LECCIÓN 2: OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS · PDF fileOPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ... SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS ... - Sumar o restar sin quitar los paréntesis

LECCIÓN 2: OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 1.- SUMA DE NÚMEROS ENTEROS 1.1.- LA SUMA O ADICIÓN:

Sumar es añadir una cantidad a otra; juntar o reunir varias cantidades en una sola. SIGNO DE LA SUMA: Es una cruz latina (+) y lee más. TÉRMINOS DE LA SUMA:

Sumandos, que son las cantidades que se suman.

Suma o total, que es el resultado de la suma.

La operación de sumar se puede hacer mentalmente o utilizando un método de cálculo escrito (algoritmo) específico para la suma. En cualquier caso, además hay que indicarla siempre en forma de igualdad con su resultado.

454 + 9.063 + 387 = 9.904 ALGORITMO DE LA SUMA:

EL algoritmo de una operación es el método de cálculo para hallar el resultado de la operación.

El algoritmo de la suma consiste en:

1º Colocar todos los sumandos en cada fila haciendo coincidir en la misma columna el mismo orden de unidades, pasando una raya horizontal por debajo del último sumando. 4 5 4 + 9 0 6 3 3 8 7 2º Se suman, de derecha a izquierda, las cifras de cada columna y el resultado se pone debajo de la horizontal. Si la suma de una columna pasa de nueve solo se pone debajo de la horizontal la cifra de las unidades sumando la de las decenas con las cifras de la siguiente columna. 1 2

4 5 4 4 5 4 4 5 4 4 5 4

+ 9 0 6 3 + 9 0 6 3 + 9 0 6 3 + 9 0 6 3

3 8 7 3 8 7 3 8 7 3 8 7

4 0 4 9 0 4 9 9 0 4 3º El número que finalmente aparece debajo de la horizontal es el resultado de la suma. USO DEL PARÉNTESIS

Los paréntesis indican que se deben realizar primero las operaciones que están dentro de ellos y las que quedan fuera se vuelven a indicar en el mismo orden en que aparecen. Si no hay paréntesis se hacen las operaciones en el orden en que aparecen volviendo a indicar las que no se hacen en el mismo orden.

8 + (2 + 5) = 8 + 7 = 15 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15

Estaría mal hecho si no se repiten las operaciones que no se hacen en un paso en el mismo orden en que aparecen: 8 + 2 + 5 = 8 + 2 = 10 + 5 = 15 MAL 10 ≠ 15

1.2.- SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Al escribir operaciones con números enteros no se pueden escribir seguidos los signos de las operaciones y los signos de los números enteros por lo que, los separaremos encerrando el número entero con su signo entre paréntesis.

Correctas Incorrectas

(+5) + (+3) (+4) – (+11) + 5 + +3 +4 – +11

(– 6) + (– 2) (– 9) · (– 20) – 6 + – 2 – 9 · – 20

(– 7) – (+9) (– 7) : (– 9) – 7 – + 9 – 7 : – 9

(– 7) · (+9) (– 8) – (– 10) – 7 · + 9 – 8 – – 10

(– 8) : (+10) – 8 : + 10

SUMA DE ENTEROS DEL MISMO SIGNO

Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen.

(+5) + (+3) = +(I+5I + I+3I) = +(5 + 3) = +8 = 8 (+4) + (+11) = +(4 + 11I) = +15 = 15

(– 6) + (– 2) = –(6 + 2) = – 8 (– 9) + (– 20) = – 29

SUMA DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

(+5) + (– 3) = + (I+5I + I– 3I) = + (5 – 3) = +2 = 2 (+4) + (– 11) = – (11 –4) = –7 (– 6) + (+2) = – (6 – 2) = – 4 (– 9) + (+20) = 11

SUMA DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS

Se pueden resolver de dos formas distintas: - Haciendo las operaciones, de una en una, en el orden en que van apareciendo,

volviendo a indicar las que no se hacen en un paso en el mismo orden.

(+6) + (+ 13) + (+5) + (– 9) = (+ 19) + (+5) + (– 9) = (+ 24) + (– 9) = +15 = 15

(– 2) + (+5) + (–18) + (– 21) = (+3) + (–18) + (– 21) = (–15) + (– 21) = – 36

(+7) + (– 3) + (+14) + (– 17) = (+4) + (+14) + (– 17) = (+18) + (– 17) = + 1 = 1

- Juntando primero los números positivos con los positivos y los negativos con los

negativos, se suman los positivos y se suman los negativos. Finalmente se suman los

resultados de ambas sumas (siempre será una suma de enteros de distinto signo).

(+6) + (+ 13) + (+5) + (– 9) = (+ 24) + (– 9) = +15 = 15

(– 2) + (+5) + (–18) + (– 21) = (+5) + (– 2) + (–18) + (– 21) = (+5) + (– 41) = – 36

(+7) + (– 3) + (+14) + (– 17) = (+7) + (+14) + (– 3) + (– 17) = (+ 21) + (– 20) = + 1 = 1

PROPIEDADES DE LA SUMA

- Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a

- Asociativa: La forma de agrupar los sumandos no altera la suma.

(a + b) + c = a + (b + c)

- Elemento neutro: Es el cero. Todo número entero sumado con cero da el mismo

número. a + 0 = a

- Elemento simétrico: En la suma se llama opuesto, y es el número que sumado con él da el elemento neutro (0). Se expresa con la abreviatura de opuesto (op) y entre paréntesis el número entero del cual expresamos su opuesto.

Se lee “Opuesto de +a” op (+a) = – a Es el opuesto de +a

El opuesto de un número entero también se puede expresar colocando un signo – delante del número entero.

Op (+a) = – (+a) = – a op (– a) = – (– a) = +a a + op (a) = a + (– a) = 0

El opuesto de un número entero es otro número entero que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo.

– 3 y +3 son opuestos porque tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo.

Op (+7) = – (+7) = – 7 op (– 12) = – (– 12) = +12 = 12

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 7 del libro la cuestión 3.1 “Suma” y en las páginas 49

y 50 del libro, el epígrafe 3.1, “Suma”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el

estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes

actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

1.- Resuelve estas operaciones e identifica sus términos

a) 250 + 75 + 130 = b) 5.242 + 15.132 + 42.017 + 5.368 =

2.- Calcula:

a) (+5) + (+3) = b) (–8) + (+2) = c) –8 +2 =

d) (+4) + (+12) = e) (+7) + (– 5) = f) (–4) + (– 12) =

g) (– 7) + (+5) = h) (–4) + (+12) = i) (– 7) + (– 5 ) =

3.- Halla el opuesto de los siguientes números enteros: 6, 0, -10 y –14

4.- Página 50, actividad 25. 5.- Página 50, actividad 26.


8.- Página 50, actividad 30.

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2.- RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

2.1.- LA RESTA O SUBSTRACCIÓN:

La resta es la operación que consiste en quitar una cantidad a otra. SIGNO DE LA RESTA: Es una rayita horizontal (–) y se lee menos. TÉRMINOS DE LA RESTA:

Minuendo: Es la cantidad a la que se le quita otra. Va antes del signo –

Substraendo: Es la cantidad que se quita al minuendo. Va después del signo –

Diferencia: Es el resultado de la resta.

MINUENDO – SUBSTRAENDO = DIFERENCIA

23.709 – 18.526 = 5.183

ALGORITMO DE LA RESTA:

1º Se coloca el minuendo en una fila y el substraendo en la fila de abajo, haciendo coincidir en la misma columna el mismo orden de unidades, trazando una horizontal por debajo del substraendo.

_ 2 3 7 0 9

1 8 5 2 6

2º Se resta, de derecha a izquierda, las cifras de cada columna, quitándole a la del minuendo la del substraendo. Si la de minuendo es menor que la del substraendo, se le suman 10 unidades a la del minuendo y se le resta la del substraendo. Se compensa sumando a la cifra del substraendo de la columna de la izquierda una unidad. La diferencia de cada columna se va colocando debajo de la horizontal.

_ 2 3 7 0 9 _ 2 3 710 9 _ 2 3 7 0 9 _ 213 7 0 9 _ 2 3 7 0 9

1 8 5 2 6 1 8 5 2 6 1 8 6 2 6 1 8 5 2 6 2 8 5 2 6

3 8 3 1 8 3 5 1 8 3 0 5 1 8 3 3º El número que se forma debajo de la horizontal después de restar todas las columnas es la diferencia.

PROPIEDADES DE LA RESTA:

La resta no cumple ni la propiedad conmutativa, ni la asociativa ni tiene elemento neutro. Propiedad fundamental de la resta: En una resta siempre se cumple:

MINUENDO = DIFERENCIA + SUBSTRAENDO

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Entre la suma y la resta no hay prioridad. Si no hay paréntesis se hacen en el orden en que aparecen volviendo a indicar las que no se hacen en cada paso en el mismo orden.

12 – 4 + 7 = 8 + 7 = 15 12 + 7 – 4 = 19 – 4 = 15 12 – (4 + 7) = 12 – 11 = 1

2.2.- RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del substraendo.

a – b = a + (– b) (+3) – (+ 9) = (+3) + (– 9) = – 6 (+4) – (– 6) = (+4) + (+6) = 10

(– 7) – (+9) = (– 7) + (– 9) = (– 7) – (+9) = –16 (– 8) – (– 10) = (– 8) + (+10) = 2

Si se transforman las restas en sumas, al final todas las operaciones van a ser de sumar, por lo que se puede suprimir el signo de la suma (se sobrentiende que todas las operaciones son de sumar) y los paréntesis entonces también sobran y se suprimen con lo que solo quedarán los números enteros con su signo.

(+3) – (+ 9) = (+3) + (– 9) = 3 – 9 = – 6 (+4) – (– 6) = (+4) + (+6) = 4 +6 = 10

(– 7) – (+9) = (– 7) + (– 9) = – 7 – 9 = –16 (– 8) – (– 10) = (– 8) + (+10) = – 8 +10 = 2

(+5) + (– 3) = 5 – 3 = 2 (+4) + (– 11) = 4 – 11 = – 7

(– 6) + (+2) = – 6 +2 = – 4

SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS

Teniendo en cuenta lo anterior, se pueden suprimir los paréntesis teniendo en cuenta el signo que llevan delante.

- Si delante del paréntesis no va ningún signo o va el signo de sumar +, se suprimen

los paréntesis, sin cambiar nada de lo que va dentro de ellos.

- Si lleva signo de restar, –, se suprimen los paréntesis, cambiando los signos a todo

lo que iba dentro de los paréntesis. A lo que tenía signo + o no tenía signo, se le pone

signo –; y a lo que tenía signo – se le pone signo +.

(+3) – (+ 9) = 3 – 9 = – 6 (+4) – (– 6) = 4 +6 = 1

(– 7) – (+9) = – 7 – 9 = –16 (– 8) – (– 10) = – 8 +10 = 2

PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

La resta de números enteros no cumple las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico.

En cambio cumple la propiedad fundamental de la resta:

MINUENDO = DIFERENCIA + SUBSTRAENDO SUBSTRAENDO = MINUENDO - DIFERENCIA

(+27) – (–13) = (+27) +(+13) = +40 => (+27) = (+40) + (–13) => (–13) = (+27) – (+40)

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 7 del libro la cuestión 3.2, “Resta” y en la página 51

del libro, el epígrafe 3.2, “Resta”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el

estudio con los apuntes anteriores y cuando creas que lo sabes, haz las siguientes

actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

9.- Calcula los resultados e identifica sus términos:

a) 350 – 107 = b) 2.348 – 895 = c) 89.054 – 49.672 =

10.- Quita paréntesis primero y calcula el resultado después:

a) (+5) + (+3) = b) (–8) + (+2) =

c) (+3) – (+5) = d) (+10) – (–4) =

11.- Resuelve las siguientes operaciones.

a) (+5) – (– 6) = b) (+ 5) – (+6) = c) (– 5) – (– 6) =

d) (– 5) – (+ 6) = e) (+6) – (– 5) = f) (+ 6) – (+5) =

g) (– 6) – (– 5) = h) (– 6) – (+ 5) = i) (+3) – (– 9) =

j) (+ 3) – (+9) = k) (– 3) – (– 9) = l) (– 3) – (+ 9) =

m) (+9) – (– 3) = n) (+ 9) – (+3) = ñ) (– 9) – (– 3) =

o) (– 9) – (+ 3) =



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3.- SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS

La suma y la resta números enteros se puede hacer de dos formas distintas:

- Sumar o restar sin quitar los paréntesis ni corchetes, transformando antes las restas en sumas y respetando la prioridad de las operaciones que van dentro de los paréntesis y corchetes:

(+6) – (+ 13) + (+5) – (– 9) = (+6) + (– 13) + (+5) + (+ 9) = (– 7) + (+5) + (+ 9) =

= (– 2) + (+ 9) = +7 = 7

(– 2) – (+5) + (–18) – (– 21) = (– 2) + (– 5) + (–18) + (+ 21) = (– 7) + (–18) + (+ 21) =

= (–25) + (+ 21) = – 4

(+7) – [(– 3) – (–14)] + (– 17) = (+7) – [(– 3) + (+ 14)] + (– 17) = (+7) – (+11) + (– 17) =

= (+7) + (– 11) + (–17) = (– 4) + (–17) = – 21

- Quitar primero los paréntesis y corchetes, teniendo en cuenta el signo que llevan delante

y sumar después los números enteros que quedan.

(+6) – (+ 13) + (+5) – (– 9) = 6 – 13 + 5 + 9 = – 7 + 5 + 9 = – 2 + 9 = 7

(– 2) – (+5) + (–18) – (– 21) = – 2 – 5 –18 + 21 = – 7 –18 + 21 = –25 + 21 = – 4

(+7) – [(– 3) – (– 14)] + (– 17) = 7 – [– 3 + 14] – 17 = 7 + 3 – 14 – 17 = 10 – 31 = – 21 Al quitar los paréntesis, los signos + y – que quedan no son de sumar o restar (todas son sumas) sino que son los signos de los números enteros. Si hay paréntesis y corchetes en la misma expresión, primero se suprimen los paréntesis y después los corchetes. Los corchetes [ ] son paréntesis que llevan dentro a otros paréntesis y se suprimen aplicando los mismos criterios.

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 52 el epígrafe 3.3, “Sumas y restas combinadas”,

reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y

cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el

profesor.

16- Página 52, actividad 34. 17.- Página 52, actividad 35.


19.- Resuelve las siguientes operaciones.

a) (+10) – (+8) + (+3) – (–7) = b) (–3) – (+5) + (–2) + (– 1) – (–10) =

c) 8 –6 –5 = d) 10 –3 –4 = e) 3 + 8 –5 –1 =

f) (+12) – (–16) + (+15) + (–22) – (+13) = g) (–18) + (–5) – (– 32) – (+27) – (–12) =

h) (3 – 8) + (5 – 3) + (2 – 6) – (3 + 4) – (1 – 7) = i) 5 –6 +12 –14 =

j) (–9) – (5 – 11) – (–7) – (18 –11) – (–14) = k) 15 + (3 –10 –7 +1) – (5 –8 –9) =

l) 10 + (–5 –7 +2 –9) – (6 –7 +8) = m) [(+4) + (–3) – (–1)] – [(+8) – (+2) + (–6)] =

n) (9 –13) – [5 – (2 –8 +3) – (4 +3)] = ñ) 15 – [(10 +8 –2) – (5 –3 +1)] – (10 –3 –9) =

20.- Quita paréntesis primero y calcula el resultado después:

a) (+10) – (+8) + (+3) – (–7) =

b) (–3) – (+5) + (–2) + (– 1) – (–10) =

c) (+12) – ( –16) + (+15) + (–22) – (+13) =

d) (–18) + (–5) – (– 32) – (+27) – (–12) =

e) (3 – 8) + (5 – 3) + (2 – 6) – (3 + 4) – (1 – 7) =

f) (–9) – (5 – 11) – (–7) – (18 –11) – (–14) =

g) 15 + (3 –10 –7 +1) – (5 –8 –9) =

h) 10 + (–5 –7 +2 –9) – (6 –7 +8) =

i) [(+4) + (–3) – (–1)] – [(+8) – (+2) + (–6)] =

j) (9 –13) – [5 – (2 –8 +3) – (4 +3)] =

k) 15 – [(10 +8 –2) – (5 –3 +1)] – (10 –3 –9) =

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4.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 4.1- MULTIPLICACIÓN La multiplicación o producto es una suma abreviada de la misma cantidad varias veces. SIGNO DE LA MULTIPLICACIÓN: Es una cruz en aspa(X) o un punto (· ) y se lee por. En las operaciones indicadas en forma de igualdad se utilizará preferentemente el punto (· ), mientras que en el algoritmo de la operación se utilizará siempre la cruz (X) como signo de la operación. TÉRMINOS DE LA MULTIPLICACIÓN:

- Factores, que son las cantidades que se multiplican. Se llaman ... · multiplicando, a la cantidad que se suma varias veces, y · multiplicador, a la cantidad de veces que se suma el multiplicando.

- Producto, que es el resultado de la multiplicación.

ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN:

La operación de multiplicar se puede hacer mentalmente o utilizando un método de cálculo escrito(algoritmo) específico para la multiplicación. En cualquier caso, además hay que indicarla siempre en forma de igualdad con su resultado.

4.050 · 9.060 = 361693.000

El algoritmo de la multiplicación consiste en:

1º Colocar el multiplicando en una fila y el multiplicador debajo alineados por la derecha, haciendo coincidir en la misma columna el mismo orden de unidades o no, pasando una raya horizontal por debajo del multiplicador..

9 0 6 0

x 4 0 5 0

2º Se va multiplicando, de derecha a izquierda, cada cifra del multiplicador, excepto los ceros, por todas cifras del multiplicando, menos los ceros. Cuando el producto de una cifra del multiplicando por una del multiplicador pase de 10, solo se colocará la cifra de las unidades en la columna que le corresponda, sumando la cifra de las decenas al resultado del siguiente producto. Los productos de cada una de estas multiplicaciones parciales se van poniendo debajo de la línea horizontal en filas sucesivas, desplazándolas un lugar cara a la izquierda con respecto a la anterior. En el caso que haya un cero intermedio en el multiplicador, no se multiplica pero la fila siguiente se desplaza un lugar más. Por debajo del último producto parcial se pasa una línea horizontal. 3 2 9 0 6 0 9 0 6 0

x 4 0 5 0 x 4 0 5 0

4 5 3 0 4 5 3 0

3 6 2 4

3º Se suman los productos parciales obtenidos en el paso anterior se añaden a la derecha los ceros finales del multiplicando y del multiplicador.

9 0 6 0

x 4 0 5 0

4 5 3 0

+ 3 6 2 4 .

3 6 6 9 3 0 0 0 4º El resultado final obtenido en el paso anterior es el producto que se expresa con la operación INDICADA EN FORMA DE IGUALDAD TAMBIÉN.

4.050 · 9.060 = 361693.000

MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS:

Para multiplicar cualquier número entero por la unidad (1) seguida de ceros, se escribe el mismo número seguido de tantos ceros como siguen a la unidad. No se necesita aplicar el algoritmo de la multiplicación.

JERARQUÍA DE LAS MULTIPLICACIONES, SUMAS Y RESTAS COMBINADAS

Primero hay que hacer siempre as operaciones entre paréntesis, volviendo a escribir

a las que están fuera en el mismo orden en que aparecen.

12 · ( 8 + 2) = 12 · 10 = 120 (12 – 8) · 2 = 4 · 2 = 8

Las multiplicaciones tienen prioridad sobre sumas y restas.

12 – 4 · 2 = 12 – 8 = 4 29 + 12 · 3 = 29 + 36 = 65

55 + 4 · (27 – 2 · 9) – 5 = 55 + 4 · (27 – 18) – 5 = 55 + 4 · 9 – 5 = 55 + 36 – 5 = 91 – 5 = 86

Entre sumas y restas no hay prioridad; se van haciendo en el orden en el que

aparecen. Las operaciones que no se hacen en un paso se repiten en el mismo orden en el que aparecen.

7 + 9 – 5 + 3 = 16 – 5 + 3 = 11 + 3 = 14 ← BIEN 7 + 9 – 5 + 3 = 16 – 5 = 11 + 3 = 14 ← MAL 11 ≠ 14 4.2.- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros, se multiplican primero los signos (teniendo en cuenta la tabla de multiplicar los signos) y después los valores absolutos.

TABLA DE MULTIPLICAR LOS SIGNOS

+ · + = + + · – = –

– · – = + – · + = – (+4) · (+6) = +(4 · 6) = + 24 = 24 (– 5) · (– 9) = +(5 · 9) = + 45 = 45

(+7) · (– 3) = – (7 · 3) = – 21 (– 8) · (+ 2) = – (8 · 2) = – 16

MULTIPLICACIÓN DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar varios números enteros hay que tener en cuenta que:

- Si hay una cantidad PAR de factores negativos, el producto es POSITIVO.

- Si hay una cantidad IMPAR de factores negativos, el producto es NEGATIVO.

Por lo tanto, se cuentan los factores negativos, se pone el signo correspondiente y se multiplican los valores absolutos de los factores.

(– 3) · (+ 7) · (+1) · (– 4) · (+ 5) = + (3 · 7 · 1 · 4 · 5) = + 420 = 420

(– 8) · (+ 5) · (+ 9) · (+ 10) = – (8 · 5 · 9 · 10) = – 3.600

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Conmutativa: El orden de los factores no cambia el resultado de la multiplicación.

a · b = b · a (+ 2) · (–17) = ( –17) · (+2) –34 –34

Asociativa: La forma de agrupar los factores no cambia el resultado de la

multiplicación. En otras palabras, el orden en que se hagan las multiplicaciones no cambia el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c) (3 · 15) · 2 = 3 · (15 · 2) 45 x 2 = 3 x 30

90 90

Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación de números enteros

es el UNO (+1). a · (+1) = (+1) · a = a

(–56) · (+1) = (+1) · (–56) = –56 1· 576 = 576 · 1 = 576

Distributiva del producto con respecto a la suma o la resta: Dice que el

producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de productos de dicho número por cada uno de los sumandos de la suma o de los términos de la resta.

a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

6 · (5 + 3) = 6 · 5 + 6 · 3 6 · ( 5 – 3) = 6 · 5 – 6 · 3

6 · 8 30 + 18 6 · 2 30 – 18 48 48 12 12

Sacar factor común es la aplicación al revés de la propiedad distributiva que

consiste en transformar una suma o resta de productos con un factor que se repite

en todos ellos (factor común) en un producto de dicho factor común por la suma o

resta de los demás factores.

a · b + a · c – a · d = a · (b + c – d)

(–6) · 5 + (–6) · 3 = (–6) · ( 5 + 3) 6 · 5 – 6 · 3 = 6 · (5 – 3)

(+4) · (–2) + (+5) · (+4) – (+4) · 3 = (+4) · [(–2) + (+5) – 3]

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 8 del libro la cuestión 3.3 “Multiplicación” y en las

páginas 53 y 54 del libro, el epígrafe 4.1, “Multiplicación” reflexiona sobre lo leído y

estudia lo destacado. Complétalo con el estudio de los apuntes anteriores. Consulta

tus dudas con el profesor y cuando creas que ya lo entiendes y lo sabes, haz las

siguientes actividades.

21.- Expresa como una suma de varios sumandos iguales cada uno de estos

productos:

a) 10 · 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

b) 6 · 4 = c) 3 · 383 = d) 7 · 0 =

22.- Resuelve los siguientes productos e identifica sus términos:

a) 347 · 20 = b) 86 · 50 = c) 1005 · 280 =

d) 41· 2.500 = e) 32 · 1.516 = f) 99 · 99 =

23.- Resuelve mentalmente:

a) 14 · 100 = b) 82 · 1.000 = c) 1001 · 10 =

d) 52 · 10.000 = e) 80 · 100 = f) 13.000 · 10 =

24.- Calcula:

a) 4· 6 + 2· 8 – 3· 4 = b) 4· (6 + 2)· 8 – 3· 4 = c) 4· 6 + 2· (8 – 3)· 4 =

d) 4· 6 + (2· 8 – 3)· 4 = e) 4· (6 + 2· 8) – 3· 4 = f) 4· (6 + 2· 8 – 3)· 4 =

25.- Calcula:

a) (– 2) · (– 3) · (– 6) = b) (– 4) · (+ 3) · (– 2) =

c) (+ 7) · (– 2) · (+ 3) = d) (– 9) · (– 5) · (– 2) =

26.- Calcula:

a) (+5)· (+3) = b) (+8)· (–4) = c) (–6)· (+2) =

d) (–5)· (–4) = e) (–1)· (–3) = f) (+5)· (–10) =

g) (–1)· (–1)· (–1) = h) (–2)· (+3)· (–6) = i) (+5)· (–2)· (+3) =

j) (+2)· (–2)· (–4) =

27.- Calcula:

a) (+5)· (+3) = b) (+8)· (–4) = c) (–6)· (+2) =

d) (–5)· (–4) = e) (–1)· (–3) = f) (+5)· (–10) =

g) (–1)· (–1)· (–1) = h) (–2)· (+3)· (–6) = i) (+5)· (–2)· (+3) =

j) (+2)· (–2)· (–4) =


30.- Página 54, actividad 41. ========================================================================

5.- LA DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

5.1.- LA DIVISIÓN:

La división es la operación que consiste en repartir una cantidad entre otra. SIGNO DE LA DIVISIÓN : Son dos puntos, un encima del otro (:) y se lee entre. TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN :

Dividendo: Es la cantidad que se divide o reparte. Va antes del signo :

Divisor: Es la cantidad entre la que se divide o reparte o dividendo. Va después del

signo:

Cociente: Es el resultado de la división.

Resto: Es la cantidad sobrante de la división y que no se puede repartir por ser

menor que el divisor.

DIVIDENDO : DIVISOR = COCIENTE

23.709 : 21 = 1.129 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: 1º Se coloca el dividendo en una fila y el divisor a su derecha dentro de un semicuadro. Debajo del semicuadro se irá formando el cociente.

2 3 7 0 9 / 2 1 2º Se separan en el dividendo, de izquierda a derecha, tantas cifras como sean necesarias para formar un número igual o mayor que el divisor y se divide dicho número entre el divisor buscando la cifra que multiplicada por el divisor nos dé el número que separamos en el dividendo o se aproxime lo más posible. Esta cifra se halla por tanteo, buscando una cifra que multiplicada por la primera cifra del divisor nos dé igual o menos que la primera o las dos primeras del dividendo; en caso contrario se prueba con una menos. Si esta cifra vale se coloca como primera cifra del cociente y se va multiplicando por todas y cada una de las cifras del divisor, de derecha a izquierda, restando el resultado, también de derecha a izquierda, a cada una de las cifras separadas en el dividendo obteniendo el primer resto parcial. 2 3,7 0 9 / 2 1 0 2 1

3º A continuación se baja la siguiente cifra del dividendo a la derecha del resto anterior formando un nuevo dividendo parcial que si es mayor o igual al divisor se repite de nuevo el 2º paso; si es menor se coloca un cero en el cociente y se baja la siguiente cifra del dividendo y así hasta formar un dividendo parcial mayor o igual al divisor.

2 3,7 0 9 / 2 1 0 2 7 11 0 6 4º Se siguen repitiendo los pasos 2º y 3º hasta bajar todas las cifras del dividendo.

2 3,7 0 9 / 2 1 0 2 7 1129 0 6 0 1 8 9 0 0 ¡¡IMPORTANTE!! El resto siempre tiene que ser menor que el divisor. Si el resto es igual o mayor que el divisor hay que aumentar el cociente en una unidad. 5º Se expresa la operación indicada también en forma de igualdad con su resultado.

23.709 : 21 = 1.129 ; resto r = 0 TIPOS DE DIVISIÓN: Una división puede ser exacta o entera (no exacta)

Exacta es cuando el resto es cero.

Entera o no exacta es cuando el resto es distinto de cero.

Las divisiones enteras pueden serlo por defecto o por exceso.

Por defecto es cuando al producto del cociente por el divisor le falta el resto para ser igual

al dividendo. En esta división el cociente y el resto se llaman cociente por defecto y resto por defecto.

Por exceso es cuando al producto del cociente por el divisor le sobra el resto para ser igual

al dividendo. En esta división el cociente y el resto se llaman cociente por exceso y resto por exceso.

Normalmente las divisiones se hacen siempre por defecto.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES COMBINADAS

- Primero hay que hacer siempre las operaciones entre paréntesis, volviendo a escribir las

que están fuera en el mismo orden en que aparecen. Los corchetes [ ] son paréntesis de

mayor ámbito pues llevan dentro otros paréntesis. Primero hay que resolver las que van

dentro de estos paréntesis y después las que quedan dentro de los corchetes.

12 · [30 : ( 8 + 2)] – 5 = 12 · [30 : 10] –5 = 12 · 3 –5 = 36 –5 = 31

- Las operaciones multiplicativas (multiplicación y división) hay que hacerlas antes que las

aditivas (sumas y restas). También dentro de los paréntesis y corchetes hay que

respectar esta prioridad.

8 + 5 · 2 – 6 : 3 = 8 + 10 – 2 = 18 – 2 = 16

4 · (9 – 6 : 2) + 5 = 4 · ( 9 – 3) + 5 = 4 · 6 + 5 = 24 + 5 = 29

- Entre las multiplicaciones y divisiones, al igual que entre las sumas y las restas no hay

prioridad; se van haciendo en el orden en que aparecen.

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN:

La división no cumple ni la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni tiene elemento neutro. Pero si cumple otras propiedades específicas de la división: Propiedad fundamental de la división: En una división siempre se cumple: DIVIDENDO = COCIENTE · DIVISOR + RESTO --> D = c · d + r En esta propiedad se basa la prueba de la división. 27 : 13 = 2 ; r = 1 => 27 = 2 ·13 + 1

Propiedad del cociente: Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía y o resto queda multiplicado o dividido por el mismo número.

D : d = c ; r -------> (D · n) : ( d · n) = c ; r · n

17 : 5 = 3 ; r = 2 -------> (17 · 10) : ( 5 · 10) = 170 : 50 = 3 ; r = 2 · 10 = 20

180 : 30 = 6 ; r = 0 ------> (180 : 10) : (30 : 10) = 18 : 3 = 6 ; r = 0 :10 = 0 Por eso, cuando el dividendo y el divisor acaban en ceros se simplifican la división suprimiendo tantos ceros en el dividendo como en el divisor.

2800 : 40 = 2800 : 40 = 280 : 4 = 70 6480 : 300 = 6480 : 300 = 648 : 30 =21 ; r = 18 Propiedad de los restos: La suma del resto por defecto y del resto por exceso es igual al divisor. rd + re = d

13 : 5 = 2 ; rd = 3 13 : 5 = 3 ; re = 2 -------> rd + re = 3 + 2 = 5 = d

5.2.- DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros, se dividen primero los signos (teniendo en cuenta la tabla de dividir los signos) y después los valores absolutos.

TABLA DE DIVIDIR

+ : + = + + : – = –

– : – = + – : + = –

(+12) : (+6) = +(12 : 2) = + 2 = 2 (– 20) : (– 5) = +(20 : 5) = + 4 = 4

(+72) : (– 8) = – (72 : 8) = – 9 (– 48) : (+ 3) = – (48 : 3) = – 16

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 9 del libro la cuestión 3.4, “División”, y en la

página 54 la cuestión 4.2,”División”, reflexiona sobre lo leído y estudia lo destacado.

Complétalo con el estudio de los apuntes anteriores. Consulta tus dudas con el

profesor y cuando creas que ya lo entiendes y lo sabes, haz las siguientes actividades.

31.- Resuelve las siguientes divisiones e identifica sus términos:

a) 258 : 23 = b) 14.315 : 47 = c) 18.516 : 285 =

32.- Resuelve paso a paso:

a) 20 : 4 + 6 = b) 4 + 10 : 2 = c) 15 : (3 + 12) =

d) 10 – 10 : 2 + 15 : 3 + 4 · 4 = e) 6 + 8 : 2 – 18 : (5 + 4) =

33.- Calcula:

a) (+6) : (+2) = b) (+12) : (–3) = c) (–20) : (+4) =

d) (–8) : (–2) = e) (+40) : (+20) = f) (+18) : (–6) =

g) (–15) : (+3) = h) (–21) : (–3) = i) (–30) : (–5) =

j) (–45) : (+15) =

34.- Calcula:

a) (+ 35) : (– 7) : (– 5) = b) (– 21) : (– 7) : (– 1) =

c) (– 20) : (– 5) : (+ 2) = d) (+ 32) : (– 8) : (– 2) =



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6.- OPERACIONES COMBINADAS CON MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES.

JERARQUIZACIÓN

- Primero hay que hacer siempre las operaciones que van entre paréntesis, volviendo a escribir las que están fuera en el mismo orden en que aparecen. Los corchetes [ ] son paréntesis de mayor ámbito pues llevan dentro otros paréntesis. Primero hay que resolver las que van dentro de estos paréntesis y después las que quedan dentro de los corchetes.

Si los paréntesis o corchetes van precedidos o sucedidos del signo de multiplicar o dividir no se debe quitar los paréntesis antes de operar.

- Las operaciones multiplicativas (multiplicación y división) hay que hacerlas antes que las aditivas (sumas y restas). También dentro de los paréntesis y corchetes hay que respectar esta prioridad.

- Entre las multiplicaciones y divisiones, al igual que entre las sumas y las restas no hay prioridad; se van haciendo en el orden en que aparecen.

(– 12) · [30 : (– 8 + 2)] – 5 = (– 12) · [30 : (– 6)] – 5 = (– 12) · (– 5) – 5 = 60 – 5 = 55 ========================================================================

ACTIVIDADES

Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado.

Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el

profesor.

39.- Resuelve paso a paso las siguientes operaciones.

a) (– 4) – (– 6) : (+ 3) = b) (+ 5) : (– 5) – (– 7) · (+ 2 ) =

. c) (– 11) – (+ 3) · (– 4) : (– 6) – (– 9) = d) (– 18) – [(+ 4) + (– 6)] : (+ 2) + (+5) =

e) (– 3) · 2 – (4 – 10 : 2) = f) 21 : 3 – 4· (– 3) =

g) 36 : (– 4) + 5· (– 2) = h) (– 12) : 3 – [13 + 6 – (– 2)] =

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7.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MÉTODO GENERAL

Para resolver un problema de forma metódica, clara y organizada debemos seguir los siguientes pasos:

1º Leer detenidamente el enunciado del problema varias veces, tratando de entenderlo.

Este es un proceso que haremos mentalmente con una primera lectura para obtener una idea global del problema. Luego, una segunda lectura más detenidamente, fijándonos en aquellas palabras y expresiones cuyo significado no entendamos bien para consultarlas en un diccionario. Una vez entendido el vocabulario y el léxico, haremos las lecturas que sean necesarias para comprender bien el argumento del problema.

2º Ordenar y anotar los datos y las preguntas.

De forma abreviada anotaremos ordenados los datos que nos da tanto el enunciado del problema como aquellos otros teóricos que conocemos de antemano y que intuimos que nos pueden hacer falta. También anotaremos de forma abreviada lo que nos preguntan en el enunciado.

3º Razonar y planificar la resolución del problema.

Para eso basta con ir expresando por escrito lo que se va pensando, fundamentando el razonamiento en los conceptos teóricos estudiados. Aunque que ciertos tipos de problemas tiene su propio método de resolución, una buena estrategia para resolver buena parte de los problemas aritméticos consiste en que, partiendo de la pregunta que nos hacen en el enunciado, buscar una operación, y SOLO UNA OPERACIÓN, que nos dé como resultado la respuesta a lo que nos piden. Si no conocemos alguno de los datos que se necesitan para resolver esta operación, averiguamos que única operación es necesaria hacer para hallarlo. Si de esta operación a su vez desconocemos algún dato hacemos un proceso semejante a los anteriores hasta que obtengamos una operación cuyos datos conozcamos totalmente. Todas estas operaciones se van formulando genéricamente de forma abreviada (planificación del problema).

4º Justificar los resultados, indicando las operaciones SIEMPRE EN FORMA DE IGUALDAD con sus resultados.

Si alguna de estas operaciones no se resuelven mentalmente, se puede resolver su algoritmo a un lado, bien separado de donde están indicadas dichas operaciones. Nunca se harán en un papel aparte ni se deben borrar.

5º Expresar la solución con una frase completa e independiente, destacándola bien.

No basta con escribir la cantidad; hay que responder con una frase completa a lo que nos preguntan.

6º Comprobación de la solución.

Para ver si la solución encontrada es la adecuada se puede aportar como dato del problema y ver que las premisas del enunciado se cumplen. Si no fuese así, la solución podría no ser correcta y habría que revisar la resolución paso a paso para encontrar el error.

También antes de comenzar la resolución del problema se podría hacer una estimación de la solución del problema.

PROBLEMA RESUELTO

Un vendedor ambulante compra un lote de camisetas a 72 € la docena. Después las

vende a 15 € el par. ¿Cuántos pares de camisetas tiene que vender para ganar 27 €?

Compra a 72 €/docena Vende a 15 €/par

Ganancia de 27 €. 1 docena = 12 camisetas 1 par = 2 camisetas

¿Pares de camisetas vendidos?

Cantidad de pares de camisetas vendidos = Ganancia total (27 €) : ¿Ganancia/par?

Ganancia/par = Precio de venta/par (15 €) - ¿Precio de compra/par?

Precio de compra/par = Precio de compra/docena (72 €) : ¿Cantidad de pares por

docena?

Cantidad de pares/docena = Cantidad de camisetas/docena (12) : Cantidad de

camisetas/par (2)

12 : 2 = 6 pares/ docena.

72 : 6 = 12 €/, precio de compra.

15 – 12 = 3 €/par de ganancia.

27 : 3 = 9 pares de camisetas vendidos.

Para ganar veintisiete euros tiene que vender 9 pares de camisetas.

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente y estudia el Método general de resolución de problemas.

Cuando creas que lo sabes, aplícalo a la resolución de los siguientes problemas.




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ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZ0 Y AMPLIACIÓN

Repasa de nuevo toda la lección y luego haz las siguientes actividades. Consulta tus

dudas con el profesor.








59.- Página 62, actividad 104 . 60.- Página 62, actividad 105.







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Documents

LECCIÓN 2: OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS · PDF fileOPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ... SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS ... - Sumar o restar sin quitar los paréntesis