LAS TRES LEYES DE MENDEL RESUMIDAS2.1. Primera Ley: Principio de uniformidadAl cruzar dos razas puras, la descendencia ser heterocigtica y dominantePara descubrir este principio,Mendelcruzguisantes de color amarillo (color dominante)con una especie ms escasa deguisantes verdes (recesivo). El resultado de este cruce, gener una descendencia 100% amarilla:

Figura 1. Primera ley de MendelAunque observamos efectivamente que se ha producido una mezcla gentica entre los progenitores (Aa), lageneracin F1ha salido amarilla. Esto es debido a la dominancia delaleloA (amarillo) respecto al alelo a (verde). Cuando ambos estn juntos, solo se manifiesta el dominante.2.2. Segunda Ley: Principio de distribucin independienteAl cruzar dos razas hbridas, la descendencia ser homocigtica e hbrida al 50%Con una gran intuicin cientfica,Mendelcogi los guisantes de la generacin F1 (del experimento anterior) y los cruzo entre s.

Figura 2. Segunda ley de MendelPara su sorpresa, el 25% de ladescendenciade esos guisantes amarillos fueron verdes! Por esta razn, aunque dos miembros de una pareja tengan los ojos marrones, si ambos guardan un gen recesivo para el color azul, existe un 25% de posibilidades de que sus hijos hereden ojos azules (como los de sus abuelos).2.3. Tercera Ley: Principio de la independencia de los caracteresAl cruzar varios caracteres, cada uno de ellos se transmite de manera independientePara comprobar este principio Mendel cruzguisantes amarillos y lisos (dominantes)conguisantes verdes y rugo ecesivos):

Figura 3. Tercera ley de Mendel (I)Esa descendencia AaRr a su vez se autofecund para dar lugar a la siguiente generacin:

Figura 4. Tercera ley de Mendel (II)De esta manera, comprob que las caractersticas de los guisantes no interfieren entre s, y se distribuyen individualmente. De dos guisante amarillos y lisos crecieron: 9 guisantes amarillos y lisos 3 guisantes amarillos y rugosos 3 guisantes verdes y lisos 1 guisante liso y rugoso

Una cnica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cnica con un plano; o como el lugar geomtrico de los puntos del plano tal que la razn de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definicin especfica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.Circunferencia:Se denomina circunferencia al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuacin analtica de la circunferencia:si hacemos coincidir el centro con el origen decoordenadas, las coordenadasde cualquier punto de la circunferencia (x,y) determina un tringulo rectngulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitgoras: r2=x2+y2. Puesto que la distancia entre el centro (a,b) y uno cualquiera de los puntos (x,y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:r2= (x a)2+ (y b)2Llamada cannica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemosx2+y2 2ax2by r2= 0.Si reemplazamos 2a = D; 2b = E; F = a2+ b2 r2tendremos que:x2+y2+ Dx+ Ey+ F = 0Ejemplo:Si tenemos la ecuacinx2+y2+ 6x 8y 11 = 0Entonces tenemos que: D = 66 = 2aa = 3E = 8 8 = 2bb = 4El centro de la circunferencia es ( 3, 4). Hallemos el radioF = ( 3)2+ 42 r2 11 = ( 3)2+ 42 r2r = 6La ecuacin de la circunferencia queda:(x+ 3)2+ (y 4)2= 36Elipse:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuacin analtica de laelipse:para simplificar la explicacin ubiquemos a los focos sobre el eje de lasx,situados en lospuntos F (c,0) y F' ( c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x,y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el ejex. Entonces:PF+PF' = 2a. Aplicando Pitgoras tenemos que:Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las races y desarrollamos los cuadrados (ver operacin) queda finalmente:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuacin debera de ser:Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2+ a2y2 2xpb2 2yqa2+ p2b2+ q2a2 a2b2= 0Si hacemos: A = b2B = a2C = 2pb2D = 2qa2E = p2b2+ q2a2 a2b2tendremos la ecuacin:Ax2+ By2+ Cx+ Dy+ E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los trminos A y B no tienen porqu ser iguales.Ejemplo:Si tenemos la ecuacin 4x2+ 9y2+ 24x 8y+ 81 = 0Entonces tenemos que: A = 44 = b2b = 2; B = 99 = a2a = 3Los radios de la elipse son: sobre el ejex= a = 3; sobre el ejey= b = 2. Hallemos en centro (p, q).C = 2424 = 2pb2p = 3D = 54 54 = 2qa2q = 3El centro es, entonces, (p, q) = ( 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81. E =p2b2+ q2a2 a2b2= 81La ecuacin de la elipse queda:Hiprbola:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hiprbola .

Ecuacin analtica de la hiprbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el ejex, F = (c,0) y F' = (c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x,y) de la hiprbola. En este caso, la diferencia de las distancias entrePFyPF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la interseccin de la hiprbola con el ejex. Entonces tendremos que:PFPF' = 2a

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemticamente podemos llegar a esta expresin: (c2 a2).x2 a2y2 (c2 a2) a2= 0 (los clculos los dejo por tu cuentapero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitgoras podemos obtener que c2= a2+ b2y por lo tanto la ecuacin nos queda: b2x2 a2y2= a2b2. Dividiendo cada trmino por a2b2obtenemos:

Si la hiprbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuacin debera de ser:Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 a2y2 2xpb2+ 2yqa2+ p2b2 q2a2 a2b2= 0Si hacemos: A = b2B = a2C = 2pb2D = 2qa2E = p2b2 q2a2 a2b2tendremos la ecuacin:Ax2 By2+ Cx+ Dy+ E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los trminos A y B no tienen porqu ser iguales.Asntotas:son rectas que jams cortan a la hiprbola, aunque se acercan lo ms posible a ella.Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)Las ecuaciones de las asntotas son:Parbola:Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuacin analtica de la parbola: Supongamos que el foco est situado en el punto (0,c) y la directriz es la rectay= c,por lo tanto el vrtice est en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x, y) de la parbola y un punto Q = (x, c) de la recta debe de cumplirse que:PF=PQ

Elevando al cuadrado ambos miembros:x2= 4cySi la parbola no tiene su vrtice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuacin sera: (x p)2= 4c(y q)desarrollando la ecuacin tendremos:x2+ p2 2xp 4cy+ 4cq = 0Si hacemos D = 2pE = 4cF = p2+ 4cqobtendremos que es:x2+ Dx+ Ey+ F = 0, en la que podemos observar que falta el trmino dey2.Observacin: es de destacar que el trminox yno aparece, la razn es que se ha supuesto que los ejes de simetra de las cnicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecera este trmino, que como es lgico depender del ngulo de inclinacin de los ejes.Cudricas: