Embed Size (px)
Citation preview
Modelos Econométricos
Lección 2. Estacionariedad y raíces
unitarias
Presentado por Juan Muro
Motivación
La no estacionariedad, en general, de las series económicas en el tiempo provoca consecuencias estadísticas no deseadas (regresiones espúreas, inconsistencia de MCO, desconocimiento de la distribución asintótica de los estimadores MCO).
Esta cuestión ocupó el trabajo de los económetras durante, principalmente, la década de los 90 del siglo pasado.
J. Muro
Tendencias en series temporales
La observación de variables económicas en el tiempo nos indica la presencia de tendencias: un comportamiento regular de las series temporales, que puede ser fácilmente descrito(crecimiento continuo, decrecimiento continuo, fases prolongadas de crecimiento y decrecimiento alternadas). Ej. Pib, inflación, consumo….
La presencia de tendencias es indicativa de no estacionariedad.
J. Muro
Tendencias en series temporales
Una variable es estacionaria si su valor esperado y su varianza (finita) son invariantes a lo largo del tiempo y su autocovarianza solamente depende del desfase temporal.
J. Muro
Tendencias en series temporales
Las series con tendencia se clasifican en dos tipos, según la transformación necesaria para convertir la serie no estacionaria en su transformada estacionaria :◦ TSP: tendencia determinista
◦ DSP: tendencia estocástica
Regresión frente al tiempo (TSP); diferencia (DSP).
Ejemplos.
J. Muro
Tendencias en series temporales
6
8
10
12
14
16
18
20
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Consumption per capita
J. Muro
Tendencias en series temporales
J. Muro
-4
0
4
8
12
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Inflation
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Log of per capita consumption
Tendencias en series temporales
Expresiones formales◦ TSP: tendencia determinista
◦ DSP: tendencia estocástica
J. Muro
𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛽
𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛼 + 𝑢𝑡
Tendencias en series temporales
Las tendencias deterministas no producen malas consecuencias estadísticas aunque suelen predecir muy mal.
Ejercicio: estimar un modelo de una variable macroeconómica con tendencia y comparar las predicciones con las observaciones reales.◦ Use, por ejemplo, la variable cnsmptn de los
gráficos anteriores.
J. Muro
Tendencias estocásticas y raíces
unitarias Las tendencias estocásticas son la regla en
Econometría. La búsqueda de raíces unitarias es
constante. Para ello se usan contrastes de raíces unitarias.
Formalmente
Si ut es una variable aleatoria con esperanza nula sería un paseo aleatorio con deriva (α), “random walk with drift”.
J. Muro
𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛼 + 𝑢𝑡
Tendencias estocásticas y raíces
unitarias Reciben el nombre de raíces unitarias
porque en la ecuación
La presencia de tendencia estocástica hace que β=1.
Con sustituciones recursivas la expresión anterior es igual a
J. Muro
𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡
𝑌𝑡 = 𝛼𝑡 + 𝑢𝑡
Tendencias estocásticas y raíces
unitarias Se puede demostrar que en presencia de
raíces unitarias la varianza de la serie crece sin límite. Esto provoca problemas en la consistencia y en la normalidad asintótica de los estimadores.
Ej. En un paseo aleatorio con deriva el valor esperado y la varianza son E(Yt)=αt; var(Yt)=tσu
2.
J. Muro
Un ejemplo de regresión espúrea
El llamado problema de la regresión espúrea, muy usual en series con raíces unitarias, se produce porque se rechaza , muy frecuentemente, la hipótesis nula de no relación entre las variables aunque esa relación no exista (con elevados R2).
Ej. ¿ Hay ilusión monetaria ? Murray (2005).
J. Muro
Un ejemplo de regresión espúrea
Para contrastar si hay ilusión monetaria hacemos una regresión ingenua entre el log del consumo per cápita en USA frente a la inflación para el periodo 1948–1998.
Si no hay ilusión monetaria la inflación no tendrá efecto sobre el consumo en términos reales.
Incluimos también una tendencia temporal.
J. Muro
J. Muro
TABLE 18.2 The Log of Consumption Regressed on the
Log of Inflation and a Time Trend. Murray (2005).
J. Muro
Un ejemplo de regresión espúrea
El estadístico de Durbin–Watson es 0.58 (valor de referencia 2 si no hay autocorrelación). Usamos Newey-West (errores estándar).
El estadístico t de log(inflation) es 3.07
Rechazamos la nula de que la inflación no determina el consumo real.
Nuestra regresión aparentemente nos dice que hay ilusión monetaria.
Figure 18.2 Forecast and Actual Values of GDP,
Consumption, Investment, and Inflation 1948–1998. Murray
(2005)
J. Muro
Lecture 25:
Time Series Data:
New Threats
to Consistency
(Chapter 18.1–18.4)
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
La ecuación de referencia es
El contraste es H0: 𝛽1= 1 (y 𝛽2= 0). No se puede utilizar el procedimiento habitual (t de student) de contraste.
Los contrates desarrollados, Dickey-Fuller(1979,1981), ADF, etc. , se llaman contrastes de raíces unitarias.
𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽1𝑌𝑡−1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡
J. Muro
¿Tiene la serie una raíz unitaria (no
estacionaria en media en su componente
regular)?
Gráfico lineal: Creciente o decreciente, con pauta regular: síntoma
de no estacionariedad en media.
Pauta irregular: síntoma de estacionariedad en media.
Se suele decir que las series estacionarias retornan a
la media después de sufrir un shock.
Ejemplo: AR(1) con |β|<1.
Yt=α+ βYt-1+ εt.
E[Yt]=E[α Σ βi]+E[βt Y0]+ E[Σ βi εt-i]= α/(1- β).
Var[Yt]=E[(Σ βi εt-i)2 ]=σ2/(1- β2).
J. Muro
¿Hay una raíz unitaria en la serie?
Correlograma: Función de autocorrelación con caída lenta o lineal
y función de autocorrelación parcial con primer
valor cercano a la unidad (raíz unitaria): no
estacionariedad en media.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
◦Dickey-Fuller◦ Phillips-Perron◦KPSS
J. Muro
Contraste de Dickey-Fuller
La ecuación inicial se hace
El contraste es H0: (𝛽1−1)= 0, frente a la hipótesis alternativa de una única cola de que sea menor que cero.
En esta situación, la distribución del estadístico t es asimétrica. Los valores de la distribución se encuentran tabulados para muchas especificaciones distintas (con término independiente, tendencia..)
∆𝑌𝑡= 𝛼 + (𝛽1−1)𝑌𝑡−1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡
J. Muro
Dickey-Fuller test
Dickey-Fuller (1979, 1981).
Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no
estacionaria en media).
Intuición: En
∆yt = α + β yt-1 + εt
El contraste de β = 0 es equivalente al contraste de al menos una
raíz unitaria.
Se puede añadir una tendencia temporal (series con
clara tendencia creciente o decreciente) o eliminar la
constante (para series con media claramente nula).
Es un contraste de una sola cola (valores negativos).
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
En EViews se encuentran numerosos contrastes de raíces unitarias y los procedimientos de utilización de dichos contrastes.
Ej. Trabajemos con la especificación ingenua anterior sobre la existencia o no de ilusión monetaria.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
Veamos en primer lugar si las variables incluidas en el modelo tienen tendencias estocásticas. Por ejemplo, para la inflación.
Usaremos el contraste ADF.
J. Muro
Augmented Dickey-Fuller (ADF) test
¿Qué sucede si en la ecuación auxiliar del contraste DF hay autocorrelación?
Estadístico ADF se distribuye bajo la hipótesis nula como una t alterada. Tablas proporcionadas por MacKinnon(1991).
J. Muro
Augmented Dickey–Fuller test para una
tendencia estocástica en la variable InflationNull Hypothesis: INFLATION has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 2 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.740500 0.4048
Test critical values: 1% level -3.577723
5% level -2.925169
10% level -2.600658
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(INFLATION)
Method: Least Squares
Date: 02/05/15 Time: 18:15
Sample (adjusted): 1952 1998
Included observations: 47 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
INFLATION(-1) -0.170227 0.097803 -1.740500 0.0889
D(INFLATION(-1)) 0.141354 0.128788 1.097567 0.2785
D(INFLATION(-2)) -0.232109 0.129759 -1.788761 0.0807
C 0.538282 0.440348 1.222402 0.2282
R-squared 0.188942 Mean dependent var -0.135877
Adjusted R-squared 0.132357 S.D. dependent var 1.716628
S.E. of regression 1.598994 Akaike info criterion 3.857892
Sum squared resid 109.9416 Schwarz criterion 4.015351
Log likelihood -86.66045 Hannan-Quinn criter. 3.917145
F-statistic 3.339056 Durbin-Watson stat 1.372456
Prob(F-statistic) 0.027905
J. Muro
Phillips-Perron test
Phillips-Perron (1988).
Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no estacionaria en media).
Se corrige la inconsistencia de la matriz de varianzas y covarianzas calculada mediante un procedimiento alternativo al ADF (fundado en Newey-West).
J. Muro
KPSS test
Hipótesis nula : Varianza del término de paseo aleatorio es nula (Estacionariedad o estacionariedad en tendencia).
Estadístico: KPSS= T-2ΣSt2/s2.
Donde St suma de residuos MCO de la variable frente a una constante y tendencia temporal; s2 estimador de varianza de los errores.
La distribución bajo la nula del estadístico KPSS no es estándar y los autores facilitan el nivel crítico de rechazo para distintos niveles de significación.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
◦Aplicación empírica: Elegir constante, constante y tendencia
temporal o nada. Depende del tipo de serie considerada.
Elegir el número de retardos de la variable dependiente (∆yt ) a incluir en la regresión del contraste. Se incluyen para garantizar que al realizar el contraste se han eliminado las correlaciones existentes superiores al orden 1.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
Un análisis de la regresión inicial nos dice que la regresión es espúrea por lo que no podemos concluir que exista ilusión monetaria. No hay evidencia empírica que lo avale con la especificación adoptada.
Regresión espúrea, ¿qué hacer?
Las variables con tendencia estocástica no tienden a regresar al valor esperado después de sufrir un shock. El uso de una regresión en ese caso produce resultados equivocados.
La primera propuesta para resolver el tema, sugerencia que en el día de hoy resulta relevante, es la de Granger y Newbold (1976).
J. Muro
Granger y Newbold
La regresión en niveles representa el comportamiento a largo plazo de las variables. Si las variables tienen una tendencia estocástica (una raíz unitaria) su diferencia puede ser estacionaria.
Realicemos regresiones en diferencias para eliminar la no estacionariedad aún a costa de perder la perspectiva a largo plazo.
J. Muro
Granger y Newbold
Las variables en diferencias sí vuelven hacia la media cuando sufren un shock.
Pro supuesto, utilizar diferencias cuando estas no son adecuadas ocasiona también problemas (sobrediferencias).
¿Cuántas diferencias deben tomarse?
J. Muro
Orden de integración
Una variable estacionaria se dice que es integrada de orden 0, I(0).
Si la variable tiene una raíz unitaria (no estacionaria) es al menos I(1).
Si la variable tiene dos raíces unitarias se dice que es I(2).
El grado de integración de una variable indica el número de diferencias necesarias para convertirla en estacionaria.
J. Muro
Orden de integración
Ejemplo: ¿Cuál es el grado de integración de la variable riqueza? Bajo el supuesto de que la riqueza es la acumulación del ahorro en varios periodos. El resultado no sería evidente.
Ejemplo: ¿Cuál es el orden de integración de las variables de nuestra regresión sobre la ilusión monetaria?
J. Muro
J. Muro
Estimación de una ecuación que relaciona los cambios en el consumo (logs) en términos de los cambios en la inflación
Dependent Variable: D(LOGCONS,1,0)
Method: Least Squares
Date: 02/05/15 Time: 19:03
Sample (adjusted): 1950 1998
Included observations: 49 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(INFLATION,1,0) -0.001427 0.001347 -1.059364 0.2948
C 0.021778 0.002585 8.423839 0.0000
R-squared 0.023321 Mean dependent var 0.021721
Adjusted R-squared 0.002540 S.D. dependent var 0.018116
S.E. of regression 0.018093 Akaike info criterion -5.146616
Sum squared resid 0.015386 Schwarz criterion -5.069399
Log likelihood 128.0921 Hannan-Quinn criter. -5.117320
F-statistic 1.122252 Durbin-Watson stat 1.537751
Prob(F-statistic) 0.294848
