.

• Por ejemplo, en el Curso de Geometría de P. Puig Adam (1965, pág. 4) se observan claramente en los axiomas de existencia y enlace:

Ax. 1.1 -Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados <<puntos>> cuyo conjunto llamaremos <<espacio>>.

Ax. 1.2 -Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados <<planos>> y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados <<rectas>>.


• Cuando tratamos con objetos físicos, y no problematizamos cómo los percibimos, podemos segregar el signo del objeto (la palabra “reloj” y el objeto físico “reloj).

• Esta segregación la trasladamos a los objetos matemáticos y, por tanto, también segregamos la “representación” del “objeto matemático”. Además, el tipo de discurso que hacemos nos induce a creer en la “existencia” del objeto como algo independiente de su representación.


• El discurso “objetual”, que tiene su origen en la metáfora ontológica, facilita entender implícitamente “que existe” un objeto matemático que se puede representar por diferentes “representaciones”.

• Implícitamente se sugiere un “cierto platonismo”• “Hay un solo objeto, pero muchas representaciones

distintas”.• En el discurso matemático “objetual”se priorizan las

facetas extensivo-intensivo y expresión-contenido. • Esta última dimensión facilita la segregación entre

representación y objeto, con lo cual, en cierta manera, se da “existencia” (vida independiente) al objeto (algo parecido a cuando se considera el espíritu como algo segregado del cuerpo).


• Consciente de que el discurso “objetual” conlleva el peligro de caer en el platonismo, Wittgenstein propone focalizar la atención en el uso de los signos matemáticos y recomienda “evitar hablar de objeto matemático”.

• De esta manera no se segrega la representación del objeto y éste último pasa a ser una simple regla de cómo usar los signos matemáticos.

• En este punto de vista, se entiende la representación como una “herramienta” que se puede usar en muchas prácticas diferentes, de acuerdo a ciertas reglas.

• Por tanto, se prioriza la dimensión elemental-sistémica de la representación.


Una solución intermedia.

Por una parte, no parece posible seguir la recomendación de Wittgenstein de “evitar hablar de objeto matemático”.

• Primero, porque el lenguaje “objectual” se nos impone constantemente y resulta casi imposible liberarse de él.

• Segundo porque se focaliza demasiado la atención en la dimensión elemental-sistémica y se dejan en segundo plano otras dimensiones.


Pero, utilizar el lenguaje “objetual” de manera acrítica implica:

• Caer en un cierto tipo de platonismo

• Focalizar la atención, sobre todo, en las facetas extensivo-intensivo y expresión-contenido


Una posible solución consiste en (1) aceptar como inevitable el lenguaje “objetual”, pero (2) ser muy consciente de sus peligros y, dentro de lo posible, intentar evitarlos. Para ello.

• Conviene tener presente las cinco facetas duales.

• Ser muy consciente de que hay que “controlar” el uso del lenguaje “objetual”.


Lecturas para ampliar

• Font, V. (2001). Algunos puntos de vista sobre las representaciones en didáctica de las matemáticas. Philosophy of Mathematics Education Journal,14: 1-35.

(Lectura previa recomendada)• Font, V. y Peraire, R. (2001). Objetos prácticas y ostensivos

asociados. El caso de la cisoide. Educación Matemática, 13(2), 55-67.

(para ampliar el ejemplo de la cisoide) Recuperables en http://www.webpersonal.net/vfont • Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición

matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques 22, (2/3): 237-284. (para ampliar las dimensiones duales del decágono). Recuperable en http://www.ugr.es/~jgodino/indice_tfs.htm

http://www.webpersonal.net/vfont





http://www.ugr.es/~jgodino/indice_tfs.htm


Referencia de las citas

• Goldin, G. y Janvier, C. (1998). Representacion and the psychology of mathematics education. Journal of Mathematics Behaviour, 17 (1): 1-4

• Goldin, G. y Stheingold, (2001). System of representations and the development of mathematical concepts. En A. Cuoco y F. R. Curcio (Eds.), The roles of representation in school mathematics (pp. 1-23).Yearbook 2001. Reston, VA: NCTM.

• Ibarra, A. (2000). La naturaleza vicarial de las representaciones. En A. Ibarra y T. Mormann (Eds.), Variedades de la representación en la ciencia y en la filosofía (pp. 23-40) Barcelona: Ariel.

• Kaput, J. (1991). Notations and Representations as Mediators of Constructive Processes, en E. Von Glasersfeld (ed.): Radical constructivism in mathematics education (pp 53-74). Dordrecht: Kluwer A. P.

• Kaput, J. (1998). Representations, inscriptions, descriptions and learning: A kaleidoscope of windows. Journal of Mathematical Behaviour, 17 (2), 266-281.

Documents

Las representaciones en Educación Matemática