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Lección 9
Ecuaciones Cuadráticas
12/13/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16
• Si a, b, c son números reales. a es distinto de 0, una ecuación
cuadrática es una ecuación con una variable que se puede
expresar de la forma:
La Ecuacion Cuadrática
12/13/2017
▪ Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
“Forma estándar”
“Forma estándar” de
escribir la ecuación:
2𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
“Término
cuadrático”
“Término
lineal”
“Término
constante
”
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
−𝑥2 + 5𝑥 = 0
8𝑥2 − 16 = 0
𝑥 = −6𝑥2 + 1 6𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0
2 de 16
Ejercicios del Texto
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017 3 de 16
Propiedad del Cero• Si a, b son dos números reales:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017
𝑥(𝑥 + 2) = 0
𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −4
𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
𝑥(𝑥 − 9) = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 − 9 = 0
𝑥 = 9
𝑥2 − 9𝑥 = 0
3(𝑥2 − 4) = 0
𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = 2
3𝑥2 − 12 = 0
3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = −2
4 de 16
Ejercicios – Propiedad del 0
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017 5 de 16
Resolución de ecuaciones ax2 + bx + c= 0
• Técnica: Factorización.
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2 6 8 0x x
( 4)( 2) 0x x
4 0x 2 0x
4x 2x
2 20 0x x
( 4)( 5) 0x x
4 0x 5 0x
4x 5x
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 16
Ejercicios – Factorización
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017 7 de 16
Propiedad de la Raíz Cuadrada• Si x, a son dos números reales tal que a es positivo:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017
𝑥2 = 25
𝑥2 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = − 𝑎
𝑥 = 25 = 5 ó
𝑥 = − 25 = −5
3𝑥2 = 27
𝑥 = 9 = 3 ó
𝑥 = − 9 = −3
3𝑥2
3=27
3
𝑥2 = 9
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Mas ejemplos• Resuelva:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017
(2𝑦 + 5)2 = 8
2𝑦 + 5 = 8
2𝑦 + 5 =
2𝑦 + 5 = − 8
2𝑦 = −5 + 2 2
𝑦 =−5 + 2 2
2
2 2 2𝑦 + 5 =
2𝑦 = −5 − 2 2
𝑦 =−5 − 2 2
2
−2 2
𝒚 =−𝟓 ± 𝟐 𝟐
𝟐
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Ejercicios – Propiedad de la Raíz Cuadrada
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017 10 de 16
Fórmula cuadrática• Sea 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 entonces,
• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.
• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación sólo tiene 1 solución real
• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación NO tiene solución real
• Ejemplo: Identifique el tipo de solución de
12/13/2017
a
acbbx
2
]4[ 2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0
𝑎 = −1
𝑏 = 3
𝑐 = −4
𝑏2 − 4𝑎𝑐 =
(3)2−4(−1)(−4) =
9 − 16 = −7
𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
11 de 16
Ejemplo
• Resuelva
• Entonces,
o Paso 1: Identifique coeficientes
a = 2, b = -3, c = 1
o Paso 2: Reemplace los valores en la fórmula
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0132 2 xx
)2(2
])1)(2(4)3()3([ 2 x
a
acbbx
2
]4[ 2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 16
Ejemplo (cont.’)
• Simplifique …
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)2(2
])1)(2(4)3()3([ 2 x
4
]893[ x
4
]13[ x
14
13
x
2
1
4
13
x
Soluciones: 1, 1/2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 16
Ejercicio #3
• Resuelva la ecuación: . Luego,
aproxíme las soluciones a la centésima más cercana.
a
acbbx
2
]4[ 2
0842 xx
)1(2
])8)(1(4)4()4([ 2 x
2
]32164[ x
2
]484[ x 322x
12/13/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
2
]344[ x
322x
322x
464101615.5
464101615.1
46.5
46.1
14 de 16
Ejercicios – Fórmula Cuadrática
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017 15 de 16
Ejercicios Fórmula Cuadrática …
Prof. José G. Rodríguez Ahumada12/13/2017 16 de 16